1.- INTRODUCCIÓN. Electrostática

Transcripción

1 .- INTODUCCIÓN La electotática e el etudio de lo efecto de la caga eléctica en epoo y de lo campo eléctico ue no cambian con el tiempo. Aunue e la má imple de la ituacione del electomagnetimo, e fundamental paa compende lo modelo electomagnético má complicado. La explicación de mucho fenómeno natuale (como lo elámpago) y lo pincipio de vaia aplicacione indutiale (como lo ocilocopio, la impeoa de choo de tinta...) e baan en la electotática. Paa la expoición de la aignatua empleaemo un enfoue deductivo, en el ue a pati de la expeimentación e deducen leye ue definen el compotamiento del campo eléctico. Definimo un vecto denidad de campo eléctico y e epecifica u divegencia y u otacional en el epacio libe (donde la caga no etán ligada a etuctua mateiale). Eto eán lo potulado fundamentale, a pati de lo cuale e deivan leye como la ley de Gau y la ley de Coulomb, ue pueden uae paa detemina el campo eléctico debido a divea ditibucione de caga. También veemo el potencial electotático y la elacione ente la fueza y la enegía electotática. En auella ituacione donde no e conocen la ditibucione exacta de caga en todo lo punto, peo deben atifacee cieta condicione de fontea, e neceaio emplea técnica de eolución adicionale. " Definicione Paa la electotática en el epacio libe ólo tenemo ue conidea una de la cuato cantidade de campo vectoiale fundamentale del modelo electomagnético, la intenidad de campo eléctico E. La intenidad de campo eléctico, E, e define como la fueza po unidad de caga ue expeimenta una caga de pueba puntual etacionaia, al colocae en una egión donde exite un campo eléctico: F E De eta expeión e puede deduci lo iguiente: el módulo del campo e popocional al de la fueza : E ; F el campo y la fueza tienen la mima diección. i la caga e poitiva, E y F tienen el mimo entido; i la caga e negativa, tendán entido contaio.

2 La fueza F e mide en Newton (N) y la caga en Coulomb (C), po lo ue la unidade del campo eléctico eán Newton po Coulomb (N/C), la cuale euivalen a oltio po meto (/m). La caga eléctica e peenta iempe en cantidade entea de una unidad fundamental, el electón (e.6 x -9 ), po lo ue nunca podá habe caga meno ue éta. La caga de pueba eá lo uficientemente peueña como paa no petuba el campo eléctico peviamente exitente. Una elación invea de la ecuación anteio no da la fueza F obe una caga etacionaia en una campo eléctico E : F E (N) " Potulado fundamentale Lo do potulado fundamentale en la electotática en el epacio libe, en foma difeencial, epecifican la divegencia y el otacional de E : E v E ε o donde denidad volumética de caga libe (Cm - ) v d v lim v v dv ε pemitividad del epacio libe 8.85 x - (F/m C/ m) El egundo potulado e muy impotante, ya ue no indica ue el campo electotático e conevativo. Eto do potulado on encillo e independiente del itema de coodenada y e pueden ua paa deiva ota elacione, leye y teoema de la electotática ya ue la opeacione de divegencia y otacional implican deivada epaciale. En la aplicacione páctica no inteeaá obtene el campo total debido a una ditibución de caga. Eto e puede obtene mediante una fomulación integal de lo potulado anteioe. Paa la fomulación integal de lo potulado tenemo ue ecui al Teoema de Stoke y al Teoema de la Divegencia. a.-) Paa el pime potulado, tomamo la integal de volumen en ambo miembo, paa un volumen abitaio. v Ed d ε o (*) (**)

3 Aplicando el Teoema de la divegencia al pime miembo: En el egundo miembo tendemo ue: Edv E d v v dv ε ε v Qv vdv ε v donde Q v e la caga libe enceada po el volumen. Po tanto, la foma integal del pime potulado no ueda tal ue: E d Eta última ecuación ecibe el nombe de TEOEMA DE GAUSS, y u intepetación e la iguiente: El flujo de alida total del campo electotático E a tavé de cualuie upeficie ceada en el epacio libe e igual a la caga total libe enceada po la upeficie dividida po la pemitividad del epacio libe, ε o. La upeficie S ue apaece en el Teoema de Gau ecibe el nombe de upeficie Gauiana y epeenta cualuie upeficie ceada imaginaia en la ue la componente pependicula del campo eléctico ea contante. Q v ε b.-) Paa el egundo potulado, integamo en una upeficie abieta y aplicamo el teoema de Stoke: S Ed E dl c c E dl E dl -> Sólo depende de lo punto inicial y final c C La integal de línea e aplica a un contono ceado abitaio, c. La ecuación etablece ue la integal de línea ecala (o ciculación) de la intenidad de campo electotático a lo lago de una tayectoia ceada e nula, lo cual implica ue ólo depende de lo punto inicial y final, e deci, ue el campo e conevativo.

4 Ejemplo del teoema de Gau Calcula el campo eléctico en la iguiente ditibución de caga: v a i < < i ; Solucion.- Tenemo una ditibución de caga eféica, en la ue la ditibución de caga etá enceada ente do efea puntuale: Tenemo ue ditingui la te zona del epacio con la ue tendemo ue tabaja. En ete cao hay te, y como etamo ante un poblema con imetía eféica podemo aplica el teoema de Gau, ya ue la componente pependicula del campo eléctico eá contante en la upeficie de la efea. La upeficie gauiana ue e eligen eán efea centada en cada una de la egione: egión : ( )

5 S upeficie gauiana Dado ue E y d on paalelo: E d Ed Sobe una efea el campo E e adial, po lo ue ólo depende de la ditancia al oigen de la efea. Debido a ue éta ditancia e contante, también lo eá el campo. Po tanto: E E ds E ds S donde d e la upeficie de la efea, ue vale π. Po lo ue: E d Eπ Aplicando el teoema de Gau obtenemo ue: S S ds E π ε o En eta egión tenemo ue Q v, ya ue la upeficie S no contiene ninguna caga, de lo ue deducimo ue en la egión no hay campo eléctico. E a Q v egión : ( )

6 S upeficie gauiana Pocediendo de la mima foma ue ante: E d Ed E d Eπ Paa el cálculo de la caga empleamo coodenada eféica, donde: dv enθ ddθdϕ La caga enceada po la upeficie gauiana viene dada po: Q v a v dv enθ d dθ dϕ eolviendo la integal obtenemo: Q v πa ( - ) El teoema de Gau ueda: Eπ π a ε ( - ) Depejando obtenemo ue el campo en la egión e: E a ε ( ) a

7 egión : ( > ) S upeficie Gauiana Al igual ue ante: E d Ed E d Eπ La caga enceada po la upeficie gauiana la podemo calcula a pati de la ue hallamo en la egión, haciendo. Q v πa ( - ) El Teoema de Gau no ueda: π a Eπ ( ε - ) Depejando obtenemo ue el campo en la upeficie e: E a ε a Obevamo ue en el exteio, el campo eléctico e igual al ceado po una caga puntual en el cento, de valo la caga total de la ditibución.

8 .- CAMPO ELÉCTICO.- " Campo eléctico de una caga puntual. Ley de Coulomb. Conideemo el poblema electotático má imple, ue conite en una ola caga puntual, en epoo, en el epacio libe ilimitado. Paa halla la intenidad de campo eléctico, E, ceado po, dibujamo una upeficie eféica de adio abitaio con cento en. E deci, una upeficie gauiana alededo de la fuente, a la cual e aplica el teoema de Gau paa detemina el campo. Pueto ue una caga puntual no tiene dieccione pefeente, u campo eléctico debe e adial en toda pate y tene la mima intenidad en todo lo punto de la upeficie eféica. El módulo de E ólo puede e una función de la ditancia a la caga, y como eta ditancia e contante, también lo eá el campo E. E a (a) Caga puntual en el oigen. Paa obtene el campo aplicamo el Teoema de Gau: E d Qv caga libe enceada en S S cualuie upeficie ceada. Se elige una efea concéntica con la caga. ds E Q v ε Como E y d on paalelo, tenemo ue: E d E d E E d E d π

9 El campo e contante en la upeficie de adio y ale fuea de la integal: v E d E π Q toda la caga ue éte enceada en la upeficie hipotética. E π adial al campo tenemo : depejando el campo de eta ecuación y poniéndole el entido ε E π ε o a N C donde caga: 9 9 m F + entido hacia fuea entido hacia dento y el entido del campo viene dado po el igno de la La ecuación anteio no indica ue el campo eléctico ceado po una caga puntual tiene diección adial hacia fuea, y u intenidad e popocional al la caga e inveamente popocional al cuadado de la ditancia a la caga. Nota : El teoema de Gau e aplica en poblema con imetía eféica, y en cilindo, hilo y placa de dimenione infinita. " Ley de Coulomb Cuando e coloca una caga puntual, en el campo ceado po ota caga puntual, expeimenta una fueza F debida al campo eléctico de en. Dicho campo e E : E ditancia ente la caga En la intoducción e había ue:

10 F E F E F E () E e un campo ceado po una caga puntual, cuya expeión hemo obtenido anteiomente: E a ; a vecto unitaio ue va de a o Sutituyendo en (), obtenemo la fueza ue actúa ente la do caga: F aˆ π ε Eta expeión e conoce como la LEY DE COULOMB y no dice ue la fueza ue actúa ente do caga puntuale e popocional al poducto de la caga e inveamente popocional al cuadado de la ditancia ue la epaa. F actúa en la línea ue une la caga: e una fueza de epulión cuando y tienen el mimo igno y una fueza de atacción cuando la caga tienen entido opueto. En el cao de vaia caga puntuale, el campo total en cualuie punto e obtiene aplicando el pincipio de upepoición: el campo total e la uma vectoial de lo campo cauado po cada una de la caga individuale Ejemplo de aplicación de la Ley de Coulomb paa una ditibución de caga puntuale Calcula el campo eléctico en el punto A (,) geneado po la iguiente ditibución de caga puntuale. Calcula la fueza ue e ejeceía obe una caga de 5C colocada en dicho punto. DATOS: C ; C ; -C

11 E Solucion.- En geneal, el campo ceado po una caga puntual viene dado po: E a Aplicando el Pincipio de Supepoición: Calculemo E : E E + E + E C ( ) a + m co 5 a x + en 5 a a y a x + a y luego: E ( a x + a y ) m Calculemo E : C ( ) a + m -co 5 a x + en 5 a a y - a x + a y

12 E πε ( ) (- a x + a y ) E a x a y m ( + ) Calculemo E : -C m a a E x a x E (- a x ) m Po lo tanto, tenemo ue el campo total e: E a x + a y Nw C Calculemo ahoa la fueza ue e ejeceía obe una caga de 5C colocada en el punto A. F E 5C De modo ue: F 5 a x + a y Nw

13 " Campo eléctico debido a una ditibución continua de caga Paa calcula campo eléctico debido a una ditibución continua de caga, e upone ue un elemento infiniteimal de caga e compota igual ue una caga puntual. Tenemo te elemento infiniteimale de caga: volumen, upeficial y lineal, ue en función de u epectiva denidad e pueden ecibi como: d v.dv v denidad de caga volumética d.d denidad de caga upeficial d l.dl l denidad de caga lineal Con pima e denotan lo punto fuente (donde exiten caga), y in pima denotamo lo punto campo (donde ueemo halla el campo electotático). Podemo obtene el campo eléctico ceado po una ditibución de caga continua integando (upeponiendo) la contibución de un elemento de caga a toda la ditibución de caga. Obevémolo en la figua iguiente donde e peenta una ditibución de caga volumética. v dv P - d v.dv e el difeencial volumético de caga. - e el volumen de la ditibución total de caga. - e la ditancia exitente ente un punto P del epacio y el difeencial - P punto del epacio obe el ue actúa el campo La denidad de caga e, en témino geneale, una función de la coodenada. Ya ue un elemento difeencial de caga e compota como una caga puntual, la contibución a la intenidad de campo eléctico en el punto fuente P de la caga d v.dv en un elemento de volumen difeencial dv e:

14 Paa una caga puntual : E π ε a Luego, paa una caga infiniteimal: d de π ε o a d E campo infiniteimal debido a d en P Integado en toda la egión donde exita caga, tenemo ue: a) Paa una ditibución volumética de caga: v E dv' a ' o b) Paa una ditibución upeficial de caga: S E d' a ' S o c) Paa una ditibución lineal de caga: l E dl' a ' L o

15 Ejemplo Detemina la intenidad del campo eléctico de una línea de caga ecta, infinitamente laga, con denidad unifome l (C/m) en el aie. Solucion.- z Paa una ditibución lineal de caga: dl a z a d E Siendo: E l C ' dl' - ditancia de un punto fente al punto campo P - l denidad lineal de caga (upueta contante) - vecto ue va dede lo punto fente al punto campo a (ecto poición con epecto del difeencial con epecto a P) Como tenemo una denidad lineal de caga, la expeión de la intenidad de campo a utiliza en el poblema eía: d E l dl' Debido a ue la caga etá ditibuida a lo lago del eje z, e puede ecibi ue: dl ' dz d E l dz' Paa eolve la integal del campo, podemo obeva ue el poblema tiene imetía cilíndica, aí ue aplicaemo eta coodenada: a + z' Depejando... a z' az a z

16 Entonce: l dz' a d E ldz' z' a z De auí podemo dividi la ecuación en do ub-expeione, una dependiente únicamente de la coodenada y ota de la coodenada z: d E ldz' a πε d E z ldz' z' a z Demotamo gáficamente ue: d z z d E Como podemo ve, la componente z de z -z d E a lo vectoe del campo e anulan (z y z). d E d E C' C ' d E + d E C' z ldz' ( ' + z a ) El campo no tiene componente vetical. Finalmente, eolvemo la integal y obtenemo ue: E l πε o a

17 Ejemplo eolve el ejecicio anteio, mediante el teoema de Gau: Solucion.- Como el hilo e infinito y l cte E e adial E E Q E ds S ε o d E d E d + E d E d E d S tapa up. lateal up. lateal E // d up. lateal E d up. lateal E d E d Entonce, como la upeficie gauiana e un cilindo, e cumple ue: d πl La caga Q v eá la denidad de caga po la longitud donde eté enceada: Q v l L Con lo ue: L l l E πl E a ε πε

18 . POTENCIAL ELÉCTICO Del potulado fundamental: E e puede deduci ue exite una función, ue denominaemo potencial eléctico ue cumple: E O / E De eta expeión e deduce ue: () El campo electoetático e diige hacia lo potenciale dececiente. () El campo electoetático e pependicula a la upeficie euipotenciale Conocido el potencial podemo detemina el campo con facilidad como una opeación de gadiente, lo cual e má encillo ue un poceo de integación diecta. " Tabajo ealizado po una caga puntual. El potencial etá muy ligado al concepto de tabajo en electotática. El tabajo en electotática e auel ue e ealiza en conta del campo, cuando e mueve una caga dede un punto a oto. La expeión del tabajo viene dada po: W P F dl P ( Definición geneal de tabajo ente do punto P y P ) Obevamo ue la expeión tiene igno negativo, eto e debe a lo mencionado anteiomente, el tabajo e ealiza en conta del campo. Supongamo ue ueemo calcula el tabajo neceaio paa lleva una caga puntual, de la poición a la, en conta de la fueza ejecida po el campo:

19 W Fdl F F e E C P E ( ) F e P W ( ) dl iendo W dl d l d. Nota: Como el integando e una difeencial exacta, el camino no inteviene en el cálculo del tabajo. W d ( ) W/ e independiente del camino elegido. Si no fuee aí, eíamo capace de cea una tayectoia po donde el tabajo e el má peueño y luego egea po ota tayectoia, logando aí una ganancia neta en tabajo y enegía. Ete eultado iía conta el pincipio de conevación de la enegía ( La enegía ni e cea ni e detuye, ólo e tanfoma ). W Análogamente al concepto de enegía potencial en la mecánica, podemo defini la enegía potencial eléctica po unidad caga con (potencial eléctico), tenemo ue: W P Edl P P Edl P Lo ue definimo con eta ecuación e una difeencia de potencial (voltaje electotático) ente lo punto P y P. No podemo habla del potencial aboluto de un punto, al igual ue no podemo habla de la fae aboluta de un fao o una altitud aboluta de un luga geogáfico; pimeo tenemo ue epecifica un punto de efeencia de inicio, en el cao de un fao (uualmente en t ), o una altitud de efeencia ceo (po lo geneal, tomaíamo el nivel del ma). En la mayoía de lo cao (aunue no en todo) el punto de potencial ceo e toma en el infinito: Cuando no etá en el infinito (po ejemplo, cuando etá en tiea ), debe epecificae de foma explícita.

20 De eta ecuación podemo hace do obevacione:. El potencial aumenta al i en conta del campo eléctico.. Sabemo ue la diección de e nomal a la upeficie con contante. Po lo tanto, i uamo línea de campo diigida o línea de flujo paa indica la diección del campo E, iempe eán pependiculae a la línea euipotenciale y a la upeficie euipotenciale. " Potencial eléctico de una caga puntual Sea una caga puntual Q en el punto O (oigen de coodenada) y upongamo ue ueemo talada la unidad de caga poitiva dede un punto A hata el infinito. a F A O(Q) A(+) F e la fueza ejecida po el campo ceado po Q. E e el campo ceado po Q. Paa halla la expeión del potencial, e calcula el tabajo neceaio paa talada la unidad de caga poitiva (C) dede una ditancia a hata el infinito: W dl C F eligiendo como camino paa eolve la integal el má encillo, ya ue el tabajo no depende del camino ue e elija poue el campo e conevativo. En ete cao el camino eá una ecta ue una lo do punto. W F dl ( A) A C C aliéndono de la elación F E y utituyendo en la ecuación anteio tenemo ue:

21 W E dl C A (Ecuación del tabajo del campo eléctico) Utilizando la expeión del campo eléctico deducida de la Ley de Coulomb: πε Q E a Sutituimo la expeión del campo dento de la integal y conideando ue dl d llegamo a la iguiente expeión paa el tabajo: a W A Q a d a eolviendo la integal llegamo a la expeión: W Q A A Se deduce la iguiente expeión paa el potencial de una denidad de caga puntual Q a una ditancia A de un punto A conceto: A Q A (Ecuación del potencial paa una única caga) La expeión anteio e puede genealiza paa cualuie cao en el ue ueamo calcula el potencial paa una caga puntual, poniendo Q el valo de la caga, y la ditancia a la caga. En el cao de vaia caga puntuale, po el pincipio de upepoición, podemo deci ue el potencial total en un punto e la uma de lo potenciale de cada caga po epaado obe dicho punto, e deci:

22 A Q n k k A k (Ecuación del potencial poducido po n caga obe un punto conceto A) Ejemplo Halla el tabajo paa talada una caga de 5C de A (,) hata B (,) Solucion.- (5C) A B Caacteítica de la caga: C y e encuenta en (,) C y e encuenta en (,) -C y e encuenta en (,) Po la definición de difeencia de potencial explicada anteiomente podemo deduci ue: W AB ( 5c B A ) Entonce, tendemo ue calcula el potencial en cada uno de lo punto paa pode halla el tabajo. Paa ealiza eta opeación, utilizaemo el pincipio de upepoición paa halla lo potenciale ejecido po cada caga obe la del punto A, paa halla depué el potencial total en el punto. Paa A : A A + A A + A A Po la ecuación dada ante paa el pincipio de upepoición tenemo ue hace:

23 + πε πε πε i i A i A Paa B : 5 πε πε + B πε πε B 8 πε B Po la ecuación en la ue aplicamo el pincipio de upepoición tenemo ue: πε πε πε i i B i B Finalmente, utituimo lo valoe y eolvemo: ( ) πε πε A B c AB W " Potencial eléctico paa una ditibución continua de caga En ete cao vamo a upone ue el compotamiento de una caga puntual y de una caga infiniteimal e análogo paa potencial. Caga puntual Ditibución continua d

24 d π ε d d π ε dv v ; v denidad volumética de caga. d d ; denidad upeficial de caga. dl l ; l denidad lineal de caga. El potencial eléctico debido a una ditibución de caga continua confinada en una egión dada e obtiene integando la contibución de un elemento de caga infiniteimal obe toda la egión donde exita caga. a.) Paa una ditibución volumética de caga tenemo: ' v dv' ' volumen de la ditibución de caga b.) Paa una ditibución upeficial de caga: S ' d' S ' upeficie de la ditibución de caga c.) Paa una ditibución lineal de caga: L' l dl' L ' longitud de la ditibución de caga Ejemplo Calcula la intenidad de un campo eléctico en el eje de un dico cicula de adio B con unifome.

25 Como podemo obeva, el poblema caece de uficiente imetía como paa aplica el teoema de Gau. iendo la geometía de la ditibución de caga, podemo obeva ue dicha ditibución e upeficial, po lo ue el potencial vendá dado po: S ' d' De donde S e la upeficie donde exite la caga, ue en ete cao eá toda la upeficie del dico. En coodenada cilíndica tenemo ue: iendo el difeencial de upeficie: S' b '] ] π,φ d ' d' dφ' b π π b ' d' dφ' ' d' dφ' z + ' z + ' ε ε ( z + b z) ( z + b + z) (Paa z>) (Paa z<) Po la definición del potencial eléctico deducida del egundo potulado abemo ue:

26 E d dz a z Finalmente, hallamo la intenidad del campo: E ε z z b a z (Paa z>) E ε + z z + b a z (Paa z<). DIPOLOS.- El dipolo eléctico etá contituido po do caga, una poitiva y ota negativa del mimo valo (+ y ), epaada una ditancia d, ue e upondá peueña compaada con la ditancia ue va dede el oigen hata el punto P en el ue e deea conoce el potencial y la intenidad del campo eléctico E. + + P d d O θ a a θ >>d - θ - d coθ donde, d vecto, de módulo d, ue va de - a + a vecto unitaio dede hacia p Po upepoición el potencial en el punto P e:

27 ( ) () Como e cumple ue >> d entonce θ θ y podemo ecibi + y - como: + d coθ d + coθ Sutituyendo eta expeione en la ecuación (), tenemo ue: con, d coθ d co θ >> d >> d co θ obtenemo: d coθ () Si definimo a como el vecto unitaio ue va dede el oigen hata el punto P, obtenemo ue: d a d coθ Si utituimo eta expeión en la ecuación (): d a () πε E inteeante detaca ue el potencial debido a un dipolo diminuye con la invea del cuadado de la ditancia, mienta ue paa una caga puntual diminuye con la invea de. " Momento Dipola ( p ). Definimo el momento bipola, p, como un vecto cuyo módulo e el poducto de la caga po la epaación d, y ue e diige dede la caga negativa a la poitiva:

28 p d Si utituimo eta expeión en la ecuación (), obtenemo una expeión má imple paa el potencial eléctico: pa Eta ecuación e válida paa punto alejado del dieléctico. Po imetía, al e la caga puntuale, E y han de e independiente del ángulo φ (en coodenada eféica). E ealizando la deivada: a θ a θ p E co ( θa + enθ a ) donde p e el módulo del momento dipola. La línea de campo eléctico de un dipolo on de la foma: θ 5.- MEDIOS MATEIALES EN UN CAMPO ELECTOSTÁTICO Elécticamente, lo mateiale e pueden dividi en: -Conductoe o metale: Mateiale en lo ue lo electone aociado a la capa má extena de lo átomo pueden movee libemente en u inteio (cualuie metal). -Ailante o dieléctico: En ete tipo de mateiale, todo lo electone etán confinado en la óbita atómica (plático, madea,...).