Conductores en campos electrostáticos. Concepto de capacidad. Materiales dieléctricos. Vectores Polarización y Desplazamiento

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1 Tem II: Electostátic en medios mteiles. Conductoes en cmpos electostáticos. Concepto de cpcidd. Mteiles dielécticos. Vectoes Polizción y Desplzmiento Biliogfí: Físic. Volumen nº. Tiple. Editoil Reveté. Físic. Volumen nº. Alonso y Finn. Editoil Addison-Wesley Conocimientos pevios: Ls leyes fundmentles de l Mecánic, opeciones vectoiles, concepto de cmpo eléctico Ojetivos: Entende como es el cmpo electoestático en el inteio y en ls cecnís de un conducto cgdo o descgdo. Compende poque decimos que un conducto es un volumen equipotencil. Compende que l cpcidd de un sistem de conductoes es un popiedd que depende de l geometí del sistem. Entende como se compotn los mteiles dielécticos en un cmpo electostático, sí como el significdo del vecto polizción y ls densiddes de cg de polizción. Intoducción Hemos visto que l pesenci de cgs eléctics en un punto culquie del espcio, d lug l existenci de un cmpo eléctico, que hemos pendido detect po l fuez que pecí soe ot cg, y hemos entendido se encont en el ie o en el vcío. En este tem, vmos estudi tnto l influenci del medio en l distiución de cmpos genedos po ls cgs, como l influenci del cmpo eléctico en l distiución de ls cgs eléctics que son los átomos y moléculs que fomn un medio mteil. Desde siempe se h considedo que existín dos gndes gupos de medios mteiles según fuese su compotmiento fente los cmpos elécticos. Así, l hl de expeiencis de tioelecticidd se clificó los medios como elécticos o nelécticos según se mnifest o no con fcilidd este fenómeno. Est pime división de los medios mteiles se consolidó cundo se estudió el compotmiento de l mtei nte l conducción eléctic, cso ien distinto del que nos intees ho, y con lguns mtizciones, dio lug l denominción de conductoes (identificdos con los metles) y islntes (identificdos con los no metles). L pición de popieddes de conducción en cietos no metles, dio pso l división hoy en uso de los medios mteiles como: conductoes, semiconductoes y dielécticos. A continución veemos como se compotn los distintos tipos de medios conductoes en el seno de los cmpo electostáticos. Conductoes en cmpos electostáticos Vmos inici el estudio de ls intecciones ente cmpos electostáticos y medios mteiles, nlizndo el compotmiento de un medio conducto en un cmpo electostático. Empezemos Electostátic en medios mteiles II - 1

2 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos po compende como se distiuyen sus cgs en est situción, p conoce después como son el cmpo y el potencil en los conductoes, teminemos su estudio nlizndo el cmpo y el potencil deido un conducto cgdo, p lleg entende el significdo de l cpcidd de un conducto y de un conjunto de ellos. Distiución de cg en un conducto en equiliio electostático Vmos conside ho un medio conducto que, como semos, se ccteiz po l movilidd de los electones en su volumen, l que supondemos inmeso en un cmpo electostático. Figus 1, y 3 Repesentción de l distiución de cgs en un conducto En pime lug supongmos que el conducto es neuto (no tiene cg dicionl). Sin emgo, en el volumen del conducto existen electones, que como semos se pueden move con lietd po todo el volumen del conducto. Si el cmpo eléctico ctú soe un electón, éste se veá sujeto l cción de un fuez F = q e E que tendeá movele en sentido opuesto l cmpo, y lo mismo ocuií con todos los electones del conducto. Aho ien, cd electón que se desplz en cont del cmpo (en l figu, hci l izquied del conducto), povoc l pición de un cg positiv en el conducto en el sentido del cmpo (en l figu, l deech). Est nuev distiución de cgs cus l pición de un nuevo cmpo eléctico, opuesto l oiginl, cuyo vlo iá umentndo medid que se desplzn nuevos electones en cont del cmpo, y pezcn cgs positivs en el oto extemo del conducto. Este fenómeno se mntendá hst que se igulen los módulos del cmpo exteio plicdo y el nuevo (que se h genedo po el deslzmiento de los electones) de modo que l finl el cmpo electostático en el volumen del conducto se nulo, con lo cul no se ejeceá fuez lgun soe los electones lies que posee el conducto. Po tnto l condición de equiliio seá: El cmpo electostático en el inteio de un conducto descgdo es nulo. Si el conducto está cgdo, con un cg Q l situción seá l mism, pues mients exist un cmpo en el volumen del conducto ls cgs lies (electones) se mueven po efecto de ese cmpo uscndo un distiución en l que exist equiliio, que es quell en l que el cmpo en el inteio del conducto es nulo, con lo que no existen fuezs eléctics soe ls cgs. Este zonmiento nos llev que: el cmpo electostático en el inteio de un conducto es siempe nulo Po ot pte, si el cmpo en el inteio del conducto es nulo, plicndo el teoem de Guss vemos que tiene que ocui que culquie supeficie ced que consideemos en el inteio de ese conducto no dee ence ningun cg, luego l cg en un conducto sólo se puede Electostátic en medios mteiles II -

3 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos distiui en l supeficie del mismo. Polem 1.- Un ojeto conducto es hueco. Si se intoduce un cg puntul"q" en l cvidd, demuéstese que se induce un cg "-Q" en l supeficie inten de l cvidd. Consideemos el conducto hueco, cuy sección se epesent en l figu, si en su cvidd inteio existe un cg Q, l plic el teoem de Guss p un supeficie Σ en Q enced el inteio del volumen del conducto, se cumpliá: E ds =. Σ ε Como l supeficie de Guss que hemos considedo está tod ell en el volumen del conducto, el cmpo eléctico seá nulo, lo que signific: E ds =, peo po oto ldo Σ esto olig que l cg enced en l supeficie de Guss se nul, como en l cvidd existe l cg Q, se dee ence un cg - Q. Po est hlndo de un conducto sólo puede est en un supeficie, en este cso l supeficie inteio del hueco, como nos pedín demost. Figue 1 de polems L líne oj epesent l supeficie de Guss que considemos en el volumen del conducto Potencil eléctico de un conducto en un cmpo eléctico L pime conclusión que se sc del hecho de que cmpo electostático se nulo en el inteio de un conducto, es que: los conductoes son un volumen equipotencil. Si el volumen del conducto no está todo él un único potencil, existiín l menos dos puntos, de ese volumen que estín distinto potencil, lo que significí que ente ellos existií un cmpo electostático, lo que semos no es posile. Si plicmos l definición de difeenci de potencil ente dos puntos culesquie del conducto, B tendemos: VB VA = E dl. Según hemos visto, dento del conducto se cumple siempe A que el cmpo electostático es nulo E = luego el integndo ( ) de l ecución nteio es nulo, como sum muchs veces ceo d ceo (no confundi con sum cntiddes muy pequeñs cuy sum no tiene po que se nul) llegmos que B VB VA = E dl =, luego el volumen del conducto está A potencil constnte. Cmpo eléctico en l supeficie de un conducto. Vemos ho, como tiene que se l cmpo en l supeficie de un conducto. Supongmos, como se muest en l figu, que el cmpo no fuese pependicul l supeficie del conducto, Figue Componentes noml y plel del cmpo eléctico en l supeficie de un conducto suponiendo que no fuese pependicul ell Electostátic en medios mteiles II - 3

4 Figue 5 P clcul el cmpo en ls cecnís de un conducto tommos como supeficie de Guss un cilíndico ecto un de cuys ses está en el conducto. Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos podemos descompone el vecto cmpo en dos componentes un noml y ot plel su supeficie. L componente plel l supeficie, povocí en los potdoes (los electones que se pueden move liemente po el volumen del conducto) un movimiento plelo l supeficie, lo que lleví un nuev distiución de cgs que modificí el cmpo. L situción de equiliio es quell en l que no existe movimiento de cgs, lo que sólo ocue cundo l componente del cmpo plel l supeficie se nule. Po tnto, en l situción de equiliio el cmpo electostático es pependicul l supeficie del conducto. P clcul el vlo del cmpo en l supeficie del conducto, consideemos que está cgdo con un densidd supeficil de cg σ. Clculemos el vlo del cmpo plicndo el teoem de Guss, p lo que tenemos que conside un supeficie ced. L supeficie dee contene los puntos en los que nos intees clcul el cmpo y otos en los que se fácil conoce el flujo del cmpo eléctico. En este cso nos intees conside un supeficie cilíndic, como l que se muest en l figu 5, un de cuys ses está en el inteio del conducto y l ot tn póxim l supeficie como quemos. Aplicndo el teoem de Guss est supeficie tendemos: Qenced E ds =. Clculemos po sepdo los dos Sup cilindo ε miemos de est ecución. El pime miemo lo podemos escii como: E ds = E ds + E ds + E ds Sup cil. se 1 se sup ltel cd integl po sepdo., clculemos ho Bse 1 El vecto supeficie es noml ell y diigido hci i, el vecto cmpo, si considemos l cg positiv, tmién seá pependicul l supeficie del conducto y po tnto l se 1 del cilindo si l considemos muy pequeñ y tn póxim l conducto como quemos. Po tnto, los vectoes cmpo y supeficie son plelos y: E ds = E ds ={como l supeficie es pequeñ el módulo del cmpo seá constnte}= se 1 E ds se 1 se 1 llmndo S l áe de l sección ect del cilindo que es l supeficie de Guss que hemos elegido, tendemos: E ds = E A S se 1 Bse El vecto supeficie es noml ell y ho diigido hci jo, el vecto cmpo, po est dento del conducto seá nulo, luego: Electostátic en medios mteiles II -

5 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos E ds = se Supeficie cilíndic El vecto supeficie seá noml en cd punto l supeficie ltel del cilindo, es deci seá hoizontl, como el cmpo en ls poximiddes del conducto es pependicul l supeficie del conducto, es deci es veticl, se cumple que los vectoes cmpo y supeficie son pependicules: E ds =. sup lt Po tnto, el clculo del pime miemo de l ecución E ds sup cil = E A S Q Vemos el vlo del segundo miemo de l ecución: enced, l cg enced en el ε cilindo seá exclusivmente l de l supeficie del conducto que esté dento del popio cilindo, si l densidd de cg es σ, y el áe de l sección ect S, l cg totl enced en el cilindo de Guss, seá: σ S. Igulndo los dos téminos de l ecución otenemos: S E S = σ, es deci que el módulo del ε vecto cmpo seá: E = σ ε, como semos que el cmpo es noml l supeficie del conducto u n en cd punto. Si llmmos l vecto unitio noml l supeficie en cd punto, tendemos que en ls poximiddes de un conducto cgdo el cmpo electostático es: E = σ u n ε Vemos ho que sucede en puntos más lejdos del conducto, p lo cul vmos conside lgunos csos sencillos como el de un conducto esféico. Cmpo y potencil deidos un esfe conducto cgd. Consideemos un esfe conducto de dio, que está cgd con un cg +Q. P clcul l distiución de cmpos que dá lug deeemos tene en cuent que: l cg se sitú en l supeficie el cmpo en l supeficie es dil (l se siempe pependicul l supeficie) l esfe tiene simetí, de mne que gindo lededo de su cento encontmos siempe l mism situción. Figue 6 Esquem de un esfe de dio cgd con cg +Q Electostátic en medios mteiles II - 5

6 Figue 7 Como supeficie de Guss tommos un esfe concéntico con l esfe cgd Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos Ests cicunstncis tendán como consecuenci que l distiución de cmpos que de lug tendá tmién l mism simetí que l esfe. Lo que nos llev que en culquie punto exteio: el cmpo seá dil, y plelo o ntiplelo un vecto unitio diigido según el dio según se l cg positiv o negtiv. Es deci en nuesto cso E = E u. su módulo es el mismo en todos los puntos del espcio que equidisten del cento de l esfe. P clcul el módulo del cmpo, y considendo l simetí del polem, pece lógico plic el teoem de Guss. En este cso l supeficie con l simetí decud seá ot supeficie esféic concéntic con l esfe genedo del cmpo, peo de dio que seá l distnci l cento de l esfe del punto genéico en el que estmos clculndo el vlo del cmpo. Q Según el teoem de Guss: E ds = totl. P clcul el pime Σ ε miemo tendemos en cuent que el cmpo seá dil y el vecto supeficie po definición seá noml l supeficie, ds = ds u, luego el poducto escl de los vectoes cmpo y difeencil supeficie seá igul l poducto de los módulos E ds = E ds Como po simetí culquie punto de l esfe de dio es equivlente, el módulo del cmpo seá constnte en tod l supeficie gusin que estmos considendo, luego E ds = E ds = E ds = E( π ). Σ Σ Σ P clcul el segundo miemo de l iguldd, deemos tene en cuent que l únic cg que tenemos enced po l supeficie gusin, es l de l esfe conducto es deci: Qtotl Q = +. ε ε Igulndo los dos miemos de l ecución tenemos: Q E ( π ) = ; el módulo del cmpo seá: ε Q E =, como semos que el cmpo es dil, π ε Q esciiemos: E = u. π ε Lo que nos dice que, distncis suficientes ( > ), el cmpo genedo po l esfe cgd es el mismo que el Figue 8 Vición del módulo del cmpo eléctico deido un esfe cgd de dio Electostátic en medios mteiles II - 6

7 que ceí un cg puntul situd en el cento de l esfe. Figue 9 P i desde A hst B, tzmos un co de cicunfeenci con cento en el de l esfe que nos define el punto A Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos Como el cmpo en el inteio del conducto dee se ceo, existiá un discontinuidd en l supeficie del mismo según se epesent en l figu 8, el módulo del cmpo en l c exteio de l supeficie vldá: Q E( ) = mients que en el inteio el cmpo seá nulo. ext π ε A pti de l expesión otenid p el cmpo eléctico podemos clcul el potencil teniendo en cuent que: B V( B) V( A ) = E dl A P clcul l integl desde el punto A hst el punto B exteioes l esfe, (figu 9), semos que podemos elegi culquie cmino, po tnto l podemos clcul yendo desde A hst A y de A B. Po l estuctu del cmpo, el tmo desde A hst A dá integl nul, y que el poducto vectoil del cmpo (vecto plelo u ) po el vecto movimiento (vecto plelo l tngente y en consecuenci pependicul u ) seá el poducto escl de dos vectoes pependicules que es nulo. L únic contiución seá l deid el tmo ente A y B en el que el vecto movimiento es de l fom dl = dl u, lo que nos d el poducto de dos vectoes plelos, con lo que: B V( B) V( A ) = E dl B B = = = ; luego E d B Q d Q 1 A A A π ε π ε Q 1 1 V( B) V( A ) =. π ε B A Al est l cg en l esfe, y po tnto no existi cg en el infinito podemos tom como ceo el potencil en el infinito ( A 6, V( A ) 6), lo que nos pemite hl de potencil en un punto Q culquie exteio l esfe V( ) =. π ε En los puntos inteioes en l esfe cgd, semos que el cmpo dee se nulo y po tnto el potencil constnte. Si considemos un punto de l supeficie del conducto, su vlo seá V = Q, po tnto todos los puntos de el conducto tendán este mismo potencil. π ε Si epesentmos en uno ejes coodendos el vlo del módulo del cmpo eléctico y del Electostátic en medios mteiles II - 7 A

8 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos potencil nos encontmos con lo epesentdo en l figu 1 (epesentmos en ojo el vlo del potencil y epetimos en zul el módulo del vecto cmpo en culquie diección del espcio). L figu nos pemite ve que si ien tnto el cmpo como el potencil disminuyen con l distnci, l vición es mucho más ápid en el cso del cmpo, lo hce con l segund potenci de l distnci, mients el potencil lo hce con l inves de l distnci. Po tnto, todos los puntos que estén l mism distnci del cento de l esfe tendán el mismo potencil, es deci, ls supeficies equipotenciles seán esfes de cento él de l esfe cgd, y dio l distnci l cento del punto que consideemos. Influenci de l geometí en l distiución de cg en un conducto Figue 1 Vición del módulo del cmpo y del potencil deidos un esfe cgd Vmos estudi cul es l influenci de l fom geométic de un conducto en su compotmiento desde el punto de vist eléctico. P ello, vmos conside dos conductoes esféicos A y B de dios y como se muest en l figu 11. Oiginlmente supondemos que el conducto A está cgdo con un cg (Q = Q) y el segundo descgdo (Q = ). Esto supondá que cd uno tendá un potencil inicil distinto. Figue 1 Ls dos esfes de l figu nteio unids po un conducto descgdo Supongmos ho que los unimos po un hilo conducto muy fino, sin cg, como se muest en l figu 1, fomándose sí un único conducto. Figue 11 L esfe de dio tiene un cg Q, y l de dio está descgd Al se un sistem isldo l cg totl se mntendá constnte e igul Q. Además, l se ho un solo conducto su potencil seá el mismo en todos los puntos, si ien po comodidd p el cálculo seguiemos hlndo de cgs y potenciles de cd esfe, como se indic en l tl djunt. Estdo inicil Estdo finl Esfe A Q = Q Q dio densidd de cg σ V = V V = V Electostátic en medios mteiles II - 8

9 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos Esfe B Q = Q dio densidd de cg σ V = V V = V Q' Los potenciles de cd esfe, según hemos clculdo más i deeín se: V' = π ε y Q' V' = π ε si ien semos se cumple que V = V = V, es deci: Q' Q' V = = π ε π ε. Po oto ldo semos que l cg se consev, po tnto: Q +Q =Q. De l iguldd de los potenciles otenemos como elción ente cgs que: Q = Q de donde: Q' Q' = ; Q Q ' ' = luego: Q Q ' ' + = Q ; Q' Q = y + Q' Q = + lo que nos llev que l cg de l esfe de myo dio es myo que l cg del conducto de meno dio: Q > Q Q' Al clcul l densidd de cg de cd esfe otenemos: σ = = Q 1, lo π + π que podemos escii como: σ Q 1 =, opendo de igul fom con l segund esfe π ( + ) Q 1 tendemos: σ = con lo que ls densiddes de cg de ls esfes son π ( + ) invesmente popocionles sus dios, es deci : σ < σ Si ecodmos que el vlo del módulo del vecto cmpo eléctico en ls cecnís de un conducto es l densidd de cg en el punto dividido ente g, tendemos que: E = σ Q 1 un E = y ε u n π ε ( + ) Q 1 E =, es deci:, luego meno u n E p E π ε ( + ) dio myo densidd de cg y en consecuenci myo seá el módulo del vecto cmpo eléctico. Si considemos un conducto como el que se muest en l figu 13, cuyos dios de cuvtu son muy distintos, un cundo todo él este l mismo potencil, el cmpo en el extemo de dio de cuvtu meno (punt) seá mucho myo que el cmpo en el oto extemo, y ls cgs se cumulán en el extemo de meno dio de cuvtu. Figue 13 Esquem de un conducto temindo en dos semiesfes de dios muy distintos Electostátic en medios mteiles II - 9

10 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos Extpolndo l situción, supongmos que uno de los extemos es un plno, es deci, su dio de cuvtu es infinito y el oto es un punt de dio de cuvtu muy pequeño, el cmpo en l punt seá muchísimo myo que el cmpo en el esto del conducto, con lo cul ls cgs que puedn est en ls cecnís del conducto cminn hci l punt. En est popiedd de cmpo intenso en ls punts se fund el pyos pues en cso de un toment el yo, que no es ot cos que un movimiento de electones sujetos l cción de un cmpo cpz de tves el ie, lo hán po l zon en l que el cmpo eléctico se más intenso. Cpcidd de un conducto. En los divesos csos de cálculo del potencil deido un conducto cgdo que hemos elizdo, siempe nos encontmos que existe un elción ente l cg que tiene el conducto y el potencil que dquiee, lo cul nos llev pens que podemos estlece l elción que existe ente ms mgnitudes p un conducto, p lo cul se define un nuev mgnitud denomind cpcidd de un conducto, C = Q/V, cuy unidd es el culomio ptido po voltio, que se denomin fdio. En los ptdos nteioes hemos visto que un conducto cgdo es siempe un volumen equipotencil. El vlo del potencil que dquiee el conducto depende de su cg, peo tmién ví según como está distiuid es cg, y hemos visto que est distiución depende de l geometí del conducto. Po tnto, l cpcidd del conducto seá un ccteístic que dependeá exclusivmente de l fom del conducto. Así, po ejemplo, p un conducto esféico el potencil dquiido cundo posee un cg Q es: V = K Q, con lo que C Q Q R R = = =, o lo que es lo mismo C = π ε R, que R V Ke Q Ke solmente depende del dio Fenómenos de influenci Po fenómenos de influenci entendemos los cmios en el potencil eléctico que sufe un conducto po el meo hecho de est póximo oto conducto cgdo. Figue 1 Ls línes de cmpo del conducto B, oiginlmente en nego, se ven distosionds po l pesenci del conducto A Consideemos que intoducimos un conducto A en el cmpo eléctico cedo po oto conducto cgdo B. Anlizndo l situción desde el punto de vist fenomenológico semos que el conducto cgdo ( B ) geneá un cmpo eléctico. Al coloc en su cecní el conducto A, qued Electostátic en medios mteiles II - 1

11 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos sometido los efectos del cmpo cedo po B lo que, según hemos visto, povoc un eodención de ls cgs de A, de mne que en su inteio se cee un cmpo eléctico que nule el povocdo po B. Po tnto, peceán cgs negtivs en l supeficie de A póxim l conducto B. Est eodención de cgs tendá vis consecuencis: en el conducto A pece un potencil que depende de l eodención de sus cgs, y po tnto del cmpo cedo po B y de l geometí. en el exteio del conducto A pece un cmpo eléctico, que su vez lte l distiución de cgs, y po tnto el cmpo eléctico y el potencil del conducto B En totl, el conducto B influye en el A, y su vez lo que le sucede l conducto A influye en el B. Est situción continuá hst que se loge un equiliio. Un cso especil se poduce en l páctic cundo dos conductoes póximos ecien cgs del mismo vlo y de signo contio. En est configución, que ecie el nome de condensdo, tmién existián fenómenos de influenci de un conducto soe el oto de mne que l finl se logá un distiución de cg, dento de cd conducto, p que finlmente exist un equiliio. En ese momento cd uno de los dos conductoes (que ecien el nome de plcs del condensdo) tendá un cg + Q o - Q, y cd uno dquiiá un potencil difeente, peo constnte p cd uno de ellos, de fom que se estlece ente mos un difeenci de potencil V. De l mism fom que en el cso de un conducto único, el potencil de cd conducto, y po tnto l difeenci de potencil ente ellos dependeá de su cg y de l geometí (en este cso tnto de l fom y tmño de cd conducto como de su posición eltiv). Po consiguiente, tmién puede definise l cpcidd del condensdo como l elción ente l cg (que en este cso es l de un de ls plcs) y l difeenci de potencil ente ells, y tmién veemos que en este cso solo dependeá de l geometí de l configución. Cpcidd de distintos tipos de condensdoes. Existen distintos tipos de condensdoes en función de su geometí. Los más usules son el condensdo de plcs plno plels, el condensdo esféico y el condensdo cilíndico. Condensdo de plcs plno plels. Se compone de dos cs plels muy póxims de supeficie A y sepds un distnci d, de fom que un tiene cg +Q y l ot -Q. Est configución poduce ente ls plcs un cmpo constnte y unifome. P clcul su cpcidd ptimos de que el cmpo cedo po un plno cgdo con densidd de cg σ en un punto póximo su supeficie viene ddo po E = σ ε pependicul l supeficie. El cmpo en un punto del espcio compendido ente ls plcs seá l sum de los Electostátic en medios mteiles II - 11

12 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos cedos po cd un de ells, y como mos seán de sentido contio l se sus cgs de distinto signo, en totl otenemos que el módulo del cmpo es: E = σ ε, y ddo que el cmpo es constnte en todos los puntos de l egión compendid ente ls plcs, l difeenci de potencil ente ells l podemos clcul como el poducto de los módulos cmpo y distnci ente plcs, σ. d Q. d es deci seá: V = E d = = ε A. ε con lo que l cpcidd del condensdo qued: C Condensdo esféico Figue 15 Esquem de un condensdo esféico Q Q A ε = = V Q d = ε. Un condensdo esféico está fomdo po un esfe conducto de dio y concéntic con ell un cotez esféic de dio inteio, de fom que en l c inteio de l cotez y en l esfe inteio existn cgs igules Q y de signo contio, distiución que puede conseguise como indic l figu 15. P clcul su cpcidd pocedemos de l mism fom que en el cso nteio. Semos que plicndo el teoem de Guss un supeficie esféic concéntic con los conductoes que pse po un punto del espcio compendido ente ellos, el cmpo eléctico puede clculse suponiendo que existe un cg Q en el cento de l esfe, con lo que l difeenci de potencil que existiá ente el conducto inteio y el exteio seá: Q 1 1 V( ) V( ) =. π ε Con lo que l cpcidd quedá: C = Q = V = π ε, que solmente depende de l geometí del condensdo. A d π ε Polem.- Un condensdo que const de dos plcs plels muy póxims, de supeficie 1 cm sepds 1-5 m. Se cg hst que dquiee un difeenci de potencil de 5 V. ) Detemin l distiución de potenciles ente sus plcs. ) L cpcidd del condensdo. c) L cg que dquiee. ) Dtos 1 1 Pemitividd del vcío ε = F m Supeficie de ls plcs S = 1-3 m Sepción ente ls plcs d = 1 - m Electostátic en medios mteiles II - 1

13 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos P detemin l distiución de potenciles que tenemos ente ls plcs, podímos clcullo po integción diect o clculndo el cmpo cedo po un de ells (un plno conducto cgdo) en un punto culquie del espcio y pti de el cmpo otene el potencil en un punto culquie. Dd l simetí del polem empleemos el teoem de Guss p clcul el cmpo y po l definición de potencil otene este. Como el módulo del cmpo dependeá de l distnci l cg, l simetí del polem nos llev tom como supeficie de Guss un pism ecto un de cuys ses está en el conducto (en l figu se epesent un cote de est situción). Q El teoem nos dice: E ds = enced, como siempe clculemos cd uno Σ ε Figue de polems Cote del plno conducto que es un plc del condensdo de los téminos de l iguldd po sepdo. L E ds l clculemos como: E ds + + Σ E ds se 1 se E ds sup lt En l se 1 el cmpo y el vecto supeficie son plelos, luego seá el poducto de los módulos, que l depende el cmpo sólo de l distnci l plno seá un constnte en l integl, con lo que tenemos: E ds = E ds = = E se 1 E ds se 1 se 1 S; siendo S el áe de l se l supeficie de Guss que hemos considedo. En l se el cmpo es nulo, pues estmos en un conducto. Luego E ds = se. En l supeficie ltel los vectoes cmpo y supeficie son pependicules luego su poducto escl es nulo: E ds sup lt =. Po tnto E ds = E S Σ Clculemos el segundo miemo. Como sólo existe cg en el conducto, tendemos que l cg enced seá: σ S σ S ; siendo σ l densidd de cg del conducto. Igulndo los dos miemos tenemos: E S = ; po ε tnto el cmpo seá: E = σ u, donde u es un vecto unitio pependicul ε l plno cgdo. (Osev que ho hemos clculdo el cmpo de distint fom que en l pte teóic, peo sin emgo el esultdo h sido el mismo). P clcul l distiución de potenciles tendemos en cuent, como siempe, que: V( ) V( A ) = E dl Siendo l posición de un punto intemedio culquie ente A y B. A P i desde A hst B el vecto desplzmiento es ntiplelo l cmpo eléctico (suponemos que el potencil en es myo que en ), y como este σ no depende de l distnci, pues su módulo hemos visto vle, l integl ε Figue 3 de polems En los plnos = y = los potenciles son constntes σ σ σ nos qued: V( ) VA = ( ), o lo que es lo mismo: V( ) = A VA, que es expesle po: V() ε ε ε Electostátic en medios mteiles II - 13

14 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos = A + B V() = A + B ) P detemin l cpcidd del condensdo deemos conoce l difeenci de potencil ente ls plcs σ del condensdo VB VA = ( ), teniendo en cuent que hemos llmdo d l distnci ente los plnos ε otenemos: VB VA = σ d. ε Recodndo que l densidd de cg seá l cg del plno dividid ente l supeficie de l plc, podemos d Q escii: VB VA =, luego l cpcidd seá: = ε S C Q S S = V ε C = ε d d 1 1 L cpcidd del condensdo seá: C = = F 1 3 C = F = 885 nf c) P clcul l cg que dquiee el condensdo tendemos en cuent l elción ente cg cpcidd y difeenci de potencil ente plcs: C V = Q, luego l cg que seá el poducto de l cpcidd po l difeenci de potencil seá: Q = C Q = C Asocición de condensdoes. En los cicuitos elécticos es fecuente que nos encontemos dos o más condensdoes conectdos ente sí. Si tenemos dos condensdoes podemos unilos en seie o en plelo según se conecten l plc de un signo del pimeo con l del oto signo del segundo (seie), o ls plcs del mismo signo de los dos condensdoes ente sí (plelo). Condensdoes en seie. Al conect l plc positiv de un condensdo con l negtiv del oto, el conjunto es equivlente un condensdo fomdo po ls plcs extens (no conectds ente sí), ente ls que existiá un difeenci de potencil igul l sum de ls difeencis de potencil de cd uno de los condensdoes. P que el conjunto fome un condensdo único ls plcs extems deeán tene l mism cg, de fom que: Figue 16 Esquem de dos condensdoes conectdos en seie Cg Difeenci de potencil Cpcidd Condensdo 1 Q V 1 C 1 = Q/V 1 Condensdo Q V C = Q/V Condensdo equivlente Q V = V 1 +V C = Q/V Electostátic en medios mteiles II - 1

15 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos p usc l expesión de C en función de C 1 y C, vemos que podemos sum ls invess de ls cpciddes pciles, y que l tene entonces el denomindo común l expesión esult sencill, y 1 1 V1 V V 1 + = + = = C1 C Q Q Q C. es deci: l inves de l cpcidd equivlente es l sum de ls invess de cd uno de los condensdoes socidos en seie. Condensdoes en plelo Al conect ls plcs con cg del mismo signo, el conjunto equivle oto condensdo con un sol plc de cd signo en l que existe un cg igul l sum de ls cgs de cd un de ls plcs, de fom que ente tods ls plcs positivs y ls negtivs existe l mism difeenci de potencil. Po tnto: Cg Difeenci de potencil Cpcidd Condensdo 1 Q 1 V C 1 = Q 1 /V Condensdo Q V C = Q /V Condensdo equivlente Q = Q 1 + Q V C = Q/V P usc l expesión de l cpcidd equivlente, sustituimos en l expesión de C, con lo que: C = Q Q Q V = + V Q Q = + = V V C + C Po tnto, el condensdo equivlente vios condensdoes en plelo tiene un cpcidd igul l sum de ls cpciddes de cd uno de los condensdoes socidos. Electostátic en mteiles dielécticos Hst el momento hemos visto que ocue cundo un conducto se encuent en un cmpo eléctico, veemos ho que ocue con los dielécticos. Figue 17 Esquem de dos condensdoes conectdos en plelo Po un pte, se osevn lgunos fenómenos elciondos con este tipo de mteiles, po ejemplo, cundo se intoduce un mteil dieléctico ente ls plcs de un condensdo, se compue que ument su cpcidd, es deci, puede lmcen más cg con l mism difeenci de potencil ente plcs. Po ot pte, semos que en los medios dielécticos no existe l posiilidd de movimiento de los electones en su volumen deido que los electones de cd átomo o molécul que componen el mteil se encuentn po tnto fuetemente ligdos ell. Peo, p pode explic fenómenos como el menciondo es peciso que cundo el dieléctico se encuent en un cmpo eléctico sucedn en su estuctu tómic o molecul lguns modificciones. Electostátic en medios mteiles II - 15

16 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos El fenómeno de l polizción P comenz nliz lo que ocue cundo se sitú un mteil dieléctico en un egión del espcio en l que existe un cmpo eléctico nlicemos en pime lug, lo que ocue nivel micoscópico, desde el punto de vist fenomenológico. Ddo que el tipo de molécul v condicion l espuest, exminemos los distintos csos que se pueden pesent emplendo modelos sencillos. Supongmos en pime lug que ls moléculs con enlce covlente. En este cso l molécul puede se pol o no pol según no coincidn (no pol) o si coincidn los centos de gvedd de ls cgs positivs y negtivs. En el cso de ls moléculs poles, cd un de ells tiene un momento dipol y que se puede simil un dipolo. En el cso de ls moléculs no poles, en un pime poximción, podemos supone que los electones que fomn el enlce fomn un nue electónic que envuelve completmente l molécul, con lo cul cd molécul de l sustnci se puede epesent, de l mism mne que ocue con los átomos, po dos esfes concéntics de dios muy distintos (ve figu 18), l inten con cg net positiv y l exten con cg negtiv. Figue 18 Repesentción de un molécul covlente muy simétic L plicción de un cmpo eléctico exteno l mteil en cuestión, povocá el ste de l nue electónic exten en sentido contio l cmpo, mients que el esto de l molécul (o el núcleo del átomo en el cso de moléculs monotómics) sufiá un desplzmiento en el mismo sentido del cmpo l se un cg positiv. El esultdo seá l defomción de l molécul, y que el cmpo, en genel en el cso de los dielécticos, no seá suficiente p nc un electón de l cotez. Es defomción dá lug l sepción de los centos de gvedd de ls cgs positivs y negtivs, lo que puede considese como l pición de un cg net positiv, sepd de l negtiv un distnci muy pequeñ fente l de osevción, es deci, cd molécul puede se sustituid po un dipolo plelo l cmpo eléctico y cuyo módulo dependeá del desplzmiento eltivo de los centos de cgs y del vlo de ests. Podemos deci que el cmpo eléctico polizdo l molécul con un momento dipol que dependeá de l ntulez del mteil y del vlo del cmpo que ctúe. Ddo que tods ls moléculs del mteil son igules, todos los momentos mgnéticos de cd un de ls moléculs tendán l mism diección y sentido, con lo que, en conjunto, el mteil dquiiá un momento dipol sum de los momentos dipoles de cd un de ls moléculs. Supongmos ho que el mteil del que estmos hlndo está fomdo po moléculs poles, po lo que cd un de ells tiene y un momento dipol pemnente. Figue 19 Defomción sufid po un molécul simétic, po efecto del cmpo eléctico plicdo Electostátic en medios mteiles II - 16

17 Figue Repesentción de los dipolos pemnentes de un fluido dipol en usenci y pesenci de cmpo eléctico. En () los dipolos están lgo odendos en el sentido del cmpo Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos Consideemos el cso más sencillo, es deci que sus moléculs están odends totlmente l z, po lo que no tienen poque pesent, desde el punto de vist mcoscópico, un momento dipol. L plicción de un cmpo eléctico dá lug l pición de pes de fuezs que poducián pequeñs otciones en ls moléculs de fom que tods se oientán tendiendo l mism diección con lo que peceá un momento dipol esultnte. De nuevo, el módulo de ese momento dipol dependeá de l fcilidd de eoientción de los dipolos y existentes, es deci del medio de que se tte, y del módulo del cmpo eléctico ctunte. Además de los dielécticos constituidos po moléculs covlentes, existen otos cuy estuctu se dee un enlce iónico. Como ejemplo hemos tomdo el clouo sódico, l se un ed en l que en sus vétices se encuentn iones negtivos y positivos, (Cl - ) (N + ) (en l figu 1 sólo se h puesto el símolo del átomo). Al plic un cmpo eléctico los iones positivos se veán empujdos po el cmpo, mients que los negtivos se desplzán en sentido contio. El esultdo seá l pición de momentos dipoles de esultnte no nul diigid en l mism diección y sentido del cmpo. El módulo del momento dipol esultnte dependeá, de nuevo, del vlo del cmpo ctunte y de lo fácil o difícil que se desplz los iones de su posición de oigen, es deci de l ntulez de l sustnci. Vecto polizción. Susceptiilidd eléctic. Figue 1 Repesentción de un estuctu iónic en usenci y en pesenci de cmpo eléctico Del estudio fenomenológico nteio podemos infei, que cundo un mteil dieléctico culquie se encuent en el seno de un cmpo eléctico, cd un de sus moléculs tiene socido un momento dipol, un cundo inicilmente no existie dipolo lguno. Si considemos un volumen culquie de dieléctico, existián en él un cieto númeo de dipolos de mne que podemos ccteiz el mteil po l densidd de dipolos del mteil po unidd de volumen, que llmemos vecto polizción o simplemente polizción ( P ), de fom que si cd molécul tiene un momento dipol p y l sustnci tiene N moléculs po unidd de volumen es evidente que P = N p, l se l polizción l densidd de momentos dipoles molecules. Como no todos los mteiles son homogéneos e isótopos, está mgnitud dee ccteiz punto punto l sustnci, es deci dee se un función vectoil definid en cd punto. Si queemos tene el vlo en cd punto del vecto polizción, el volumen que deemos conside p defini es densidd de momentos dipoles dee se tn pequeño como necesitemos p ode Electostátic en medios mteiles II - 17

18 p sólo el punto en cuestión, es deci: P = lim ; P = dp. τ τ d τ Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos Ls uniddes del vecto polizción seán ls de un momento dipol (culomios meto) dividids ente un volumen (m 3 ), es deci culomios meto -. Este vecto polizción dependeá po un ldo del cmpo eléctico, que es su oigen, y del tipo de mteil del que se tte. En l myoí de los mteiles el vecto polizción es diectmente popocionl l cmpo, P E, de fom que se puede intoduci un constnte de popocionlidd que dee depende del medio y que esciiemos como χe ε ; P = χe ε E. Est nuev constnte ccteístic del mteil se denomin susceptiilidd eléctic del medio. χ e Anlizndo dimensionlmente l ecución nteio se otiene que l susceptiilidd sí definid no tiene dimensiones Densiddes de cg de polizción Según hemos dicho ntes, cundo un sustnci se poliz pece en su volumen un nuev distiución de cgs distint de l del mteil en eposo. Est eodención inten de ls cgs de l sustnci podá d lug que l conside un volumen de l sustnci o un áe de su supeficie pezc un densidd no nul de cgs. Densidd supeficil de cgs de polizción P nliz est situción desde el punto de vist fenomenológico, vmos conside el cso de un mteil dieléctico situdo ente ls plcs de un condensdo de plcs plnoplels, de fom que mos tengn l mism supeficie. En pime lug consideemos que el medio dieléctico es homogéneo e isótopo, es deci que su compotmiento es nálogo en todos sus puntos. Po ot pte semos que el cmpo eléctico cedo po un condensdo plno plelo tmién puede considese homogéneo en todos los puntos del inteio del condensdo. En ests condiciones el cmpo eléctico cedo en el inteio del condensdo oient los dipolos del mteil dieléctico en diección plel l cmpo, de fom que si consideemos un cp muy fin del plelepípedo cuyo espeso veng definido po d, como se indic en l figu, soe l supeficie del dieléctico plel l plc positiv del condensdo peceá un exceso de cg negtiv. De l mism fom, en l c de dieléctico póxim l plc negtiv peceá un exceso de cg positiv. Si llmmos N l númeo de moléculs po unidd de volumen del mteil y q p l cg poducid en cd un de ells po l polizción, tendemos que l cg en es cp supeio (Q p ) seá igul l númeo de moléculs po unidd de volumen multiplicdo po el volumen que consideemos y po l cg de cd molécul, es deci: Electostátic en medios mteiles II - 18

19 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos Q p = N (A d) q p = A N p siendo p el módulo del momento dipol molecul ( p ). L densidd supeficil de cg de σ P σ P polizción seá: = Q p /A = N p, que es pecismente el módulo del vecto polizción ( P ) p un medio como el que hemos supuesto. Luego en ests condiciones (cs pependicules l cmpo) podemos deci que l densidd supeficil de cg coincide con el módulo del vecto polizción = P. σ P Figue Repesentción del fenómeno de polizción dieléctic En ls cs lteles del dieléctico no pece cg supeficil lgun deido que el cmpo es plelo est supeficie y po tnto l diección en l que pecen los dipolos, con lo que, de fom genel esciiemos: = P n σ p Est densidd supeficil de cg de polizción existe solmente cundo el dieléctico está sometido l cción del cmpo exteio, de mne que cundo despece el cmpo despeceán ls cgs de polizción. En el ejemplo del condensdo, si conectmos sus plcs tie su cg despeceá po el hilo conducto l que esté unido el condensdo p descgse y po consiguiente despeceá el cmpo eléctico. Sin emgo, ls cgs de polizción, si ien es cieto que existen, no podán vij po el conducto l est ligds l estuctu del mteil, y lo que ocuiá es que l densidd supeficil de cg despeceá po eodenmiento de ls moléculs (despolizción del mteil). Densidd volúmic de cg de polizción Vemos ho lo que ocue en el inteio del mteil dieléctico. Si el mteil es homogéneo todos los dipolos están igulmente oientdos, con lo que en culquie punto inteio cd extemo positivo está póximo l negtivo de oo dipolo con lo que en conjunto no peceá densidd volúmic de cg. Consideemos ho un mteil cuy polizción no se homogéne. Si tommos un pequeño elemento de volumen imginio (τ) en el inteio del mteil que esté odedo po un supeficie Σ, no todos los dipolos contenidos son igules, con lo que no tienen po que nulse unos con otos, luego puede pece un cg en el volumen de fom que se puede defini un densidd volúmic de cg de polizción tl que Q p = ρ d τ τ p Vecto desplzmiento eléctico. Pemitividd dieléctic Vemos que ocue cundo cgmos un mteil dieléctico. L existenci de cgs lies en el inteio del dieléctico dá lug l pición de un cmpo eléctico cedo po ells, este Electostátic en medios mteiles II - 19

20 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos cmpo eléctico ctuá soe el popio dieléctico de l mism fom que hemos visto en el cso de que el cmpo fuese exteio, de mne que polizá el dieléctico dndo lug l pición de densiddes de cgs de polizción. P nliz lo que sucede en el inteio del dieléctico plicemos el teoem de Guss. Tomemos como supeficie gusin, un supeficie culquie ced, situd en el inteio del volumen del dieléctico, como se muest en l figu. Según el teoem de Guss: Q E ds = totl. L cg enced es tnto l cg lie como l cg de Σ ε polizción del dieléctico, es deci: Q totl = Q lie + Q polizción ; con lo que podemos escii ε. E. ds = Q + Q lie polizcion peo semos que l densidd de cg de polizción está elciond con el vecto polizción, y que ce un cmpo en sentido contio del exteio (deido l oientción de los dipolos) de fom que Q P. ds polizcion = con lo que en totl podemos pone l se el cmpo cedo po ls cgs de polizción de E sentido contio l cmpo exteio qued ε E. ds Q P. lie ds, de donde, expesión que podemos escii de fom: = ε ( ε E + P) ds = Qlie. E. ds + P. ds = Qlie A l sum compendid en el péntesis l denominmos vecto desplzmiento Figue 3 Supeficie imgini en el inteio del medio D = ε E + P de fom que podemos escii Σ D ds = Q lie est expesión es simil l del teoem de Guss considendo el vecto desplzmiento en lug del vecto cmpo y teniendo en cuent solmente ls cgs lies, po lo que se conoce como l ley de Guss p medios mteiles. L ventj de utiliz el vecto desplzmiento es que l est elciondo solmente con ls cgs lies es independiente del medio en el que nos encontmos. P clcul el vecto cmpo eléctico pti del vecto desplzmiento veemos como están elciondos pti de l definición del vecto desplzmiento D = E + P Como semos que el vecto polizción es popocionl l vecto cmpo que le oigin de fom que P = χ e E, qued: D = ε E + ε χ e E = ε ( 1+ χe) E. ε Electostátic en medios mteiles II -

21 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos El poducto ε ( 1+ χ e ), que nos elcion el cmpo eléctico en el medio con el nuevo vecto desplzmiento, sólo depende de ls ccteístics del dieléctico, lo llmemos pemitividd dieléctic del medio, que epesentemos po ε, con lo que el vecto desplzmiento y el cmpo eléctico están elciondos po: D = ε E. Nomlmente se emple l pemitividd eltiv del medio que es l elción ente l ε ε( 1+ χ pemitividd dieléctic y l pemitividd del vcío: ε e ) = = ( 1+ χ e ), l ε ε = elción: ε = ( 1+ χ e ), ente los dos pámetos ccteísticos del dieléctico es l pime elción constitutiv del medio. A pti de ell podemos escii: D = ε E = ε ε E. Est expesión nos pemite esolve el clculo del cmpo eléctico en culquie mteil de un mne más sencill, y que podemos hll el vecto desplzmiento poducido po ls cgs lies, con lo que su vlo se consev independientemente del mteil que ocupe el espcio en el que se h clculdo. Si ho ese espcio está ocupdo po un dieléctico podemos clcul el vecto cmpo eléctico en el mteil sin ms que multiplic el vecto desplzmiento po l pemitividd dieléctic del medio, de fom que el vecto cmpo es difeente según el mteil de que se tte. Vmos nliz y finz los conceptos en el siguiente ejemplo, que nos seviá de esumen de lo visto p los mteiles dielécticos. Polem 3.- Se electiz un esfe de médul de súco (de pemitividd eltiv 8), de 5 cm de dio, oteniendose un distiución de cg de l fom ρ() = 3 x 1-1 culomios/m 3. ) Clcul el cmpo y el desplzmiento eléctico en todos los puntos del espcio. Se ecue est esfe con un cotez de dios 6 y 8cm, fomd po un mteil de pemitividd eltiv 15. ) Clcul ho el cmpo y el desplzmiento eléctico en todos los puntos del espcio. c) Clcul el vecto polizción en l cotez dieléctic. d) Clcul ls densiddes supeficiles de cg de polizción en l cotez e) Clcul l cg totl en el volumen de l mism. Dtos Rdio de l esfe () = 5 cm = m Pemitividd de l esfe ( ε ) = 8 Densidd de cg ρ () = 3 x 1-1 culomios m -3 ) Nos piden clcul el cmpo y el desplzmiento eléctico cedo po l distiución en todos los puntos del espcio, tenemos dos egiones pefectmente difeencids: los puntos inteioes y los puntos exteioes l esfe. Electostátic en medios mteiles II - 1

22 1 ) Consideemos pimeo los puntos inteioes ( < ) Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos Como estmos en un dieléctico, p clcul el cmpo y el desplzmiento, podemos ecui l teoem de Guss p dielécticos, que en genel seá l fom más sencill de clcul el cmpo l est ligdo exclusivmente ls cgs lies, y que nos dice: D ds Q lie. Tendemos que encont un supeficie de Guss que este de = Σ cuedo con l distiución de cg que tenemos. L simetí del sistem implic que l supeficie conside seá un esfe, de dio (), concéntic con l distiución. P plic el teoem de Guss, deemos clcul cd uno de sus miemos. El pimeo D ds nos olig pens como seá el fom del vecto desplzmiento que de lug l Σ distiución, po simetí est fom no puede se ot que vectoes diles, Figue de polems P clcul l cg enced po l supeficie de Guss, tomos como volumen elementl un csc esféic de dio y espeso d ds = ds u D = D u. De oto ldo el vecto supeficie, l se noml ést, seá de l fom, lo que nos llev que el poducto escl de mos vectoes seá el poducto de módulos. D ds = D ds. Como l distiución de cg ví con l distnci l Σ Σ cento de l esfe (el dio de l supeficie gusin), el vecto desplzmiento tendá el mismo módulo en todos los puntos que equidisten del cento de l esfe: π. Luego: D ds = π D( ) Σ D ds = D ds, y l integl de ds en ests condiciones seá: Σ Σ Vmos clcul el segundo miemo, que es l cg lie enced en l esfe de Guss. Como nos dicen que se distiuye según l densidd de cg () = 3 x 1-1 culomios m -3, que po comodidd esciiemos como: lo que tendemos: ρ ρ ( ) = K, con Qlie = volumen d =, el difeencil de volumen (ve figu ρ ( ) τ K dτ τ esfe ( τ ) de polems) seá el poducto del áe de l supeficie esféic po l ltu difeencil: dτ = π d ; Qlie = ( K) ( d) = = π π K π K. Igulndo los esultdos otenidos p mos miemos tenemos:. El vecto desplzmiento en los puntos inteioes, seá: π D( ) = π K K D( ) = u Conocid l expesión del desplzmiento eléctico p puntos inteioes podemos clcul el cmpo eléctico K ecodndo l elción ente mos: D = ε E. Luego: E ( ) = u, o lo que es lo mismo: ε K E ( ) = u ε ε Sustituyendo vloes en ms expesiones otenemos p < : D( ) = u c m y E( ) = u V / m Electostátic en medios mteiles II -

23 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos ) Puntos exteioes l distiución > En el cso de puntos exteioes l distiución tendemos el cmpo cedo po un cg esféic, que como semos se coesponde con el cedo po un cg puntul situd en el cento de l distiución y cuyo vlo se el de l cg totl de l esfe. Podímos plic el teoem de Guss, tomndo un supeficie de Guss que fuese un esfe 1 Qtotl concéntic, de dio, como l mostd en l figu 5 de polems y otendímos: E = u. π ε Tendemos que clcul l cg totl enced en el volumen de l esfe que seá: Q = ρ( ) dτ, como el cso de puntos inteioes, el elemento de volumen seá totl esfe un cásc esféic de espeso d, po tnto: Q totl = K π d = π K, el cmpo deido l distiución seá: E ( )( ) 1 π K 1 K = u, es deci E = u. π ε ε Recodndo l elción ente el cmpo y el vecto desplzmiento, que po est en el vcío seá: D = ε E, otenemos: Sustituyendo vloes tendemos p > E = D = 1 K u u V / m Figue 5 de polems Tommos como supeficie de Guss un esfe concéntic l dieléctic de dio genéico y D = u c m Es de eslt que el cmpo y el desplzmiento eléctico, en l zon con cg lie vn vindo con el cuddo de l distnci que nos sep del cento de l distiución, p vi con l inves del cuddo cundo nos encontmos fue de l zon de cg. ) Dtos Rdio inteio de l cotez esféic () = 6 cm = m Rdio exteio de l cotez esféic ( c) = 8 cm = m P: < < c, ε = 15. Como l cg lie no ví po l inclusión de un nuevo dieléctico, el vecto desplzmiento no viá de los vloes que hemos otenido, ot cos seá el vecto cmpo eléctico, cuyo vlo en cd punto del espcio lo podemos E = ε D clcul ecodndo que:. Con l nuev geometí tenemos el espcio dividido en egiones de pemitividdes distints: <<; < < ; < < c; y, c <. 1 ) En l pime de ells < <, si epsmos los zonmientos que hemos elizdo, veemos que en los esultdos otenidos, no intevienen ls popieddes eléctics del medio cicundnte. Luego el vecto desplzmiento K en los puntos inteioes, seá: D K ( ) = u y E ( ) = u, o lo que es lo mismo p < : ε ε Electostátic en medios mteiles II - 3

24 Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos D( ) = u c m y E( ) = u V / m ) L segund egión: < <. L situción desde el punto de vist eléctico es l de puntos exteioes l distiución, sin l existenci de nuevos dielécticos. Coincidiá po tnto con lo estudido en el ptdo ). Luego: 1 K K E = u, y D = 1 u, o lo que es lo mismo p < < ε E = u V / m y D = u c m 3 ) En l egión: < < c, no existen nuevs cgs lies, son ls misms que en l egión nteio, po tnto K el vecto desplzmiento eléctico no viá especto de l egión nteio: D = 1 u, ecodndo l elción ente cmpo y desplzmiento, que en este medio de pemitividd eltiv 15 seá: D = ε ε E, otenemos: 1 K E = u, o lo que es lo mismo p < < c ε ε E = u V / m y D = u c m ) En l últim egión: c <, de nuevo el vecto desplzmiento se consev, pues no se ñden cgs lies nuevs, es deci: K D = 1 u. Como estmos en el vcío, el cmpo y el desplzmiento se elcionn po l pemitividd del vcío, con lo que: 1 K E = u ε, que esultn se los mismos vloes que sin l csc dieléctic. P c < E = u V / m y D = u c m c) P clcul el vecto polizción en l cotez dieléctic un vez conocido el vlo del vecto cmpo, sólo P = χ ε E χ ε tendemos que ecod l elción ente cmpo y polizción e, ecodndo que E = 1, y ε 1 K etomndo el vlo del cmpo en l zon consided ( < < c), tenemos: P = u, es deci: ε P = u V / m d) Ls densiddes de cg de polizción son el poducto escl del vecto polizción en el punto considedo po el vecto supeficie coespondiente: σ P = P n, luego: σ p = P( ) n el vecto polizción seá plelo l cmpo, e iá po tnto en el mismo sentido que el dio, el ( ) vecto supeficie seá sliente de l csc y su sentido seá el opuesto l de l polizción, luego: Electostátic en medios mteiles II -

25 σ = c m - p P() n ( ) = Inicición l estudio de los cmpos electomgnéticos ( ) En l ot c los vectoes son plelos y po tnto: σ = c m - P c = P( c ) n ( ) σ P = 1. 1 c m 15 ( σ ) =+ 16 P c m c e) P clcul l cg de polizción totl en l cotez deemos se que l cg totl de l cotez tiene que se ceo, pues hemos intoducido l cotez descgd y no se h genedo cg sólo se h edistiuido l existente. Si clculmos l cg de polizción que tenemos en ls dos supeficies l difeenci hst ceo seá l que tengmos en el volumen. En l supeficie de dio l cg totl seá: ( Q ) P = σ ds Sup dio "" supeficil de cg de polizción en es supeficie es constnte, l cg totl seá conocemos el vlo de l densidd de cg que cmos de clcul, tenemos =, teniendo en cuent que l densidd ( QP ) = σ ( π ) ( ) 17 Qp = 5, 1 C C, como P l supeficie exten de l cotez esféic zonemos de igul fom oteniendo: ( P ) c ( ) Q = σ π c = + 5, 1 17 C c Po tnto l cg totl ente ls dos supeficies esféics que limitn l cásc esféic es ceo, de donde se infiee que l cg de polizción en el volumen de dich cotez es nul Electostátic en medios mteiles II - 5