Núcleo temático: Espacios vectoriales con producto escalar

Transcripción

1 GUÍA DE ESTUDIO Núcleo temático: Espcios vectoriles co producto esclr Objetivo geerl Que los estudites compred el cocepto de producto esclr e u Espcio vectoril y se cpces de plicr el cocepto pr ls costruccioes de bses ortoormles. Sumrio Espcios vectoriles co producto esclr. Bse ortoorml. Proceso de ortoormlizció de Grm-Schmidt. Forms cudrátics reles, pliccioes l Geometrí Alític Objetivos específicos Iterpretr los coceptos de producto esclr, bses ortogoles y ortoormles de espcios y subespcios vectoriles co producto esclr. Costruir bses ortoormles, utilizdo el proceso de Grm-Schmidt. Digolizr edomorfismos e u espcio co producto esclr medite trsformcioes ortogoles e csos secillos y utilizdo sistetes mtemáticos. Iterpretr el cocepto de form cudrátic. Reducir ls forms cudrátics reles l form cóic medite trsformcioes ortogoles e csos secillos y utilizdo sistetes mtemáticos. Simplificr ls ecucioes de ls cóics rotds medite l reducció l form cóic de l form cudrátic correspodiete. Requisitos previos Los estudites debe domir los coteidos que se refiere l Álgebr Liel y que fuero estudidos, como so: sistems de ecucioes lieles, determites, mtrices, opercioes fudmetles, propieddes; mtriz ivers, rgo de u mtriz, Espcio vectoril sobre u cuerpo comuttivo ( ó C), subespcio vectoril, crcterizció, depedeci e idepedeci liel, geerdor, bse y dimesió y mtriz de cmbio de bse. El estudite puede remitirse los mteriles complemetrios que se ecuetr e los Núcleos Temáticos de Mtemátic Básic, Fucioes, y de Álgebr Liel pr que refuerce sus coocimietos l respecto. Bibliogrfí Básic Vrel Mrí Virgii y otros, Álgebr Liel, Editoril Pueblo y Educció, 98.

2 Complemetri Lipschutz S, Álgebr Liel, Editoril McGrw-Hill Book, México, 988, 334 págis. Norieg T. y De Arzoz H. Álgebr (Tomo I), Editoril Pueblo y Educció, 986. Itroducció Se h estudido e el ivel uiversitrio diferetes propieddes de los vectores (combició liel, depedeci liel, etc.), pero o se h trtdo igu propiedd reltiv l módulo de u vector, que es u propiedd básic de los vectores cudo se estudi e Físic. Y se cooce el cocepto de módulo de u vector y de producto esclr e 3, demás que si el producto esclr de dos vectores es cero, etoces los vectores so perpediculres. Es objetivo de este úcleo temático estudir el cocepto de producto esclr de vectores que geerliz el producto esclr e 3 y co él poder medir l mgitud o orm de u vector e culquier Espcio Vectoril, demás de estudir l ortogolidd que geerliz el cocepto de perpediculridd que y se cooce e 3. Por otr prte se relciorá estos coceptos co l idepedeci liel y ls bses. Desrrollo de ls orietcioes El cocepto de espcio vectoril surgió como u geerlizció del espcio de los vectores geométricos tomdo como puto de prtid ls propieddes de dichos vectores geométricos, que proveí de l sum y el producto por u esclr. Así se defiiero: subespcio vectoriles, depedeci e idepedeci liel, trsformcioes lieles, etc. Pr los vectores geométricos hy otros coceptos como los de logitud o orm, águlo de dos vectores, etc., que o se cotempl l hcer l terior bstrcció y que, por tto, hst hor o tiee sigificdo lguo e u espcio vectoril bstrcto. Se trt hor de superpoer u estructur de espcio vectoril u uev estructur que os permit hblr de águlos y distcis y coviee teer e cuet que prtir de este mometo el cuerpo bse del espcio vectoril, que tes er u cuerpo K culquier, será el cuerpo de los úmeros reles o de los úmeros complejos. Forms bilieles. Se E u espcio vectoril rel. U form biliel b sobre E es u plicció, b : E E (x, y) x, y) cumpliedo: ) x + x, y) = x, y) + x, y). b) x, y + y ) = x, y ) + x, y ) c) αx, y) = x, αy) = α x, y)

3 Culesquier que se x, y, x, y, x, y E y pr culquier que se α Mtriz socid u form biliel. Se B = {u, u,..., u } u bse de E y b: E E u form biliel. Pr todos x, y V se puede escribir e l form: x = i x i u i y= j y j u j x, y) = i x i u i, i y j u j ) = i, j x i y j u i, y j ) y e form mtricil x, y) = ( x x x ) u, u) u, u) u, u) u, u u u, u, u ) ) ) u, u u u, u, u ) y ) y y 3 ) y4.o bie x, y) = x t A b y siedo A b = [u i, u j )] i,j. A est mtriz A b se le deomi mtriz socid l form biliel b respecto l bse B. Este resultdo tiee el correspodiete recíproco. Se E u espcio vectoril rel y b u form biliel sobre E. Se dice que b es simétric si x, y E x, y) = y, x) Si b es simétric u i, u j ) = u j, u i ) y por tto, l mtriz socid A b es u mtriz simétric. Se dice que b es defiid positiv si x, x) > 0 si x 0 y x, x) = 0 x = 0 Producto esclr. Se E u espcio vectoril rel. E el producto crtesio EE se defie u fució que cd pr de vectores x e y de E, se le sig u elemeto de K deotdo por <x, y>, que se lee producto esclr de x por y. Defiició Se llm producto esclr u fució rel, deotd por <, > y defiid e EE, tl que si x, y, z so vectores de E y es u úmero rel, verific: A. <x, y>= <y, x> A <x+y, z> = <x, z> + <y, z> A3 <x, y> = <x, y> A4 <x, y> 0 A5 <x, y> = 0 si y solo si, x = 0 3

4 L codició A estblece que el producto esclr es comuttivo o simétrico. Ls codicioes A y A3 idic que el producto esclr es liel e l primer compoete mietrs que ls codicioes A4 y A5 mifiest que el producto esclr de u vector por sí mismo debe ser siempre o egtivo, pudiedo ser cero solo si el vector es el ulo est propiedd se idic diciedo que el producto esclr es defiido positivo. Por todo lo terior se dice que se defie producto esclr sobre u espcio vectoril rel E como u form biliel, simétric y defiid positiv. El producto esclr o es úico pues puede defiirse umeross forms bilieles simétrics y defiids positivs sobre u mismo espcio vectoril. U espcio vectoril co u producto esclr se dice que es u espcio vectoril euclídeo, o como usulmete se deomi: espcio euclídeo. U espcio vectoril euclídeo es u pr (E, b) e el que E es u -espcio vectoril y b u producto esclr sobre E. Desigdo el producto esclr por x, y) =< x, y > respecto de u bse B de E, su expresió viee dd por: < x, y >= x t Ay siedo A l mtriz socid b respecto de l bse B : A = [< u i, u j >] i,j Ejemplo Los productos defiidos cotiució so productos esclres e respecto de l bse B = {u, u } ) < x, y >= x y + 3x y = (x x ) 0 0 y 3 y 8 3 y b) < x, y >= 8 x y + 3x y + 3x y + 8x y = (x x ) 3 8 y 0 y c) < x, y >= x y + x y = (x x ) 0 y Este último ejemplo e el que l mtriz socid es l mtriz uidd recibe el ombre de producto esclr cóico. Nótese que este producto esclr se puede clculr utilizdo l expresió: x T y Como l expresió mtricil de u producto esclr depede de l bse utilizd, cbe pregutrse si pr culquier producto esclr existirá siempre u bse respecto de l cul su mtriz socid se l mtriz uidd. El propósito del tem cosiste e ecotrr dich bse, que d lugr l expresió cóic del producto esclr. Teorem L mtriz socid u producto esclr, respecto de culquier bse, es simétric y regulr. 4

5 El recíproco o es cierto. Demostrció. ) Es simétric por ser el producto esclr u form biliel simétric b) Se x E y cosideremos < x, y >= 0 pr todo y E etoces x = 0 y que de lo cotrrio se tedrí < x, x >= 0 co x 0 lo que cotrdice l hipótesis de ser defiid positiv. Es decir, el úico vector x V tl que: < x, y >= 0 pr todo y E es x = 0. Cosideremos el sistem A = 0 y vemos que l úic solució que posee es l trivil, lo que equivle que det A 0, es decir, que A es regulr. Supogmos que existe lgú vector o ulo z V tl que Az = 0. Etoces, y V (Az) t y = 0 z t Ay = <z, y>= 0. Como < z, y >= 0 pr todo y V z = 0 lo que cotrdice l hipótesis de ser z0 y por tto, o existe igú vector o ulo z V tl que Az = 0 es decir, Ax= 0 sólo dmite l solució trivil. 3 c) El recíproco o es cierto y que A = o es l mtriz de u producto esclr pesr 3 de ser simétric y regulr, pues 3 ( ) = ( ) = 4 < 0 3 y por tto A o represet u form biliel defiid positiv. Se (V, <,>) u espcio vectoril euclídeo. Se deomi orm del vector x E l úmero rel positivo x = + x, x que tiee setido y que < x, x > 0 pr todo x E. Propieddes: ) x = 0 x = 0 b) αx = α x c) Ley del prlelogrmo: x + y + x - y = ( x + y ) d) Desiguldd de Cuchy-Schwrtz: < x, y> x y e) Desiguldd de Mikowski: x + y x + y f) x - y x y Cules quier que se x, y que perteece E, α de Se x, y elemetos o ulos de E, de l desiguldd de Cuchy- Schurtz se deduce que: 5

6 - x. y < x, y > x y, Y como x 0 y 0, etoces, - x, y x. y Al úmero y. x, y x. y se le defie como cos y es el águlo que form los vectores x e < x, y >= x. y. cos(x,y) Teorem: Pr determir el producto esclr de dos vectores culesquier es ecesrio y suficiete coocer los productos esclres de los vectores de u bse. Demostrció que puede ver e el texto: Aputes de Álgebr Liel Ortogolidd e Espcios co producto esclr Priciples coceptos Defiició: Ddo u espcio E co producto esclr, se dice que los vectores x e y so ortogoles si y solo si <x, y> = 0 Nots: Se puede firmr que x e y so ortogoles si teer que decir el orde. 0 es el úico vector ortogol todos los vectores del espcio. Defiició: Ddo u espcio E co producto esclr, se dice que u sistem de vectores S es ortogol si y solo si <x, y> = 0 pr todo x y de S. Se sume que el sistem formdo por u solo vector es ortogol. Ejemplos:. Los vectores x= (,,) e y = (,-,-) de 3 co el producto esclr cóico so ortogoles y que, <x, y> =.+(-)+.(-)= 0. E el espcio P de los poliomios de coeficietes reles y de grdo meor o igul, se defie el producto esclr: <p(x), q(x) > = p(x).q(x) dx. Probr que el cojuto {, x, ⅓(3x -)} es ortogol. Defiició: Ddo u espcio E co producto esclr, se dice que u sistem de vectores S es ortoorml si y solo si S es u sistem ortogol y x = pr todo x de S. Los vectores de orm se llm uitrios. A prtir de todo vector o ulo, se puede ecotrr u múltiplo uitrio del mismo, el vector. 6

7 Teorem E u espcio E co producto esclr, todo sistem ortogol de vectores o ulos S es lielmete idepediete. Demostrció. Se S= { x, x, x 3,, x } u sistem ortogol de vectores o ulos y supogmos que: α x + α x + α 3 x α x = 0 Si clculmos el producto esclr por x obteemos: 0 = <0, x >= <α x + α x + α 3 x α x, x > = α < x, x > + α <x, x > + α 3 <x 3 x >+ + α < x, x >, Teiedo e cuet que S es u sistem ortogol de vectores, se deduce que, 0 = α < x, x >y como x 0, etoces α = 0. Relizdo l mism operció co los vectores x, x 3,, x, obteemos que, α = α 3 = = α = 0 y por lo tto l combició liel ul, α x + α x + α 3 x α x = 0 sólo se cumple si todos los coeficietes so ulos. Así pues S es u sistem de vectores lielmete idepediete. El recíproco del teorem terior o es cierto. Por ejemplo los vectores (,, ) y (, 0, ) de R 3, co el producto esclr cóico, so lielmete idepedietes y o so ortogoles como se compruebe si igu dificultd. Teorem Si S= { x, x, x 3,, x } es u bse ortogol de vectores de u espcio E co producto esclr y x es u vector culquier de E, etoces, Demostrció. Se S= { x, x, x 3,, x } u bse ortogol escribmos x como combició liel de los vectores de l bse Clculmos el producto esclr de de los vectores x y x Como l bse es ortogol obteemos, y como, result, repitiedo es te proceso co los vectores, x, x 3,, x se obtiee el resultdo. El teorem terior dice que ls compoetes de u vector x respecto de u bse ortogol se puede obteer de los productos esclres de x y cd uo de los vectores de dich bse. Si l bse es ortoorml, el vector x se expres como: Ejemplos: 7

8 . E 3 co el producto esclr cóico se cosider los vectores : x = (,,-3), u =(,,0), u =(-,,) y u 3 =(-,,-). Probr que U={ u, u, u 3 } es u bse ortogol de 3 y obteer ls coordeds del vector x e est bse. Solució Clrmete, <u, u >= <u, u 3 >= < u, u 3 >= 0 Por lo tto U es u sistem ortogol de vectores, etoces es lielmete idepediete y por lo tto u bse de 3. Por teorem terior se cumple que: Como <x, u > = 3, <x,, u >= -7, < x, u 3 > = y, ls coordeds del vector e est bse es ( Defiició: Ddo u espcio E co producto esclr, se dice que u sistem de vectores S es u bse ortogol (ortoorml), si y solo si S es u sistem ortogol (ortoorml) y u bse del espcio vectoril E. Not: Si l bse es ortogol multiplicdo cd vector de est por el recíproco de su orm, obteemos u bse ortoorml. Result hor ecesrio estblecer l existeci de bses ortogoles. Teorem E todo espcio E co producto esclr de dimesió fiit existe u bse ortoorml. Demostrció Demostrremos solo l existeci de u bse ortogol, pues de est es posible obteer u ortoorml. Siempre es posible firmr l existeci de u sistem ortogol de vectores o ulos. Y que el sistem formdo por u solo vector o ulo es ortogol. Prtiremos de u sistem de vectores ortogoles o ulos se puede ecotrr u bse ortogol. Se el espcio vectoril E co producto esclr de dimesió y u sistem de vectores ortogoles o ulos de E luego. Si, como es lielmete idepediete, es u bse de E y qued demostrdo el teorem. Se, el problem cosiste e ñdir elemetos hst ecotrr u bse de E, de mer que los uevos sistems de vectores se ortogoles. Se u vector y culquier del espcio E, verifiquemos que: es ortogol todos los E efecto: 8

9 Como el sistem es ortogol, teemos que: Como el úmero de vectores de u sistem ortogol está cotdo por l dimesió del espcio, e u úmero fiito de psos llegmos u sistem ortogol que o puede estr coteido de mer estrict e otro sistem ortogol. Forms Cudrátics ) Form cudrátic e el es tod expresió de l form F i, j i, jxix dode los j coeficietes ij y ls vribles xi, xj tom vlores reles y se verific que ij = ji Los coeficietes determi u Mtriz simétric de orde M =,,,,,,,,, Recíprocmete cd Mtriz cudrd, simétric de orde está socid u form cudrátic de orde ) U form cudrátic F se llm defiid positiv, si F > 0 pr todo sistems de vlores o simultáemete ulos de ls xi, xj vribles 3) U form cudrátic F se llm defiid egtiv, si F < 0 pr todo sistems de vlores o simultáemete ulos de ls xi, xj vribles 4) U form cudrátic F se llm semidefiid positiv, si F 0 es decir se coserv positiv, uládose solo pr lgú sistem de vlores de ls vribles xi, xj 5) U form cudrátic F se llm semidefiid egtiv, si F 0 es decir se coserv egtiv, uládose solo pr lgú sistem de vlores de ls vribles xi, xj 6) U form cudrátic F se llm idefiid, si F tom vlores positivos, ulos o egtivos, pr distitos sistems de vlores de ls vribles xi, xj. Llmremos H l determite de l Mtriz M de los coeficietes de l form cudrátic H =,,,,,,,,, dode ij = ji Al meor complemetrio de orde k < extrído de H lo llmremos H k H k =,, k,,, k,,k,k k,k 9

10 TEOREMA Se i, j i, j xix F dode los coeficietes y ls vribles xi, xj tom ij vlores reles y se verific que ij = ji j L codició ecesri y suficiete pr que F se defiid positiv es que: H k > 0 pr k =.. L codició ecesri y suficiete pr que F se defiid egtiv es que: (-) k H k > 0 pr k =.. E est últim expresió, pr k = (impr), H k debe ser egtivo, de lo cotrrio o se puede segurr d. DEMOSTRACIÓN Nos limitremos efectur l demostrció e el espcio F xi x j i, j i, j y que, =, multiplicmos y dividimos l expresió por, y e los dos primeros térmios completmos el biomio cudrdo hciedo el siguiete rtificio,x x,xx,x x,x x,.,,. x F,,.,,,,,,,, F,,,,.,,, E el espcio,,, H = (,.,, ) y H =, y reemplzmos e F H,, H H F(x, x ) F,, Etoces si H 0 H 0 egtiv F es defiid positiv H 0 ( ) H 0 F es defiid

11 Ejercicios propuestos. Se cosider, e el espcio vectoril euclídeo 3, l bse B ={e, e, e 3 }, tl que: e e =, e e =0, e e 3 =, e e =, e e 3 = - y e 3 e 3 = ) Hllr l mtriz de dicho producto esclr respecto de l bse B. b) A prtir de B = {(,, ), (0,, ), (0,, 0)} de 3, hllr u bse ortoorml.. Ddo, e el espcio vectoril euclídeo 3, el producto esclr cuy mtriz socid co respecto l bse cóic es, Utilizdo el método de Grm-Schmidt, obteer u bse ortoorml socid l bse {e + e, e, e + e 3 }. 3. E el espcio vectoril euclídeo 4, co el producto esclr: x y = x y + x y + x 3 y 3 + x 4 y 4 Se cosider el subespcio L egedrdo por los vectores (, 0,, 0) y (0,, 3, ). Determir u subespcio suplemetrio y ortogol de L. 4. Se V u espcio vectoril euclídeo de dimesió tres y cosideremos l bse B = {u, u, u 3 } e l que: u =, u =, u 3 = 5 u u = 0, el vector u u 3 es ortogol los vectores u y u. Clculr: ) L mtriz del producto esclr, respecto de l bse B. b) U bse ortoorml de V, socid l bse B.