INTEGRALES INDEFINIDAS
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- María Pilar Ortiz de Zárate Torres
- hace 8 años
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1 INTEGRALES INDEFINIDAS Pág.:
2 ÍNDICE:.- FUNCIÓN PRIMITIVA..- INTEGRAL INDEFINIDA..- INTEGRALES INMEDIATAS...- INTEGRACIÓN INMEDIATA DE ALGUNAS FUNCIONES. 4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. 5.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. 6.- INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN. 7.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE. 8.- INTEGRACIÓN POR PARTES. 9.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES FRACCIONES RACIONALES PROPIAS. RAÍCES REALES SIMPLES. RAÍCES REALES MÚLTIPLES. RAÍCES IMAGINARIAS SIMPLES. RAÍCES IMAGINARIAS COMPUESTAS CASO DE FRACCIONES RACIONALES IMPROPIAS. 0.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Pág.:
3 .- FUNCIÓN PRIMITIVA E los ems eioes se h esuio como puee oeese l ució eiv e u ució. E ocsioes se pese l ecesi e llev co el poceso coio, eso es, u ució hll o, eomi "Fució Pimiiv", cuy eiv se l pime. Fució pimiiv e u ució : ƒ(, es o ució: F(, cuy eiv es l pime. F( ució pimiiv e ƒ( F '( ƒ( Ejemplo: F( l, es ució pimiiv e : ƒ( /, y ue l eiv e l es /.- INTEGRAL INDEFINIDA No os ls ucioes posee ució pimiiv, y ue u ució puee o eisi o ue l eg po eiv. Aho ie, cuo u ució: ƒ(, posee ució pimiiv: F(, és o es úic, sio ue eise iiis ucioes pimiivs: os ls ue iiee e F( e u ci cose. E eeco, si F( es ució pimiiv e ƒ(, se veiic ue: F '( ƒ(, pues ie, l ució F( C, oe C es u úmeo el culuie, mié es u ució pimiiv e ƒ(, y ue: [F( C]' [F(]' [C]' F '( 0 F '( ƒ( El cojuo omo po os ls ucioes pimiivs e u ució ƒ( se eomi iegl ieii e ƒ(. L iegl ieii se epese po: ( De lo epueso se euce ue l iegció ieii es l opeció ives e l ieecició, y ue cosise e hll os ls ucioes cuy ieecil se u. Ejemplos: C l C cos se C se cos C C e e C Pág.:
4 .- INTEGRALES INMEDIATAS Iegles imeis so uells cuyo esulo puee oeese melmee, si más ue cosie ( l ives ls egls e eivció. A coiució mosemos ls iegles imeis e uso más ecuee: m m c C m c C e C l e e C l C cos h cos se C g se C i g C cos k cse C g C j ( g l cg C..- INTEGRACIÓN INMEDIATA DE ALGUNAS FUNCIONES DE FUNCIONES Se y ƒ(u, u u( os ucioes coius. L ució y ƒ(u( es uució e ució. Supueso ue F(u es u pimiiv e ƒ(u especo u; es eci se cumple u F( u ( u ( u u F( u C como u u'(, susiuyeo esul ( u( u'( F( u C Si Cojugos icho esulo co l l e iegles ieiis vis eiomee, oeemos u seie e iegles cliics mié e iegles imeis p u u(: Pág.: 4
5 m m u u u C m ' (m - u' l C u u' c cg u C u c co C u' cse C u ccos C u u e u' C l u u e u' e C g seu u' cosu C h cos u u' seu C i g u u' l cosu C j co u u' l seu C u' k g u C cos u u' l co u C se u Pág.: 5
6 4.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA De ls egls e eivció el pouco e u cose po u ució, e u sum e ucioes y e u ieeci e ucioes, se euce ls siguiees popiees e l iegl ieii: ª.- L iegl el pouco e u cose po u ució es igul l pouco e l cose po l iegl e l ució. c ( c ( Ejemplo: 5 cos 5 cos 5 se c ª.- L iegl e u sum e ucioes es igul l sum e ls iegles e ls ucioes sumo. [ƒ( g(] ƒ( g( Ejemplo: (se cos cos se C se cos ª.- l iegl e u ieeci e ucioes es igul l ieeci e ls iegles e ls ucioes miueo y suseo. [ƒ( - g(] ƒ( - g( 4ª.- Como cosecueci e ls os popiees eioes: L iegl e u sum lgeic e ucioes es igul l sum lgeic e ls iegles e os y c u e ls ucioes sumos. Ejemplo: ( c 5.- MÉTODOS DE INTEGRACIÓN P l esolució e iegles se uiliz ieees iicios e cálculo, cuyo ojeo es som l epesió ieg e o, u os, e iegció más secill. A ichos iicios se les eomi méoos e iegció. E ese em vmos esui los siguiees: - Iegció po escomposició e sumos. - Iegció po cmio e vile. - Iegció po pes. Pág.: 6
7 - Iegció e ucioes igooméics. - iegció e ucioes cioles. 6.- INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN SUMANDOS Como su ome iic, ese méoo cosise e escompoe e sumos l iegl esolve plico coiució ls popiees eiomee eucis. Ejemplo: ( ² Desollo l poeci el iomio y plico ls popiees eiomee epuess se oiee: ( ² (² ² c c 7.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN U méoo úil e ocsioes es el e cmio e vile o susiució. Ese cosise, e líes geeles, e om u uev vile,, l ue g( se u ució coiu y ue mi ució ives: g - ( Como e g( g'(, susiuyeo e I ƒ( ( g( I ƒ g'( De es om se h somo l iegl ieii e o, ució e l uev vile. Si l elecció e l vile h sio ce, l iegl esule es más secill e ieg. El éio e l iegció epee, e go cosiele, e l hili p elegi l susiució ecu e l vile. U vez oei l ució pimiiv, F( C, se eshce el cmio e l vile susiuyeo g (. Así se iee l iegl ieii e ució e l vile iicil. Ejemplo: ( I Cmio: - Pág.: 7
8 I ( Deshcieo el cmio: - *Ejecicios popuesos: ( 4 5 c c ( ( c Cmio: 4 Cmio: Cmio: X - 8 e Cmio: ( ( 8 Cmio: Cmio: g se h cos Cmio: Cmio: i ( ( Cmio: - j m p cse k l l ( Cmio: cse Cmio: l Cmio: 49 o 4 Cmio: - Cmio: 7 Cmio: ( 4 Cmio: Cmio: se Cmio: - Pág.: 8
9 8.- INTEGRACIÓN POR PARTES Como Se u u(, v v( os ucioes viles e u ievlo [,] (o e oo R. (u v u v v u e oe Iego los os miemos e l igul u v (u v - v u u v ( u v v u u v u v vu L epesió oei, eomi ómul e iegció po pes, se uiliz p som u iegl e o. Tsomció ue seá úil como méoo e iegció cuo l iegl el seguo miemo se imei o, l meos, más secill ue l el pime miemo. Al igul ue e el méoo eio, o eise omiv lgu ue siv p eemi ué iegles es coveiee esolve po pes, como mpoco p u vez opo ese méoo ij ué co ee hcese igul u. Ejemplo: se. Cosieo ue l eiv e es l ui y ue l iegl e se es imei, hcemos: u u v se v se cos Susiuyeo ess epesioes e l omul e iegció po pes y esolvieo l iegl ue pece, esul: u v u v v u se ( cos *Ejecicios popuesos: cos se cos cos cos se c Pág.: 9
10 l cos c l l² e cos² e se g ² e 9.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Ojeo e esuio es l iegció e ucioes cioles, ucioes el ipo oe ƒ( y g( so ucioes poliómics. ( g( 9..- FRACCIONES RACIONALES PROPIAS. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES ( g( es cció ciol popi si el go e ƒ( es meo ue el e g(. E ese cso el méoo segui es su escomposició e ccioes simples, o ue se emues ue o cció ciol popi se puee escompoe e ccioes cioles simples. El pime pso eliz es escompoe coilmee el eomio, g(. Puee ocui ue eis íces eles simples, íces eles múliples, íces complejs simples o íces complejs múliples. Segú los isios csos se iee ls siguiees escomposicioes: RAÍCES REALES SIMPLES: ( ( ( ( ( ( Pág.: 0
11 Pág.: RAÍCES REALES MÚLTIPLES: ( ( ( ( ( ( m m m K K K ( ( ( ( ( ( ( m m m K K K ( RAÍCES IMAGINARIAS SIMPLES: ( ( e p c m e c ( ( ( e p c m e c ( RAÍCES IMAGINARIAS COMPUESTAS: ( ( ( ( c m c m c m e c ( L ( ( e p e p e p L ( ( ( ( c m c m c m e c ( L ( ( e p e p e p L *EJEMPLOS: como ( ( ( ( B A A ( B ( - ; 0 (A B (A - B;
12 ieiico coeiciees 0 A B e oe A ½ y B-½; susiuyeo A B I C C l l l 4 I 4 A B C - ( - (- ( ² - 4 A ( - ² B ( - C ² - 4 (A B ² (- A - B C A; A B Ieiico coeiciees: A B C A Susiuyeo: A 4 B C I l l ( C 9..- CASO DE FRACCIONES RACIONALES IMPROPIAS ( g( es cció ciol impopi si el go e ƒ( g(. Diviieo el umeo, ƒ(, po el eomio, g(, psmos u cció ciol popi *Ejecicios popuesos: ( c( g( ( ƒ( g( c( ( g( ( c Pág.:
13 0.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E el cso e ucioes igooméics so peciss, e ocsioes, somcioes igooméics, ue ls ps ucioes cuy iegció es y cooci o so más simples. So úiles ls susiucioes: se cos g g / P se cse ; ; g ; cos P g cg ; ; se ; cos P g EJEMPLO: cg ; ; cos cos cos I 4 se se ( se ( cos I 4 se se Hcemos el cmio: se cos. ( 4 ; cos I C se se 4 4 *Ejecicios popuesos: se se se cos se5 se7 cos Cmio: g / Cmio: cos Cmio: se Cmio: g / Pág.:
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