RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Transcripción

1 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA Paa calcla la ecación de la ecta debo conoce n pnto A(a, a 2, a 3 ) y n vecto en la diección de la ecta llamado vecto diecto. v=(v,v 2,v 3) OP=OA+AP Como AP v AP=tv OP=OA+tv Expeándolo en coodenada :(x,y,z)=(a,a,a )+t(v,v,v ) Ec. vectoial x=a +vt : y=a 2+v2t Ec. paamética z=a 3+v3t x-a v : = y-a v z-a 2 3 = Ec.contina v 2 3? Ec.implícita Ecación de la ecta qe paa po do pnto Sean A(a, a 2, a 3 ) y B(b, b 2, a 3 ). Neceitamo n pnto (no calqiea de ello) y n vecto diecto, qe eá v = AB = (b -a, b2 -a 2, b3 -a 3)

2 ECUACIONES DEL PLANO Paa calcla la ecación del plano debo conoce n pnto A(a, a 2, a 3 ) y do vectoe qe no ean paalelo ente í =(, 2, 3) y v=(v,v 2,v 3). OP=OA+AP Como AP, y v e encentan en el mimo plano Son coplanaio º) AP e pede pone como combinación lineal de y v AP=t v 2º) det(ap,,v)=0 OP=OA+t v Expeándolo en coodenada π:(x,y,z)=(a,a,a )+t(,, )+(v,v,v ) Ec. vectoial x=a + t+v π: y=a 2+2t+v 2 z=a3 +3t+v 3 Ec. paamética x-a y-a z-a 2 3 =0 Deaollando po Sa 2 3 v v v 2 3 Ax+By+Cz+D=0 Ecación geneal o implícita

3 Ecación del plano qe paa po te pnto Te pnto (no alineado) iempe deteminan n olo plano. Sean A(a, a 2, a 3 ), B(b, b 2, a 3 ) y C(c, c 2, c 3 ). Neceitamo n pnto y do vectoe diectoe, qe eán A(a, a 2, a 3 ) = AB = (b -a, b2 -a 2, b3 -a 3) y v = AC = (c -a, c2 -a 2, c3 -a 3). La ecación del plano eá: x-a y-a z-a 2 3 b -a b -a b -a = c -a c -a c -a Vecto nomal a n plano n π (n e n vecto pependicla al plano π ), qiee deci qe n e pependicla a calqie vecto contenido en el plano. Se dice qe n e n vecto nomal al plano π. )Sea π:ax+by+cz+d=0. El vecto nomal al plano eá n=(a,b,c) 2) Si del plano conocemo vectoe diectoe y v : v Pedo toma como n v v v Pnto coplanaio Cato pnto on coplanaio i petenecen al mimo plano. )Calclo la ecación del plano qe paa po A,B y C y compebo i D petenece al plano 2) AB, AC y AD on linealmente dependiente det(ab, AC, AD)=0

4 Poición elativa del do plano Sea π:ax+by+cz+d=0. El vecto nomal al plano eá n=(a,b,c) Sea π':a'x+b'y+c'z+d'=0. El vecto nomal al plano eá n=(a',b',c') A B C D Si = = = A' B' C' D' COINCIDENTES A B C D Si = = A' B' C' D' PARALELOS Si (A,B,C) y (A',B',C') no popocionale SECANTES Si do plano on ecante (e cotan en na ecta), el itema fomado po ecacione foma la ecación implícita de la ecta. Ax+By+Cz+D=0 : A'x+B'y+C'z+D'=0 Nota: Paa calcla n vecto diecto de la ecta: i j k A B C A' B' C' Y paa calcla n pnto de la ecta le doy n valo calqiea (el 0 iempe qe e peda) a x, o a y o a z y eelvo el itema.

5 Ejemplo: Calcla n pnto y n vecto diecto de la ecta: x+2y-z=3 ) : 2x-y+z= i j k 2 (, 3, 5) 2 Paa calcla A : 2y-z=3 Hago x 0 La mo, y=4, z=5 A (0, 4,5) -y+z+= 2) Hay vece qe e pede hace diectamente x=+2λ x-2z-=0 A (,2,0) : : y=2 : y-2=0 (2,0,) z=λ

6 Poición elativa de ecta y plano La ecta iempe en paamética El plano iempe en foma geneal Se eelve el itema: Si hay na olción Recta y plano ecante Si no hay olción Recta y plano paalelo Si hay infinita olcione La ecta contenida en el plano

7 Calcla la poición elativa de la ecta y el plano igiente: x 2 7 ) : y 4 y : 3x 2y 5z 5 0 z 3 3 Re elvo el itema : 3(2 7 ) 2(4 ) 5(3 3 ) y on ecante Si me piden el pnto de cote, tityo el valo del paámeto en la ecación de la ecta: Sea P= P( 5,5, 0) x 2 7 2) : y 4 3 y : 3x 2y 5z 5 0 z 3 3 Re elvo el itema : 3(2 7 ) 2(4 3 ) 5(3 3 ) Eta ecación no tiene olción y on paalelo Obe va qe n n 0 x 2 7 2) : y 4 3 y : 3x 2y 5z 0 z 3 3 Re elvo el itema : 3(2 7 ) 2(4 3 ) 5(3 3 ) Eta ecación tiene infinita olcione la ecta etá contenida en el plano Obe va qe n n 0 Poición elativa de do ecta A A Calclo :, : y AA A A COINCIDENTES SI no paalelo A A PARALELAS? det,, A A =0 SE CORTAN (SECANTES) NO det,, A A 0 SE CRUZAN

8 A A COINCIDENTES Exiten infinito plano qe contienen a ea ecta no paalelo A A PARALELAS Exite n plano qe la contiene no paalelo det, A A =0, SECANTES(e cotan) Exite n plano qe la contiene no paalelo det, A A 0, SE CRUZAN No exite n plano qe la contiene

9 . No dan la ecta deteminada po lo pnto A(2,,) y B (0,-,-) y la ecta deteminada po lo pnto C(,2,-) y D(,4,-2). a) Razona poición elativa. A (2,,) A (,2, ) : : AA (,, 2) BA (2,2,2) CD (0,2, ) no paalelo Se cotan o e czan Calclo det(,,a A ) Se cotan y ecante 2 b) Calcla pnto de cote Calcla el pnto de cote: Ecibimo la ecacione de la ecta (con ditinto paámeto) x=2+2t x= : y=+2t : y=2+2 z=+2t z=-- Como ya abemo qe on ecante, el itema fomado tiene olción Igalamo la x,y,z 2+2t= t=- 2 +2t=2+2 +2t=-- Calclamo el pnto en la ecta coepondiente al paámeto t=- 2 Sea P= P(,0,0) c) Calcla el plano qe contiene a dicha ecta: La ecación del plano qe contiene a do ecta ecante e obtiene con n pnto calqiea de la ecta y lo do vectoe diectoe: A (2,,) x 2 y z (2,2,2) : 3x y 2z 3 0 v 0 2 (0,2, )

10 2. No dan la ecta deteminada po lo pnto A (,,) y B (3,,2) y la ecta dada po x 2z 0 y 2 0. Se pide: a) Aveiga poición elativa. b) Si exite, halla la ecación geneal del plano qe la contiene. SOLUCIÓN. A (,2,0) A (,,) i j k a) (2, 0,) AA (0,, ) (2, 0,) Como La ecta on paalela o coincidente Como no e paalelo a A A La ecta on paalela b) La ecación del plano qe contiene a do ecta paalela e obtiene con n pnto calqiea de la ecta y no de lo do vectoe diectoe y el vecto AA : A (,,) x y z (2, 0,) : x 2y 2z 3 0 v 0 (0,, )