Algunas consideraciones sobre la energía almacenada en una distribución de cargas

Transcripción

1 D. Ing Guillemo Sntigo Físic II A/B - Segundo Cutimeste 6 Alguns consideciones sobe l enegí lmcend en un distibución de cgs Distibución discet de cgs Un distibución culquie de cgs eléctics tiene un ciet cntidd de enegí socid. Esto es ticulmente fácil de e en el cso de cont con N cgs i ubicds en ls osiciones i. Considemos que este sistem es mdo tyendo sucesimente cd un de ls cgs desde un distnci muy gnde. Así, te l ime no efectumos tbjo lguno ddo que sobe l mism no ctún fuezs eléctics. Luego, one l segund cg en su osición finl debemos hce un tbjo. π () Si ho moemos imginimente l tece cg odemos clcul el tbjo elizdo comutndo los téminos ente l cg y l y luego ente l y l. () π π Podemos continu sí con ls demás cgs hst hbe confomdo tod l distibución de cgs. L cntidd totl de tbjo elizdo (y o lo tnto l enegí lmcend) es simlemente l sum de los téminos nteiomente menciondos. Todos los es π i j i j ij i j π ij i j () En l últim exesión incluimos el fcto ½ eit contbiliz dos eces el mismo témino l ecoe ls sumtois todos los loes de i y j. Distibución continu de cgs Cundo tenemos un distibución continu de cgs ls sums nteioes deben se eemlzds o integles. Así, si considemos que cd elemento de olumen d tiene un cntidd de cg d d obtenemos: () ( ) dd π Todo el escio () Donde tenemos ho dos integles que ecoen tod l distibución de cgs (o eso mntenemos el fcto ½ l comienzo). Si nos concentmos en l integl sobe d obsemos lo siguiente:

2 D. Ing Guillemo Sntigo Físic II A/B - Segundo Cutimeste 6 ( ) π d V () () Obsemos que l mism deuele el otencil genedo en l osición o tod l distibución, o lo que odemos educi l exesión () : () V () d (6) El uso del subíndice indic l egión es entonces innecesio uesto que no quedn ibles de l egión en l exesión. Entonces educimos : Vd (7) Est es l elción finl que nos emite comut l cntidd de enegí lmcend en el sistem. Un equeño ejemlo intoduci l densidd de enegí De los muchos ejemlos que odemos d lic est exesión tommos el cso simle de un ccito de lcs lels de áe A, seción d y conectdo un il de lo V. Si signmos l lc negti el otencil de efeenci nulo, entonces l ot se encuent un otencil V y l cntidd de enegí lmcend es: Vd V d V CV Donde C es l ccidd. Intoducimos ho el conceto de densidd de enegí u como l cntidd de enegí d lmcend o unidd de olumen d, es deci: d u (8) d En el sistem MKS l densidd de enegí se mide en J/m. En nuesto ejemlo est cntidd es muy fácil de clcul uesto que tods ls mgnitudes son unifomes sí que el cómuto se educe diidi l cntidd de enegí lmcend o el olumen. V V V u σ D E (9) Ad A d d

3 D. Ing Guillemo Sntigo Físic II A/B - Segundo Cutimeste 6 En est últim exesión ecodmos que l zón de l cg lmcend en un lc l áe A de l mism es l densidd sueficil de cg σ y que ést coincide con el módulo del ecto deslzmiento D. Asimismo ecodmos que l zón de l difeenci de otencil ente lcs V l distnci d ente ls misms coincide con el módulo del cmo eléctico E. Vemos que, l menos en este cso simle, udimos educi el cálculo de l densidd de enegí lmcend un exesión simle en los cmos D y E. Po suuesto que nd sbemos de l genelidd de l exesión nteio y debemos hce un demostción más cuiddos ntes de licl otos csos, o lo que ocedeemos con más cuiddo. Un oximción más foml l cómuto de l densidd de enegí Recodemos l fom integl del teoem de Guss: D ds () S ue lledo su fom difeencil es (hy que es Análisis II): D () Utilizmos est últim fom comut nuemente l enegí del sistem: ( Vd D) Vd () Un identidd útil del nálisis ectoil es l siguiente. Dd un función escl φ y un ectoil A odemos escibi (ot ez hy que es Análisis II): ( φa) φ A + A φ () ue licds nuesto cso esultn en: ( VD) d D ( V ) d () Po el teoem de l diegenci, l ime integl uede tnsfomse de un de olumen un de sueficie del oducto VD sobe l sueficie ced que ode l egión. Peo si est egión h de contene todos los cmos es necesio extendel hst el infinito. Ddo que V í como / y D lo hce como / entonces el integndo tiene un deendenci de l fom /. Po ot te l sueficie ument como o lo que l

4 D. Ing Guillemo Sntigo Físic II A/B - Segundo Cutimeste 6 tendenci genel del integndo es de l fom /. Entonces el lo totl de ime integl tiende ceo confome l sueficie tiende infinito. VD d VD ds ( ) S () Po lo tnto el cómuto de l enegí sólo es necesi l segund integl. Si ecodmos que el cmo eléctico lo odemos comut como menos el gdiente del otencil obtenemos: D Vd D Ed u D E (6) Est últim elción coincide con l que hbímos obtenido el ccito lno eo ho tiene lidez genel y no estingid ese ejemlo en ticul. Al esole un oblem electostático tenemos fácilmente disonibles los loes de D y E o lo que comut l densidd de enegí no eesent myo oblem. Si integmos dich densidd de enegí todo el olumen donde hy cmo no nulos entonces obtendemos l cntidd totl de enegí que hy lmcend en el sistem. ué hcemos ho con l teoí de l sección nteio? Pimeo, NO etendemos que ecueden de memoi l demostción. Sólo quisimos most que el conceto de densidd de enegí y cómo se clcul tienen lidez más llá del cso simle (ccito lno) con el que fueon intoducids. Vmos e ho cómo oemos con ells encont esuests útiles. Po suuesto que no tiene sentido ole sobe el ccito lno uesto que de llí enimos, sí que no tiene gci. Vmos tt un cso ligemente difeente, el de un cble coxil (ccito cilíndico) de dio inteio, exteio b, lgo L y cuyo escio ente lcs está elleno o un dieléctico de emitiidd elti. Este cso y lo hemos esuelto y es ticulmente simle si nuemente desecimos los efectos de bode. En tl cso ls línes de cmo son simlemente diles; ncen en el conducto centl (suuesto ositio) y mueen en el conducto exteno (suuesto negtio). Aunque y hemos desolldo en ls clses el cómuto de l ccidd mos eetilo e cómo lo conectmos con lo que hemos endido. Pimeo sumimos que el sistem fue cgdo con un il de lo V licd ente el conducto centl y el exteio. Ls cgs lmcends en cd uno de ellos tienen módulo. Ddos que hemos sido eficientes y udimos diin l diección de ls línes de cmo entonces odemos emle con oecho el teoem de Guss clcul l intensidd de los cmos.

5 D. Ing Guillemo Sntigo Físic II A/B - Segundo Cutimeste 6 L sueficie gussin más áctic es un cilindo coxil con el conducto centl y cuyo dio se encuent comendido ente y b. En ests condiciones comutmos el flujo del ecto deslzmiento tés de dich sueficie. Utilizmos dicho ecto oque igulemos el flujo l cntidd de cg libe ubicd dento de l sueficie que es ecismente l cg eteneciente l conducto centl. Como y ocedimos ots eces econocemos que el flujo o ls ts del cilindo es nulo ddo que ls línes de cmo son eendicules l ecto que eesent l elemento de sueficie. En l c ltel del cilindo ls línes de cmo son lels l elemento de sueficie, o lo que el oducto escl que detemin el elemento de flujo es simlemente el oducto de los módulos de los ectoes. Po último, l e que el oblem cece de detlle ngul, concluimos que cd dio l intensidd de los cmos es únic, o lo que dich intensidd uede se extíd fue de l integl obtene: S D ds D πl Su lt D ds D Su lt E π L ds D πl Vemos (como y sbímos) que los cmos ín en fom inesmente oocionl l distnci l cento. P conect l cntidd de cg lmcend con el lo de l il comutmos l ciculción del cmo eléctico desde el conducto centl hst el exteio. (7) V ( b) V ( ) C V V π L b ln b E d b π L d b ln π L (8) Resultdos estos que y conocímos (y los debímos conoce?) L cntidd de enegí cumuld es entonces π L CV V (9) b ln Vmos e cómo odemos lleg l mismo esultdo oendo con nuest ecién definid densidd de enegí. Pimeo mos comutl:

6 D. Ing Guillemo Sntigo Físic II A/B - Segundo Cutimeste 6 u D E L ( πl) π π L () Est elción nos dice que hy más densidd de enegí en ls egiones óxims l conducto centl uesto que el cmo es más intenso llí. Aho, difeenci del ccito lno, no odemos comut l enegí totl simlemente multilicndo l densidd de enegí o el olumen uesto que no hy unifomidd de los cmos. Lo que hcemos es integ sobe el olumen. d b ud u dz dϕ d πl ln π L b π L ( πl) b () ue coincide con l (9) si nos yudmos con l (8) (hgn el eemlzo). Hst quí uede ece que nos hemos comlicdo mucho ecue un esultdo que odímos comut fácilmente con l ccidd. Vmos e ho oto ejemlo en ienci un oco más difícil. Consideemos un distibución esféic de cgs de dio y densidd olumétic unifome. Este cso lo hemos ttdo en lo que hce l cálculo de los cmos, o comletitud lo eetimos quí. Clculemos l densidd de enegí imeo con l exesión (7). L densidd de cgs es unifome sí que uede se extíd fue de l integl: Vd Vd Dd l simetí del oblem, en lug de escibi el elemento de olumen en coodends esféics considemos un cásc esféic de dio y eseso d cuyo olumen le: dπ d. Consecuentemente el otencil genedo o l distibución de cgs, tomndo como V( ), es: π V π π π π Vd Vd d d π Clculemos ho de nueo utilizndo l densidd de enegí. Recodmos que el cmo eléctico tiene dos zons bien definids. Dento de l esfe el mismo le: ) E() Mients que fue de l mism es: 6

7 D. Ing Guillemo Sntigo Físic II A/B - Segundo Cutimeste 6 () E ˆ Clculmos ho l densidd de enegí cd egión: u u < Aho debemos tene cuiddo e integ en olumen l densidd de enegí TODA egión con cmo no nulo, es deci TODO el escio y no sólo limitnos ls esfe. 8 8 π π π π π d d + + Resultdo que concued con el obtenido eimente. Es imotnte enftiz que l integción debe ocede sobe tod egión que teng cmos no nulos y no limitse l egión donde hy cgs. Este último ejemlo con seguidd eceá muy difícil de segui y hst es obble que lguien considee que le esultá imosible eetilo sin coilo y menos ún comete oto ejemlo. Sin embgo es un sensción eóne. Es osible eeti este ejemlo y ún desoll otos, sólo hce flt entenmiento y áctic. Aho es el tuno de ustedes. 7