TEMA 1. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES

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1 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites TEMA. FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN Y LÍMITES. Fucioes reles de vrible rel. Doiio de u fució.. Doiios de ls fucioes ás hbitules. Coposició de fucioes. Propieddes. Fució ivers. Líite de u fució. Fucioes covergetes.. Líites lterles... Propieddes de los líites. Distitos tipos de líites.. Líites ifiitos cudo tiede u úero rel sítot verticl.. Líites fiitos cudo tiede ifiito sítot horizotl.. Líites ifiitos cudo tiede ifiito 6. Cálculo de líites 6.. Opercioes co líites de fucioes. Idetericioes 6.. Resolució de idetericioes del tipo 6.. Resolució de idetericioes del tipo 6.. Resolució de idetericioes del tipo 6.. Resolució de idetericioes del tipo 6.6. Resolució de idetericioes del tipo 6.7. Resolució de idetericioes del tipo 6.8. Resolució de idetericioes del tipo y José Luis Lorete Argó

2 Coteto co l P.A.U. Uidd. Fucioes. Defiició y Líites E los eáees de l PAU por lo geerl hy dos probles. putos e cd u de ls dos opcioes del bloque de álisis. De est for el bloque de álisis es, de los tres, el ás iportte. Este te es básico pr el coociieto y doiio de ls fucioes que e los tes siguietes bordreos co deteiieto. Por lo geerl e el ee de l PAU o hy probles i cuestioes específicete relciods co este te, si bie el o doir los coceptos que se plte e l uidd, hrá dificultoso, por o decir iposible, relizr los ejercicios del ee relciodos co este, bloque I. Nótese que co bstte siduidd e el ee de l PAU, hy u o dos cuestioes relciods co el cálculo de líites de fucioes, si bie por lo geerl se resuelve prtir del teore de L Hopitl que vereos e el te ; o obstte e lgu ocsió estos líites se resuelve edite los étodos de resolució que vereos e este te, e especil los líites relciodos co el úero e, ls idetericioes epoeciles y los líites de fucioes rcioles. Aputes de Mteátics II pr preprr el ee de l PAU

3 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites. Fucioes reles de vrible rel. Doiio de u fució Ls fucioes se utiliz e uerosos cpos, tto de ls ciecis físic, biologí, quíic coo e ecooí, etc. Defios fucioes reles de vrible rel: Defiició: U fució rel de vrible rel es u plicció o correspodeci etre u subcojuto de R, lldo doiio de l fució Dof,y otro subcojuto de R lldo cojuto ige o recorrido de l fució If, tl que cd eleeto de Dof le correspod u úico eleeto de If. U for hbitul de epresr ls fucioes es: f : R R y f Ejeplos de fucioes: yf - f : R R y f y f 6 Gráfic: Coo puedes ver e l gráfic de l fució, cd vlor del cojuto doiio eje OX, bsciss u horizotl le correspode u úico vlor y del cojuto ige eje OY, ordedo o verticl José Luis Lorete Argó

4 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites b Veos l siguiete gráfic que represet ls solucioes de l epresió y : E este cso l gráfic o represet u fució, pues pr cd eleeto del doiio eje OX le correspode dos vlores. Por ejeplo, l solució es y e y-, que o es u vlor úico, coo deberí de ser ls fucioes. E este cso tedreos que ls solucioes de l ecució de segudo grdo viee dds por dos fucioes: y r eci del eje OX, e y- r por debjo del eje OX. No es ecesrio pr que o se fució que todo vlor le correspod dos o ás vlores, co que sólo hy u vlor de co dos o ás iágees l epresió o será u fució.. Doiio de ls fucioes ás usules E este prtdo vos ver el estudio del doiio de ls fucioes reles de vrible rel ás usules y utilizds: Fucioes polióics: So fucioes del tipo yf, es decir, f es u polioio. El doiio de ests fucioes es el cojuto de los úeros reles, y que pr culquier vlor de, por ejeplo, l fució tiee setido siedo su ige y. Luego e ests fucioes DofR P Fucioes rcioles frccioris: So del tipo yf, siedo P y Q Q polioios. El doiio de l fució so todos los úero reles, ecepto quellos que ul el deoidor solucioes de Q, y que o se puede dividir etre cero. Así e ests fucioes DofR-{:Q} Ejeplo: f DofR-{,,-} Fucioes irrcioles: So del tipo f g ; dos csos: o Si es ipr el doiio de f es el iso que el de g, pues ls ríces ipres de úeros egtivos so vlores reles. Así teeos que DofDog Aputes de Mteátics II pr preprr el ee de l PAU

5 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites o Si es pr el doiio de f es el cojuto de úeros del doio de g, tles que g, y que ls ríces pres de úeros egtivos o so úeros reles. Así Dof{ Dog: g } Ejeplo: y f Dof{ / } Dof-,-] [-, Fucioes epoeciles: so fucioes del tipo y g, su doiio es el iso que el doiio del epoete g. Así e ests fucioes DogDof Fucioes logrítics: flog g el doiio es el cojuto de putos del doiio de g e los que se cuple g>, pues o eiste solució rel pr los logritos cudo el rgueto es egtivo o cero. Así e ests fucioes Dog{ Dof:f>} Ejeplo: yf log el doiio de g es R-{}, veos el doiio de f >: Dof -,-, José Luis Lorete Argó

6 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites. Coposició de fucioes. Propieddes Defiició: Dds dos fucioes f y g tles que If Dog se ll fució copuest de g co f y se deot g º f, l fució defiid de l siguiete for: g º fg[f], es decir l ige e g º f de es l ige del puto f e g: g º f R f R g R f gf Ejeplos: f, gse g º fse ; f º gse Propieddes:. Asocitiv: h º g º fh º g º f. No couttiv: e geerl l coposició de fucioes o es couttiv g º f f º g, ver ejeplo terior se se. Fució Ivers Defiició: L fució ivers de u fució f iyectiv o eiste dos vlores y Dof tl que f f es otr fució, que se deot por f -, tl que se cuple: f º f - f - ºfid Dof Do f f If f - Ejeplos: yf- -y/ f -. fº f - - b yl ye Represetció gráfic de ls fució ivers: l propiedd ás iportte de ls fucioes iverss es que l gráfic de f es siétric f - respecto l bisectriz del prier cudrte, y. 6 Aputes de Mteátics II pr preprr el ee de l PAU

7 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Represetció gráfic de los ejeplos: y y y- ye y yl Ejercicio. Se ls siguietes fucioes f, g, h siguietes coposicioes: g f h, b f g h, c h g f g o f o h go f o h go f g b f - - o go h f o go h f o g f c ho go f ho go f ho g h h / relizr ls José Luis Lorete Argó 7

8 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites. Líite de u fució. Fucioes covergetes L ide ituitiv de líite de u fució e u puto es fácil de copreder: es el vlor hci el que se proi l fució cudo l vrible idepediete,, se proi dicho puto. Ejeplo: se f el líite de l fució cudo tiede es ifiito, y que cuto ás se proi etoces - ás próio cero positivo, y por tto l fució se hce ás grde /.. Defiició: Mteáticete u fució f tiee líite L cudo tiede u vlor, y se deot f L si se cuple: f L ε > ; δ > : < δ f L < ε El sigificdo de l defiició es l siguiete: se cul se el etoro de yl, eiste u etoro de tl que e este etoro l fució ce detro del etoro de L. Veáoslo gráficete: Lε L L-ε ε ε δ δ -δ δ Vos cosiderr dos csos diferetes: f L y f L b f L pero f L Ejeplo: f f f 8 Aputes de Mteátics II pr preprr el ee de l PAU

9 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Veos l gráfic de l fució: b g si si g g Defiició: Dd u fució f, se dice que es covergete e si, eiste el líite f L. Pr que f se covergete e o es ecesrio que perteezc l doiio, por ejeplo g si R-{} es decir g, Do g Cudo se proi l fució se cerc y tto tes de coo después, uque justo e l fució o defiid. José Luis Lorete Argó 9

10 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites. Líites lterles Eiste fucioes defiids trozos, so quells que está defiids de diferete er lo lrgo de distitos itervlos de l rect rel. E ests fucioes, cudo quereos estudir el líite e los putos dode cbi l epresió lític, es ecesrio clculr los líites lterles, viédose sí l tedeci de l fució bos ldos del puto. Defiició: U fució f tiee líite L cudo tiede u vlor por l izquierd, y se deot f L, si se cuple: f L ε > ; δ > : δ < < f L < ε Cosiste e estudir el coportieto de l fució e el etoro l izquierd de. Defiició: U fució f tiee líite L cudo tiede u vlor por l derech, y se deot f L, si se cuple: f L ε > ; δ > : δ > > f L < ε Cosiste e estudir el coportieto de l fució e todo etoro l derech de. Teore: El líite de u fució f e eiste si, y sólo si, eiste los líites lterles y éstos coicide: f f L f f L f L f L Este teore será uy iportte e los ejercicios de l PAU dode se os pide estudir l cotiuidd de fucioes defiids trozos. Adeás, coo vereos e el prtdo 6., es el étodo utilizdo pr resolver ls idetericioes de los líites del tipo.. Propieddes de los líites:. Si u fució es covergete e u puto ést cotd e u etoro del puto.. Se f y g dos fucioes covergetes e, tl que f L g L'. Se cuplirá: y fg es covergete e tl que f g L L' b f-g es covergete e tl que f g L L' c f g es covergete e tl que f g L L' d f/g es covergete e si L tl que f / g L / L' Aputes de Mteátics II pr preprr el ee de l PAU

11 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Ejercicio. Dd l fució f co l siguiete gráfic, clculr los líites: f b f co Z f co Z f c f co Z f o eiste pues f f Ejercicio. Hllr el ite, si eiste, de f - cudo tiede cero Siepre que tegos u fució co vlor bsoluto, l redefiireos coo u fució defiid trozos. L for de proceder es estudir los itervlos dode el rgueto del vlor bsoluto es egtivo, cbido e dichos itervlos el sigo de dicho rgueto y coservdo el sigo e el resto de l rect rel: si si > si f si > Not: el igul se puede poer e culquier de los dos trozos de l fució pero sólo e uo y que e bos csos el vlor de y es cero. f, f f Veos l gráfic de l fució: José Luis Lorete Argó

12 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Ejercicio. Hllr el ite, si eiste de f - cudo tiede y - Defios l fució coo u fució trozos. E este cso - es egtivo e el itervlo -,. f f si si si < <, f f f, f f. Distitos tipos de líites. Líites ifiitos cudo tiede u úero rel sítot verticl E este prtdo vos estudir el cso de fucioes que cuto ás se proi u vlor, bie por l izquierd, por l derech o por los dos, l fució se hce ifiitete grde tiede o pequeñ tiede -. Cudo esto ocurre se dice que l fució f tiee sítot verticl e Veos los siguietes csos: Defiició: U fució f tiee ite cudo tiede por l izquierd si cudo pr todo vlor K eiste u etoro l izquierd de, tl que l fució e este etoro es yor que K. Mteáticete f K > δ > : δ, f > K Ejeplo: f si si < f y que cuto ás se proie por l izquierd etoces - ás pequeño y positivo y por tto f ás grde. Es decir, cudo - etoces l fució f. E cbio f Cudo esto ocurre l fució se proi l sítot verticl. Es decir cudo l fució se proi por l izquierd, ést se cerc ifiitete l rect, que es prlel l eje OY Aputes de Mteátics II pr preprr el ee de l PAU

13 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites José Luis Lorete Argó Veos l gráfic: Defiició: U fució f tiee ite cudo tiede por l derech, si pr todo vlor K eiste u etoro l derech de tl que l fució e este etoro es yor que K. Mteáticete K f K f > > >, : δ δ Defiició: U fució f tiee ite l cercrse, cudo pr todo vlor K eiste u etoro de tl que l fució e este etoro es yor que K. Es decir, tiede por l izquierd y por l derech. Mteáticete K f K f > > >, : δ δ δ Ejeplo: f f f f Veos l gráfic de l fució y sí podreos iterpretr el sigificdo del líite:

14 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites De igul for que heos estudido el líite, el líite - es equivlete, sólo hy que cbir K por K f K < δ > :, δ f < K f K < δ > : δ, f < K f K < δ > : δ, δ f < K Muchs veces ls fucioes f tiede por u ldo de y - por el otro ldo de ; cudo esto ocurre el f o eiste, y que pr eistir debe coicidir los líites lterles. Ejeplo: f, Veos l gráfic: oeiste Defiició: L fució f tiee sítot verticl e cudo lguo de los dos líites lterles o los dos vle o -, es decir ocurre l eos uo de estos líites: f f, f, f Aputes de Mteátics II pr preprr el ee de l PAU

15 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites. Líites fiitos cudo tiede ifiito sítot horizotl E este prtdo estudios el coportieto de lgus fucioes e ls que, cudo l to vlores uy grdes o uy pequeños es decir uy egtivos l fució se proi cd vez ás u vlor L. Si esto ocurre se dice que f tiede L cudo tiede o -. Veos l defiició: Defiició: U fució f tiee por líite u úero rel L cudo tiede, si se cuple: f L ε >, K > : > K f L < ε Iterpretció gráfic de l defiició: Pr cd etoro de yl ecotros u vlor de K, tl que pr vlores de yores que K, l fució y detro de este etoro e yl. Defiició: U fució f tiee por líite u úero rel L cudo tiede -, si se cuple: f L ε >, K < : < K f L < ε Iterpretció gráfic de l defiició: Pr cd etoro de yl ecotros u vlor de -K, tl que pr vlores de eores que -K, l fució y detro de este etoro e yl. Cudo ocurre u de ls dos codicioes, o ls dos, l fució tiee u sítot horizotl yl. Es decir, cudo se hce ifiitete grde o ifiitete pequeño -, l fució se cerc l rect prlel l eje OX yl Ejeplo: y/ A.H. y José Luis Lorete Argó

16 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Defiició: U fució f tiee u sítot horizotl e yy si se cuple u de ls siguietes codicioes o ls : f y b f y. Líites ifiitos cudo tiede ifiito E este últio prtdo estudireos csos: f b f c f d f f K >, M R : > M f > K Ejeplo: K M b f K <, M R : > M f < K Ejeplo: y- M -K 6 Aputes de Mteátics II pr preprr el ee de l PAU

17 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites c f K >, M R : < M f > K Ejeplo: yf, K -M d f K <, M R : < M f < K Ejeplo: yf- -M - K 6. Cálculo de líites 6. Opercioes co líites. Idetericioes E el prtdo. vios ls propieddes de los líites, y coo se relcio los líites de dos fucioes cudo ests fucioes se está sudo, ultiplicdo y dividiedo. Al hber líites cuyo vlor es y -, tedreos que ver cóo oper los úeros co ±. Veáoslo: Su y difereci: R ±± --- José Luis Lorete Argó 7

18 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Producto: R > ejeplo - R - -< - - ejeplo R > -- ejeplo - R - -< - - ejeplo Cociete: R ejeplo ± R ± ± ejeplo - R - ± ejeplo Epoete: R > ejeplo R << ejeplo R > ejeplo R << ejeplo Idetericioes: -, - ejeplo ± ejeplo ejeplo ± ejeplo ± ejeplo ± 8 Aputes de Mteátics II pr preprr el ee de l PAU

19 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites José Luis Lorete Argó 9 6 ejeplo 7 ejeplo: 8 ejeplo: 9 ejeplo: Not: e el prtdo 7, cudo epresos el sigific tedeci de hecho. b e el prtdo 8, es tedeci l. 6. Resolució de idetericioes del tipo Ls situcioes ás siples e ls que prece es l clculr los líites ifiitos de frccioes polióics. Ests idetericioes se resuelve dividiedo el uerdor y el deoidor por l ái poteci de del deoidor Ejeplos: b c Coclusió: b b b > b b b b > b b b > < si si c b b b

20 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Estos o so los úicos tipos de líites e dode prece l ideterició, veos otros csos diferetes b b b > > b b log log b > > E estos líites hy que fijrse e l tedeci de ls fucioes del uerdor y del deoidor. Así si l fució del uerdor crece ás rápido se cuple que el ite será ± el sigo depede de los sigos de l frcció; por el cotrrio si l fució que ás rápido crece es l del deoidor el líite será ; por últio si bs crece de igul for el ite será el cociete de los coeficietes de yor grdo de cd fució. Ordedo ls fucioes de eor yor creciieto se cuple: <log <log < log.< 6.. Resolució de idetericioes del tipo / << < < < < < Aprece este tipo de líites priciplete e csos diferetes: Cociete de fucioes polióics: Se resuelve descopoiedo fctorilete uerdor y deoidor plicdo Ruffii co ríz l del líite, y que es el vlor dode se ul los dos polioios, siplificdo los fctores coues. Ejeplos: ot: cudo el líite tiede e vez de Ruffii scos fctor coú, pues l ríz es cero, y por tto el fctor es. Aputes de Mteátics II pr preprr el ee de l PAU

21 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Cociete co fucioes rcioles: Se resuelve ultiplicdo uerdor y deoido por l epresió cojugd de l que llev ríz y plicdo Ruffii: Ejeplos: 6.. Resolució de idetericioes del tipo Este líite puede ser, - o o eistir por ser los líites lterles diferetes uo y otro -. Se clcul prtir de los líites lterles: Ejeplo: o eiste el líite 6.. Resolució de idetericioes del tipo Se resuelve trsforádols e idetericioes del tipo o. 6 9 Ejeplo: 6.6. Resolució de idetericioes del tipo - E estos líites doi l fució que crezc tied ás rápido ver el fil del prtdo 6.. Ls idetericioes de este tipo co fucioes irrcioles que tied igul de rápido se resuelve ultiplicdo y dividiedo l fució por el cojugdo: José Luis Lorete Argó

22 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites 6.7. Resolució de idetericioes del tipo Ests idetericioes está relciods co el úero e. Se clcul de l siguiete for: f f e g g f g g f e Ejeplo: e e e e 6.8. Resolució de idetericioes del tipo y Ests idetericioes se resuelve plicdo logritos y trsforádols de este for plicdo l regl del logrito log b b log e los teriores líites: Veos u ejeplo de cd tipo: Ejeplo : L l L l Coo ll- Le - Ejeplo : L l L l l l l Coo ll Le Aputes de Mteátics II pr preprr el ee de l PAU

23 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Ejercicios Ejercicio. Clcul, e ls siguietes fucioes represetds, ls siguietes cuestioes: f-, f-, f, f o eiste Dof b f, f, f, f o eiste, f o eiste f, f, f o eiste, f c g, g o eiste Dof d g, g, g, g, g, g, g o eiste, g o eiste Ejercicio 6: Clculr el líite: e e e e e o eiste e e Ejercicio 7: Clcul cuáto debe vler pr que l siguiete fució, f, se si covergete e : - si f, f. El líite f eiste siepre que. Ejercicio 8: Siedo f clculr el siguiete líite: f f José Luis Lorete Argó

24 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites Aputes de Mteátics II pr preprr el ee de l PAU Ejercicio 9: Clculr los siguietes líites, b, c eiste o id d id e, f g, h i j l 6 o p 6 q 6 o eiste r s t u o eiste v o eiste

25 Uidd. Fucioes. Defiició y Líites José Luis Lorete Argó w 6 6 e e e y e e e e z e e b 9 c Ejercicios PAU Septiebre. Prueb B. C-. Deteríese el vlor del práetro pr que se verifique. puto