2. Sucesiones, límites y continuidad en R

Transcripción

1 . Sucesioes, límites y cotiuidd e R. Sucesioes de úmeros reles { } =,,...,,... es u sucesió: cd turl correspode u rel. Mtemáticmete, como u fució sig cd elemeto de u cojuto u úico elemeto de otro: : N R U sucesió de úmeros reles es u fució de N e R () U sucesió tiede hci si e todo etoro de, por pequeño que se, está csi todos los térmios de l sucesió (todos slvo u úmero fiito). Por ejemplo { } =,, 3,... tiede hci 0 y que fijdo u etoro culquier del orige todos los térmios de l sucesió prtir de uo ddo cb metiédose detro. Precisdo: { } tiee por límite (o tiede hci o coverge hci ) si pr todo ε >0 existe u úmero turl N tl que pr todo turl N es < ε. Se represet por lím = ó. Si u sucesió { } o es covergete se dice divergete. Est defiició es l primer de ls defiicioes riguross de límite de specto similr que veremos e los putes. Hgmos us cuts observcioes sobre ell: Decir que <ε es equivlete que B(,ε). Pr todo ε hemos de ecotrr u N tl que N, N+, N+,... esté detro del etoro. El N o es úico: si los B(,ε) pr N, tmbié está detro pr N si N N. No se trt de hllr el meor N, bst co dr uo pr el que se cumpl. E sucesioes escribiremos simplemete, pues sólo tiee setido el límite pr (e fucioes, l x podrá teder 0,,,... y sí hbrá que precisrlo). Formlicemos que 0 : ddo culquier ε (por pequeño que se) existe N tl que N <ε. Por tto, si N, 0 N <ε. Se ve que N depede del ε ddo (si ε = 0., bst tomr N =, pero si ε = 0.00 debemos tomr N =00 o u úmero myor). / N ( ) -ε 0 ε L sucesió {( ) } =,,,,... diverge, pues está clro que o todos sus térmios prtir de u N está e todo etoro de, i de, i de culquier otro rel. Auque hy ifiitos térmios e culquier etoro de (por ejemplo) otros ifiitos se escp. Si ε = todos los perteece l etoro B(,), pero esto debe ocurrir ε y o sólo pr ε grdes. El cálculo de límites co ε y N es, e geerl, complicdo. Pero, grcis los teorems que veremos (demostrdos utilizdo los ε ), sólo e cotds ocsioes y pr sucesioes muy extrñs deberemos e el futuro cudir l defiició. Pr mejr ést (e ejemplos y e teorems) se suele prtir de lo que uo quiere hcer pequeño ( ) y, trs lguos < ó (l desiguldd trigulr suele precer), se lleg u expresió de l que se y fácil decir pr qué es < ε : Probemos sólo co l defiició (proto será iecesri) que { } = { +5 } = < ε > ε 3 > 9 ε Por tto, ddo culquier ε, si N es u turl > 9/ε, pr N se cumple que < ε. No es l úic form de precisr el N, podrímos, por ejemplo, o hber quitdo el del deomidor y hbrímos llegdo otro N; lo que, desde luego, o fuciorí serí empezr hciedo +, pues o hbrí form de hcer esto meor que culquier ε ]. 3

2 { } covergete { } cotd. Se ε = (por fijr u úmero); sbemos que N tl que si N < +. Por tto, llmdo M= máx {,..., N, + } se tiee M. No es cierto que tod { } cotd se covergete. Por ejemplo, {( ) } es cotd y diverge. Lo que sí se deduce del teorem (oq o p) es que diverge seguro u sucesió o cotd. Defiimos hor u pr de tipos importtes de sucesioes divergetes (y o cotds): { } diverge hci + ( lím = ) si K N / N se cumple K. { } diverge hci ( lím = ) si K N / N se cumple K. + y so sólo símbolos, o úmeros; ests sucesioes o coverge igú úmero rel]. +, pues K, + > K si N co N culquier turl K.,0,,0, 3,0, 4,... o diverge hci. A pesr de coteer térmios t pequeños como quermos, o es cierto que ddo culquier K quede su izquierd todos los térmios prtir de u N (pr los K <0 es evidete que es flso). Clrmete, tmpoco tiede 0. { } es creciete si +. { } es decreciete si +. Culquier de ls dos se dice moóto. 3, 3, 33, 43, 53,... (o cotd, divergete hci + ) es creciete.,,/,/,/3,/3,/4,/4,... es decreciete (y tiede hci 0 ). { } creciete y cotd superiormete { } covergete. { } decreciete y cotd iferiormete { } covergete. El xiom del extremo superior segur que { } tiee supremo l que llmmos. Vemos que es el límite de { } : ( - Se ε >0, N tl que N > ε (si o, hbrí cots meores que ). Por tto, si N, N > ε = <ε. Aálog l otr]. Dd u sucesió { }, se llm subsucesió de { } culquier sucesió formd escogiedo ordedmete ifiitos térmios de { }, es decir: { j }=,, co los j N tles que < < es subsucesió de { }., 4, 6, 8, 0...,,,,,... ó 5, 6, 7, 8,... so subsucesioes de { }. No lo es, e cmbio,,, 4, 3, 6, 5,..., formd co elemetos desordedos de { }. Está clro que si { } tmbié culquier subsucesió suy { j }. Por tto, u form de probr que u sucesió o tiee límite es ecotrr dos subsucesioes suys que coverj hci límites distitos o lgu subsucesió que o coverj. A ls subsucesioes de ls sucesioes divergetes puede psrle, si embrgo, todo tipo de coss. Por ejemplo,,,,,,3,,,3,4,... tiee subsucesioes covergetes ifiitos límites distitos ( cd úmero turl), otrs que diverge + y otrs que o tiee límite i fiito i ifiito;,0,,0, 3,0, 4,... tiee subsucesioes que tiede 0 y otrs ;,,3,4,... o tiee subsucesioes covergetes... Si { } es cotd veremos que sí podemos scr lgu coclusió]. Co los siguietes teorems podremos clculr u motó de límites de sucesioes si usr ε y N (sólo los más secillos, otros exige técics de límites de fucioes y hbrá que esperr). N 4

3 Si { } y {b } b etoces: { + b } +b, { b } b, { b } b, y si b 0, { b } b. +) csi igul ) ]. Ddo ε, N / N < ε y N b / N b b b < ε. Por tto, + b ( + b) + b b < ε, si N = máx{n,n b }. ) b b = b b + b b b + b b. Hgmos pequeño esto: {b } b ddo ε, N b tl que N b b b < ε, supoiedo 0. {b } covergete cotd: B co b <B ; como { }, N / N < ε B. Por tto: b b < εb B + ε = ε. ( Si =0, b b =0< ε ). / ) b b = b b+b b bb < Kε K + b Kε b K = ε, si N = máx{n,n,n 3 } dode: como {b } b 0, N / N b K > 0 ; como {b } b, N / N b b < b Kε ; y como { }, N 3 / N 3 < Kε. Ls opercioes que ivolucr ls sucesioes que tiede + o so sólo u poco más complicds y viee formlizr l form ituitiv e que se trbj co los ifiitos: Se {c } 0, {p } p > 0, {q } q < 0, { } cotd, {i }. Etoces: { + i }, { i }, {c } 0, { /i } 0, {p i }, {q i }, {i /p }, {i /q },... como {c }, {p } y {q } está cotds, los resultdos co { } so tmbié ciertos co ells ]. Probemos pr csros poco sólo u pr de ells, por ejemplo l primer y l últim: Se A, K, + i i A K, pues i K + A, si es suficietemete grde. Si grde i >0 y Q/Q<q <0 K, i /q <i /Q<K, pues i >QK si grde. Podemos brevir este teorem ( pero recorddo que es sólo u otció!) escribiedo: cot± = ±, 0 cot=0, cot = 0, (±) = ±, ± = ±,... Tmbié es cierto: + = ", (± ) = ± ", ( ) (± ) = ",... Es tetdor escribir 0 = ", pero es flso e geerl {( ) /} 0 y {( ) } o tiee límite ]. Sí es cierto que: {p } p>0, {c } 0 y c >0 {p /c }. Los límites co potecis se deducirá de los límites de fucioes, pues probremos teorems que relciorá uos y otros. Por hor, dmitimos: Se {b } b, {p } p>0, {q } q<0, {i }. Etoces: { } p b p b, { i p } {, i q } { } { 0, p i si p> 0 si 0< p<. Por ejemplo, el primero será cosecueci de l cotiuidd de f (x) g(x) si f >0 y f,g cotius ]. Podrímos resumir: =, = 0, = ó (/) = 0. Obsérvese que e igu l bse es egtiv o está ( ) i ( ) ] : ls potecis reles o rcioles puede o existir l sucesió { ( ) /}, por ejemplo, o existe pr igú ]. 5

4 A pesr de tto teorem ú qued ls llmds idetermicioes que resumimos:, 0, 0 0,,, 0 0, 0 Hy que leerls e térmios de sucesioes. Segú l primer, si dos sucesioes o se puede, e pricipio, decir hci qué tiede su difereci ( por ejemplo:, 0 y ). Pr resolver lgus bstrá u truco lgebrico como los de los ejemplos siguietes, pero e otros csos se ecesitrá L Hôpitl o Tylor pr hllr los límites. Observemos que ls tres de potecis (por l defiició geerl de p b ) so e eseci del tipo 0 : e log, e log0 0, e log 0. Grcis todo el trbjo co los ε hor y csi uc hbrá que cudir l defiició. +( ) 3 3 = /+( ) / 3 / = 0, 3 +( ) 3 3 = +( ) / 3 / = 3, 4 +( ) 3 3 = +( ) / 3 / =. Ls tres so idetermicioes y hemos reescrito l sucesió dividiedo por l poteci myor del deomidor. Y hemos utilizdo vrios teorems: 3 = ( ) porque el producto de dos sucesioes que tiede tiede ; ( ) / 3 0 pues cotdo/ = 0" ; +( ) / 3 porque sum de sucesioes tiede l sum de los límites; límites de cocietes,...]. No se divide por l myor poteci del umerdor pr evitr l posible prició de expresioes del tipo /0 que so fuete de errores; otr form válid de ctur es scr fctor comú l poteci domite del umerdor y deomidor]. = = = 0, o bie, = 3/ = 0. Aquí hemos utilizdo demás que y =, csos prticulres de los límites de potecis vistos (y que o so difíciles de probr directmete) ]. Como se ve, pr clculr límites de cocietes de poliomios o ríces de ellos bst comprr los térmios co l máxim poteci de umerdor y deomidor (y se puede hcer ojo: si el umerdor es más pequeño, el cociete 0, si mbos so del mismo orde prece los coeficietes de los térmios más gordos y si el umerdor es myor el límite será + o ifiito). ( ) 3+cos +e = ( ) 3+ cos + e 0 cot 0, pues ] umerdor = 3 deomidor +0=. ] ( ) diverge, y que tiee subsucesioes co distitos límites pres 3. impres 3 3 = ] ( ) = " ]. ( O scdo fctor comú 3/ ). + rct = + rct ] ( 0 )= ", rct está cotdo ]. Hemos scdo fctor comú (lo hbitul pr ) pr dejr clro qué térmio mdb ]. = ] + ] = Los er del mismo orde y hemos teido que rciolizr; scr fctor comú db 0 ]. 4 ( 7)! = 4 ( 7)( 8)( 9)( 0) ( )! 0 = 0. El fctoril crece muy muy depris] = (+) ( +). El úmero de sumdos crece co ; o es cierto que como / 0 uestr sucesió tmbié lo hg]. 6

5 Además de los límites de potecis, otros será cosecueci de los de fucioes se verá que si f es cotiu lím f ( )= f (lím ) ]. Por ejemplo, de l cotiuidd de ls fucioes se ifiere: lím { } {cos } cos, {se } se, {log } log ( >0),... cos + = cos0 =, pues + π 0 ; {se + } se π +5 = ; {log } log= 0. Otro teorem que probremos será: f (x) x L f () L. rct e / = rct e / (π/), pues rct π ] π, y que rctx x. Si se divide por se puede cer e el error de escribir 0 = ]. Admitimos estos otros límites idetermidos de sucesioes (por hor sbemos clculr pocos) porque los ecesitremos e ls series del cpítulo 4 (exige resultdos de derivds): log 0, > 0 ; ; { (+c ) /c } e, si {c } 0. El primero ( logx /x ), será cosecueci de que: lím x x = lím = 0. L H x x De él se obtiee el segudo ( 0 ): x /x = e logx/x e 0 =. x El último ( ) se deducirá del límite (+x) /x = e log(+x)/x e. x 0 E vez de utilizr itegrles, se puede defiir el úmero e como el límite de l sucesió creciete y cotd (+ ). Hllemos los límites de lgu sucesió más utilizdo los teriores y/o resultdos y vistos: 3 + log 3 + log = + /3 log 3 + log hemos dmitido que log es mucho meor que, >0 ]. ( ) + ] 3 (cot+ ) 3 = 3 = " ] ; /( ) = ( / ) = ; / = 0" ; (7 3 ) / = ( /) 3( 7 3 ) / =. primero y tercero so fáciles; e los otros usmos ( b ) c = bc y el límite dmitido / ]. ] = = 0 ; 3 ] + ( ) ] (3 3 = +) e + /3. El primero otr vez er secillo, pero como es idetermido, e el segudo buscmos el úmero e idetificdo l {c } 0 y poiedo lo que sobr fuer del corchete ] = +(/3) 3+(/3) = 3 dividiedo por l poteci que md 3 ( o por 3 + )]. Hllemos el límite de pr todos los R si hcer uso de teorems o demostrdos: si >, =+h, co h>0 = (+h) =+h+ >h>k, K si gordo ; si =, { }=,,,... ; si =0, {0 }=0,0,0,... 0 (o so idetermicioes); si (0,), />, = (/) = 0 ; si (,0), =( ) ( ) cot 0 = 0 ; si =, {( ) }=,,,,... diverge; si <, como ( ), =( ) ( ) tom vlores grdes positivos y egtivos diverge (i siquier tiede + o ). 7

6 Otros tems más teóricos de sucesioes Dmos pr cbr defiicioes y teorems importtes e mtemátics vzds (ls usremos e ls demostrcioes de.3). El primer teorem es uo de esos típicos de mtemátics que segur que existe lgo pero o dice i cómo es ese lgo i cómo buscrlo (y prece o servir pr d): Tod sucesió cotd posee u subsucesió covergete. Como { } es cotd, existe u itervlo cerrdo c 0,b 0 ] { }. Dividimos c 0,b 0 ] e otros dos igules. E uo de ellos, l meos, hy ifiitos térmios de { }. Le llmmos c,b ]. Volvemos dividir y elegir c,b ] co ifiitos... Teemos sí u sucesió de itervlos c k,b k ], cd uo co ifiitos térmios de l sucesió. L sucesió c 0,c,... es creciete y cotd superiormete por b 0. L b 0,b,... es decreciete y cotd iferiormete por c 0. Así mbs tiee límite y c 0 ] b 0 c ] c ] 3 b3 c ] es ituitivmete clro que el límite de ls dos es el mismo. Le llmmos. Costruimos u subsucesió de { } que tiede hci : elegimos 0 c 0,b 0 ], c,b ] co > 0 (podemos, pues hy ifiitos e c,b ] ),... No es difícil formlizr que j. {se} = , , 0.4.., , , , , , 0.4..,... fucioes trigoométrics siempre e rdies]; prece o teer límite y se prueb (es difícil) que es sí. Como es cotd, tedrá subsucesioes covergetes, pero o sbemos cuáles. L siguiete defiició tmpoco tedrá much utilidd práctic pr osotros: { } es sucesió de Cuchy si ε N N tl que,m N se tiee que m <ε. l difereci etre dos térmios suficietemete ltos es t pequeñ como quermos] Prece clro que si todos { } se cerc u límite se cercrá tmbié etre sí, es decir, que tod sucesió covergete será de Cuchy. Lo cotrrio tmbié es cierto pr ls sucesioes e R: { } coverge { } es de Cuchy ) ε N / k N k < ε ; sí pues, si,m N, m + m < ε + ε =ε. ) Se puede probr que: { } de Cuchy { } cotd (l demostrció es precid l de ls covergetes). Por lo tto, existe subsucesió { j } covergete hci lgú rel. Vemos que tod l sucesió { } tiede hci ese : { } de Cuchy N tl que, j N j < ε. { j } covergete N tl que j N j < ε. Por tto: j + j < ε + ε = ε si N = máx{n,n }. U cojuto se dice completo si tod sucesió de Cuchy coverge hci u elemeto del propio cojuto. Acbmos de ver que R lo es. Pero, por ejemplo, Q o lo es: hy sucesioes de Cuchy e Q que o coverge u rciol (como l 3, 3., 3.4, 3.4, 3.45, 3.459,... obteid ñdiedo decimles de π, que es de Cuchy pero su límite se escp de Q). Ello se debe l iexisteci e Q del xiom del extremo superior (por est mism rzó, e Q hy sucesioes moótos y cotds si límite e Q o sucesioes cotds si subsucesioes covergetes e Q). L defiició de cojuto completo es importte e álisis fuciol. El último resultdo relcio cojutos cerrdos y sucesioes y lo utilizremos e demostrcioes: Si { } y { } A cerrdo A. Pues el límite de u sucesió, si tiee ifiitos térmios distitos, es u puto de cumulció de ell, y, por tto, tmbié de A que es cerrdo. Y si { } tom sólo u úmero fiito de vlores, debe ser = prtir de u N, co lo que, clrmete, A. Pr biertos es flso: hy { } A bierto cuyo límite / A, como le ocurre { } (0,) ]. b b 8

7 . Límites de fucioes y fucioes cotius f tiede L (o tiee por límite L ) cudo x tiede hci si ε >0 δ >0 tl que si x cumple 0< x <δ etoces f (x) L <ε. Esto se represet: f (x) L o bie lím f (x) = L. Es decir, ε >0 δ >0 tl que si x B (,δ) f (x) B(L,ε) ]. E l defiició está implícito que es puto iterior de dom f {} pr que f teg setido e B (,δ) ; tmbié está clro que o import d el vlor de f e, i siquier si f está o o defiid e el puto; esto si lo tedremos e cuet pr l defiició de cotiuidd, pero el límite más importte del cálculo, l derivd, será de este tipo]. Gráficmete: Pr todo debe ser posible ecotrr tl que esté detro de l bd L+! L L! evidetemete el δ o es úico: si hemos ecotrdo u δ os vle tmbié culquier δ más pequeño]. " + " f (x) = x. Gráficmete prece clro que lím f (x) =. Comprobémoslo pr =0 : Ddo culquier ε debe ser x 0 = x <ε si x 0 = x es suficietemete pequeño. Tomdo δ = ε se tiee que: 0 < x < δ x < ε. Pr otros o es fácil hllr el límite utilizdo simplemete l defiició, pero será u límite trivil cudo dispogmos de los teorems que veremos. Lo mismo podemos decir del siguiete: f (x) = x + x. Comprobemos que f (x) 6 = f (4) esto sigificrá f cotiu e x=4 ]. x 4 f (x) 6 = x 4 + x x 4 + x = x 4 + x 4 x+ x 4 + x 4 = 3 x 4 Por tto, escogiedo δ = 3 ε (o culquier δ más pequeño) grtizmos que f (x) 6 ε. No podemos hblr del límite de f pr x 0 por o ser el puto iterior l domiio {x 0}. f 3 (x) = x 3 rct x. Est fució o está defiid e 0, pero vemos que f 3(x) 0 si x 0. Como x 3 rct x π x3 = π x 3, bstrá tomr x <δ = 3 ε π pr que x 3 rct x < ε. Como siempre, trbjmos co ests defiicioes prtiedo de lo que se quiere hcer pequeño y utilizdo desigulddes crecietes hst que se clro el δ que grtiz que lo iicil es <ε ]. { { si x < 0 f 4 (x) = si x > 0. Es clro que f si < 0 4(x) si > 0 (bst tomr δ < ). Pero o hy límite si x 0. Pr ε < hy x co x <δ pr los que f 4 (x) L ε, por pequeño que se δ, se L=, L= u otro rel. Si embrgo, f 4 se cerc ó cudo x 0 si sólo mirmos los x positivos o egtivos. L egció de que f L si x es est firmció: existe u ε tl que pr todo δ existe x co x < δ pero cumpliedo f (x) L ε (l egció de que e tod clse hy lgú estudite que, si se exmi, prueb, es que hy u clse e l que todos los estudites que se exmi suspede )]. 9

8 El último ejemplo y lo dicho sobre el domiio de f os llev defiir los límites lterles: f L por l derech (izquierd) cudo lím f (x)=l ( lím f (x)=l ) ] + si ε >0 δ >0 tl que si x cumple 0<x <δ ( 0< x<δ ) f (x) L <ε. Como 0 < x < δ 0 < x < δ lím f (x) = L existe lím + y 0 < x < δ, es imedito que: f (x) y lím f (x), y coicide co L. Por tto, si o existe u límite lterl, o si existiedo o coicide, o existe el límite. f 4 (x), pues ε, pr culquier δ que escojmos, si 0 < x < δ es f 4(x) = 0 < ε. x 0 + f 4 (x), pues ε pr culquier δ, 0 < x< δ δ <x< 0 f 4(x) ( ) = 0 < ε. x 0 Esto prueb que o existe el lím f 4 (x). Sí existe lím f 4(x) = lím f 4(x) = = lím f 4 (x) ]. x 0 x x + x E geerl, pr ver si f tiee límite o será ecesrio clculr los lterles. Sólo lo hremos cudo l f se diferete mbos ldos de (como e el ejemplo terior e x = 0 ). Este teorem será muy útil pr demostrr fácilmete bsttes otros usdo ls propieddes de ls sucesioes y, e el futuro, pr clculr límites de sucesioes que ú o sbemos hcer: lím f (x) = L tod sucesió { } dom f {} co { } stisfce { f ( )} L. ) Sbemos que ε δ / si 0< x <δ f (x) L <ε. Como, N / N <δ f ( ) L <ε, co lo que l sucesió { f ( )} L. ) Si f (x) o tiede L existe ε >0 tl que pr todo δ >0 existe lgú x co 0< x <δ pero co f (x) L >ε. E prticulr, pr todo existe lgú co 0 < < pero f ( ) L > ε : existe, pues, { } que coverge hci pero co { f ( )} L. Grcis l teorem, pr ver que u f o tiee límite e bstrá ecotrr u { } (formd por putos de dom f ) que tied hci y tl que { f ( )} diverj, o bie ecotrr dos sucesioes { } y {b } tles que { f ( )} y { f (b )} tied hci distitos límites. Esto puede permitir formlizr de form secill l o existeci de límites si teer que cudir l egció de l defiició: Como = ( ) 0 pero { f 4 ( )} =,,,,... diverge f 4 o tiee límite e x=0. Pr otrs b 0 sí tiee límite { f 4 (b )} (por ejemplo, pr culquier {b } co b >0 dicho límite es ); pero el teorem pide que tods coverj y que el límite de tods se el mismo]. { si x rciol f 5 (x) = 0 si x irrciol. Ituitivmete prece clro que f 5 o tiee límite pr igú (rciol o irrciol). Por ejemplo, o puede teder f 5 hci cudo x pues por pequeño que se el δ hy x del etoro (los irrcioles) co f 5 (x) > ε (pr los ε < ). Lo mismo sucede co otros posibles límites. Esto es mucho más fácil de formlizr co sucesioes: f 5 o tiee límite e pues si { } es u sucesió de rcioles y {b } de irrcioles tediedo hci, se tiee que f 5 ( ) mietrs que f 5 (b ) 0. (Ests sucesioes siempre existe, pues e todo etoro de hy ifiitos rcioles e irrcioles). L 30

9 Ls siguietes defiicioes icluye " " (o so límites ormles; como siempre es sólo u símbolo; e setido estricto o tiee límite u f que tiede + o ): lím f (x)=l lím f (x)=l ] si ε >0 M tl que si x>m x<m ] f (x) L <ε x x lím f (x)= ] si K δ >0 tl que si 0< x <δ f (x)>k f (x)<k ] lím f (x) = si K M tl que si x > M f (x) > K x Aálogmete lím f (x) =, lím f (x) =,... ] x U pr de iterpretcioes geométrics: L f (x) x L K f (x) M L fució f 6 (x) = x 0 si x pues ε >0 M = ε tl que si x> ε x 0 <ε, y tiede cudo x 0 + pues K δ = K tl que si 0 < x 0 < K x > K. Aálogmete se verí que f6 0 y que f 6. No existe el lím f x 6(x) ]. x 0 x 0 f 7 (x) = 3 x + thx x, porque K M tl que f 7 (x) > 3 x > K si x>m =(K+) 3. Se puede probr relcioes etre estos uevos límites y los de sucesioes. Por ejemplo: lím f (x) = L tod sucesió { } dom f co cumple f ( ) L. x E prticulr, como l sucesió {}, deducimos que f (x) x L f () L. L firmció cotrri l terior es clrmete fls. Por ejemplo, pr f (x)=seπx es { f ()} = 0,0, 0, pero i 0 i igú otro L es el ímite de f cudo x. lím f (x) = tod sucesió { } dom f {} co cumple f ( ). Como cosecueci de los límites de sucesioes se puede demostrr hor fácilmete: f (x) L, g(x) M f ± g L ± M, f g L M. L M. Si demás M 0 f g Lo terior es válido si se sustituye por +,, + ó. Tods se demuestr igul, relciodo sucesioes y fucioes. Por ejemplo, l primer: Se culquier,. Por teder l sum de sucesioes l sum de los límites: lím ( f ± g)( ) = lím f ( ) ± lím g( ) = L ± M lím ( f ± g)(x) = L ± M. 3

10 L cotiuidd se defie usdo el cocepto de límite. Ahor sí import el vlor de f () : f es cotiu e u puto iterior l domiio de f si lím f (x) = f (), o se, si ε >0 δ >0 tl que si x cumple x < δ etoces f (x) f () < ε. Luego f o es cotiu si o existe límite o o existe f () o si existiedo o coicide]. Tres secills fucioes cotius e culquier puto so: f (x)=c : ε >0 vle culquier δ pr que x <δ c c =0<ε. f (x)=x : ε >0 bst tomr δ =ε pr que x <δ =ε x <ε. f (x)= x : ε >0 tomdo δ =ε es x x <ε si x <δ. f 3 (x)=x 3 rct x o es cotiu e 0, pues o está defiid f 3(0). Pero si defiimos f 3 (0)=0 sí lo es, pues vimos que f 3 (x) 0. Si fuese f 3 (0)=7 serí discotiu. x 0 f 4 o puede hcerse cotiu e 0 defiiedo decudmete f 4 (0), pues o existe lím f 4 (x). x 0 De los teorems pr límites se deduce: f es cotiu e tod sucesió { } dom f co cumple f ( ) f (). Por tto lím f ( ) = f ( lím ) si f es cotiu (o, si es discotiu)]. Si f y g so cotius e etoces f +g, f g, f g so cotius e. Si demás g() 0, tmbié f /g es cotiu e. Por ejemplo, lím ( f g)(x) = (propiedd de límites) = lím f (x) lím g(x) = f () g(). Ls otrs igul. Se podrí probr directmete prtir de l defiició; l de l sum por ejemplo: ε, f (x)+g(x) f () g() f (x) f () + g(x) g() < ε si x < δ = mí{δ,δ }, siedo δ y δ tles que: f (x) f () < ε si x < δ, g(x) g() < ε si x < δ, y estos δ existe por ser f y g cotius e ]. g cotiu e y f cotiu e g() f g cotiu e. = g cot. e g( ) g() = f cot. e g() ( f g)( ) = f (g( )) f (g()) = ( f g)(). f cotiu e y estrictmete moóto e u etoro de f cotiu e f (). Se f estrictmete creciete (álogo si fuer decreciete). ε buscmos δ tl que y f () <δ f (y) <ε o se, f () δ <y< f ()+δ ε < f (y) < + ε ]. El dibujo sugiere δ = mí{ f (+ε) f (), f () f ( ε)}>0. f(+ e) c f() f( e) d e + e Etoces: f () δ <y< f ()+δ f ( ε)<y< f (+ε) ε < f (y)<+ε. porque f ()+δ f (+ε), f ( ε) f () δ ] porque f creciete]. Hemos defiido cotiuidd e u puto. E itervlos ls defiicioes so de este tipo: f es cotiu e (,b) si es cotiu e todo x de (,b). f es cotiu e,b] si es cotiu e (,b), lím f (x)= f () y lím f (x)= f (b). + No podemos decir simplemete cotiu e todo x,b], pues y b o so putos iteriores]. x b 3

11 Probemos que tods ls fucioes elemetles (de.4) so cotius e su domiio. Los poliomios P(x) = 0 x + x + + so cotiuos e todo R (y que so sums y productos de fucioes cotius e todo de R). Ls fucioes rcioles ( cocietes de poliomios P(x) ) Q(x) so cotius co Q() 0. Ls ríces x so cotius e su domiio: R si impr, R+ si pr (e x=0 hblmos de lím x ), por ser iverss de fucioes estrictmete crecietes y cotius. x 0 + Ls fucioes trigoométrics y sus iverss tmbié so cotius e su domiio: Comecemos probdo que f (x) = sex es cotiu R : ε >0, si x <δ =ε se cumple: sex se = se x x+ x cos se x < ε. cosx = se(x+ π ) es cotiu por ser composició de fucioes cotius. tx = sex cosx es cotiu si cosx 0, es decir, si x π +kπ, k Z. rcsex, rccosx e,] y rctx x so iverss de moótos cotius. Pr probr l cotiuidd de expoeciles y logritmos debemos esperr l estudio de ls itegrles. El teorem fudmetl de cálculo itegrl que demostrremos e 5. segurrá que logx x dt t es cotiu x > 0. De hí deducimos l cotiuidd de ls demás: e x es cotiu e R por ser ivers de cotiu. Y por ser composició de cotius: x b e blogx cotiu e (0, ) si b>0 e 0, ), tomdo 0 como su vlor e 0 ], b x e xlogb (b>0) cotiu x, log b x logx logb (b>0, b ) cotiu x > 0. Ls fucioes hiperbólics, sums, diferecis y cocietes co deomidores o ulos de fucioes cotius, so tmbié cotius e todo su domiio R. Co todo lo terior podemos firmr que muchísims fucioes so cotius e csi todos los putos si usr l defiició (el trbjo co los ε lo hemos hecho e los teorems, sobre todo e sucesioes, y sólo pr fucioes muy rrs hbrá que cudir ell). f 8 (x) = ex/(x ) + rctlog(x +)] cos 3 x + 4 x 3 + rcse x 3 ] shx es cotiu e (0,) (,3] : el umerdor lo es e 0, ) {}, pues rctlog(x +)] cos 3 x es cotiu e R (sum de composicioes de cotius), l ríz e R + y l expoecil si x ; el deomidor es cotiuo e 3,3] (por el rcse 3 x ) y sólo se ul e 0 ( rcse como mucho vle π y sólo sh0 = 0 ). Co tts fucioes cotius el cálculo de límites es csi siempre u cálculo toto, pues bst sustituir x por e l expresió de l fució: f 8 (x) f 8 () si x, por ejemplo, por ser f 8 cotiu e. Tmbié so secillos lguos límites co ifiitos, utilizdo propieddes como ls de sucesioes (demostrbles bsádose e ells y los teorems que relcio fucioes y sucesioes o directmete): c ± = ±, cot ± = ±, + =, (± ) = ±, 0 cot = 0, c ± =0, cot ± =0, p (± )=± (p>0), ± p p =± (p>0), ±0 =± (p>0), log(+0) =, log( ) =, e =, e = 0, rct(± ) = ± π,... Como siempre, hy que leerlo e setido de límites; por ejemplo, c ± = ± sigific que si f tiede c y g hci + ó (cudo x, +,, + ó ), l sum f +g, respectivmete, tiede + ó. L otció +0 ( 0 ) sigific quí que f 0 siedo f >0 ( f <0 ). Co esto, se tiee que lím f 8(x) = ( ) ] c+ x + p y lím f 8(x) = rctlog] cos3 + x sh3+rcse 3 ]. Como e sucesioes, pesr de tto teorem qued límites difíciles: los idetermidos, l myorí de los cules (los que o dmit trucos lgebricos como los de sucesioes) sólo sbremos hllr u vez que estudiemos ls derivds (por ejemplo, el límite de f 8 cudo x 0 +, que es de l form 0 0 ). 33

12 El siguiete teorem permite clculr u límite idetermido que proto ecesitremos: Si f (x) g(x) h(x) y lím f = límh = L límg = L. ( x, +,, + ó, todos vle). Como f,h L, es L ε < f (x) g(x) h(x)<l+ε g(x) L <ε. Deducimos el siguiete límite idetermido (será imedito co L Hôpitl o Tylor), usdo sólo propieddes trigoométrics (bsds e l o muy riguros defiició dd de sex ): sex. Si x>0, por el sigificdo geométrico de sex y tx : x x 0 sex<x< sex cosx < x sex < sex cosx cosx< x <. Como cosx, el teorem terior prueb el límite pr x>0. x 0 + Si x<0, por ser sex x = se( x) x, reducimos el límite l terior. 0 x sex Mucho más fáciles de clculr serí (o so idetermidos): sex lím x π x = se(π/) π/ = π, por ser est fució cotiu e x= π. Hy u ide erróe que suele estr muy extedid: est fució (como otrs) o es cotiu e el puto porque l sustituir x por π slg f ( π ) (fltrí más). Lo es (y por eso es fácil el límite y bst co sustituir) porque se h demostrdo que sex y x so sex lím x ± x cotius y que el cociete de cotius co deomidor o ulo tmbié lo es]. = 0, pues sbemos que cot ± = 0. De cd límite de fucioes se deduce ifiitos límites de sucesioes. Del idetermido terior: tx lím se se(/ = lím ) / =, puesto que 0 y g(x) = sex x cudo x 0. Clculemos el límite de l sucesió = k se 3 rct, pr i) k =, ii) k =. Si k =, = ( se ) /3 rct ( 0) 0 π/ = sex es cotiu e x=0 ]. Si k =, = se /3 rct 0 π/ = 0, pues se. Hlldo límites será, e ocsioes, coveiete relizr cmbios de vrible como: g cotiu e, g(x) g() si x y lím f (t)=l lím t =g(x)] f (g(x))=l t g() Csi igul que l demostrció de l cotiuidd de f g ]. Co este teorem podemos deducir del límite idetermido hlldo lgú otro del tipo 0 0 : se(x+5) lím x 5 x+5 = t = g(x) = x+5 es cotiu, o se ul si x 5 y set t ]. Otro que exige lgo de igeio (pero que será muy fácil co los desrrollos de Tylor): cosx lím x 0 x = lím x 0 +cosx lím cos x x 0 x = ( lím sex ) x 0 x =. Complicádolo u poco: tx lím sex x 0 x = lím x 0 x lím x 0 x cosx = 0 = 0. Como igú teorem os dice d sobre el siguiete, tedremos que cudir l defiició: tx lím x x o existe porque l fució se v ± ifiits veces ( si x = π ) +kπ]/ y por tto su gráfic se sle de l bd limitd por y = L+ε e y = L ε se cuál se el L. 34

13 .3 Teorems sobre fucioes cotius e itervlos f cotiu e c y f (c)>0 <0] δ >0 tl que f (x)>0 <0] si x (c δ,c + δ) Ddo ε = f (c), δ > 0/ si x c < δ f (x) f (c) < f (c) f (x) f (c) > f (c) f (x) > 0 si f (c) < 0 tommos ε = f (c)] Teorem de Bolzo pr fucioes cotius: f cotiu e,b], f ()<0< f (b) existe lgú c (,b) tl que f (c) = 0. L gráfic cort el eje x e lgú puto (el teorem o dice dóde), quizás e más de uo]. Se A = { x,b] : f (x) 0 } ( A) y cotdo superiormete (por b) existe c = sup A. Probemos que f (c)=0 : Si f (c)<0 δ/ f (x)<0 e (c δ,c + δ) y c o serí cot de A. Si f (c)>0 δ/ f (x)>0 e (c δ,c + δ) y hbrí cots meores. E iguo de los dos csos c podrí ser el supremo de A. o es cot c de A cot más pequeñ f cotiu e, b] f tom todos los vlores compredidos etre f () y f (b). b b Normlmete tomrá más y si f o es cotiu, o tiee que tomrlos, como muestr los dibujos de l izquierd]. Si f ()< f (b), se p co f () < p< f (b). L fució g = f p es cotiu e,b] co g()<0<g(b). El teorem de Bolzo segur que existe c (,b) co g(c) = 0, es decir, co f (c) = p. Si f ()> p> f (b), como f es cotiu y f () < p < f (b) c (,b) tl que f (c) = p. Hemos hbldo de cojutos cotdos y del máximo de u cojuto, pero o de u fució. De modo turl, f se dice cotd e A R si lo está el cojuto f (A) = { f (x) : x A} y se defie vlor máximo de f e A como el máximo del cojuto f (A) (e cso de que exist). Aálogmete se defie vlor míimo de f e A. c c b L fució del dibujo (que sí es cotd) o tiee vlor máximo e,b], uque sí vlor míimo (se lcz e b y su vlor es 0 ); está clro que o es cotiu e,b]. f cotiu e, b] f cotd e, b]. b Si f o estuviese cotd superiormete podrímos escoger u x I,b] co f (x ) > pr cd N. Como {x } cotd, existe {x j } x o I (por ser cerrdo). Como f es cotiu e x o tedrímos f (x j ) f (x o ), lo que es imposible pues { f (x j )} o está cotd (> j ) y o puede coverger. Aálogmete se verí que está cotd iferiormete]. 0 ( ) El teorem o es cierto pr (, b) ó, ) : f (x)= x es cotiu pero o cotd e (0,) y le ps lo mismo f (x) = x e 0, ). x 35

14 f cotiu e,b] existe los vlores máximo y míimo de f e,b]. M m b O se, existe y,z,b] tles que f (z) f (x) f (y) pr todo x,b]. Estos y, z puede o ser úicos, desde luego]. Se M =sup f (I). Existe {y } I tl que M < f (y ) M f (y ) M. Podrí {y } o coverger pero, siedo cotd, hy seguro u {y j } subsucesió covergete hci u y I. Como f cotiu e I, f (y)=lím f (y j )=M y, por tto, el supremo perteece f (I). Aálogmete, o cosiderdo f, se ve que el ífimo tmbié se lcz. E l demostrció se ve que el teorem es válido e cojutos cerrdos y cotdos (se les llm compctos y so importtes e el cálculo más vzdo)]. Tmpoco este teorem es cierto sustituyedo, b] por (, b) o por, ) : f (x) = /x es cotiu e (0,) pero o lcz su máximo i su míimo e (0,). f (x) = x o tiee máximo e 0, ) (su vlor míimo existe y vle 0 ). Fucioes uiformemete cotius e u itervlo I Defiimos este cocepto porque precerá e l demostrció de lgú teorem]. f er cotiu e I si lo er e cd x de I (límites lterles e los posibles extremos de I ), es decir, si x I y ε existe u δ(ε,x) tl que y I si y x <δ etoces f (y) f (x) <ε. Cosideremos f (x) = x. E (0,) sbemos que es cotiu: x y ε existe u δ tl que si y x < δ y x < ε. Pero ddo u ε se ve que el δ que debemos tomr es más pequeño segú elijmos u x más pequeño. Ituitivmete está clro que o podemos ecotrr u δ que vlg pr todos los x de (0,): por pequeño que se δ, si x es muy pequeño, l fució tomrá vlores muy diferetes e (x δ,x+δ). Pero pr l mism f e, ) se ve que ddo u ε existe u δ válido pr culquier x del itervlo (el que vlg pr x = vldrá pr tmbié pr los x > ). f es uiformemete cotiu e I si ε existe u δ(ε) tl que x,y I si y x < δ etoces f (y) f (x) < ε. Acbemos de formlizr que f (x) = x o es uiformemete cotiu e (0,) : Se ε =. Por pequeño que se δ ecotrmos x,y (0,) co y x <δ pero y x >ε. Por ejemplo, x= δ 4, y=δ stisfce y x = 3δ 4 < δ pero y x = 3 δ > (pues δ < ). Formlizmos hor que f (x) = x sí es uiformemete cotiu e, ) : ε δ =ε tl que x,y, ) co y x < δ y x = y x xy y x < ε. Evidetemete: f uiformemete cotiu e I f cotiu e I. L implicció es fls e geerl; uque sí es válid cudo I =,b] : f cotiu e, b] f uiformemete cotiu e, b]. Por reducció l bsurdo. Supogmos l vez f cotiu y o uiformemete cotiu e,b]. Existe, pues, ε > 0 tl que δ > 0 podemos ecotrr x,y co y x < δ pero f (y) f (x) ε. E prticulr, pr cd δ = teemos {x },{y },b] co y x < y f (y ) f (x ) ε. {x } cotd {x j } covergete u c (,b] por ser cerrdo) f (x j ) f (c) ( f es cotiu). Como y j x j </ j 0 tmbié f (y j ) f (c) y por tto f (y j ) f (x j ) 0, lo que está e clr cotrdicció co el hecho de que f (y j ) f (x j ) ε j. E l demostrció se ve que tmbié este teorem será válido e culquier cojuto compcto]. 36