PROBLEMAS DE POTENCIAL CON VALORES EN LA FRONTERA ECUACIONES DE POISSON y LAPLACE
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- Trinidad Macías Plaza
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1 PROBLMAS POTNIAL ON ALORS N LA FRONTRA UAIONS POISSON y LAPLA
2 Fnción elt de ic l fnción delt de ic es n excelente instmento p conveti densiddes pntles, lineles y speficiles, en densiddes volmétics eqivlentes sto tiene n gn inte es y qe l ección de Poisson es p densiddes volmétics y no posee nálogo en menoes dimensiones, pesto qe dich ección poviene del teoem de l divegenci el cl no tiene nálogo en dimensiones menoes tes. on est distición es posile escii n densidd de cg pntl (icd en como n densidd volmétic eqivlente st densidd epodce decdmente tnto l cg totl como el potencil qe gene
3 s sl defini l fnción delt de ic como: st definición se s en n concepción eóne de l distición delt de ic como n fnción. A pes de ello, hlemos de ho en dete de l fnción delt de ic p est code con l litet.
4 4
5 5
6 L expesión p el ánglo solido nos pemitiá desoll n impotnte identidd qe seí de so fecente en nestos desollos, clclemos l divegenci del gdiente de l fnción: Hciendo el cmio de vile y teniendo en cent p ; en tl cso esciiendo el opedo lplcino en coodends esféics vemos qe solo pece l deivd con especto l coodend deido l simetí esféic de
7 peo p = est expesión est indetemind. No ostnte, veemos el compotmiento de est expesión jo n integl de volmen en n ciet vecindd de = Aqí plicmos el teoem de Gss emos entonces qe: p en tnto qe s integl en n volmen qe contiene = es 4π, esignndo eslt entonces qe: 7
8 cciones de Poisson y Lplce 8
9 9
10 álclos de cmpos electostáticos
11 PROBLMA nte dos pos condctoes indefinidos plelos sepdos n distnci y conectdos potenciles y +, según se mest en l fig, existe n distición contin de cg negtiv dd po l ección ( = + ( = Z = etemine el potencil en clqie pnto ente los dos pos condctoes y ls densiddes speficiles de cg en los mismos (spong l pemitividd del medio ente los pos igl. cción de Poisson en coodends ctesins plicd este cso: Al esolve est ección y plic l solción ls condiciones de contono expesds en el enncido otendemos el potencil en todos los pntos. Integndo n ve: ondiciones de contono: n = ( = = n = ( = ( Integndo dos veces: ( ( =
12 PROBLMA (ontinción ensidd speficil de cg en los pos condctoes: clclemos pimeo el cmpo eléctico ( l cmpo eléctico en l speficie de n condcto está ddo en fnción de l densidd speficil de cg σ po: n n infeio ( Po infeio =. Aqí n infeio speio ( Po speio =. Aqí n speio
13 PROBLMA Un esfe condcto de dio está oded po ot esfe condcto, hec y concéntic con ell, de dio >. l espcio ente ls dos esfes se ellen con n dieléctico, y ente ms esfes se mntiene n difeenci de potencil -. lcle el potencil y el cmpo en clqie pnto sitdo ente ms esfes. Si l pemitividd del dieléctico es, detemine ls densiddes speficiles. c etemine el desplmiento y l polición en el dieléctico. omo no hy densidd de cgs lies ente ms esfes, l ección de Poisson se edce en este cso l de Lplce. Po l simetí esféic del polem el potencil únicmente v depende de l coodend dil, y entonces el lplcino es d d Integndo d d d dos veces d P = ( = P = ( = ( (
14 4 PROBLMA (ontinción σ σ Relción ente cmpo y densiddes speficiles de cg n ( n ( n Si > (esfe inten positiv, como < σ > σ < P álclo del desplmiento. Aplicmos el T. de Gss n esfe gssin de dio y speficie S concéntic con l esfe inten de dio y speficie S qe contiene l cg q. S S q ds Po simetí S 4 4 P ( gs ligds + gs ligds - P > gs lies + gs lies - Polición
15 PROBLMA Se constye n condensdo cilíndico sndo dos mds cilíndics concéntics de dios y ( > e intodciendo n dieléctico de pemitividd en l mitd infeio del mismo, según se mest en l fig. l condensdo se cg voltios, siendo positiv l md inten. Sponiendo despeciles los efectos de los odes, se pide: Reselv l ección del potencil y detemine el cmpo en clqie pnto ente ls dos mds. etemine ls densiddes speficiles de cg lie y l cpcidd po nidd de longitd. c etemine el desplmiento y l polición. omo no hy densidd de cgs lies en l egión ente mds, l ección de Poisson se edce en este cso l ección de Lplce, y dd l simetí del polem, el potencil sólo dependeá de l coodend dil. d d d d d d ondiciones de contono P = ( = P = ( = ( ( ( ( ( 5
16 PROBLMA (ontinción Tnto en l md inten como en l exten podemos distingi dos ons, l del vcío (I y l del dieléctico (. mpo eléctico ( ( ( ensiddes speficiles de cg lie Amd inten n Amd exten n ( I n ( n ( I n ( n I I I I ( ( I ( ( ( ( I ( ( ( ecto nitio dil sentido hci fe l cmpo eléctico es el mismo en ms ons, pesto qe l difeenci de potencil es l mism sts dos densiddes de cg son positivs, pesto qe ( < ensiddes de cg negtivs, pesto qe ( < I g po nidd de longitd en l md inten q L I ( (st cg es positiv, en l md exten hy n cg igl peo negtiv pcidd po nidd de longitd L q L (
17 PROBLMA (ontinción esplmiento eléctico: plicmos el teoem de Gss n cilindo cedo y coxil con ls mds, de speficie ltel S y longitd L S ds L q ( Zon I ds Zon ds L I L n todos los pntos de l speficie ltel S el vecto desplmiento es dil y po tnto plelo ; en ls ses del cilindo s fljo es nlo po se pependicl ls speficies. n l speficie de sepción ente el vcío y el dieléctico, ls componentes tngenciles del cmpo eléctico deen se igles y dee veificse I q L I ( I ( ( I ( ( I I I I S Polición: P P ( ( P ( 7
18 PROBLMA 4 os esfes metálics concéntics de dios y ( > se conectn ms tie y en el espcio compendido ente ells se coloc n distición de cg de pemitividd y densidd volmétic de cg donde epesent l distnci dil desde el cento del sistem (. lcle cánt cg dqiee l esfe inten. P clcl l cg de l esfe inten tendemos qe detemin l densidd speficil de cg en dich esfe. P hce esto, empeemos clcdo el potencil en clqie pnto de l egión compendid ente ms esfes. n este cso hy simetí esféic, po lo qe el potencil sólo dependeá de l coodend dil. cción de Poisson d d d d d d d d d d d d 8
19 9 PROBLMA 4 (ontinción ( ( ondiciones de contono: ( ( ( ( No hce flt clcl poqe pti del potencil vmos deiv p otene el cmpo eléctico d d l vecto desplmiento es n = el módlo del vecto desplmiento nos d l densidd speficil de cg. 4 L cg en l esfe inten es: S q 4 4 (
20 S q 4 4 ( PROBLMA 4 (ontinción Intepetción del esltdo ( f ( f Si l densidd es positiv, entonces l esfe inten se encent cgd negtivmente ,,5,,5,,5 4, 4,5 5, f 4 (
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3..- Ciculción del cmpo eléctico Tem 3..-- ottenciill ellécttiico q = e (Cmpo centl consevtivo) n efecto: e d q e d q d q d= = = = q q = = ( ) = 4 πε L ciculción del cmpo ente dos puntos es independiente
22.6 Las 3 esferas pequeñas que se muestran en la figura tienen cargas q 1
.6 Ls 3 esfes peueñs ue se muestn en l figu tienen cgs 4 n, -7.8 n y 3.4 n. Hlle el flujo eléctico neto tvés de cd un de ls supeficies ceds S, S, S3, S4 y S5. S S S3 S5 3 S4 4 m S 9 3 Φ.45 m 8.85 9 7.8
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qwetuiopsdfghjklcvbnmqwetui opsdfghjklcvbnmqwetuiopsdfgh jklcvbnmqwetuiopsdfghjklcvb nmqwetuiopsdfghjklcvbnmqwe tuiopsdfghjklcvbnmqwetuiops NTECEDENTE DE ELECTRICIDD Y MGNETIMO OERDOR NBL. dfghjklcvbnmqwetuiopsdfghjkl
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=-2.8 µc, se mantiene en una posición fija por medio de soportes aislantes. Se proyecta hacia q 1
. n esfe etálic peueñ, con un cg net de -.8 µ, se ntiene en un posición fij po edio de sopotes islntes. Se poyect hci un segund esfe etálic peueñ, con un cg net de -7.8 µ y un s de.5 g. undo ls dos esfes
a) El sistema puede ser visto como dos capacitores en paralelo, donde cada capacidad es de la forma C i = ε i A i /d i. Entonces se obtiene:
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Resolución de Problemas: Trapajo Práctico nº 4
Resolución e Poblems: Tpjo Páctico nº 4 Poblem 2: En el cento e un cubo e 1cm e lo se coloc un cg puntul Q5mC. Cuánto vle el flujo eléctico tvés e un c? Y si l cg se ubic en un vétice el cubo? P clcul
2πε. V b a. b a. dr r 850V E 3
3.6 El tuo e un conto Geige tiene un cilino metálico lgo y hueco e cm e iámeto. too lo lgo el eje el tuo hy un lme e.7 mm e iámeto. uno el tuo está funcionno, se plic un voltje e 85 V ente los conuctoes.
ò ò ò a a a ( razones de simetría) Circulación del campo eléctrico (Campo central conservativo) r 4pe En efecto: b
Tem 3..-- ottencii eécttiico 3.1.- Cicución de cmpo eéctico 1 Q = e (Cmpo cent consevtivo) n efecto: Q e d Q d é 1ù d= = = - = ê ë úû Q æ1 1ö Q =- - =-( -) = ç çè ø Q e d d L cicución de cmpo ente dos
Física. g u a y F R. Entonces : tg
Físic g u y. Clcul l istnci el equiliio ente ls os esfes e l figu, e ms m, cgos con q coulomios, si se supone que el ángulo con l veticl es muy pequeño, y los hilos que los sujetn no tienen ms. SOLUCIÓN:
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Mgnetostátic NTODUÓN ntoduci el concepto de cmpo equiió un gn dosis de imginción po pte de los físicos, pues es difícil ce en l cuent de que lo elmente impotnte en el estudio del cmpo electomgnético no
( ) ( ) ( ) El producto escalar de dos vectores puede ser negativo. La información que se obtiene del signo del producto escalar es:
. Hll el pdct escl de ls ectes ( ) y ( ). Slción. P est definids en l se cnónic ( ) ( ) ( ) El pdct escl de ds ectes pede se negti. L infmción qe se tiene del sign del pdct escl es > 0 El ángl ente ls
Magnetostática: Definición
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CONDNADOR Y CAPACITOR n el pesente cpítulo nos pepmos estudi unos dispositivos que se hn eveldo como fundmentles en electicidd: LO CAPACITOR Los cpcitoes son dispositivos que son cpces de lmcen enegí eléctic
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