5 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN N

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1 DINÁMI Y ONTROL DE PROESOS 5 EUIONES DIFERENILES ORDINRIS DE ORDEN N Si ier err e u efoque memáico del em, recordemos que muchos de uesros sisems (y priculrmee odos los que vrí e el iempo) se epresrá como ecucioes difereciles. De form geerl u sisem esrá crcerizdo por u ecució del ipo d m m d d d u d u m m m m u dode es l vrile de esdo que vrí e el iempo, u es l vrile mipulr y i y j so los coeficiees o prámeros de l ecució. E muchos csos esos coeficiees so ivriles e el iempo mié y l resolució del sisem es más secill. Vemos u ejemplo: se u recor discoiuo dode se llev co dos reccioes cosecuivs ms de primer orde co coses ciéics y. Ls ecucioes que defie el sisem surge de los lces de ms: d d d hor ie, l primer ecució se iegr direcmee pues es u ecució vriles seprles. e Que se puede escriir e form dimesiol llmdo e o o du coversió u ILM

2 DINÁMI Y ONTROL DE PROESOS L segud ecució l podemos escriir de es mer Y derivdo d Susiuyedo e l primer ecució d d d Que es u ecució diferecil homogée coeficiees coses d d d d uy ecució crcerísic es Por lo o los vlores propios so Y l solució es Pr hllr ls coses se ecesi coocer ls codicioes iiciles: su vez c ep c ep c c d o Por lo o l solució es o ep ep Que se puede escriir e form dimesiol llmdo o ep ep u ILM

3 DINÁMI Y ONTROL DE PROESOS Ver ejem5..sce. E geerl pr u ecució diferecil homogée coeficiees coses d d d Escriimos el poliomio crcerísico Ls ríces del poliomio crcerísico (o polos e l ermiologí de corol) so los vlores propios ( eigevlues ) de l ecució. Si ls ríces so disis eoces l solució es de l form c e ce c e Por ejemplo pr l ecució vis eriormee d l ecució crcerísic es = co vlor propio - co lo cul l solució es ce y coociedo l codició iicil se oiee e. Por ejemplo pr l ecució d d uy ecució crcerísic es co vlores propios = -, = - L solució es ce ce. o l codició iicil () = se oiee c = - c. Puede oservrse mié que = d por lo que omdo l derivd de y susiuyedo ls codicioes iiciles se lleg e e udo se iee ríces repeids l solució es de l form r i c c c c e i i i ir Por ejemplo si e el cso erior = = d d c c e ILM

4 DINÁMI Y ONTROL DE PROESOS Pr = c Derivdo Pr = Por lo o c d d ce c e e Que escrio e form dimesiol equivle ep u udo ls ríces so complejs l solució geerl es de l form Y por lo o l solució oscil. Por ejemplo se l ecució e j i cos si d d uy ecució crcerísic es co ríces L solució serí c j c ep ep e j cos jsi y regrupdo Que cosiderdo l ideidd de Euler e c c c c j si i cos i j j y llmdo c = c + c y c 4 = c c e c cos c4 j si ILM 4

5 DINÁMI Y ONTROL DE PROESOS por ejemplo co ()= y ()= Pr ls ecucioes o homogées se sigue el siguiee procedimieo: ) Resolver l ecució homogée ) Deermir los coeficiees de u fució priculr de prue (escogid segú l fució del ldo derecho) ) omir ls dos solucioes d e Por ejemplo el sisem como u ecució diferecil ordiri o homogée: puede ser cosiderdo c e L solució homogée es H c e L fució de prue, segú el formo del ldo derecho es P Susiuyédol e l ecució c omido ls dos solucioes Si e codicioes iiciles = Y por lo o d e c e ce e H P c e c e e e ILM 5

6 DINÁMI Y ONTROL DE PROESOS que, ovimee, coicide co el resuldo oeido eriormee. Pr el cso de ecucioes co coeficiees que vrí e el iempo l resolució líic suele ser más egorros. Por ejemplo pr ls ecucioes de l form d p q u mer de resolverls es uilizr u fcor de iegrció Muliplicdo mos ldos de l iguldd d Iegrdo ep d p ep p Y usdo ls codicioes iiciles d p q p ep p ep p ep p ep p q ep p ep q q p q ep p ep p Vemos u ejemplo: Recor Semi-ch co recció y cudl de erd cose v (si slid) (desidd cose). Ls ecucioes del modelo so Epdiedo el ldo derecho dv v dv Si el flujo es cose y el volume iicil es, V = v d V d V d i Que es de l form desed. De l cosiderció del fcor de iegrció surge p l c ep p ep l c ep l ep ep c c ep v dv v V i d V v V i ep p ILM 6

7 DINÁMI Y ONTROL DE PROESOS y muliplicdo mos ldos de l ecució pero iegrdo y filmee ep d ep ep ep i d d ep ep ep i Vése or form (uméric) de resolver el prolem e ejem5..sce. i ep ep L esilidd de ls solucioes dee eederse e el seido de que coverj hci u vlor deermido. E geerl, como vimos del formo geerl de ls solucioes, e ls que se prese érmios epoeciles, dee cumplirse que los vlores propios (o polos) se egivos. Hllr los vlores propios es secillo pr ecucioes de primer o segudo grdo pero puede complicrse pr sisems de órdees superiores. Eveulmee hy que recurrir méodos uméricos. U méodo lerivo es el propueso por Rouh: se l ecució L codició ecesri pr l esilidd es que odos los coeficiees se posiivos: > pr odo Pr l codició suficiee es ecesrio cosruir el rreglo de Rouh : c. c. 4 5 c 4 5 c 5 Ec. Y dee cumplirse que odos los elemeos de l primer colum se posiivos. ILM 7