APUNTES Guía de Ejercicios. FISICA. Temas: Estática y Electromagnetismo. Profesor:

Transcripción

1 PUNTES Guí de Ejecicios. FISIC Tems: Estátic Electomgnetismo. Pofeso: Eugenio Rive Mncill. 007

2 Índice. I. Intoducción: i. Nociones de Tigonometí Pln. ii. Escles Vectoes. II. Pte 1 i. Equiliio. ii. Estuctus - Reticuldo. III. Pte i. Le de Coulom, Cmpo Eléctico Potencil Eléctico. ii. Coiente Eléctic Resistencis. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

3 Intoducción. 3 i. Nociones de Tigonometí Pln. Se define como Cicunfeenci Uniti o tigonométic quell cuo cento est situdo en el oigen O de un sistem coodendo su dio es l unidd. 1 Y O θ 1 X 1 L medición de un ángulo en posición noml o estánd es cundo se mide desde el semi-eje hoizontl OX como se muest en l figu. En l medición se dice que un ángulo es positivo si se conside un otción en sentido nti-hoio negtivo si se tom el sentido hoio. Eisten dos sistems comúnmente utilizdos p medi ángulos i) Sistem Segesiml ii) Sistem Cicul. i) Sistem Segesiml: L unidd de medid coespondiente es el gdo segesiml o simplemente gdo que se denot po el símolo º. Po ejemplo 30º (teint gdos). En este sistem el ángulo completo mide 360º, el ángulo ecto mide 90º, el ángulo etendido mide 180º, etc. ii) Sistem Cicul: L unidd de medid coespondiente es el din que se denotdo po d. Po ejemplo π d (phi dines o simplemente phi). En este sistem el ángulo completo mide π dines, el ángulo ecto mide π/, el ángulo etendido mide π, etc. π 90º 180º θ 0 π O 360º, π 70º 3π Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

4 4 P tsfom de un sistem oto solo es necesi l siguiente elción 360 º π o lgun equivlente como lo es 180 º π. Po ejemplo tnsfomemos dines 45º, p esto, elizmos el cálculo simple de un egl de tes: Luego Po lo tnto 180º π 45º 180º 45º π 45º π π 180º 4 π 45º 4 Relciones tigonométics en el tingulo ectángulo: Consideemos un tingulo ectángulo de ldos, c ángulo θ, como se muest en l figu. c : Cteto opuesto especto θ : Cteto dcente especto θ c : Hipotenus θ Recuede que en tiángulos ectángulos se cumple el teoem de Pitágos: + c Se definen ls siguientes elciones: sin(θ ) cos(θ ) tn(θ ) cteto opuesto hipotenus c cteto dcente hipotenus c cteto opuesto cteto dcente hipotenus c cosec( θ ) cteto opuesto hipotenus c sec( θ ) cteto dcente cteto dcente cotn( θ ) cteto opuesto Tmién se puede peci que: sin( θ ) tn( θ ) cos( θ ) 1 c sec( θ ) cos( θ ) cos( θ ) cotn( θ ) sin( θ ) 1 c cosec( θ ) sin( θ ) Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

5 continución se pesentn dos de ls identiddes tigonométics más conocids utilizds en mtemátics e ingenieí demás un tl de vloes p el seno, coseno tngente considendo ángulos comúnmente utilizdos en ejecicios polems de pue. 5 Identiddes fmoss: cos ( θ ) + sin sec ( θ ) tn ( θ ) 1 ( θ ) 1 Tl ásic de vloes: 0º 30º 45º 60º 90º 180º 70º 360º 1 sin(θ) 0 3 cos(θ) 1 3 tn(θ) / 0 / 0 Como cuiosidd, veifiquemos l identidd cos ( θ ) + sin ( θ ) 1, p uno de los ángulos mostdos en l tl, p esto tomemos po ejemplo los vloes del seno coseno de º. Entonces tenemos que sin( 30º ) cos( 30º ), elevndo l cuddo se tiene: Luego ( 1 1 ) 4 sin (30º ) 3 cos (30º ) ( ) cos (30º ) + sin (30º ) Signos de ls elciones tigonométics según cudnte II III I IV I II III IV sin(θ) cos(θ) tn(θ) Eisten uns fomuls mu impotntes en tigonometí de ls cules pueden despendese csi tods ls popieddes e identiddes. Ests fomuls son los desollos de sin( α + β ) cos( α + β ). Ests fomuls se muestn continución: i ) sin( α ± β ) sin( α ) cos( β ) ± sin( β ) cos( α ) ii ) cos( α ± β ) cos( α ) cos( β ) m sin( α ) sin( β ) Si se conocen mnejn ien ls fomuls mostds nteiomente es posile educi muchs elciones tigonométics que involucn ángulos conocidos, po ejemplo, vemos que ocue si se dese educi cos( 90º α ). P esto utilizmos l fomul ii) esciimos: Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

6 6 cos( 90º α ) cos(90º ) cos( α ) + sin(90º ) sin( α ). Luego evlumos los vloes conocidos del seno coseno de 90º (ve tl). Y l eemplz esult: Finlmente otenemos cos( 90º α ) 0 cos( α ) + 1 sin( α ) cos( 90º α ) sin( α ). Resolvmos oto polem. Vemos que ocue con tn( 90º α ). Recuede que: sin( θ ) tn( θ ), entonces, podemos escii. cos( θ ) sin(90º α ) cos( α) tn( 90º α ) cotn( α) cos(90º α ) sin( α) P finliz est sección de epso de ls nociones ásics de tigonometí pln, pesentmos dos teoems que son plicles culquie tingulo. Consideemos un tingulo BC culquie, como se muest en l figu α C γ c β B Teoem del Seno: En todo tingulo BC, de ldos,, c ángulos inteioes opuestos los ldos,, c ; se cumple que: α, β, γ, sin( α ) sin( β ) sin( γ ) c Teoem del Coseno: En todo tingulo BC, de ldos,, c ángulos inteioes α, β, γ, opuestos los ldos,, c ; se cumple que: c + c + c + c cos( α) c cos( β ) cos( γ ) Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

7 Ejecicios En el tiángulo BC de l figu siguiente, se tiene que C BC. B. Clcule l tn(γ ).. En el tiángulo BC otusángulo de l figu, se tiene que el ángulo CB θ el ángulo BC φ; el segmento B d. Clcule l ltu CD en función de θ, φ d. 3. Inicilmente un gloo se encuent mdo l suelo po un pit de lgo L (en posición veticl). Con el viento, el hilo se desví en un ángulo θ de su veticl. Cuál es, ho, l ltu del gloo soe el suelo? 4. Si los ldos de un tingulo (culquie) son,,c esci epesiones que pemitn detemin los ángulos inteioes del tiángulo. 5. Desde un vión de econocimiento que vuel un ltu H. el piloto osev dos emcciones que se encuentn en un mismo plno veticl con ángulos de depesión φ θ espectivmente. Detemine l distnci ente ls emcciones. 6. Un peson se encuent en l mitd de l distnci que sep dos edificios osev l pte más lt de éstos con ángulos de elevción 30º 60º espectivmente. Demueste que ls ltus de los edificios están en l elción 1:3. 7. Un mástil po efecto del viento se h quedo en dos ptes, l pte que quedo veticl en el piso mide d 1 l pte deid quedó td l etemo supeio de l pte veticl, fomndo un ángulo de 30 º con l hoizontl. Encont l ltu del mástil. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

8 ii. Escles Vectoes. 8 Definiciones: Escl: Son quells cntiddes físics que pueden especificse completmente medinte un numeo un unidd, po consiguiente solo poseen modulo o mgnitud. Ejemplos: Ms, Tempetu, Longitud, Enegí, Densidd, etc. Longitud 5000 { metos 1 3 modulo Vecto: Son cntiddes que poseen tnto modulo (mgnitud) como diección sentido. Si utilizmos coodends ctesins o ectngules los vectoes los esciiemos po componentes: unidd i + j + zk (vecto en 3 dimensiones) i + j (vecto en dimensiones) Donde i, j, k son los vesoes socidos los ejes X, Y, Z espectivmente. Not: Los Vesoes son vectoes de longitud o modulo igul 1 (vectoes unitios), se usn p defini diección según los ejes coodendos que se utilicen. Ejemplos: Vecto desplzmiento, Vecto velocidd, Vecto celeción, Vecto fuez, etc. El modulo de un vecto en 3D est ddo po + + el modulo z de un vecto en D es el cso pticul del 3D con z 0, esto es, +. L diección de un vecto en el plno (D), se soci un ángulo θ especto uno de los ejes coodendos - como lo veemos más delnte - el sentido coesponde l sentido de l flech, es deci, p donde punt l flech, lguns veces se soci con los puntos cdinles note (N), su (S), este (E), oeste (O) sus cominciones. Regls p l dición sustcción de escles vectoes: Escles: Se sumn o estn según ls egls odinis del álge. Ejemplos: 5 m +10 m 35 m 5 m -10 m 15 m Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

9 Vectoes: Poseen ciets egls que se dividen en: i) métodos geométicos ii) método nlítico: i) Métodos geométicos: (Método del plelogmo Método del tingulo). 9 Considee los vectoes: + + Método del plelogmo Método del Tiángulo Un signo negtivo en un vecto povoc solo el cmio de sentido del vecto, esto es: Ejemplo: En el siguiente digm se h utilizndo el método del tingulo p diuj los vectoes +. + ii) Método nlítico: (Se eliz componente componente según diección) Ejemplos: 1. Ddos los vectoes i + j + i + j, entonces: ( i + j ) + ( i + j ) ( i + i ) + ( j + j ) ( + ) i + ( + )j. Ddos los vectoes 5i 13 j i + 10 j, entonces: + ( 5i 13 j ) + ( i + 10 j ) ( 5 i + i ) + ( 13 j + 10 j ) ( 5 + ) i + ( ) j 7 i 3 j ( 5i 13 j ) ( i + 10 j ) ( 5 i i ) + ( 13 j 10 j ) ( 5 ) i + ( 13 10) j 3 i 3 j Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

10 Descomposición de un vecto en coodends ectngules XY: 10 Considee un vecto F en el plno XY, como se muest en l figu. Y Note que: F F + F F F θ F X Bjo el supuesto de conoce el modulo de un vecto F el ángulo θ que define su diección (en el cso de l figu l diección del vecto F está especto l eje coodendo X), l descomposición del vecto F coesponde l sum vectoil F F + F F i + F j. Donde F F son ls mgnitudes de los vectoes F F espectivmente, p simplific l escitu usemos l siguiente notción F F F F. Po lo tnto F F i + F j. El cálculo de ls mgnitudes o módulos se eliz utilizndo los elementos ásicos de l tigonometí, siendo fácil ve que: F F F cos(θ ), coodend X F sin(θ ), coodend Y θ F F F Donde F es el modulo del vecto F. Con esto podemos escii: F F cos( θ ) i + F sin( θ ) j ho note que si se conocen ls componentes F F se puede clcul el modulo del vecto F (como se mostó nteiomente F F + F ) ángulo θ que definen l diección del vecto F en el cso mostdo quí es especto l eje hoizontl X, se puede otene con el siguiente cálculo: F F 1 tg (θ ) θ tn F. F F θ ctn F Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

11 El Poducto Punto o Escl ente dos vectoes se escie cos(θ ) se define sí: 11 Siendo l mgnitud de los vectoes espectivmente, el cos(θ ) es el coseno del ángulo θ ( 0 θ π ) que fomn los dos vectoes (ve l siguiente figu) cos(θ ) θ cos(θ ) P uesto que son escles cos(θ ) es un númeo stcto, el poducto escl de dos vectoes es u n escl. Tl como se muest en l figu, los númeos cos(θ ) cos(θ ) coesponden ls poecciones escles de soe soe espectivmente. El poducto escl posee l popiedd conmuttiv, esto es, ho, si los vectoes están escitos en componentes ectngules, es deci, de l fom i + j + k i + j + k, De l definición de poducto escl se tiene: z z Entonces: i i j j k k 1 i j j i i k k i j k k j 0 ( i + j + k) ( i + j + k ) + ( i + + z z + z j + k) ( i + + z z z j + k) z Ot consecuenci impotnte de l definición es que: dos vectoes seán pependicules cundo se nule el poducto escl, esto es, 0. Finlmente el ángulo θ que fomn los vectoes puede encontse pti de l definición cos(θ ), despejndo cos(θ ) se t iene : co(θ ) + + Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH z z

12 1 se escie El Poducto Cuz o Vectoil ente dos vectoes se define como un vecto de modulo: sin(θ ) cu diección sentido quedn definidos po l egl de l mno deech ( es un ecto pependicul los otos dos vectoes ddos). Siendo ls mgnitudes de los v vectoes espectivmente, el ) sin( θ es el seno del ángulo θ que fomn los dos vectoes (ve l siguiente figu) θ El poducto vectoil no posee l popiedd conmuttiv, esto es,. Sin mgo, es fácil ve que se cumple e ho, si los vectoes están escitos en compone tes ectngules, es d fom k j i + + n eci, de l z j i + + zk, De l definición de poducto vectoil se tiene: i i Luego, el poducto vectoil ciise en l z z z z ) ( ) ( ) ( ) k k j j k i j k j i j i k j k i i j k i k j puede es fom: k j i k j i z z ( ) ( k j i Ot fom de escii el poducto vectoil es medinte el deteminnte: z z k j i Un consecuenci impotnte de l definición es que: dos vectoes distintos de seán plelos cundo se nule el poducto vectoil, esto es, 0 0. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

13 Ejecicios Diuje l sum ( esultnte ) v + w. v w. Diuje l sum del p de vectoes en cd uno de los 3 csos: 3. Diuje l difeenci de vectoes () v w, () w v v w v w () () 4. Diuje el vecto u + v + w u w v 5. Diuje el vecto u + v + w u w v. Diuje un vecto w 6 tl que v + w 0. v 7. Diuje el vecto u tl que u + v + w 0 w v Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

14 8. Diuje l sum d e los 5 vectoes: Diuje l componente noml (pependicul) l líne L del vecto v. v L 10. L mgnitud de cd uno de los vectoes v w en el diujo es 10 el ángulo ente llos es θ 30º. Encuent l mgnitud de l difeenci v e w l sum v + w. v θ w 11. L mgnitud del vecto v en el diujo es v 10 el ángulo que fom con l líne L e s θ 60º. Encuent l mgnitud de ls componentes de v noml tngente L. 1. Clcule el poducto punto ddos los siguientes vectoes 3i + j 6k i 5 j + k, demás encuente el ángulo ente ellos. 13. Detemine el vlo de c p el cul si i + j + k c1/. v θ L i + c j. Rpt: 14. usted se le popocion el vecto u 3. i +. 4 j el vecto v en el plno - con mgnitud 5.0. El vecto fom un ángulo de 10º con el eje positivo.. Encuente u v ; Rpt: Detemine u v ; Rpt: 8. k Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

15 15 Pte 1: Equiliio. 1. L figu muest un semáfoo que tiene un peso W el cul es sostenido medinte cles. Se pide: T Φ δ T 1. El módulo de ls tensiones T 1 T en función de Φ, δ W.. Ls componentes de ls tensiones de ls cueds 1, 3. T 3. Un ptícul de peso W se po soe un plno inclindo liso que fom un ángulo φ con l hoizontl está sostenid po un cued P sin peso que fom un ángulo θ con l veticl, como se indic en l figu. Se pide:. Diuj el digm de cuepo lie de l ptícul.. L mgnitud de l tensión en l cued l ección noml c. El ángulo ψ 3. Un escl B, de lgo l peso W, está en equiliio pod con el etemo soe un piso hoizontl áspeo c on el etemo B soe un muo liso, un distnci d del piso. Si el cento de gvedd de l escl está uicdo un distnci 1 del etemo, clcul: d B. L ección R B que ejece l ped soe l escl.. L ección R del piso. 4. L O de l figu tiene un peso P, un longitud de L, está ticuld en O, está sostenid en medinte un cued idel cuo oto etemo está fijo en el punto B. En l posición indicd en l figu cuelg un peso de W. Se pide:. Diuj el digm de cuepo lie de l.. Ls componentes hoizontl veticl de l ección en O. c. L mgnitud de l tensión de l cued. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

16 16 5. L OC tiene ms M longitud L, está ticuld en O, sostenid po un cued inetensile B en su etemo deecho C cuelg un ms m. L fom un ángulo de θ30º con l hoizontl l cued B está pependicul l. El punto es el punto medio de l. Se pide:. Diuj el digm de cuepo lie de l.. L tensión en l cued B. c. L ección veticl hoizontl en O. d. L mgnitud del toque que hce el peso de l ms que cuelg especto l punto B. 6. L B de ms m de longitud L, ticuld en, está en equiliio en fom hoizontl como se indic en l figu, sometid un fuez veticl F sostenid po l cued en B. Se pide. Diuj el digm de cuepo lie de l.. L ms m del cuepo que cuelg. c. L tensión T1. d. L tensión T. e. L tensión T3. f. L ección veticl en. 7. L C de ms m de longitud L, está en equiliio en fom hoizontl ticuld en B pod en C, como se indic en l figu. ctún demás dos fuezs veticles de mgnitudes F1 F, en los puntos que se indicn. Se pide:. L ección veticl en B.. L ección veticl en C. c. L mgnitud máim que podí tene F1 p que h equiliio. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

17 8. L O que tiene ms m longitud L, está en equiliio ticuld en O, sostenid po un cued inetensile que fom un ángulo θ con l que está unid un punto fijo B. L cued fom un ángulo δ con l veticl como se indic en l figu. En el etemo deecho de l cuelg un cuepo de peso W. Se pide: 17. L tensión en l cued B.. L ección veticl en O. c. L ección hoizontl en O. 9. L B que tiene ms m longitud d, está en equiliio sosteniendo en su etemo un ojeto de ms M. L geometí del polem se muest en l figu. Se pide:. Diuj el digm de cuepo lie de l. L tensión T del cle. c. L fuez que sopot el psdo B. 10. En sistem compuesto po dos s de peso despecile, l B de longitud L est pod soe un supeficie idel, en el etemo B est pend l BC cu longitud es 5L, demás en est eiste un cg puntul de mgnitud F plicd pependiculmente, en el etemo C est sujet un psdo simple (liso). Se pide p el equiliio.. Diuj el digm de cuepo lie de l B. Ls ecciones en C. 11. El coll puede deslizse sin ficción soe l hoizontl est conectd un cg W, como se muest en l figu. Detemine l distnci p l cul el collín se mntiene en equiliio, cundo P q P 3q. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

18 1. Detemine ls ecciones en C cundo α 30º Un plnc B est ticuld en C se encuent unid un cle de contol en. Si l plnc est sometid un fuez veti cl en B de mgnitud W, detemine:. L tensión en el cle.. L ección en C. 14. Un unifom e de longitud L peso P está ticuld en en un ped. Un lme fijo en l ped un distnci D soe l ticulción, sujet l po el etemo supeio, como se muest en l figu. El lme pemnece hoizontl cundo se cuelg un cuepo de peso p en el etemo supeio de l. Clcul l tensión del lme l fuez de ección en l ticulción de l. 15. P (en equiliio) de lgo L peso W que se muest en l figu. Supong supeficies liss. Se pide:. El digm de cuepo lie.. L tensión de l cued. 16. L B, unifome de ms m longitud L, está pod suvemente con sus etemos en un plno hoizontl el oto etemo B en un ped inclind en un ángulo de 60º con l hoizontl, como se muest en l figu. P mntene el equiliio se sujet con un cued hoizontl GC de mne que el ángulo que fom con l ped es de 30º. G es el punto medio de l, coincidente con el cento de gvedd. Se pide:. L tensión de l cued GC.. L ección en los etemos B. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

19 17. En el sistem de l figu 1, un fuez hoizontl F, cu líne de cción ps po el cento de un tmo de dio R peso P, se plic soe el tmo, p hcelo sui po un esclón de lto R/. Hce ls suposiciones necesis p clcul el vlo de l: 19. Fuez F. Fuez del ode del esclón en. c. Diección de l fuez en. 18. L esfe homogéne lis de ms m descns soe el plno inclindo 30 gdos se po cont l ped lis veticl B. Hll ls fuezs de contcto en B. 19. En el sistem de l figu, el cilindo suve de dio R, puede ot en el psdo fijo en su cento O. L distnci O es igul 5R/4. Cundo l cilindo se le plic un toque τ 0, se pide.. L tensión de l cued CD.. L ección en el poo B c. L ección en el psdo fijo suve 0. El poste unifome de longitud 3L tiene ms M po sus etemos lisos cont ls pedes veticles, siendo T l tensión de un cle que lo sopot, como se muest en l figu, Clcule l tensión del cle T ls ecciones en los poos B. L T L 1L 5 B 1. El cle de longitud c sopot l vig O de ms m. Demost, emplendo ls geometís del polígono de fuezs mgc de l figu, que l tensión del cle es T h h O c Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

20 0. L plc ectngul se mntiene en equiliio po medio de un fuez hoizontl F. El peso W ctú en el punto medio de l plc. F h. Diuje el digm de cuepo lie de l plc considendo en un psdo idel.. Demueste que F est dd po l ecución: α W F ( cosα h sinα) W ( h cosα + sinα) C 3. P en equiliio B de lgo L peso W que se muest en l figu. Supong que α 30º. Se pide: B L. El digm de cuepo lie de l B.. L tensión de l cued BC. c. El lgo de l cued BC. α L 4. L B de longitud L ms m, está con sus etemos, pod en sendos plnos inclindos lisos, como se muest en l figu. Los plnos inclindos fomn los ángulos de 30º de 45º, espectivmente. Se θ el ángulo que fom l con l hoizontl. Se pide:. Ls fuezs que ejecen los plnos en los etemos de l (No en función de θ ).. El ángulo θ de equiliio. 30º ө 45º B 5. Un cete de peso W de dio inteio R 1 dio eteio R está soe un plno inclindo liso, de inclinción θ especto l hoizontl, sujeto po dos cueds livins e inetensiles, plels l plno inclindo. Se pide:. L ección del plno inclindo soe el cete.. Ls tensiones de l cued. ө Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

21 P ls mdus mostds, Se pide: 1. Encont ls fuezs de los miemos que l componen usndo el método de los nodos. Resolve medinte el método de ls secciones veific los esultdos otenidos en. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

22 Pte : Electomgnetismo. L e de Coulom. En 1785, Chles gustín de Coulom enuncio l le que epes el vlo de l fuez que se ejecen mutumente dos cgs eléctics: L fuez de tcción o epulsión ente dos cgs eléctics puntules es diectmente popocionl l poducto de ls cgs e invesmente popocionl l cuddo de l distnci que ls sep. v q1 q F Ke F q 1 q F 1 F F q 1 q Donde F 1 es l fuez que ejece l cg q 1 soe q, en fom nálog 1 que ejece l cg q soe q 1. F es l fuez k e es l constnte de popocionlidd cuo vlo depende del medio. En el vcío en el ie es igul Nm /C. L constnte k e tmién suele esciise en l 1 fom k e, donde ε es l constnte dieléctic o pemisividd, l constnte 4πε dieléctic en el vcío se denot po ε o su vlo es C /(Nm ) q q 1 son el vlo de ls cgs eléctics, que pueden se positivs o negtivs, sin emgo, en l fomul pecen estos vloes ente s que mtemáticmente coesponden l símolo de vlo soluto. es l distnci ente ls cgs. ) vecto unitio (veso) en l diección de l ect que une ls cgs. L fuez eléctic posee ls siguientes ccteístics: L fuez está diigid lo lgo de l ect de unión de ls cgs. L fuez es de epulsión si ls cgs son del mismo signo. En cmio l fuez es de tcción si ls cgs son de signos contios. sí tenemos : Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

23 3 + + Repulsión - - Repulsión + - tcción - + tcción Son fuezs distnci, no es necesio que eist un medio mteil ente ls cgs p que dich fuez ctué. Siempe se pesentn p es, com o fim el p incipio de cción ección. Esto es, ls fuezs F 1 F 1 tienen igul modulo diección peo sentidos opuestos. (En l siguiente epesión se utiliz que F 1 F1 F 1 F 1 ) q q F e 1 1 K F 1 Está compodo epeimentlmente que ls fuezs eléctics veificn el pincipio de supeposición. En el cso de tene tes o más cgs puntules, l fuez esultnte soe un de ells es l sum vectoil de tods ls fuezs que ls demás cgs ejecen soe ést. Esto es, l fuez de n cgs soe un cg q0 es: v n v v v v v Ftotl soe q 0 Fi 0 F10 + F0 + F30 + L+ Fn 0 Cmpo Eléctico i 1 Un cg eléctic simplemente po su pesenci, petu el espcio que l ode cendo su lededo un cmpo de fuezs que ecie el nome de cmpo eléctico. Cundo ot cg eléctic se sitú en est egión del espcio, inteccion con el cmpo epeim ent un fuez eléctic. Descipción del cmpo eléctico. Los cmpos elécticos se descien medinte dos mgnitudes fundmentles: un vectoil, l intensidd de cmpo eléctico, ot escl, el potencil eléctico. L intensidd de cmpo eléctico, E, en un punto del espcio es l fuez que ctú soe l unidd de cg positiv situd en ese punto. Est definición pemite clcul el cmpo eléctico cedo po un cg puntul q i. P ello se coloc un cg de ue q (genelmente positiv) en un punto P del espcio situdo un distnci p 0 de l cg q i. El cmpo eléctico en ese punto seá l fuez po unidd de cg, esto es: F E q 0 k q q e q i 0 0 q i E ke Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

24 Ccteístics: 4 Es dil disminue con el cuddo de l distnci, po lo tnto se tt de un cmpo de fuez centl. Todos los cmpos centles son consevtivos. El cmpo eléctico es un cmpo centl, po lo tnto tmién es un cmpo consevtivo. Su sentido depende del signo de qi. Si l cg es negtiv el cmpo eléctico se diige hci l cg; si es positiv, se lej de ést. L fue z eléctic soe un cg q situd en un punto en que l intensidd del cmpo eléctico es E se epes: F q E El pincipio de supeposición tmién se cumple p l intensidd del cmpo eléctico. El cmpo eléctico cedo po un distiución de tes o ms cgs puntules en un punto es l sum vectoil de los cmpos cedos po un de ls cgs en ese punto: E n Ei E1 + E + E3 + L+ En 1 i El cmpo eléctico, puede se epesentdo po línes con flechs que señln el sentido. Ls figus siguientes ilustn ls línes de cmpo p ls cgs positivs negtivs l intección ente ells. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

25 Potencil Eléctico 5 Si queemos cec dos cgs positivs, deemos eliz un tjo cont ls fuezs eléctics de epulsión ente ls cgs. Se este tjo no depende del cmino ecoido p cec ls cgs, sino que sólo depende de sus posiciones iniciles finles. Decimos que el cmpo eléctico es consevtivo. Un vez cecds ls cgs, podímos ecupe fácilmente el tjo elizdo. Bstí dejls lies povech su movimiento. Decimos que el tjo elizdo soe ls cgs l cecls h umentdo su enegí potencil eléctic. L difeenci de enegí potencil eléctic de un cg ente un punto oto punto B es igul l tjo elizdo po el cmpo eléctico p tsld dich cg de B. Ep Ep B B F d Usndo est epesión genel podemos clcul l enegí potencil eléctic de un cg puntul q en el cmpo eléctico cedo po ot cg puntul Q (supongmos positiv) situd un distnci. B B Q q Ep EpB F d k e d Como el tjo no depende del cmino seguido, escogemos un tectoi dil p simplific los cálculos, entonces: luego Ep d d cos(0º ) d d Ep B k e Q q B d k e Q q 1 B Ep Ep B k e Q q k e Q q B Q q De esto tenemos que Ep ke + C. L constnte C es iti depende de l elección del oigen de enegí potencil. Genelmente se sign el vlo ceo de enegí potencil los puntos situdos distnci infinit de l cg de l cg que ce el cmpo ( ). Con est elección se otiene C 0 l enegí potencil eléctic esult: Q q Ep k e Note que est epesión coincide con l del tjo si colocmos el punto B en el infinito. Esto nos pemite d un intepetción físic de l enegí potencil eléctic: Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

26 L enegí potencil eléctic de un cg q en un punto del espcio es el tjo que eliz el cmpo eléctico p tsld l cg q de dicho punto l infinito. Ot mgnitud fundmentl p l descipción del cmpo eléctico es el potencil eléctico. Este epesent l enegí potencil de l unidd de cg positiv situd en un punto del cmpo eléctico. L difeenci de potencil eléctico ente un punto oto punto B es igul l tjo elizdo po el cmpo eléctico l tsld l unidd de cg positiv de B. B V V E d B Clculemos est difeenci de potencil en el cso del cmpo eléctico cedo po un cg puntul Q. B B Q V VB E d k e d Escogemos un tectoi dil p simplific los cálculos, entonces: I. Si l cg es positiv d d cos(0º ) d d 6 II. Si l cg es negtiv d d cos(180º ) d d luego I. V V B k e Q B d k e 1 Q B k e Q k e Q B II. V VB ke Q B d k e 1 Q B k e Q k e Q B Nuevmente, si signmos un vlo ceo de potencil los puntos situdos un distnc i infinit de l cg Q ( ), se otiene l epesión: V Q ke Potencil Eléctico Not: El potencil eléctico es un cntidd escl tiene vlo positivo si l cg Q es positiv negtiv en el cso contio. Note que est epesión coincide con l del tjo po unidd de cg si colocmos el punto B en el infinito. Esto nos pemite d un intepetción físic de l enegí potencil eléctic: El potencil eléctico en un punto del espcio es el tjo que eliz el cmpo eléctico p tsld l unidd de cg positiv desde dicho punto l infinito. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

27 7 En el cso de que eistn vis cgs puntules, se cumple el pincipio de supeposición. El potencil eléctico es igul l sum de los potenciles deidos cd un de ls cgs. n V V V + V + V + L + V i 1 i 1 Si en lug de l unidd de cg positiv se tsld un cg eléctic q de B, el tjo elizdo po el cmpo eléctico es: 3 n W q ( V ) VB L enegí potencil eléctic de un cg en un punto del espcio se elcion con el potencil eléctico en dicho punto de est mne. Ep q V Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

28 Ejecicios. 1. Considee tes cgs puntules loclizds en ls esquins de un tingulo, como se muest en l figu donde q 1 q0 q q 0 3 son positivs q negtiv, sepds po un q 0 distncis. Detemine l fuez esultnte soe q 3. Tmién oteng el cmpo eléctico potencil eléctico deido ls tes cgs en el punto medio P.. Dos esfe igulmente cgds, cd un de ms m, cuelgn en equiliio como se muest en l figu. Ls cueds que ls sostienen son liges de lgo l fomn un ángulo θ con l veticl. 8 q q 3 P q 1 θ θ. Supong conocid os m, l, θ. Encuente l mgnitud de l cg q.. Supong conocidos m, l, q. Encuente un epesión que pemit clcul el ángulo θ. q q 3. Dos esfe igulmente cgds, cd un de ms m, cuelgn en equiliio como se muest en l figu. Ls cueds que ls sostienen son liges de lgo l fomn un ángulo θ con l veticl. θ d θ. Supong conocidos m, l, d, θ. Encuente l mgnitud de l cg q.. Supong conocidos m, l, d, q. Encuente un epesión que pemit clcul el ángulo θ. q q 4. Un cg positiv q 1 se locliz en el oigen un segund cg q negtiv se uic en el eje X un distnci del oigen.. Encuente el cmpo eléctico en un punto P de coodends (0,h).. Supong que ls cgs q 1 q tienen un mgnitud q o en el punto P se coloc un cg positiv de 3q o. Clcule l fuez en el punto P. 5. Un dipolo eléctico se compon e de un cg +q ot q sepds po un distnci.. Detemine l fuez, el cmpo eléctico el potencil deido ls cgs lo lgo del eje Y en un punto P el cul se encuent un distnci.. Que ocue con los esultdos si conside >>, ( mucho mo que ). 6. Un ol de cucho de ms m en un cued lige en pesenci de un cmpo eléctico unifome. Cundo E ( E i E ĵ) [ N / C] l + ol est en equiliio en un ángulo θ. Detemine l cg en l ol l tensión de l cued. θ E Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

29 9 7. Dos pequeñs esfe de ms m están suspendids po medio de cueds liges de longitud l. Un cmpo eléctico unifome se plic en l diección X. si ls esfes tienen cgs igules q +q detemine el cmpo eléctico que pemit ls esfes est en equiliio. E -q θ θ +q 8. Dos esfe de cgd s q q espectivmente, de ms m están en equiliio como se muest en l figu. Considee θ 1 θ pequeños (si son mu pequeños se puede d emost que θ 1 θ ). Demueste que l distnci ente ls esfes, es poimd : θ 1 θ 4k q l e mg Dos ols igules de ms m cuelgn de cueds liges de longitud l tienen cgs igules q o como se muest en l figu. Supong que θ es pequeño tl que ( tg( θ ) sen( θ ) ) po se poimdmente igul. Demueste que. θ θ 1 3 q ol πε 0mg q q 10. Un dipolo está fomdo po un vill de longitud dos cgs, +q q. Dos dipolos de est ntulez se encuentn oientdos como se muest en l figu, estndo sus centos sepdos un distnci R.. Clcul l fuez ejecid en el dipolo de l izquied.. P R>>, demueste que l mgnitud de l fuez ejecid en el dipolo de l 3p izquied est dd poimdmente po F 4 πε 0R. Donde p q es el momento dipol -q +q -q +q R Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

30 11. Un punto con un cg q se locliz en ( 0, 0 ) en el punto. Demueste que ls componentes e del cmpo eléctico en (,) deid est cg son: 30 E k q ( ) e [( ) + ( ) ] E k q ( ) e 3 [( ) + ( ) ] Un tipo de cudupolo eléctico est fomdo po cuto cgs situds en los vétices de un cuddo de ldo s. El punto P se encuent un distnci R del cento del cudupolo en un líne plel los l dos del cuddo, como se muest en l figu. P R>>, demost que el cmpo eléctico en P se otiene poimdmente 3(q ) po E. (Sugeenci: Conside l cudupolo como dos dipolos) 4 4πε R 0 -q +q R P +q -q 13. Se tiene cuto cgs eléctics: q 1 q o, q q o, q 3 -q o q 4 -q o, uicds en los vétices de un cuddo de ldo L. Se M el punto medio ente ls cgs q q 3, C el punto medio ente ls cgs q 1 q, como se muest en l figu. L q o son los dtos. Se pide clcul.. El cmpo eléctico en el punto M, deido tods ls cgs, en función de los dtos.. El potencil eléctico en el punto C, deido tods ls cgs, en función de los dtos. q 4 q 3 q 1 C M q 14. Se tiene tes cgs eléctics dos son positivs, cd un de cg q o, uicds siméticmente soe un eje O en los puntos de coodends -; l tece cg es negtiv de vlo (-q o ) colocd en el oigen, como se muest en l figu. En el sistem de ejes ctesinos se pide:. Demost que el potencil eléctico U, en un punto P de coodends (>), keqo es ddo po: U ( ) ( ). Clcul el cmpo eléctico E(), en un punto Q, de coodend. Y Q q o -q o q o P X Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

31 Se tiene tes cgs eléctics dos son positivs, cd un de cg q o, uicds siméticmente soe un eje O en los puntos de coodends -; l tece cg es negtiv de vlo (-q o) colocd un ltu 3 soe el oigen, eje OY, como se muest en l figu. En el sistem de ejes ctesinos OXY se pide:. Detemin el punto donde el potencil eléctico es nulo.. Clcul el cmpo eléctico E, en el punto Q, de coodends 3 e 0. Y -q o 3 q o 3 q o Q X 16. Cuto esfe de igules, de ms m cg q o están en equiliio como se muest en l figu. El lgo de l cued lige es el ángulo fomdo con l veticl es θ. Se pide:. El vlo de l cg en función del ángulo θ.. L tensión de l cued en función del ángulo θ. c. L fuez de Coulom soe l cg uicd en en función del ángulo θ suponiendo q conocido. θ B θ C D 17. Se tienen seis ptículs cgds elécticmente en los vétices de un heágono eg ul BCDEF, con vloes indicdos en l figu, donde q o es conocido. Se pide clcul, en función de l geometí del heágono egul q.. L fuez eléctic que se ejece soe l cg en C.. El cmpo eléctico el potencil eléctico en el cento del heágono. o E q o 3q o F C q o q o D q o 4q o B Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

32 18. (Un ejecicio en tes dimensiones). Cuto cgs puntules idénticmente cgds con +q están fijs en ls esquins de un cuddo de ldo d. Un quint cg puntul Q est un distnci z del cuddo lo lgo de l líne que es pependicul l cuddo que ps po su cento. Mueste que l fuez ejecid soe Q po ls ots cgs es: d q Z o Q z q F 4 k q Q z e ( ) k 3 z + d 3 q d q 19. Tes cgs están en los vétices de un tingulo isósceles (ldos L4 cm se cm), ls dos cgs que están en los vétices de l se, son negtivs de vlo q 0 l que est en el vétice supeio es positiv de vlo q 0. Clcule:. El cmpo E en el punto medio de l ltu h.. El potencil en el punto medio de l se. c. El punto inteio del tingulo donde el potencil es ceo. 0. L distiución de cgs que se muest en l figu, se conoce como cudupolo linel.. Demueste que el potencil de un punto soe el eje X donde > es: ke q V. 3. demás mueste que l epesión otenid cundo >>d se educe : k e q V 3 Y +q -q (-,0) cudupolo 1. Demueste que el potencil eléctico p el cudupolo eléctico mostdo en l ke p (3cos θ 1) figu es poimdmente V, donde p q es el momento 3 cudupol eléctico. En los cálculos supong que >>. +q (,0) X +q -q +q θ 1 P Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

33 33. Si un ptícul se encuent oscilndo jo l cción de un enegí potencil dd 1 p o U ( ) k, donde k es un constnte, l fuez coespondiente este du ( ) d( 1 k ) potencil es F( ) k, se dice que tienen el movimiento d d de un oscildo mónico simple. Dos cgs puntules idéntics +q están fijs en el espcio sepds po un distnci d. Un tece cg puntul Q puede movese liemente se encuent inicilmente en eposo en un isecto pependicul de l líne que conect ls dos cgs fijs un distnci de l líne (ve figu). Se pide:. Mueste que si es pequeñ en elción con d, el movimiento de Q es mónico simple lo lgo del isecto, detemine el peiodo de ese movimiento.. Qué tn ápido se mueve Q cundo está en el punto intemedio ente ls dos cgs fijs? Y +q d/ d/ -Q X +q Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

34 Coiente Eléctic Resistencis. 34 (Los escitos pesentdos continución coesponden l cpitulo 5 de los puntes del cuso de Físic II. Cedos po el pofeso Luís Fuenzlid del Dpto. de Físic de l USCH). Cicuitos en coiente continu. En est sección se define, pimemente, el concepto de coiente eléctic como un flujo de potdoes de cg eléctic en espuest un cmpo eléctico eteno plicdo. Se nliz el cso de conductoes metálicos de sección tnsvesl pequeñ( lmes) conductoes de sección tnsvesl gnde(conductoes mcizos huecos); se definen dos pámetos físicos que descien l conducción de cg eléctic en cd uno de los tipos de conductoes. continución se discute l Le de Ohm, definiéndose un pámeto ccteístico de los mteiles conductoes que se denomin esistenci eléctic. Luego, se pesentn ls egls que igen l cominción de esistencis eléctics, tvés de ells se otienen simplificciones de los cicuitos elécticos. Finlmente, se nlizn ls egls de Kichhoff (le de los nudos le de ls mlls) que suministn ls hemients ásics p esolve los cicuitos elécticos. In tensidd de coiente vecto densidd de coiente. L coiente eléctic se define como el flujo de potdoes de cg eléctic (electones, iones positivos, iones negtivos) que se poduce en un medio conducto como espuest un cmpo eléctico eteno plicdo. En el cso de los medios conductoes metálicos, l coiente eléctic es deid esencilmente un flujo de electones, en vitud de que son ptículs de considele meno ms compd con los potones (ms de un potón 1.67*10-7 Kg; ms de un electón Kg), po lo tnto, pesentn un mo movilidd. El cmpo eléctico plicdo implic un ez ejecid soe el electón ( F ee fu ) que modific su estdo de movimiento. Como en un pequeñ muest de mteil conducto eiste un gn númeo de electones, el conjunto tendá un movimiento efectivo en l diección del cmpo eléctico, un velocidd llmd velocidd de deiv, geneándose l coiente eléctic. Se utilizn dos mgnitudes físics p defini el flujo de cgs eléctics: l intensidd de coiente l densidd de coiente. L intensidd coiente es un mgnitud escl que mide l cntidd de cg eléctic que tvies nomlmente un áe uniti tnsvesl del conducto en l unidd de tiempo. Mtemáticmente, l intensidd de coiente se epes como: dq I dt se indic en el S.I.(sistem intencionl de medids) en uniddes llmds [mpèe], que coesponde (Coulom/segundo). Est mgnitud epesent ien l conducción si se tt de conductoes de sección tnsvesl pequeñ, los cules se denominn lmes. En pticul, cundo se nlicen conductoes copldos confomndo un cicuito eléctico, se supondá que estos tienen el cácte de lmes. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

35 35 L coiente eléctic sí definid, se clsific en: i) coiente continu, entendid como quell que tiene un vlo constnte I I 0, cicul siempe en el mismo sentido lo lgo del conducto; ii) coiente lten, que es quell que tiene un vlo vile en el tiempo I I(t), que demás cmi de sentido de ciculción en fom peiódic. El vecto densidd de coiente, en cmio, define loclmente l conducción e quivle un función distiución de l coiente, se denot como J ( ). Es un cntidd vectoil que se elcion con l intensidd de coiente según: I J d S donde S es un sección tnsvesl del conducto. ún más, se puede most que l densidd de coiente es un vecto n p opocionl l velocidd de deiv de los electones ( J v ). En efecto, si se conside un poción de conducto de longitud v dt sección d, tl que el vecto unitio noml l infinitésimo de áe fom un ángulo θ con el vecto velocidd, como se muest en l figu, entonces: vdt dq d di η e ( v n d dt) di ηev n d dt dt compndo con ests epesión se infiee que J ηev, siendo η el númeo de electones po unidd de volumen e l cg eléctic del electón. v Ecución de continuidd. Un de ls popieddes fundmentles de l cg eléctic es su cácte consevtivo, popiedd que se epes mtemáticmente medinte un ecución difeencil conocid como ecución de continuidd. Est ecución elcion en cd punto del medio conducto l densidd de coiente J ( ) con l densidd de cgs ρ ( ). Si se conside un volumen V en el espcio conducto, cu supeficie fonte es S, entonces l coiente que inges l volumen est dd po: I J d que se educe medinte l plicción del teoem de Guss : S I Jdv V Po ot pte, se puede medi l mism coiente en función de l cg cumuld en el volumen V: Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

36 I dq dt d dt V ρ dv V ρ dv t 36 ddo que el volumen es fijo. Po igulción de ls epesiones nteioes se deduce: ρ J + 0 t que es l ecución de continuidd, que estlece que culquie vición de l cg enced po el volumen V signific un flujo de cgs tvés de l supeficie fonte de ese volumen; si ument l cg enced es poque huo un flujo de cgs hci el inteio del volumen, viceves. Le de Ohm. Est es un le que estlece loclmente un elción de popocionlidd ente el J E : vecto densidd de coiente ( ) el cmpo eléctico eteno plicdo ( ) J ( ) σ E( ) donde l constnte de popocionlidd σ (/Vm) se denomin conductividd eléctic, es un constnte ccteístic de cd conducto metálico. Tmién se suele emple el ecípoco de l conductividd, que se llm esistividd ρ (Vm/). Result conveniente epes est le de Ohm en téminos de pámetos mediles diectmente con instumentos. P ello, se supone un tozo de conducto de longitud L sección, se dmite condiciones de unifomidd tnto del cmpo eléctico como de l densidd de coiente en todo punto inteio del conducto. Esto quiee deci que: demás, I J d I J, ddo que J constnte S J es plelo d. V E d l V E L, ddo que E constnte E es plelo d l. Reemplzndo, entonces, en l epesión de l le de Ohm se otiene p est poimción: V ρl I donde l cntidd ρ L, que depende únicmente de l geometí de l ntulez del elemento conducto, se denomin esistenci eléctic R. Con lo cul, se escie finlmente l le de Ohm como: V RI Le de Ohm Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

37 En est epesión, los voltjes son medidos con instumentos llmdos voltímetos, l intensidd de coiente con mpeímetos, ls esistencis eléctics se miden en uniddes llmds Ohm simolizds como (Ω). El pámeto esistenci eléctic pemite independizse de l geometí de los conductoes dopt un símolo común p todos ellos, difeencindo uno de otos solmente en téminos del vlo de l esistenci. sí tmién, se fcilit el digm el nálisis de l cominción de esistencis, uniéndol medinte conductoes ideles. Cominción de esistencis. 37 Dos son los tipos de cominciones que se pueden constui con ls esistencis: l coneión seie l coneión plel. El nálisis de cd cominción conllev l deteminción de l esistenci equivlente, e ntendid como quell únic esistenci que cumple ls misms pestciones que el conjunto de esistencis. Ests egls de cominción seie plel, pemiten posteiomente l simplificción de los cicuitos elécticos. L cominción seie consiste en l unión sucesiv de ls esistencis componentes medinte conductoes ideles(elementos conductoes de esistenci nul). En l figu (5.) se tiene un cominción seie de N esistencis ente los teminles, cd un con vloes R 1, R, R 3,..., R N. plicndo l consevción de l cg eléctic l consevción de l enegí, se puede infei ls dos siguientes popieddes p l coneión en seie: ) L coiente eléctic es l mism po tods ls esistencis, vle deci: I 1 I I 3... I N. ) El voltje totl ente es igul l sum de los voltjes de cd esistenci, es deci: V V 1 +V +V V N. sí entonces, plicndo l le de Ohm se tiene que: peo como, V I R + R + R +... R ( 1 3 N V I R eq ) se conclue que el vlo de l esistenci equivlente de l cominción seie es: Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

38 R eq R i i 38 L cominción plel de esistencis es quell en l cul tods ls esistencis están conectds los mismos teminles, como muest l siguiente figu. Ls popieddes que stisfce est cominción de esistencis son: ) El voltje medido ente los teminles de cd esistenci el mismo, e igul l voltje medido ente los teminles, o se V V V V V V N ) L coiente totl que inges o sle de l cominción es igul l sum de l coientes po cd un de ls esistencis, es deci I I I + I 3 + I 4 + I N. Luego, hciendo uso de l le de Ohm se otiene que: V V R eq R1 R R3 R N de donde se deduce finlmente que l esistenci equivlente de l cominción plel se clcul como: 1 1 R eq R Potenci eléctic consumid en un esistenci. L esistenci eléctic indic un medid de l oposición que enfentn los electones l lie ciculción lo lgo del medio conducto, fectd po choques con los núcleos positivos, choques con otos electones, choques con impuezs, choques con ls pedes del conducto, etc. Tods ests cciones soe los electones implicn pédids de su enegí de movimiento, tnsfomándose esencilmente en clo. P los popósitos de este teto, ls esistencis eléctics son elementos disipdoes de enegí eléctic, l potenci eléctic consumid se detemin evlundo el tjo que dee eliz el cmpo eléctico en el inteio del conducto, p tsld un infinitésimo de cg dq desde un punto mo potencil hst un punto meno potencil, Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH i i

39 39 dw dw Vdq P V dt dq dt P VI I V R R en est epesión se h utilizdo l le de Ohm (VIR) p d ots foms ltentivs p clcul l potenci consumid po un esistenci. L potenci eléctic se mide en el S.I. en uniddes llmds (wtts). Fuez electomotiz (FEM) Se h menciondo nteiomente, que es estictmente necesi l eistenci de un cmpo eléctico p poduci un coiente eléctic lo lgo de un conducto. pes de que un conducto posee cgs eléctics positivs negtivs que están genendo un cmpo eléctico en todo el espcio, no se poduciá un coiente pemnente tvés del conducto si este fom un cicuito cedo; l zón es que este cmpo eléctico es consevtivo, es deci, stisfce l condición de ciculción nul lo lgo de un tectoi ced( E dl 0 ), po lo tnto, es incpz de suminist continumente C enegí p que los electones econ el cicuito. Se dee, entonces, plic un cmpo eléctico del tipo no consevtivo, el tjo po unidd de cg que eliz este cmpo se conoce como l fem ξ (fuez electomotiz): donde se h denomindo como E ef ξ d l E ef el cmpo no electostático. L epesión nteio indic que l fem es fundmentlmente un difeenci de potencil, po lo tnto, se mide en uniddes de volts. Su vlo detemin l cntidd de enegí suministd los electones, l potenci coespondiente se conoce como potenci suministd. sí, ls fem s son dispositivos que tnsfomn lgún tipo de enegí en enegí eléctic; po ejemplo, ls teís hcen un poceso de tnsfomción de enegí químic en enegí eléctic. Eisten dos tipos de fem, dependiendo del tipo de coiente que suministn: l fem continu l fem lten. L fem continu es quell que tiene un vlo constnte V 0 popocion coiente continu, mients que l fem lten tiene un vlo que es vile en el tiempo V(t) suminist un coiente lten. demás, p efectos de nálisis de cicuitos, se puede distingui un fem idel de un fem el; l fem idel es quell que popocion ente sus teminles - un voltje constnte independientemente de ls esistencis(esistencis de cg) ls que esté conectd l fuente, es deci, v ξ ; en tnto que, l fem el es quell que enteg un voltje ente sus teminles - que depende de ls esistencis de c g, o en ots pls, es quell que pesent un consumo de enegí eléctic inten que se epesent en téminos de un esistenci inten que está en seie con l fem ξ(ve figu), en consecuenci, el voltje ente los Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH 0

40 40 teminles - de un fem el es: el cicuito. V0 ξ Rii, siendo I l coiente que se estlece en Es clo, que un fem el puede suminist un coiente máim finit, llmd coiente de cotocicuito I cc, que es quell que cicul cundo ente los teminles se conect un esistenci nul(cotocicuito) que tiene un vlo de: I cc ξ R i (un fem idel se indic, po ejemplo, como 1 V ; mients que un fem el se indic como 1 V; 0,5 Ω ) L ees de kichhoff. Con un o más fem s unids medinte conductoes ideles un o más esistencis eléctics se fom un cicuito eléctico. L solución del cicuito eléctico implic detemin tods ls coientes que ciculn, los voltjes en cd uno de los elementos elécticos conectdos, ls potencis eléctics suministds consumids. P simplific l lectu del cicuito se definen lgunos conceptos como m eléctic, nudo eléctico mll eléctic. Rm eléctic es culquie segmento del cicuito, que esistencis eléctics, que es ecoid po un únic coiente. contiene fem s /o Nudo eléctico es todo punto de unión de tes o más ms eléctics, l cul confluen distints coientes eléctics. Mll eléctic es culquie ligzón de ms eléctics fomndo un tectoi ced. Ls ecuciones ásics p esolve un cicuito eléctico se deivn de l plicción de ls lees de Kichhoff, ls cules su vez, se infieen de l vlidez de l consevción d e l enegí de l consevción de l cg eléctic. Se conocen como l le de ls mlls l le de los nudos, espectivmente. L le de nudos estlece que l sum lgeic de ls coientes en todo nudo eléctico dee se siempe igul ceo, es deci, Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

41 j I j 0 41 l nudo pueden lleg o sli coientes, entonces se difeenci, convencionlmente, un de ot medinte el empleo de signos positivos negtivos. En consecuenci, l nteio ecución se puede epes tmién como un iguldd ente l sum de ls coientes que llegn l nudo ls que slen del nudo: I j ( llegn) I k ( slen) j k P el ejemplo de l figu, l ecución nteio se escie como: I 1 II I + I I + I I 0 I o ien, I I + I 4 I 3 I 5 I 5 I 4 L le de ls mlls estlece que l sum lgeic de los voltjes en tod mll eléctic dee se siempe igul ceo. j V 0 j En cd elemento eléctico ( fem esistenci eléctic) se estlecen poliddes más(+) menos(-) ente sus teminles. Se hl entonces de un suid de potencil cundo se ecoe el elemento desde el teminl (-) hci el teminl (+); de un jd de potenci cundo el ecoido es desde el teminl (+) hci el (-). P efectos de plic l le de mlls dee signse, convencionlmente, un signo ls suids de potencil oto ls jds de potencil. ho ien, p esolve un cicuito plicndo ls lees de Kichhoff conviene segui el siguiente pocedimiento: 1) Identific el númeo de ms eléctics que eisten en el cicuito, pues eso deteminá el númeo de coientes incógnits esolve. ) sign itimente los sentidos de ecoido de cd un de ls coientes incógnits. 3) Estlece ls poliddes en los teminles de ls esistencis eléctics, considendo que l coiente inges po un teminl positivo sle po un teminl negtivo. Ls poliddes de ls fem s son independientes de los sentidos elegidos p ls coientes. 4) Escii un númeo de ecuciones, de nudo de mll, necesio p l cntidd de coientes incógnits, esolvels. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

42 4 Ejecicios. 1. El cicuito mostdo en l figu posee cuto esistencis, un inteupto S un fuente de difeenci de potencil Vo. Los vloes de ls esistencis son: R1 R o, R R 4 R o R 3 3R o. Se pide en función de R o V o. ) El vlo de ls coientes l potenci en cd esistenci si el inteupto S está cedo. ) El vlo de ls coientes l potenci en cd esistenci si el inteupto S está ieto.. En el cicuito mostdo en l figu, con S1 cedo S ieto: ) Tnsfome el cicuito en un cicuito de mlls. ) Clcule l potenci disipd en l esistenci 3R o. c) Detemine l coiente en l esistenci de 4R o. 3. El cicuito de l figu, está fomdo po cinco esistencis un fuente de difeenci de potencil V o. Ls esistencis son: R 1 R o, R R 3 R 4 R o R 5 3R o donde R o es conocido. Se pide clcul, en función de Ro V o. ) L coiente que ps po l fuente R 1. ) L coiente que ps po l esistenci R El cicuito de l figu, está fomdo po cinco esistencis dos fuentes de difeenci de potencil V o cd un. Ls esistencis so n: R 1 R o, R R 3 R 4 R o R 5 3R o donde R o es conocido. Se pide clcul, en función de R o V o. ) L coiente que ps po l fuente R 1. ) L coiente que ps po l esistenci R 5. Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH

43 43 5. El cicuito de l figu, está fomdo po seis esistencis un fuente de difeenci de potencil V o. Ls esistencis son: R 1 R 6 R o, R R 4 R o R 3 R 5 3R o, donde R o es conocido. Se pide clcul, en función de R o Vo. ) L esistenci equivlente del cicuito. ) L coiente que ps po l esistenci R El cicuito de l figu, está fomdo po seis esistencis dos fuentes de difeenci de potencil V o V o. Ls esistencis son: R1R 5 R o, R R 4 R o R 3 R 6 3R o, donde R o es conocido. Se pide clcul, en función de R o V o. ) L coiente que ps po l esistenci R. ) L coiente que ps po l esistenci R El cicuito de l figu, está fomdo po seis esistencis dos fuentes de difeenci de potencil V o V o. Ls esistencis son: R 1 R 5 R o, R R 4 R o R 3 R 6 3R o, donde Ro es conocido. Se pide clcul, en función de Ro V o. ) L coiente que ps po l esistenci R 3. ) L difeenci de potencil ente los nudos. 8. El cicuito de l figu, está fomdo po seis esistencis dos fuentes de difeenci de potencil V o V o. Ls esistencis son: R1R 5 R o, R R 4 R o R 3 R 6 3R o, donde R o es conocido. Se pide clcul, en función de R o V o. ) L coiente que ps po l esistenci R 4. ) L difeenci de potencil ente Físic 1 Ing. Civil Eugenio Rive Mncill USCH