TEMA IV: DISTANCIA ENTRE ELEMENTOS

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1 TEMA IV: DISTANCIA ENTRE ELEMENTOS 4.1.D Ditancia ente do punto Teniendo en cuenta la elacione mética que e etablecen ente la poyeccione otogonale obe un plano de un egmento AB e puede obtene la ditancia eal del mimo conocida u poyeccione. Paa ello e contuyen alguno de lo tiángulo ectángulo que e foman: con la poyección obe el PH, el PV o el PP. B" ZB-ZA B B"' d" d"' A" PA-PB d A"' A B' d' AA-AB A' PA-PB Oto de lo eultado que e obtiene con la contucción de eto tiángulo e el ángulo que foma el egmento con lo plano de poyección PH, PV y PP en cada cao. Con d el ángulo que foman con PH. Con d el ángulo con PV y con d el ángulo con PP. Ejemplo 26 (D) Calcula la ditacia ente lo punto A( 4,3,3) y B(0,1,6) Solución: e contuyen lo tiángulo auxiliae con la poyeccione de la ecta. Bataía con la contucción de uno olo de lo tiángulo. En el ejmplo e han contuido lo do y e compueba que el eultado e el mimo en ambo cao B" d d" A" B d' A d Eliabete Albedi Celaya, Iantzu Álvaez González, Mª Iabel Eguia Ribeo, Mª Joé Gacía López y Aitzibe Unzueta Inchaube 45

2 4.1.A Ditancia ente do punto Si y on do punto del epacio, la ditancia ente ambo punto coincide con el módulo del vecto, que e la longitud del egmento. La ditancia e deigna po o bien. Si on la coodenada de lo punto y, entonce la coodenada del vecto on AB ( x2 x1, y2 y1, z2 z1) de donde la expeión analítica de la ditancia queda como: d( A, B) AB ( x x ) ( y y ) ( z z ) La ditancia ente do punto tiene la iguiente popiedade: d( A, B) 0 A B (Popiedad de imetía). (Deigualdad tiangula) Ejemplo 27 (A) Halla la ditancia ente lo punto A (4,3,3) y B (4,3,6) Solución: La ditancia e: d( A, B) (4 4) (3 3) (3 6) D Ditancia de un punto a un plano La ditancia de un punto a un plano e mide obe la ecta pependicula po el punto al plano. Lo pao a egui on lo iguiente: 1.- Taza po el punto A una ecta que ea pependicula al plano 2.- Halla la inteección de y el plano (punto I) 3.- La ditancia eal ente AI e la olución. Eliabete Albedi Celaya, Iantzu Álvaez González, Mª Iabel Eguia Ribeo, Mª Joé Gacía López y Aitzibe Unzueta Inchaube 46

3 4.2.A Ditancia de un punto a un plano Si un punto P petenece a un plano, e evidente que la ditancia al mimo e nula. Po eo uponemo que el punto P e exteio al plano. En ete cao, la ditancia e la longitud del egmento PQ, donde Q e la poyección otogonal de P obe el plano. Expeión vectoial Conideemo un punto P y un plano dado po la deteminación ( A, n ), donde A e un punto cualquiea del plano y n e un vecto diecto de dicho plano. Sea Q la poyección del punto P obe el plano. La ditancia del punto P al plano e el módulo del vecto QP ; e deci d( P, ) QP En el tiángulo ectángulo A QP e tiene: AP AQ QP Multiplicando ecalamente lo do miembo de la igualdad anteio po el vecto nomal n, eulta: A P n A Q n QP n QP n ya que AQ y n on otogonale y po tanto u poducto ecala e ceo. Si tomamo valo aboluto en la última expeión e obtiene: A P n QP n QP n de donde AP n d( P, ) QP (1) n Expeión analítica Sea la ecuación geneal del plano : Ax By Cz D 0 Sea A ( x0, y0, z0) un punto cualquiea peteneciente al plano, n ( A, B, C) el vecto nomal diecto del plano y P( x1, y1, z 1) el punto dado. Sutituyendo eto valoe en (1) eulta: ( x1 x0, y1 y0, z1 z0) ( A, B, C) dp (, ) ( A, B, C) Ax1 By1 Cz1 Ax0 By0 Cz0 A B C Pueto que Ax0 By0 Cz0 D, po e A( x0, y0, z 0) un punto del plano, e tiene Ax1 By1 Cz1 D finalmente que dp (, ) A B C Si la ecuación del plano etá dada en ota foma, e paa a la ecuación implícita y e aplica la expeión anteio. Paa halla la ditancia de un punto a un plano e utituyen la coodenada del punto en la ecuación geneal del plano y e divide po el módulo del vecto nomal del plano. Si éte eultado e negativo, e toma en valo aboluto. Ejemplo 28 (A) Halla la ditancia ente el punto A (1,0,1) y el plano : 4x y 4z 36 Eliabete Albedi Celaya, Iantzu Álvaez González, Mª Iabel Eguia Ribeo, Mª Joé Gacía López y Aitzibe Unzueta Inchaube 47

4 Solución: d( A, ) D Ditancia ente do plano paalelo Eligiendo un punto cualquiea (A) de uno de lo plano el poblema e educe al cao pecedente. 4.3.A Ditancia ente do plano paalelo La ditancia ente do plano y paalelo e igual a la ditancia de un punto cualquiea de un plano al oto plano: d(, ) d( P, ) d( P, ) Paa facilita lo cálculo e puede elegi un punto de la foma (0,0, z), (0, y,0), ( x,0,0). Sólo eta halla en cada opción lo valoe de x, y o z. Ejemplo 29 (A) Halla la ditancia ente el plano : 4x y 4z 36 y el plano que paa po lo punto (2,0,0), (1,0,1) y (1,4,0) Solución: La ecuación implícita de e : 4x y 4z 8. Po ota pate, e evidente que ambo plano on paalelo po tene lo vectoe diectoe popocionale, en ete cao iguale. El ejecicio e completa tomando un punto cualquiea, P(9,0,0) y calculando u ditancia al plano dp (, ) D Plano mediatiz de do plano E el plana paalelo a lo do que paa po el punto medio de la ditancia. Eliabete Albedi Celaya, Iantzu Álvaez González, Mª Iabel Eguia Ribeo, Mª Joé Gacía López y Aitzibe Unzueta Inchaube 48

5 PLANO MEDIATRIZ 4.4.A Plano mediatiz de do plano Si y on do plano paalelo, el plano mediado de ambo plano e el luga geomético de lo punto del epacio que equiditan de y de. Dado lo do plano de ecuacione : A x B y C z D : A2 x B2 y C2z D2 0 la condición de paalelimo hace que lo vectoe nomale de lo plano ean popocionale A1 B1 C1 e deci g 1 A 2 B 2 C 2 El cálculo analítico del plano mediado de do plano e limita a obtene la ecuación de un plano paalelo a lo do anteiomente definido y que equidite de ambo. Po ello u ecuación geneal eá de la foma : A1 x B1 y C1z M1 0 Ejemplo 30 (A) Calcula el plano mediado de lo plano paalelo : x 2y 3z 14 0 : x 2y 3z 0 a) Toma un punto cualquiea de uno de lo plano y calcula la ecta pependicula a lo do plano paalelo que paa po dicho punto: (0,0,0), y la ecta en foma paamética queda deteminada po el punto y el P x 0 t vecto nomal n o bien n. : y 0 2t z 03t b) Punto de inteección P de la ecta y el plano En ete cao la ecuación de la ecta etá en foma paamética y e utituye x t, y 2 t, z 3t en la ecuación del plano : (0 t) 2(0 2 t) 3(0 3 t) 14 0 t 1 Eliabete Albedi Celaya, Iantzu Álvaez González, Mª Iabel Eguia Ribeo, Mª Joé Gacía López y Aitzibe Unzueta Inchaube 49

6 po lo que (1, 2,3) P c) Punto medio P del egmento PP. P P (1, 2,3) (0,0,0) 1 3 P, 1, 2 d) Se exige que el punto P petenezca al plano mediado P : x 2y 3z M 0 M y e obtiene la ecuación geneal del plano mediado o mediatiz de lo plano paalelo y : : x 2y 3z D Ditancia ente una ecta y un plano paalelo Eligiendo un punto cualquiea (A) de la ecta el ejecicio queda educido al cao de ditancia ente punto y plano. 4.5.A Ditancia ente una ecta y un plano paalelo Sean la ecta dada po la deteminación ( A, u ) y el plano dado po la deteminación ( A, n ). Como y on paalelo el vecto diecto de la ecta, u, y el vecto nomal del plano, n, on pependiculae, po lo que u poducto ecala e nulo u n 0 Geométicamente la ditancia ente y no e má que elecciona un punto abitaio A de la ecta y calcula u ditancia al plano : d(, ) d( A, ) Nota: Si la ditancia aí obtenida e nula, e deduce que la ecta etá contenida en el plano. Ejemplo 31 (A) Halla la ditancia de la ecta x33t : y 6 t z 6t al plano : 6x 12y 5z 66 0 paalelo Eliabete Albedi Celaya, Iantzu Álvaez González, Mª Iabel Eguia Ribeo, Mª Joé Gacía López y Aitzibe Unzueta Inchaube 50

7 Solución: Pimeo compobamo que efectivamente que la ecta y el plano on paalelo, eto e: u n ( 3, 1,6) (6,12,5) 0. Ete cao de paalelimo ente ecta y plano e educe al cao de ditancia de un punto de la ecta al plano: d((3,6,6), ) D Ditancia ente un punto y una ecta La ditancia ente un punto y una ecta e mide en una ecta pependicula a ella y po lo tanto en un plano pependicula a ella. El pocedimiento e el iguiente: 1.- Taza po el punto A un plano a pependicula a 2.- Halla la inteección de y el plano (punto I) 3.- La ditancia eal ente AI e la olución. 4.6.A Ditancia ente un punto y una ecta Si un punto P petenece a una ecta, e evidente que la ditancia a la mima e nula. Po eo uponemo que el punto P e exteio a la ecta. En ete cao, la ditancia del punto P a la ecta e la longitud del egmento PQ, donde Q e la poyección otogonal de P obe la ecta. Expeión vectoial Conideemo una ecta dada po la deteminación ( A, u ), donde A e un punto cualquiea de la ecta y u e un vecto diecto de dicha ecta. La ditancia del punto P a la ecta e el módulo del vecto QP ; e deci, d( P, ) QP En el tiángulo ectángulo A QP e tiene: AP AQ QP Multiplicando vectoialmente lo do miembo de la igualdad anteio po el vecto dieccional u, eulta: A Pu A Qu QP u QP u ya que AQ y u on paalelo y po tanto u poducto vectoial e ceo. Si tomamo módulo en la última expeión e obtiene: A Pu QP u QP u Eliabete Albedi Celaya, Iantzu Álvaez González, Mª Iabel Eguia Ribeo, Mª Joé Gacía López y Aitzibe Unzueta Inchaube 51

8 AP u de donde d( P, ) QP (1) u La ditancia del punto a la ecta e igual al áea del paalelogamo contuido obe u y AP dividido po la bae ( de módulo u ). Expeión analítica Si la ecuación continua de la ecta e : x x y y z z a b c entonce A ( x0, y0, z 0) e un punto de la mima y u ( a, b, c) el vecto dieccional. P( x, y, z ) el punto exteio a la ecta. Sutituyendo eto valoe en la Sea ( x1 x0, y1 y0, z1 z0) ( a, b, c) ecuación (1) eulta: d( P, ) ( abc,, ) Si la ecta viene dada de ota foma, e halla un punto de la mima y u vecto dieccional y e aplica la fómula anteio. Ejemplo 32 (A) Halla la ditancia del punto A (7,1,5) a la ecta x 1 y z 5 : Solución: Se define un punto cualquiea de la ecta, P(1,0,5), y e aplica la fómula de la ditancia de un punto a una ecta, donde u (4,2, 3), APu (3, 18, 8) y u 29 : APu 397 d( A, ) u D Ditancia ente do ecta paalela La ditancia ente do ecta paalela queda educida al cao anteio eligiendo un punto cualquiea de una de ella. 4.7.A Ditancia ente do ecta paalela La ditancia ente do ecta paalela e igual a la ditancia de un punto cualquiea de una a la ota ecta: d(, ) d( P, ) d( P, ) Eliabete Albedi Celaya, Iantzu Álvaez González, Mª Iabel Eguia Ribeo, Mª Joé Gacía López y Aitzibe Unzueta Inchaube 52

9 Hallado el punto P o P, el poblema e educe al cálculo de la ditancia de un punto a una ecta. Ejemplo 33 (A) Halla la ditancia ente la ecta x 1 y z 5 : y x74t : y 1 2t z 5 3t Solución: Evidentemente amba ecta on paalela po tene u vectoe diectoe paalelo. Si tomamo el punto A(7,1,5), obevamo que etamo ante el ejecicio anteio euelto de ejemplo paa el cao de ditancia de un punto a una ecta, donde e obtuvo 397 d(, ) d(, A) D Ditancia ente do ecta que e cuzan La ditancia ente do ecta que e cuzan e mide en una ecta peependicula a amba. El poblema e implifica i ólo e petende conoce la ditancia. Si la cuetión e que el egmento cote a la do ecta e alaga la olución. El pocedimiento a egui e el iguiente: 1.- Se elige un punto A de una de la ecta y po el e taza una ecta paalela a la ota 1. Amba ecta definen un plano a 2.- Se elige un punto cualquiea de la ota ecta B y e taza una ecta pependicula po él al plano anteio p Se halla la inteección del plano y eta ecta (punto C) 4.- La ditancia eal ente BC e la olución. Si e quiee que ee egmento e apoye en la ecta e continua: 5.- Po C e taza una ecta 2 paalela a 6.- Eta ecta cotaá a en un punto D poque etán en el mimo plano y no on paalela. 7- Po D e taza una ecta paalela a p1 que cotaá a poque petenecen al mimo plano (ecta p2) 8.- Se halla la inteección de p2 con el plano y e obtiene I 9.- DI e la olución Eliabete Albedi Celaya, Iantzu Álvaez González, Mª Iabel Eguia Ribeo, Mª Joé Gacía López y Aitzibe Unzueta Inchaube 53

10 p1 1 p1 p2 p A Ditancia ente do ecta que e cuzan La ditancia ente do ecta y que e cuzan e la exitente ente el plano paalelo a que paa po y el plano paalelo a que paa po. Expeión vectoial Si la ecta y tienen po deteminacione ( A, u ) y ( A, u ), epectivamente, entonce la ditancia de la ecta a la ecta e igual a la ditancia del punto A al plano ( A, u, u) : d(, ) d( A, ) Pueto que la ecuación vectoial de la ditancia de un punto P a un plano e AP n dp (, ) n Tomando paa nueto cao A A, P A y n u u eulta A A ( u u) d(, ) d( A, ) ) uu y ecodando la definición del poducto mixto e obtiene finalmente det( A A, u, u) d(, ) u u (1) Expeión analítica Si la ecta vienen dada en foma continua po : x x y y z z : x x y y z z a1 b1 c1 a2 b2 c2 Entonce lo vectoe que hay que utiliza en la fómula (1) on u ( a1, b1, c1 ), u ( a2, b2, c2), A A ( x2 x1, y2 y1, z2 z1) La fómula liteal que e obtiene con eto valoe e muy compleja, y en la páctica e emplea diectamente la fómula (1) con lo valoe numéico del poblema. Cuando la expeione de la ecta on ditinta de la foma continua, e halla un punto de cada ecta, u vectoe dieccionale epectivo y e utiliza la fómula (1). Nota: Alguna vece e má fácil egui y deaolla la definición de ditancia ente do ecta. Bata calcula el punto A y la ecuación del plano que contiene a la ecta, paa po A ( x1, y1, z 1) y e paalelo a. Luego e aplica la fómula de la Eliabete Albedi Celaya, Iantzu Álvaez González, Mª Iabel Eguia Ribeo, Mª Joé Gacía López y Aitzibe Unzueta Inchaube 54

11 ditancia de un punto po un imple deteminante: Ejemplo 34 (A) A a un plano. La ecuación de dicho plano e obtiene x x y y z z a b c a b c =0 Halla la ditancia ente la ecta x 13 y z 5 : y x35t : y 2 t z 4t Solución: A continuación aplicaemo diectamente la expeión analítica de la ditancia ente do ecta que e cuzan. La ecta e detemina po el punto B (13,0,5) y el vecto u (4,5, 3), la ecta po el punto A (3, 2,0) y el vecto u (5,1, 4), po lo que la ditancia ente la ecta eá: det( AB, u, u) 187 d(, ) u u donde: AB B A (10, 2, 5), det( AB, u, u ) y u u (23, 31, 21) 1931 Pependicula común Se llama pependicula común de do ecta que e cuzan a la ecta que cota otogonalmente a cada una de ella. La pependicula común p de do ecta y que e cuzan queda deteminada po la inteección de lo plano ( A, u, u u) y ( A, u, u u) Po lo tanto, la expeión analítica de la ecta pependicula común e det( A X, u, u u) 0 p : donde X e un punto genéico de dicha ecta pependicula det( A X, u, u u) 0 La ditancia ente do ecta que e cuzan e igual a la ditancia ente lo punto de inteección de la pependicula común con la ecta dada. Oto método paa calcula la pependicula común e el de lo punto genéico: Sean lo punto P y P lo punto inteección de la pependicula común con la ecta y epectivamente. El punto P tendá como coodenada genéica la coepondiente a la ecuacione paamética de la ecta : P ( x1 a1t, y1 bt 1, z1 c1t ) Análogamente, la coodenada genéica del punto P de la ecta : P ( x2 a,, ) 2 y2 b2 z2 c2 P P u 0 El vecto PP e otogonal a lo vectoe u y u, luego: P P u 0 Opeando e obtiene un itema de do ecuacione con do incógnita, que on lo paámeto t y. Eliabete Albedi Celaya, Iantzu Álvaez González, Mª Iabel Eguia Ribeo, Mª Joé Gacía López y Aitzibe Unzueta Inchaube 55

12 Reuelto el itema, e utituyen lo valoe de t y en la coodenada de lo punto P y P, epectivamente. Conocido lo punto P y P, e calcula la ecuación de la pependicula común p cuyo vecto diecto e PP y la ditancia ente la ecta y, que e PP. Ejemplo 35 (A) Ecibi la ecuación de la pependicula común a la ecta y Solución: Se tiene A (0,0,0), u (1,1,1), A ( 1, 1,0), u (3,3,1) u u ( 2, 2,0) La pependicula común p etá deteminada po la inteección de lo plano: det( A X, u, u u ) x y 2z 0 x y z x 1 y 1 z det( A X, u, u u ) x y 6z x y 2z 0 Po tanto, la ecuación de la pependicula común e p : x y 6z 2 0 Si aplicamo la técnica de lo punto genéico de amba ecta tenemo: P ( t, t, t), P (3 1,3 1, ) P P (3 t 1,3 t 1, t) y como dicho vecto e otogonal a u y u : P P u (3 t 1,3 t 1, t) (1,1,1) 0 P P u (3 t 1,3 t 1, t) (3,3,1) 0 1 t 73t 2 2 Opeando: 197t Lo punto coepondiente a dicho valoe de t y on P,,, P,,. Claamente ambo punto coinciden, luego la ecta on ecante y la ditancia ente amba e ceo. La ecuación (en foma contínua o implícita) de la pependicula común paa po P (1/ 2,1/ 2,1/ 2) y tiene como vecto diecto el fomado po u u ( 2,2,0) : x y z p : x y1 0 p : 1 z 2 Eliabete Albedi Celaya, Iantzu Álvaez González, Mª Iabel Eguia Ribeo, Mª Joé Gacía López y Aitzibe Unzueta Inchaube 56