CURSO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO: DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL A LA APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES

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1 CURSO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO: DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL A LA APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES ISBN: Pedro J. López Cello

2 Idice geerl Itroducció. Fucioes reles de vrile rel. Fucioes elemetles: situcioes reles e ls que prece. Composició de fucioes Fucioes dds e form de tls. Iterpolció poliómic. Iterpolció y etrpolció de dtos Limites de fucioes. Cotiuidd y discotiuiddes. Teorem de Bolzo. Rms ifiits Derivd de u fució e u puto. Fució derivd. Derivds sucesivs. Apliccioes Desrrollo de u fució e serie de potecis. Teorem de Tylor. Apliccioes l estudio locl de fucioes El prolem del cálculo del áre. Itegrl defiid Primitiv de u fució. Cálculo de lgus primitivs. Apliccioes de l itegrl l cálculo de mgitudes geométrics Biliogrfí

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4 Itroducció Al escriir este liro se h pretedido presetr los resultdos más importtes del álisis mtemático rel, cocretmete ordmos ls fucioes reles de vrile rel, l cotiuidd de dichs fucioes, el cálculo diferecil e itegrl y l iterpolció uméric. Cd uo de los coceptos priciples del álisis mtemático prece defiido, justificdo los resultdos priciples medite u demostrció. E todos los cpítulos se utiliz u fudmetció clásic del cálculo ifiitesiml de mer que este liro pude ser utilizdo por lumos de primeros ños de estudios superiores de igeierís y ciecis ects. Está tmié recomeddo pr los opositores l profesordo e Educció Secudri. Cometmos, pr termir, que l lector se le supoe úicmete uos ciertos coocimietos de álger y lgus ocioes elemetles de geometrí. 4

5 Cpítulo FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL FUNCIONES ELEMENTALES: SITUACIONES REALES EN LAS QUE APARECEN COMPOSICIÓN DE FUNCIONES f u c i o e s r e l e s d e v r i l e r e l O p e r c i o e s c o f u c i o e s. E s t r u c t u r d e l c o j u t o d e f u c i o e s r e l e s d e v r i l e r e l. F u c i o e s e l e m e t l e s 5

6 . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CONCEPTO DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL U fució rel de vrile rel es u correspodeci de u sucojuto o vcío D IR e IR, lo escriiremos f: D IR, que cd elemeto D le soci uo y sólo u elemeto y IR. El sucojuto D se llm domiio de defiició o cmpo de eisteci de f y se escrie Dom(f) = { IR /!f() IR}. El recorrido o imge de u fució es el sucojuto de IR formdo por ls imágees de los elemetos del domiio: Im (f) = Rec(f) = {f() / D}. El úmero represet u elemeto ritrrio del domiio de l fució y se llm vrile idepediete. Al úmero y socido por l fució l vlor de se le llm vrile depediete. REPRESENTACIÓN GRÁFICA U sistem de coordeds crtesis e el plo es u pr ordedo de dos ejes perpediculres etre sí e u puto O. Al eje horizotl se le llm eje de ciss y se desig co OX, y l verticl se le llm eje de ordeds y se desig co OY. Sore OX se sitú l vrile idepediete y sore OY l vrile depediete. Si tommos el sistem de refereci R = { O ; i, j}, u puto culquier del plo P vedrá represetdo por los coeficietes de l comició liel que epres el vector OP e fució de l se { i, j}. Así, u puto P se epresrí como ( o, y o ), siedo o l scis de P e y o l orded de P. L gráfic de u fució es el lugr geométrico de los putos cuys coordeds verific l ecució y = f(). L visulizció de ls gráfics de ls fucioes permite ver más fácilmete sus propieddes. Trslció e l gráfic de u fució. Trslció horizotl Dd l represetció gráfic de u fució f(), si cosidermos l fució g() = f(-), otedremos u fució cuy gráfic estrá trsldd respecto l origil uiddes l derech, pr > ó l izquierd pr <.. Trslció verticl Dd f(), si cosidermos l fució g() = f() +, otedremos u fució cuy gráfic estrá trsldd respecto l origil uiddes hci rri, si > ó hci jo si <. 6

7 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES Pridd U fució rel de vrile rel y = f() es pr si y sólo si se verific que f(-)=f(). L gráfic de u fució pr es simétric respecto l eje de ordeds, y verific que si cotiee l puto (, y), cotedrá l (-, y). Ls fucioes y = cos, y = 4 + so fucioes pres. U fució rel de vrile rel y = f() es impr si y sólo si se verific que f(-) = -f(). L gráfic de u fució impr es simétric respecto l orige de coordeds, y verific que si cotiee l puto (, y), cotedrá l (-, -y). Ejemplos: y = se, y = 3 + so fucioes impres. U fució se dice que o tiee pridd si o es pr i impr. Fució iyectiv U fució rel de vrile rel y = f() es iyectiv si y sólo si se verific que, IR, f( ) = f( ) =. Gráficmete lo veremos cudo ls rects prlels l eje OY cort l fució e u sólo puto. Ls fucioes y = +, y = 3 so iyectivs. Fució soreyectiv U fució rel de vrile rel y = f() es soreyectiv si y sólo si pr culquier y IR D, tl que f() = y. Gráficmete lo veremos cudo Im(f) = IR. Ls fucioes y = +, y = 3 so fucioes soreyectivs. Fució iyectiv U fució rel de vrile rel y = f() es iyectiv si es iyectiv y soreyectiv. Fució periódic U fució rel de vrile rel y = f() es periódic si t IR, o ulo / D se verific f( + t) = f(). A dicho vlor t se le deomi periodo y se verific que todo múltiplo de t tmié es u periodo pr f. So periódics tods ls fucioes trigoométrics. Mootoí U fució rel de vrile rel y = f() es creciete e D si se verific:, D / < f( ) f( ) y es estrictmete creciete si, D / < f( ) < f( ). U fució rel de vrile rel y = f() es decreciete e D si, D / < f( ) f( ) y es estrictmete decreciete si, D / < f( ) > f( ). 7

8 Ls fucioes f ( ) f = so estrictmete crecietes pr > y = y ( ) log estrictmete decrecietes pr < <. Acotció U fució rel de vrile rel y = f() está cotd superiormete si K IR / f() K D. A ese úmero K lo llmremos cot superior y será u máimo si l fució lcz ese vlor. Se dice que está cotd iferiormete si K IR / f() K D y este úmero K se le llmrá cot iferior y será u míimo si lo lcz. Se dice que u fució y = f() está cotd si lo está superior e iferiormete. L fució f ( ) = está cotd, verificádose < f() IR +. OPERACIONES CON FUNCIONES. ESTRUCTURA DEL CONJUNTO DE LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Se IF(D,IR) = IF el cojuto de ls fucioes reles de vrile rel co domiio D: IF = {f : D IR}, vmos defiir ls opercioes que podemos relizr co dichs fucioes. SUMA DE FUNCIONES Dds dos fucioes f y g IF, l sum es otr fució rel h = f + g que verific: h() = (f + g)() = f() + g() D. Se verific que Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g) = D. Propieddes. Ley de composició iter: L sum verific que si f y g IF, etoces f + g IF.. Asocitiv: (f + g) + h = f + (g + h) f, g, h IF. 3. Comuttiv: f + g = g + f f, g IF 4. Elemeto eutro: Llmremos fució ul l fució: : D IR / () = D. Como se verific que f + = + f = f f IF, dich fució es el elemeto eutro pr l sum de fucioes. 5. Elemeto simétrico. Llmremos fució opuest de f IF l fució: -f : D IR / (- f)() = -f() D. Como se verific que f + f = f + (-f) =, dich fució es el elemeto simétrico pr l sum de fucioes. 8

9 Co tods ls propieddes teriores respecto de l sum podemos firmr que el (IF, +) tiee estructur de grupo elio. Como tod fució tiee opuest, podemos defiir l difereci de dos fucioes f g como l sum de f co l opuest de g: f g = f + (-g), cuyo domiio es Dom(f g) = Dom(f) Dom(g) = D. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA FUNCIÓN El producto de u úmero rel por u fució f IF es otr fució f que verific: ( f)() = f() D. Se verific que Dom( f) = Dom(f) = D. Propieddes. Distriutividd respecto l sum de fucioes: (f + g) =. f + g.. Distriutividd respecto l sum de esclres: ( + ') f = f + ' f. 3. Asocitividd mit: ( ') f = (' f) 4. Elemeto eutro: f = f, siedo el elemeto eutro de IR. Co dichs propieddes podemos firmr que ( IF, ),+ es u espcio vectoril. IR PRODUCTO DE FUNCIONES Dds dos fucioes f y g IF, se defie el producto h = f g como l fució rel que verific: h() = (f g)() = f() g() D. Se verific que Dom(f g) = Dom(f) Dom(g). Propieddes. Ley de composició iter: f g IF f, g IF. Asocitiv: (f g) h = f (g h). f, g, h IF 3. Comuttiv: f g = g f. f, g IF 4. Elemeto eutro: Llmmos fució uidd l fució defiid como: : D IR / () = D. Como se verific que f = f = f f IF, dich fució es el elemeto eutro pr el producto de fucioes. 5. Distriutiv respecto l sum: f (g + h) = f g + f h f, g, h IF Co ests propieddes el cojuto (IF,+, ) tiee estructur de illo comuttivo co elemeto uidd. Defiimos l fució recíproc respecto l producto de fucioes como l fució: : D f IR / ( ) =. Se verific que Dom( ) = D { / f() = }. A prtir de est f f ( ) f 9

10 defiició, podemos cosiderr l divisió de dos fucioes f, g IF como el producto de f por l fució recíproc de g: f f f =, verificdo que Dom( ) = Dom(f) Dom( g g g g ). COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Se f y g dos fucioes tles que Im(f) Dom(g), se llm fució compuest de f y g l fució go f : Dom(f) Im(g) / go f () = g(f()) Dom(f). Dich fució compuest se lee f compuest co g y se verific: Dom(go f) = Dom(f). Propieddes. L composició de fucioes o es comuttiv.. Es socitiv: ( f g) o h f o ( g o h) o = f, g, h IF 3. Llmmos fució idetidd l fució defiid como: i: D IR / i() = D. Como se verific que io f = fo i = f f IF, dich fució es el elemeto eutro pr l composició de fucioes. FUNCIÓN INVERSA Se f u fució iyectiv co f: Dom(f) Im(f), llmmos fució ivers de f, y lo deotmos por f -, l fució: f - :Im(f) Dom(f) / f - (y) = f() = y. Se verific que Dom(f - ) = Im(f) Propieddes. Si f o es iyectiv, o eiste su fució ivers.. Si f posee fució ivers, se verific f o f = f o f = i. Luego f - es el elemeto simétrico de f respecto de l composició de fucioes. 3. Ls gráfics de u fució y su ivers so simétrics respecto l isectriz del primer cudrte. Así si el pr (,y) perteece l gráfic de f etoces (y,) perteece l gráfic de f FUNCIONES ELEMENTALES. SITUACIONES REALES EN LAS QUE APARECEN. LA FUNCION AFÍN

11 Se dice que u fució es fí si es del tipo f() = +, co, IR, o ulos. Su represetció gráfic correspode u rect que cort l eje OX e el puto / y l eje OY e el puto. Se verific que si > l rect es creciete y si < es decreciete. Eiste umeross situcioes del mudo rel cuyo comportmieto correspode l modelo de l fució fí como por ejemplo e lgus fcturs como ls de teléfoo se cor u cuot iicil fij K y u ctidd costte A pr cd periodo de tiempo por lo que l fució correspodiete serí f() = A + K. LA FUNCIÓN LINEAL Si = teemos y =, que correspode u rect que ps por el orige y cuy pediete y vle. Al ser costte, est fució os descrie situcioes de proporciolidd direct. Se verific que f( ) = f() y f( + y) = f() + f(y). Este tipo de fució prece e umeross situcioes, por ejemplo el coste de u producto segú ls uiddes dquirids, l logitud de u circufereci segú el rdio, el espcio recorrido por u móvil co movimieto uiforme o l deformció de u muelle sometido u fuerz. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Se dice que u fució es cudrátic si es del tipo f() = + + c, co,, c IR, o ulo. Su represetció gráfic correspode co u práol. A prtir de l derivd de l fució podemos deducir que dich práol tiee su vértice e el puto, 4 e el puto (,c) y pr el corte co el eje OX estudimos el sigo del discrimite: si = 4c >, l práol cortrá dicho eje e los putos: + 4c = y 4c = + c. Cort l eje OY si =, l práol cortrá dicho eje e el puto: = si <, l práol o cort dicho eje. A prtir de l derivd segud podemos deducir que si >, l práol es cove y si < es cócv. Además dich fució es simétric respecto l rect =. Este tipo de fucioes prece por ejemplo e el espcio recorrido por u móvil co movimieto uiformemete celerdo o el áre de u círculo e fució del rdio.

12 LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Se dice que u fució es de proporciolidd ivers si se puede escriir como f() =. Su gráfic correspode u hipérol equiláter, curv simétric respecto l isectriz del primer y tercer cudrte si es positivo o simétric respecto l isectriz del segudo y curto cudrte si es egtivo. Aprece e situcioes e ls que dos mgitudes so iversmete proporcioles, por ejemplo e el período y l frecueci de u feómeo periódico, el reprto de u cpitl fijo e fució del úmero de persos o l relció presió o volume y tempertur e l ley de los gses perfectos. FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE, >. L fució epoecil de se es f ( ) = IR y verific que es cotiu y derivle e todo IR, estrictmete creciete pr > y estrictmete decreciete pr < <. Su gráfic pr > es de l form: L fució epoecil de myor iterés es quell e l que l se es el úmero e, pues est fució prece e prolems relciodos co el crecimieto de u polció. FUNCIÓN LOGARÍTMICA DE BASE, > L fució logrítmic de se es f ( ) = log IR y verific que es cotiu, derivle e todo IR, estrictmete creciete pr > y estrictmete decreciete pr < <. Su gráfic pr > es de l form:

13 L fució logrítmic de myor iterés es quell e l que l se es el úmero e. Se deomi logritmo eperio y se deot por L. Al ser l ivers de l epoecil prece e l resolució de ls ecucioes epoeciles. El ph de u solució se clcul e fució del logritmo e se. 3

14 CAPÍTULO FUNCIONES DADAS EN FORMA DE TABLAS INTERPOLACIÓN POLINÓMICA INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN DE DATOS 4

15 .- INTRODUCCIÓN. U prolem clásico e ls Mtemátics, es el de clculr el vlor que tom u fució e u puto cuy epresió descoocemos. Se trt de ecotrr u fució lo más simple posile, de form que coicid co l fució ojeto del prolem e los dtos coocidos. Los vlores que otegmos prtir de est fució será proimcioes de los vlores reles. Se utilizrá los poliomios pr relizr dich costrucció lo que d lugr l iterpolció poliómic..- FUNCIONES EN FORMA DE TABLAS Ls fucioes que más comúmete viee dds e form de tls so ls fucioes trigoométrics, epoeciles y logritmos y ls fucioes de distriucioes de proilidd: Biomil, Poisso o Norml. E ells se epres medite tls los vlores que dichs fucioes tom pr uos determidos vlores más comues de l vrile idepediete. Estos suele estr ordedos de form creciete y equidisttes. 3.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE LA INTERPOLACIÓN POLINÓMICA. El prolem de l iterpolció plte el siguiete prolem: Se S = {,, L, }, i j, u cojuto llmdo soporte y f : D, co S D, hllr p P [ ] u poliomio de grdo tl que p( ) = f ( ) j =,...,. A p le llmremos poliomio de iterpolció de f socido S. j j Teorem E ls codicioes teriores podemos segurr que eiste u úico poliomio iterpoldor de grdo meor o igul que, de form que Demostrció Se u poliomio p() = p( ) = f( i i) pr i =,,, P []. Al impoer que p( ) = f( i i) pr i =,,, result u sistem de + ecucioes co + icógits,,...,, : 3

16 = y = y = y El determite de l mtriz del sistem result ser de Vdermode, por tto: M M L L O L M = ( ) y que > i i si i i Así pues el sistem es comptile determido y por tto eiste u úic solució segú el teorem de Rouché-Froeius. De este resultdo se deduce que eiste ifiitos poliomios de iterpolció de grdo +. L demostrció terior os d u método pr clculr el poliomio iterpoldor pero tiee el icoveiete de teer que clculr + determites por lo que este procedimieto o se utiliz pr 4. POLINOMIO INTERPOLADOR DE LAGRANGE. Teorem El siguiete teorem d u método costructivo pr hllr u poliomio de iterpolció. Se S = {,, L, }, i j, f : D, co S D, etoces eiste u úico poliomio de iterpolció de f socido S y demás p() = f ( ) L ( ) dode = ( j) L ( ) = so los poliomios -ésimos de Lgrge. ( ) j= j j Demostrció L ( ) P [ ] y por tto p P [ ]. Además L ( ) = y L ( ) =, j, luego j j = p( ) = L ( ) f ( ) j =,..., Es úico pues si eiste q P [ ] que iterpol f, cosidero el poliomio r() = p() q(). r P [ ] y r se ul e + putos por tto dee ser r =. j 4

17 4.- MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN MÉTODO DE AITKEN Este método permite clculr el poliomio de iterpolció por recurreci y oteer el vlor de u puto si clculr previmete su epresió lític. Teorem: P Ddo u soporte S = {,, L, } y i, j, i j, i, ( )P i S { } () ( )P j j S { i } () () = { i j } - S, j i j S, etoces Demostrció. P, P so poliomios de grdo + por poseer + putos distitos. Al multiplicrlos S S { } { } i i por u fctor de se otiee u poliomio de grdo +. Se S, i, j, ( i)f( ) ( j)f( ) P ( S { i, } ) = = f ( ) j - j i Se i, (i j)f( i) P ( S { i, } i) = = f ( i ) y álogmete pr j. j - j i Algoritmo Etp Deotmos p j () el poliomio que ps por j, etoces p j () = f( j ), j =,...,. Etp Deotmos por p j () el poliomio que tiee {, j } como soporte, etoces p j () = ( )p j() ( j)p (), j =,..., i j. - Etp j Coocemos p,...,,, j =,...,, etoces p,...,, ( ) = j j ( )p,...,-,j() ( j)p,..., (), pr j = - j +,...,. Etp p,..., ( ) = ( )p () ( )p () -,...,-,,...,

18 METODO DE LAS DIFERENCIAS SUCESIVAS Se S = {,, L, }, i j, u cojuto llmdo soporte, deotmos por p P [ ] poliomio que iterpol f e,...,. Se pretede clculr de form recursiv p (). el Se tiee que p () = f( ) y cosidermos p ( ) p ( ) = f [,..., ] ( )... ( ) dode f [,..., ] es el coeficiete de e p. Como p( ) p( ) = = p ( ) p ( ) = f = [,..., ] ( )... ( ), etoces = + f = p ( ) p ( ) de l form de Newto. [,..., ] ( )... ( ) que se deomi poliomio de iterpolció A l epresió f [,..., ] se le deomi difereci sucesiv de orde socid los putos, f [,..., ] f [,..., ]...,. Se tiee que f [ i ] = f( i ), i =,..., y que f [,..., ] = Deotdo por p,..., P - [] l poliomio de iterpolció socido,...,, el coeficiete que compñ es f [,..., ]. Cosideremos q () = ( )p () ( )p (),...,,...,- - y teemos que p S { i, j} = ( )p () ( )p i S { } j { i }() j S, etoces S = {,..., - } y q () = ps { } - = p, (). El j i coeficiete de f [,..., ] f [,..., ] e p () es f [,..., ] y e q () es. METODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS Se S = { = + h, =,..., } u soporte regulr. Se defie el operdor difereci progresiv de l siguiete mer: f ( i ) = f ( i ), i =,..., ; f ( i ) = f ( i+ ) f ( i ), i =,..., ; f ( ) = f ( ) f ( ) = f ( ) + f ( ), i =,..., ; y e geerl i i+ i i+ i f ( ) = f ( ) f ( ), i =,...,. i i+ i Se tiee que f ( ) =! h f [,..., + ], =,..., y que: f ( i ) = f ( i ) = f[ i ] i i i 6

19 f [, + ] f ( i ) = f ( i+ ) f ( i ) = f[ i+ ] f[ i ] = h i i Supogmos f ( i ) =! h f [ i,..., i + ] y! h f [ i,..., i + ] =! h ( f [ +,..., + + ] f [ i,..., i + ])! h ( + ) h f [ i,..., i + + ]. i i f ( ) = f ( ) f ( ) =! h f [,..., ] + i i+ i = ( ) i+ i+ + -! h f [,..., ] = i+ + i i i+ + E cocreto pr i =, ( ) =! [,..., ], prtir del método de ls diferecis sucesivs f h f se lleg : p ( ) p( ) = + = f! h ( ) ( )... ( ). 5.- ERROR EN LA INTERPOLACIÓN. Siempre que se sustituye culquier fució por u poliomio de iterpolció se comete u error. Dicho error es ievitle, pero se puede cotr. Teorem: Supogmos u fució f C + (,) y p su poliomio de iterpolció de f e el cojuto de putos S = { p() = L } (, ). Etoces [ ],,, ( ) ( ) L ( ) + ) f ( δ ) ( + )! Demostrció. Si = pr lgú i =,,, etoces e() =. i Fijo, δ (, ) tl que e () = f (), pr todo i, cosideremos F(t) = ƒ(t) p(t) i A() (t ) (t ) L (t ), dode l fució A() es tl que F() =, es decir, f () P () A() =. ( ) ( ) L ( ) L fució F es, l meos, + veces derivle y se ul e,, L,, ( + sciss) por costrucció. Estmos e ls codicioes del teorem de Rolle. Además este teorem se puede plicr hst + veces. Al plicrlo dichs + veces, se otiee que δ (, ) de form que F + ) (δ ) =. Derivdo l fució F ( + veces) oteemos: F + ) (δ ) = f + ) (δ ) A() ( + )! 7

20 Así pues, l uir mos resultdos podemos despejr: A() = + ) f ( δ ) ( + )! Por tto teemos que f () P () = f () P () A() = = ( ) ( ) L ( ) + ) f ( δ ) ( + )! ( ) ( ) L ( ) + ) f ( δ ) ( + )! E pricipio δ es descoocido pero podemos oteer u cot del error: M f p ( + )! { } + ( ) ( ) m ( )... ( ), (, ) mer que el ldo derecho o depede de. + ) co M m { f ( ), (, ) } + = de 6.- EXTRAPOLACIÓN DE DATOS. E lguos prolems el ojetivo es clculr el vlor de u fució e u puto o perteeciete l soporte. Este proceso recie el omre de etrpolció. Tiee el icoveiete de que cuto más os lejemos del cojuto S más crecerá el error que cometemos y por tto es meos preciso que l iterpolció. Por tto el vlor utilizdo dee estr t cerc como se posile del soporte. 8

21 CAPÍTULO 3 Limites de fucioes. Cotiuidd y discotiuiddes. Teorem de Bolzo. Rms ifiits. 9

22 .- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Límite fiito e u puto Se I u itervlo de l rect rel, I y f u fució rel defiid e I. Se dice l IR es el límite de f cudo tiede l puto si se verific: ε > δ > / I, < < δ f ( ) l < ε y lo escriiremos como lim f ( ) = l. Oservcioes:. Como se cosider, el vlor f(), si eiste, o ifluye sore el vlor del límite.. Al tomr < < δ, estmos tomdo vlores myores o meores que. El hecho de cosiderr estos u ldo u otro del puto d lugr l cocepto de límites lterles. Limites lterles fiitos Se dice que l es el límite por l derech de l fució f e el puto si se verific: ε > δ > / (, + δ ) I f ( ) l < ε y se deotrá lim f ( ) = l Aálogmete, se dice que l es el límite por l derech de l fució f e el puto si se verific: ε > δ > / ( δ, ) I f ( ) l < ε y se deotrá lim f ( ) = l Propieddes. lim f ( ) = l lim f ( ) = lim f ( ) = l. Si el límite eiste, este es úico f está cotd e el cojuto ( - δ, + δ) I. + Límite ifiito e u puto Se I u itervlo de l rect rel, I y f u fució rel defiid e I. Se dice que f tiede ( + ó ) cudo tiede l puto si se verific: M > δ > / I, < < δ f ( ) > M y lo escriiremos como lim f ( ) =. Límites lterles ifiitos Se dice que el límite por l derech de l fució f es ( + ó ) e el puto si se verific: M > δ > / (, + δ ) I f ( ) > M y se deotrá lim f ( ) =. Se dice que el límite por l izquierd de l fució f es ( + ó ) e el puto si se verific: M > δ > / ( δ, ) I f ( ) > M y se deotrá lim f ( ) =. +

23 Límite fiito l ifiito Se I u cojuto o cotdo superiormete y f u fució rel defiid e I. Se dice que f tiede l IR cudo tiede + si se verific: ε > H > / I, > H f ( ) l < ε y se escrie lim f ( ) = l. + Aálogmete, se I u cojuto o cotdo iferiormete y f u fució rel defiid e I. Se dice que f tiede l IR cudo tiede - si se verific: ε > H > / I, < H f ( ) l < ε y se escrie lim f ( ) = l. Límites ifiitos l ifiito. Se I u cojuto o cotdo superiormete y f u fució rel defiid e I. Se dice que f tiee ( + ó ) cudo tiede + si se verific: M > H > / I, > H f ( ) < M y se escrie lim f ( ) + =. Se I u cojuto o cotdo iferiormete y f u fució rel defiid e I. Se dice que f tiede ( + ó ) cudo tiede - si se verific: M > H > / I, < H f ( ) > M y se escrie lim f ( ) =. Álger de límites Se f y g fucioes reles defiids e I y I, se puede relizr ls siguietes opercioes límites sore dichs fucioes:. Sum:. Si lim f ( ) = l y lim g( ) = l ' etoces lim f ( ) + g( ) = l + l '. Si lim f ( ) = + y lim g( ) = + etoces lim f ( ) + g( ) = + c. Si lim f ( ) = y lim g( ) = etoces lim f ( ) + g( ) = d. Si f() M I y lim g( ) = etoces lim f ( ) + g( ) = e. Si lim f ( ) = + y lim g( ) = etoces lim f ( ) + g( ) d lugr u idetermició.. Producto:. Si lim f ( ) = l y lim g( ) = l ' etoces lim f ( ) g( ) = l l '. Si f() > h > y lim g( ) = etoces lim f ( ) g( ) = c. Si f() M I y lim g( ) = etoces lim f ( ) g( ) =

24 d. Si lim f ( ) = y lim g( ) = etoces lim f ( ) g( ) idetermició 3. Cociete:. Si lim f ( ) = l, lim g( ) = l ' y g() I etoces f ( ) l lim = g ( ) l ' d lugr u. Si f() > h > y lim g( ) = etoces c. Si lim f ( ) =, g() > h > etoces f ( ) lim = g ( ) f ( ) lim = g( ) d. Si f() M I y lim g( ) = etoces f ( ) lim = g( ) e. Si lim f ( ) =, g() M I etoces f. Si lim f ( ) = y lim g( ) = etoces 4. Fució poteci:. Si lim f ( ) = l, lim g( ) = l ' etoces lim f ( ) g = l l f ( ) lim = g ( ) f ( ) lim d lugr u idetermició. g ( ) ( ) '. Si lim f ( ) =, lim g( ) = l ' etoces g ( ) lim f ( ) = si l > y lim f ( ) g ( ) = + si l < c. Si lim f ( ) = +, lim g( ) = + etoces lim f ( ) g ( ) = + d. Si lim f ( ) = +, lim g( ) = l ' etoces lim f ( ) g ( ) = + si l > y g ( ) lim f ( ) = si l <. e. Si lim f ( ) = +, lim g( ) = etoces g ( ) lim f ( ) = f. Si lim f ( ) l [,) =, etoces g ( ) lim f ( ) = si lim g( ) = + y lim f ( ) g ( ) = + si lim g( ) =. g. Si lim f ( ) = l >, etoces lim f ( ) g ( ) = + si lim g( ) = + y g ( ) lim f ( ) = si lim g( ) =. h. Si lim f ( ) = y lim g( ) =, lim f ( ) = + y lim g( ) = o ie lim f ( ) = y lim g( ) = + etoces lim ( ) f ( ) g d lugr u idetermició.

25 Se otedrá los mismos resultdos pr el cso e que I se o cotdo y tied. Ls idetermicioes se resuelve relizdo trsformcioes e ls fucioes que permit llegr l vlor de dicho límite, plicdo ifiitésimos equivletes o plicdo l regl de L Hôpitl..- CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD Se I u itervlo de l rect rel, I y f u fució rel defiid e I. Se dice f es cotiu e si se verific: ε > δ > / I, < δ f ( ) f ( ) < ε y se escrie lim f ( ) = f ( ). Se dice que f es cotiu l derech de si lim f ( ) = f ( ) y se dice que es cotiu l izquierd de si lim f ( ) = f ( ). Por tto, u fució es cotiu si se verific que lim f ( ) = lim f ( ) = f ( ). + + Se J I, J, se dice que f es cotiu e J si f es cotiu e, J. Oservció Ls fucioes, >, IR;, IR; lg, IR +,, > ; Se y Cos, IR so cotius e los putos dode esté defiids. Propiedd Se f, g : I IR IR, I, f y g cotius e, etoces se verific:. f + g es cotiu e. f g es cotiu e 3. si g() etoces f/g está ie defiid e ( δ, δ ) + I y es cotiu e p De quí se deduce que ls fucioes eters: f ( ) = p p IN, IR, so fucioes cotius e IR, y ls fucioes rcioles: p Q( ) = q q p y ls fucioes trigoométrics tg, Ctg, Sec y Cosec so cotius ecepto dode se ul el deomidor. Composició de fucioes cotius Se f : I IR IR, g : J IR IR, f ( I ) J. Si f es cotiu e I y g es cotiu e f() J, etoces go f es cotiu e Demostrció Hy que pror que 3

26 ε > δ > / I, < δ g( f ( )) g( f ( )) < ε Al ser g cotiu e f(), se verific que ddoε > δ > / y J, y f ( ) < δ g( y) g( f ( )) < ε como f es cotiu e, ddoδ > δ > / I, < δ f ( ) f ( ) < δ y por tto g( f ( )) g( f ( )) < ε Discotiuiddes Se f : I IR IR, I, si f o es cotiu e, se dice que es discotiu. Se puede presetr los siguietes tipos de discotiuiddes:. Discotiuidd evitle, si lim f ( ) f ( ). Discotiuidd ifiit, si lim f ( ) = 3. Discotiuidd de slto fiito o de primer especie, si lim f ( ) lim f ( ) 4. Discotiuidd de slto ifiito, si lim f ( ) o lim f ( ) = Discotiuidd esecil o de segud especie, si o eiste lim f ( ) o lim f ( ). + Propieddes de ls fucioes cotius. Se f : [,] IR cotiu e [,], etoces f lcz sus vlores máimos y míimos e [,].. Se f cotiu e, co f() etoces eiste u etoro de e el que l fució o cmi de sigo: f() f(y) >,, y ( δ, δ ) Se f cotiu e etoces eiste u etoro de e el que l fució está cotd. 3.- TEOREMA DE BOLZANO. Se f : [,] IR cotiu e [,] y f() f() <, etoces eiste (,) tl que f( ) = Demostrció +, Por reducció l surdo, supogmos que f(), [,] y se [, ] + etoces f ( ). 4

27 Deotmos por [, ], [, ] [,] y = + el suitervlo, ó +, e el que se verific que f( ) f( ) < Supuesto defiido [, ] verificdo [, ] [, ]... [,] co = y f( ) f( ) <, hemos defiido u sistem de itervlos cerrdo y ecjdo. Por el Teorem de Ctor teemos que I [, ]. Se I [, ] IN [ ] IN δ > / ( δ, + δ ), f ( ) f ( ) > Pr ese vlor δ, IN / < δ y [, ] ( δ, δ ) el mismo sigo que f( ), pero f( ) f( ) <., f es cotiu e y f( ), etoces + [,], luego f( ) y f( ) tiee El teorem de Bolzo se utiliz pr l úsqued de ríces de ecucioes y el estudio del sigo de u fució. 4.- RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS Se f() u fució cotiu e u itervlo o cotdo decimos que f() tiee u rm ifiit si eiste putos M = (, f()) cuy distci l orige se myor que culquier úmero prefijdo. Se dice que u fució co rm ifiit posee u sítot si eiste u rect cuy distci de l rect u puto de l rm ifiit se puede hcer t pequeñ como se quier. Se dice que u fució co rm ifiit posee u rm prólic si o posee sítots. Rms ifiits e el ifiito Al hcer lim f ( ), se os puede presetr los siguietes csos: +. Si lim f ( ) = l, etoces l rect y = l es sítot horizotl. +. Si lim f ( ) =, psmos hcer el + lim + f ( ) y podemos oteer los siguietes csos: 5

28 . lim + f ( ) =, l fució tiee u rm prólic e l direcció del eje OX.. lim + f ( ) =, l fució tiee u rm prólic e l direcció del eje OY. c. lim + f ( ) = m, lim f ( ) m =, l fució tiee u rm prólic e l + direcció y = m. d. lim + f ( ) = m, lim f ( ) m =, l rect y = m + es u sítot olicu pr + P( ) f(). Si f ( ) = y grdo(p()) = grdo (Q()) + etoces l sítot olicu Q( ) coicide co el cociete de P() : Q(). U fució o puede teer l vez sítot olicu y horizotl. Rms ifiits e u puto Si lim f ( ) = etoces l rect = es u sítot verticl. Si f ( ) es u fució rciol si ríces comues, ls sítots verticles se ecuetr e los vlores de que so ríces del deomidor. De l mism mer se puede oteer los resultdos pr -. 6

29 CAPÍTULO 4 Derivd de u fució e u puto Fució derivd Derivds sucesivs Apliccioes 7

30 . DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO límite Se f : S, y S S ', S cojuto de putos de cumulció de S. Si eiste el f ( ) f ( ) lim se dice que f es derivle o diferecile e y el vlor del límite se deot por f ( ) que llmremos derivd de f e. Oservcioes f ( + h) f ( ). Se puede utilizr l otció: f ( ) = lim, dode h =. h h. Se dice que f es derivle e por l derech si derivle e por l izquierd si f ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) = lim f '( ) + lim f '( ) + y f es. Si f es derivle por l izquierd y derech de etoces f es derivle e si f '( ) + = f '( ). Si f '( ) + f '( ) se dice que f tiee e u puto guloso. Teorem Se f : S, y S S '. Si f es derivle e etoces f es cotiu e. El recíproco o es cierto, por ejemplo f() = es cotiu y o derivle e. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Se f : S, y S S ' y cosidermos el hz de rects r y = m( ) + f ( ). Deomimos tgete l curv y = f() e el puto (, f( )) l rect del hz que verifique f ( ) y lim =. m L tgete es l rect del hz que mejor proim l curv e u etoro de. Pr que eist l tgete se dee cumplir: f ( ) ( m( ) + f ( )) = lim f ( ) f ( ) lim = m. Por 8

31 tto eiste rect tgete u fució f() e u puto si y sólo si f es derivle e y f ( ) = m. L ecució de l rect tgete es: y = f '( ) ( ) + f ( ).. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. Se f : S, si f es derivle e, S se dice que f es derivle e S y l fució que cd puto le soci su derivd se deomi fució derivd primer de f y se deot f. Si l fució f es derivle e S S ', l derivd de f e se le deomi derivd segud de f e y se deot f ( ). E geerl si f es veces derivle e S, l fució que cd puto le soci el vlor de l fució derivd veces se deomi fució derivd - ésim y se deot f (). ÁLGEBRA DE DERIVADAS Se f, g : S, y S S '. Si f y g so derivles e etoces:. f ± g es derivle e y (f ± g) ( ) = f ( ) ± g ( ).. f g es derivle e y (f g) ( ) = f ( ) g( ) + f( ) g ( ). 3. Si g( ), f g es derivle e y / f f '( ) g( ) f ( ) g '( ) ( ) = g g ( ) Derivció de l fució compuest (Regl de l cde) Se f : S, g : T, f(s) T. Si f es derivle e y g es derivle e f( ) go f '( ) = g '( f ( )) f '( ). etoces go f es derivle e y ( ) Demostrció Se h : T / h( y) h es cotiu e f( ) pues g( y) g( f ( )) y f ( ) ; y f ( ) = g f y = f '( ( )) ; ( ) lim h( y) = lim y f ( ) y f ( ) y f ( ) g( y) g( f ( )) = g '( f ( )) = h(f( )). Se h( f ( )) g( f ( )) g( f ( )) f ( ) f ( ) ; f ( ) f ( ) = g f f = f '( ( )) ; ( ) ( ) 9

32 f es cotiu e por ser derivle, por tto ho f es cotiu e y lim h( f ( )) = h( f ( )) = g '( f ( )) f ( ) f ( ) se tiee ( f ( ) f ( ) ) h(f()) = g(f()) g(f( )), por tto ( ) h(f()) = g( f ( )) g( f ( )). Tomdo límites pr qued: '( ) f '( ( )) g f = ( ) go f '( ). Derivd de l fució ivers Se f :( r, r) +, si f es cotiu y estrictmete moóto e ( r, r) + y es derivle e, co f ( ) etoces f - es derivle e f( ) y se verific ( f ) '( f ( )) Ejemplo =. f '( ) π π Se :,, [ ] es cotiu y estrictmete creciete por lo que π π π π f :[,], cotiu y derivle e todo puto de, co f ( y) = rcse( y). Por el teorem de l fució ivers: ( f ) '( y) = = = Cos Se y Luego (rcse) = (,) DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES f () = f () = f () = f () = f() = e f () = e f() = f () = l 3 f() = l f () = f() = log f () = l f() = se f() = cos f() = cos f() = - se

33 f() = tg f () = sec f() = cotg f () = - cosec f() = rcse f () = f() = rccos f () = f() = rctg f () = + 3. APLICACIONES FUNCIONES CON DERIVADA NO NULA Se f : S, S, se dice que f tiee e u máimo reltivo si δ tl que f() es u máimo de f e ( δ δ ), + S. Aálogmete se dice que tiee u míimo reltivo si f() es u míimo de f e dicho itervlo. Teorem Se f : S, it(s), si f es derivle e y f ( ), etoces δ > tl que:. Si f ( ) > etoces. Si f ( ) < etoces f ( ) < f ( ) si < < + δ f ( ) < f ( ) si δ < < f ( ) > f ( ) si < < + δ f ( ) > f ( ) si δ < < Cosecueci Se f : S, it(s), si f tiee e u etremo reltivo y f es derivle e etoces f ( ) =. Este resultdo d u codició ecesri pr l eisteci de etremos reltivos. E l práctic si f: [,] IR es cotiu, f lcz el máimo y míimo soluto e lguo de los putos:. ó. (,) / o eiste f ( ) 3. (,) / f ( ) = TEOREMA DE ROLLE Y DEL VALOR MEDIO 3

34 Teorem de Rolle Se f: [,] IR cotiu y derivle e (,), etoces:. si f() = f() (, ) / f '( ) =. si f () (, ) f es estrictmete creciete si f() < f() y estrictmete decreciete si f() > f(). Demostrció.- Por reducció l surdo. Supogmos que (, ) / f '( ), etoces el máimo y míimo de f o se lcz e (,). Al ser f cotiu e u compcto f dee lczr su máimo y míimo soluto e [,], etoces mf = mif = f() = f() f es costte y f =.- Supogmos que f() < f(), por el mismo rzomieto terior f() = mi f [, ] y f() = m f. Además f() < f() < f() (, ) y que si f() = f(), por el prtdo terior eistirí (,) / f ( ) = y lo mismo si f() = f(). Se, [,], <. Si = f( ) < f( ) y si < < plicdo el mismo rzomieto e [, ] llegmos que f() < f( ) < f( ). Por tto f es estrictmete creciete. De form álog se puede pror pr f() > f(). [, ] Teorem del vlor medio Se f, g: [,] IR cotius y derivles e (,), etoces (, ) / ( f ( ) f ( )) g '( ) = ( g( ) g( )) f '( ) Teorem del vlor medio de Lgrge Se f: [,] IR cotiu y derivle e (,), etoces (, ) / f ( ) f ( ) = ( ) f '( ) Se otiee prtir del teorem del vlor medio tomdo g() =. Cosecueci Se f: [,] IR cotiu y derivle e (,), se tiee:. f () = (, ) f es costte e [,]. f () > (, ) f es estrictmete creciete e [,] c. f () < (, ) f es estrictmete decreciete e [,] 3

35 REGLA DE L HOPITAL Se f, g: (,) IR derivles e (,), g () e (,) y lim f ( ) = lim g( ) = o. f '( ) Si lim = l o etoces + g '( ) f ( ) lim = l. + g ( ) Se puede oteer de form álog el resultdo cudo Se f, g: (M, + ) IR derivles e (M, + ), g () e (M, + ) y f '( ) lim f ( ) = lim g( ) = o. Si lim = l o etoces g '( ) f ( ) lim = l. + g ( ) Se puede oteer de form álog el resultdo pr el itervlo (-, M). 33

36 CAPÍTULO 5 D E S A R R O L L O D E U N A F U N C I O N E N S E R I E D E P O T E N C I A S T E O R E M A D E T A Y L O R A P L I C A C I O N E S A L E S T U D I O L O C A L D E F U N C I O N E S. DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIE DE POTENCIAS 34

37 Se,, IR, IN y se f : IR IR / f () = y f () = ( ). Se defie l serie de potecis e como Resultdos ( ). Criterio de l ríz. Se < l serie diverge.,, se lim = L. Si L <, l serie coverge y si L. Criterio de Weierstrss. Se f ( ) serie de fucioes co f( ) U, <, etoces f ( ) es uiformemete covergete e U y solutmete covergete e todo puto de U. Teorem Se ( ) y L = lim, se tiee:. si L = + etoces l serie coverge e =. si < L < + etoces coverge solutmete e, +, uiformemete e todo L L compcto coteido e, + L L y diverge e, +, + L L 3. si L = etoces l serie coverge solutmete e IR y uiformemete e todo compcto coteido e IR. Demostrció Fijo IR, lim = L Si L = +,, lim ( ) ( ) = +, y si =, ( ) =. Si < L < +, por el criterio de l ríz l serie coverge solutmete si y sólo si L <, + L L Si L =, L < IR y l serie es solutmete covergete e IR. 35

38 Se T, + ó IR, l plicció L L T es cotiu e T por lo que eiste T máimo soluto: T y < + pues T. Por el Criterio de Weierstrss ( ) coverge uiformemete. Nots L. A [, ] + se le deomi rdio de covergeci y l itervlo que defie itervlo de covergeci.. E los etremos del itervlo de covergeci l serie puede teer culquier crácter. 3. Utilizdo el Criterio de Stolz teemos que si lim etoces lim Se ( ), ρ el rdio de covergeci, I el itervlo de covergeci. L fució f: I IR / f() = ( ) se deomi fució defiid por l serie de potecis. Se verific que f es cotiu y derivle e I co / f () = ( ). Además f ( ) I y = f ( )! FUNCIONES ELEMENTALES DEFINIDAS COMO SERIE DE POTENCIAS e + = =! + log( + ) = ( ) = + = = = + + Se = ( ) ( + )! + Cos = ( ) = ( )! 36

39 . FÓRMULA DE TAYLOR Se f: (, c) IR y f veces derivle e (, c), IN. El poliomio f '( ) f ( ) + ( ) ! grdo. f ( ) ( ) se deomi poliomio de Tylor de f e el puto de! T () = f() { f '( ) f ( ) f ( ) + ( ) ( ) } se deomi térmio complemetrio o!! f '( ) resto de orde de f e. L fórmul: f() = f ( ) + ( ) ! deomi fórmul de Tylor de orde de f e el puto. f ( ) ( ) + T () se! Teorem de Tylor Se f: (, c) IR, (, c), f es veces derivle e (, c) y veces derivle e, etoces T ( ) lim = ( ) Al ser f cotiu e teemos que lim T ( ) =. T es veces derivle e (,c) por ( ) serlo f sí que podemos plicr l regl de L Hopitl veces, queddo el límite: T lim ( ) ( )... = lim f f f ( ) ( ) ( ) ( ) = ( )! ( ) f ( ) f ( ) lim f ( )! =, eiste pues f es veces derivle e el puto. Se deot T ( ) Θ(( ) ) que se lee ifiitésimo de orde superior ( ) cudo Co el poliomio de Tylor se pretede proimr loclmete fucioes medite poliomios co u grdo ddo. Cudo =, l fórmul de Tylor recie el omre de Fórmul de McLuri: f() = f '() f () ! f () + Θ ( ) y! Θ(( ) ) lim = FORMULA DE McLAURIN DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES. = Θ ( ). e = Θ ( )!! 37

40 3. 3 ( ) log( + ) = Θ ( ) 3 α α α α α + = ( ) + Θ ( ) 5. Se = ( )... + ( + )! Θ ( + ) 6. Cos = + 4 ( ) ( )! Θ ( + ) EXPRESIONES DEL TÉRMINO COMPLEMENTARIO Teorem Se f: (, c) IR,, (, c),, f + veces derivle e (, c), etoces, I(, ) / T () = f ( + )! + ( ) ( ) +, deomid Epresió de Lgrge y T () = f + ( ) ( ) ( )! Demostrció, deomid Epresió de Cuchy. Se F: I[, ] derivle e I(, ), F(t) = f '( t) f ( t) + ( t) ! f ( t) ( t )! F (t) = + f ( t) ( ) t! Se G: I[, ] derivle e I(, ), G(t) = y G, teemos que t I(, ) F() = P (), luego qued: otiee l epresió de Lgrge. ( t) / F '( t )[ G( ) G( ) ] = G '( t )[ F( ) F( ) ] f ( t ) ( ) ( )! +. Aplicdo el teorem del vlor medio F. G() =, F() = f(), + + t = ( + )( t ) (-) T (). Despejdo se Pr oteer l epresió de Cuchy se plic el mismo procedimieto tomdo G() = t. 3. APLICACIÓN AL ESTUDIO DE EXTREMOS RELATIVOS Se f: (, c) IR, si f es derivle e (, c) y f () = se dice que es u puto crítico de f. Si es u puto crítico y o es i u máimo i míimo reltivo se dice que es u puto de ifleió. 38

41 Se f: (, c) IR y f veces derivle e (, c), >, y f () = = f ''( ) =... = f ( ) y f ( ) etoces:. Si es pr y:. f ( ) > etoces f tiee e u míimo reltivo. f ( ) < etoces f tiee e u máimo reltivo. Si es impr, f tiee e u puto de ifleió Demostrció f() = f ( ) + f ( ) ( ) + T ()! f ( ) f ( ) f ( ) T ( ) = + ( )! ( ) T ( ) ( ) o tiee sigo cudo porque tiee, sí que pr ( δ, δ ) +,, f ( ) f ( ) f ( ) δ > / sg( ) = sg( ) ( )! Si es pr, f () > y etoces f() > f(), ( δ, δ ) +, Si es pr, f () < y etoces f() < f(), ( δ, δ ) +, Si es impr, pr < : ( ) < y pr > : ( ) >. Luego f() f() dee cmir de sigo e ( δ, δ ) { } + pr que coicid co f ( ) sg( ).! CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Se f: (, c) IR, f es derivle e (, c), l rect tgete y = f() e tiee por ecució: y = f () ( ) + f(). Si δ que f es cove e. Si δ cócv e. > / ( δ, δ ) > / ( δ, δ ) + f() f () ( ) + f(), se dice + f() f () ( ) + f(), se dice que f es Cócv Teorem Cove 39

42 Se f: (, c) IR y f veces derivle e (, c), >, y f () = = f '''( ) =... = f ( ) y f ( ) etoces:. Si es pr y:. f ( ) > etoces f es cove. f ( ) < etoces f es cócv. Si es impr, f o es i cócv i cove Demostrció f() = f ( ) + f ()( ) + f ( ) ( ) + T ()! f ( ) ( f ( ) f '( )( )) ( ) f ( ) T ( ) = +! ( ) Se sigue los mismos psos que e l demostrció terior. Pr el cso e que se impr se otiee que l rect tgete qued mos ldos de l fució e el itervlo ( δ, δ ) +. 4

43 C A P Í T U L O 6 EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA I N T E G R A L D E F I N I D A 4

44 . EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DEL ÁREA Medir el áre de u figur es dr u vlor de su tmño o etesió. Pr hllr el áre de regioes poligoles descompoemos dich regió e triágulos disjutos tomdo como vlor del áre l sum de ls áres de dichos triágulos. Pr otro tipo de figurs utilizremos u reuió de rectágulos disjutos de ldos prlelos. El cocepto de áre dee verificr los cutro siguietes postuldos:. El áre de u figur es u úmero myor o igul que cero.. Dos figurs cogruetes tiee igul áre. 3. El áre de dos figurs disjuts es l sum de ls áres de cd figur. 4. El áre, tl como se defi, dee coicidir co ls fórmuls del áre de ls figurs elemetles. Pr l primer defiició de áre cosiderremos u úmero fiito de rectágulos disjutos de ldos prlelos cuy reuió cotiee y está coteidos e u figur F. Si ddo ε >, ls áres de dichos cojutos difiere meos de ε, etoces se dirá que F tiee áre e el setido de Riem. No tods ls figurs pls cumple est defiició. U segud defiició de áre geerliz ést tomdo u serie ifiit de rectágulos disjutos pr lo que se deomi áre e el setido de Leesgue. E este cso se resuelve prolems e los que prece opercioes co límites o espcios más strctos. Ams defiicioes verific los cutro postuldos teriores. Si u figur tiee áre e el setido de Riem, tmié l tiee e el setido de Leesgue. E l myorí de los csos st co utilizr l primer pr los cojutos que trtremos.. INTEGRAL DEFINIDA. INTEGRAL DE RIEMANN Se [,] IR, u prtició de [,] es u cojuto P ={,,, } tl que = < < < =. Se f : [,] IR cotd y se P ={,,, } u prtició de [,]. 4 Se m i = if{f() / i- i } y M i = sup{f() / i- i }. Se defie l sum iferior de f pr P como S ( f, P ) = mi ( i i ) y l sum superior de f pr P como S ( f, P ) = i= M i ( i i ). i=

45 L codició de que f esté cotd e el itervlo [, ] es fudmetl pr que los m i y M i quede defiidos. Además cosidermos los ífimos y supremos y que f puede o ser cotiu. Ls sums superiores e iferiores verific ls siguietes propieddes:. S ( f, P ) S ( f, P ). Si cosidermos u prtició P tl que P P, oteemos us sums que verific: S ( f, P ) S ( f, P ) y S ( f, P ) S ( f, P ). 3. Ls sums iferiores está cotds superiormete por culquier sum superior, y por tto eiste Sup S ( f, P ). Aálogmete tmié eiste If S ( f, P ). Se defie l Itegrl Superior de Drou como f ( ) d = if{ S (f,p) / P P [,] } Se defie l Itegrl Iferior de Drou como f ( ) d = sup{ S (f,p) / P P [,] } Se verific por l propieddes del ífimo y supremo que f ) d ( f ( ) d. U fució f: [ ] R, cotd, se dice que f es itegrle de Riem e [,] si f ) d ( = f ( ) d. A este úmero se le llm itegrl de Riem de f sore [, ] y se deot por f ( ) d. Además, si f() e [,] pr A = {(,y);, y f()} se defie el áre de A como f ( ) d. Si f() e [,] pr B = {(,y);, f() y } se defie el áre de B como - f ( ) d. Teorem Se f: [ ] R ε P P[ ], fució cotd, co, R. Etoces f es itegrle Riem >,, / S ( f, P) S( f, P) < ε. 43

46 Demostrció: Se f itegrle Riem y ε >. f ( ) d =if{ S (f,p)/p P[,]} f ( ) d es l myor de ls cots iferiores de { S (f,p) / P P [,] } f ( ) d +ε / o es cot iferior del cojuto P P [,] / f ( ) d S (f,p) < f ( ) d +ε / De l mism form, f ( ) d =sup{ S (f,p) / P P [,] } f ( ) d es l meor de ls cots superiores del cojuto{ S (f,p) / P P [,] } f ( ) d -ε / o es cot superior P P [,] / f ( ) d -ε / < S (f,p) f ( ) d. Etoces f ( ) d -ε / < S (f,p) y S (f,p) < f ( ) d +ε /. Restdo, S (f,p) - S (f,p) f ( ) d +ε /- ( f ( ) d -ε / ) = ε 44

47 Se P = P P. Como P P S (f,p) S (f,p) < f ( ) d +ε / Como P P f ( ) d -ε / < S (f,p) S (f,p) Etoces S ( f, P) S( f, P) < ε. Se ε > culquier, P P [,] / S ( f, P) S( f, P) < ε S (f,p) f ( ) d f ( ) d S (f,p) S (f,p) - S (f,p) f ) d ( - f ( ) d ε, ε > f ( ) d = f ( ) d Luego f itegrle Riem. Teorems. Si f : [,] IR es cotiu e [,] etoces f es itegrle Riem e [,].. Si f : [,] IR es cotd y cotiu e [,] ecepto e u cojuto fiito de putos etoces f es itegrle Riem e [,]. 3. Si f : [,] IR es moóto e [,] etoces f es itegrle Riem e [,]. Propieddes 45

48 . f, g itegrles Riem e [, ] f + g es itegrle Riem e [,] y ( f + g) = f + g. f itegrle Riem e [, ] λf es itegrle Riem e [,] y λ f = λ f 3. f, g itegrles Riem e [, ] f.g itegrle Riem e [, ] 4. f itegrle Riem e [, ] y c (,) f itegrle Riem e [, c] y [c,] y f = c f + c f 5. f itegrle Riem e [, ] y e [, c] f itegrle Riem e [, c] y c f = f + c f 6. f, g itegrles Riem e [, ] / f g f g 7. f itegrle Riem e [, ] etoces f itegrle Riem e [, ] y f f 8. f ( ) d = - f ( ) d Teorem Fudmetl del Cálculo Itegrl. Se f : [ ] R, itegrle Riem y F : [,] IR defiid como F() = f. Etoces F es cotiu e [, ]. Además si f es cotiu e [,] etoces F es derivle e y F () = f(). Demostrció: 46

49 F está ie defiid e [.] pues [, ] serlo e [,]. Se [ ), f es itegrle Riem e [,] por, vemos que F es cotiu l derech de. [ ],, F( ) F( ) = f f = f + f f = f f M ( ) siedo M = sup{ f(), [,]} Luego pr + se otiee lim F( ) F( ) =. + Aálogmete, si (,], [, ] se tiee F( ) F( ) = f f = f ( f + f ) = f f M ( ) siedo M = sup{ f(), [,]} Luego pr se otiee lim F( ) F( ) =. Se f cotiu e [,] y [ ),, vemos que lim + F( ) F( ) = f() Ddo ε >, por ser f cotiu e δ > < + δ tl que f ( ) f ( ) < ε F( ) F( ) ( ) ( ) = f = f f f f ( )( ) = f f ( ) f f ( ) < ε (-) = ε Se (,], vemos que F( ) F( ) lim = f() Ddo ε >, por ser f cotiu e δ > δ < tl que f ( ) f ( ) < ε 47

50 F( ) F( ) = f f = f ( f + f ) = f = f F( ) F( ) ( ) ( ) = f = f f f f ( )( ) = f f ( ) f f ( ) < ε (-) = ε Cosecuecis. Si f es cotiu e [,], etoces eiste u primitiv de f e [,]: F : [,] IR, F() = f co F derivle e [,] y F = f. Regl de Brrow. Se f cotiu e [,] y G u primitiv de f e [,], etoces f = G( ) G( ) 3. Se f : [ ] R f = G( ) G( )., itegrle Riem y G u primitiv de f e [,], etoces 48

51 CAPÍTULO 7 PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN CÁLCULO DE ALGUNAS PRIMITIVAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL AL CÁLCULO DE MAGNITUDES GEOMÉTRICAS o Primitiv de u fució o Itegrles imedits o Método de sustitució o Itegrció por prtes o Fórmuls recurretes o Itegrció de fucioes rcioles o Método de Hermite o Itegrció de fucioes irrcioles o Itegrles iomis o Itegrció de fucioes trigoométrics o Apliccioes 49

52 .- PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN 5 Dd u fució f(), si eiste u fució F() tl que F () = f() se dice que F() es u primitiv de f() y se escrie F() = f ( ) d. Si l fució f() dmite u primitiv etoces tod fució de l form F() + C, co C costte es tmié u primitiv de f. Propieddes. ( f d) ( ) ' = f ( ) costte. f ( ) d = f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) d 3. ± = ± Itegrles imedits d = + C - + e d = e + C d = + C l d = l + C 5. Se( ) d = Cos + C 6. Cos( ) d = Se + C 7. d = tg + C Cos 8. Cosec d = Cotg + C 9. tg( ) d = l Cos + C. Cotg( ) d = l Se + C.. d = rcse + C d = rccos + C 3. d = rctg + C +

53 4. Sh( ) d = Ch + C 5. Ch( ) d = Sh + C E geerl, si f ( ) d es u itegrl imedit, etoces f ( + ) d tmié lo es y f ( + ) d = F( + ) + C, dode F es u primitiv de f..- METODO DE SUSTITUCIÓN Este método cosiste e ecotrr u fució g(t) que l sustituirl jo el sigo itegrl, covierte l itegrl e otr más secill co l uev vrile t. Dich fució dee cumplir que se derivle y co derivd o ul y que dmit fució ivers.. Se = g(t), etoces f ( ) d = f ( g( t)) g '( t) dt 3.- INTEGRACIÓN POR PARTES 5 Se u y v dos fucioes de. Aplicdo el diferecil u v, teemos: d(u v) = u dv + v du. Despejdo u dv e itegrdo llegmos : udv = d( uv) vdu = u v - vdu que es l llmd fórmul de itegrció por prtes. Se l itegrl f ( ) g( ) d y tommos u = f() co du = f ()d y dv = g()d, dode G es u primitiv de g, plicdo l itegrció por prte oteemos: udv = f ( ) G ( ) G ( ) f '( ) d. Hemos descompuesto l itegrl como producto de dos fucioes, escogiedo ests de mer que l uev itegrl dee ser más secill. Este método se utiliz geerlmete cudo e l itegrl prece fucioes trigoométrics, epoeciles, logritmos de itegrció imedit y poliomios. Fórmuls recurretes Se utiliz fórmuls de recurreci e itegrles que se resuelve por el método de itegrció por prtes y que cotiee u fució co epoete turl. Por ejemplo l itegrl: I = ( + ) d

54 I = + d = ( + ) ( + ) d d = I + ( ) Hcemos u =, du = d y dv = ( + ) ( ) + I = I ( ) + ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) + Luego I = ( + ) d d, v = d = I I ( ) ( ) ( ) I INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES P( ) Es l itegrció de l form d dode P() y Q() so poliomios. Se dee Q( ) compror que l frcció o se reduce u itegrl de ls y estudids: A. d lugr u logritmo. A. m -, d lugr u fució potecil ( ) m A + B 3. + p + q, dode p 4q <, d lugr u logritmo y u rcotgete. A + B 4. ( + p + q), dode Z + y p 4q <, se descompoe e dos itegrles, l primer se ps u fució potecil medite el cmio t = + p + q y l segud se plic l fórmul de recurreci vist e el ejemplo terior. 5

55 Itegrció de fucioes rcioles P( ) Pr itegrr u fució rciol, coviee hcer ls trsformcioes lgerics Q( ) siguietes:. Si el gr(p()) gr(q()), se dee hcer l divisió de los poliomios, trsformdo l P( ) R( ) frcció de l form = M ( ) +, de mer que gr(r()) < gr(q()) Q( ) Q( ). Descompoer el deomidor e fctores lieles y cudráticos: Q() = ( ) m... ( p q) , dode p 4q <. 3. Descompoer u frcció rciol e elemetos simples: R( ) Q( ) = A ( ) m A ( ) m + Am B + C ( + p + q) B + C ( + p + q) B + C + p + q 4. Se clcul los coeficietes idetermidos A, A,..., A m,..., B, C,..., B, C,..., reduciedo comú deomidor l últim iguldd, iguldo etre sí los coeficietes de potecis igules de e mos miemros y resolviedo el sistem de ecucioes lieles. Los coeficietes tmié se puede oteer ddo l vrile vlores uméricos ritrrios e l idetidd. L itegrció se reduce itegrr u poliomio y frccioes elemetles rcioles. E l descomposició de Q() se puede dr los siguietes csos:. Ríces reles simples. L itegrl v dr logritmos.. Ríces reles múltiples. L itegrl v dr logritmos y fucioes poteciles. c. Ríces complejs simples. V dr logritmos y rcotgetes. d. Ríces reles múltiples. V dr fucioes poteciles, rcotgetes y logritmos. E este cso se suele resolver l itegrl por el Método de Hermite. Método de Hermite Prtimos del cociete de poliomios P( ), dode Q() se puede descompoer e culquier Q( ) P( ) de los 4 csos vistos teriormete. Etoces escriimos l iguldd: Q( ) = d S( ) + D( ) d T ( ) dode T() es u poliomio co ls misms ríces que Q() pero co u uidd meos e el orde de multiplicidd, S() es u poliomio co gr(s()) < gr(t()) y D() es l descomposició de l 53

56 P( ) S( ) frcció cosiderdo ls ríces de Q() como simples. Se deriv l frcció Q( ) T( ), se epres el ldo derecho co deomidor Q(), se igul los umerdores y se clcul los S( ) coeficietes idetermidos. L itegrl qued como: I = T( ) + D( ) d, dode ést últim correspode uo de los tres primeros csos teriores. 5.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES. Itegrles del tipo ( ) m m R, +,( + ),... d, dode R es u fució rciol y m,, m,,... so úmeros eteros. L sustitució + = t s, dode s = m.c.m. (,,...) trsform l fució dd e u fució rciol.. Itegrles elis. Se deomi itegrl eli u del tipo Se resuelve medite sustitució, tediedo los tres siguietes csos: R, + + c d.. Si >, etoces tommos. Si c >, etoces tommos c. Si <, etoces tommos + + c = + t + + c = c + t + + c = ( α) t, dode α es u solució de l ecució + + c. Si =, utilizremos l sustitució usdo fucioes trigoométrics. 3. Itegrles del tipo d ( α) p + + c. El cmio t = ( α) p trsform l itegrl e u del tipo terior. 4. Itegrles del tipo P ( ) + + c itegrles se clcul teiedo e cuet l idetidd: P ( ) + + c d = Q - () + + c + λ d, dode P () es u poliomio de grdo. Ests d dode Q - () es u poliomio + + c de grdo - de coeficietes idetermidos y λ u úmero rel. Derivdo dich idetidd y reduciedo comú deomidor el resultdo, se tiee l iguldd de dos poliomios de l que se determirá los coeficietes y λ. 54