Logaritmos y exponenciales:

Transcripción

1 Logrimos ponncils: L rsolución d cucions ponncils s s n l siguin propidd d ls poncis : Dos poncis con un mism s posiiv disin d l unidd son iguls, si sólo si son iguls sus ponns. Es dcir, p. j. Si = noncs = Cundo nos nfrnmos un cución ponncil s pud nr disin form, por llo vmos uilizr disinos méodos rnsformcions pr rsolvr cd uno d los ipos más comuns: - Por rimción - Por Rducción igul s - Por cmio d vril - Aplicndo propidds d ls poncis c... S pud rsolvr por rimción d mos mimros ( so s posil porqu mos mimros son posiivos). Aplicmos ls propidds d ls poncis Osrv qu ls ss dl jmplo son disins!

2 Muchs cucions ponncils s rsulvn por l méodo d rducción d mos mimros d l cución un mism s. Aplicmos cmio d vril Rsolvr ls siguins cucions Eponncils Osrvcions : - Mir l cmio d signo dl ponn n l jrcicio ). Rsolvr ls siguins cucions Eponncils

3 Osrvcions : - En los jrcicios ) c) hmos scdo fcor común. - En l jrcicio ) l rsolución h sido por cmio d vril. EJEMPLOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EXPONENCIALES:.-EJEMPLO DE ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER MEDIANTE LAS PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS: 6 FIJATE QUE LAS POTENCIAS SON DE LA MISMA BASE, Y LOS EXPONENTES SON SUMAS Y RESTAS DEL MISMO MONOMIO POR LO TANTO DESARROLLAMOS LA ECUACIÓN PARA TENER EN TODOS LOS SUMANDOS LA MISMA POTENCIA: PODEMOS EXPRESAR EL FACTOR COMÚN DEL LADO IZQUIERDO DE LA ECUACIÓN DE LA SIGUIENTE MANERA:

4 6 / PODEMOS EXPRESAR EL LADO DERECHO COMO UNA POTENCIA DE DOS: APLIQUEMOS LA PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS: DOS POTENCIAS SERÁN IGUALES SI SUS EXPONENTES LON SON: X=..-EJEMPLO DE ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER MEDIANTE LAS PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS: 6 / ) ( ) (.-EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EXPONENCIAL QUE SE PUEDE RESOLVER POR REDUCCIÓN A LA MISMA BASE. ESTE TIPO DE ECUACIONES SE IDENTIFICAN PORQUE LAS BASES SON MÚLTIPLOS ENTRE ELLOS. PERO REDUCIDAS A LA MISMA BASE NO ES POSIBLE OBTENER UNA EXPRESIÓN DE FACTOR COMÚN DE LA MISMA EXPONENCIAL. FÍJATE QUE EN ESTE CASO LA BASE ES MÚLTIPLO DE LA BASE. SE REESCRIBE LA ECACIÓN USANDO LA BASE MÁS PEQUEÑA: RECUERDA LA PROPIEDAD DE LAS POTENCIAS QUE DICE:

5 C B C B A A REALIZAMOS UN CAMBIO DE VARIABLE:, ) ( DESHACEMOS EL CAMBIO DE VARIABLE: UNA EXPONENCIAL NO PUEDE SER NEGATIVA NUNCA, POR LO TANTO LA PRIMERA SOLUCIÓN NO LO ES, Y LA CORRECTA ES LA SEGUNDA EN LA CUAL PODEMOS VER QUE X=..-EJEMPLO DE CAMBIO DE VARIABLE PARA LA EXPONENCIAL DE BASE NEPPERIANA: ; 6 z z z z DESHACEMOS LOS DOS CAMBIOS DE VARIABLE QUE SE HAN REALIZADO:

6 ),6( ; irción z z NOTA: EXISTE OTRO MÉTODO QUE ES APLICABLE CUANDO LAS BASES TIENEN DIFERENTES BASES EN ESTE CASO DEBEMOS USAR EL CONCEPTO DE LOGARITMO QUE LO VEREMOS A CONTINUACIÓN. SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES: LOS SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES SE PUEDEN RESOLVER APLICANDO LAS MISMAS TÉCNICAS VISTAS EN LOS APARTADOS ANTERIORES. SIN EMBARGO NORMALMENTE LA TÉCNICA MÁS EFICIENTE ES EL CAMBIO DE VARIABLE. VEAMOS UN EJEMPLO: EN ESTE SISTEMA SE PUEDEN IDENTIFICAR DOS POTENCIAS DIFERENTES DE BASE TRES, UNA DE ELLAS CON EXPONENTE X Y LA OTRA Y. POR LO TANTO LO QUE HAREMOS SERÁ DEFINIR EL CAMBIO DE VARIABLE EN FUNCIÓN DE ESTAS DOS POTENCIAS: ) ( ; ; :. ) ( ) ( C V AHORA RESOLVEMOS EL SISTEMA DE PRIMER O SEGUNDO GRADO QUE NOS HA QUEDADO CON LOS MÉTODOS CONOCIDOS: ) ( ) ( INVIRTIENDO EL CAMBIO DE VARIABLE:.-VEAMOS OTRO EJEMPLO:

7 ACTUANDO DE LA MISMA MANERA, PODEMOS IDENTIFICAR DOS POTENCIAS DIFERENTES, LAS CUALES SERÁN EL OBJETO DEL CAMBIO DE VARIABLE: ) ( TEORIA DE LOGARITMOS: DEFINICIÓN: El rimo d un númro, n un s dd, s l ponn l cul s d lvr l s pr onr l númro. Sindo l s, l númro l rímo. Ejmplos d cálculo d rimos sgún l dfición:

8 Propidds d los rimos:.-el rimo d un produco s igul l sum d los rimos d los fcors..- El rimo d un cocin s igul l rimo dl dividndo mnos l rimo dl divisor..-el rimo d un ponci s igul l produco dl ponn por l rimo d l s..-el rimo d un ríz s igul l cocin nr l rimo dl rdicndo l índic d l ríz..-cmio d s:.-clculr por l dfinición d rimo l vlor d.

9 ,, 6,.-Clcul l vlor d plicndo ls propidds d los rimos l dfinición d rimo, no uss ls clculdor. /

10 .-Conocindo qu =., clcul los siguins rimos dcimls. Ejmplo:,,6.-Dmusr si l siguin fórmul s cir plicndo ls propidds d los rimos comnzndo rjr por l pr izquird: c d cd.-rsolvr ls cucions rímics: Ejmplo: RESOLVER UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA PASA POR LOS SIGUIENTES PASOS GENERLAES:.-AGRUPAR TODOS LOS LOGARITMOS QUE CONTENGAN A LA INCÓGNITA EN EL MISMO LADO DE LA ECUACIÓN..-REDUCIR LOS LOGARITMOS MEDIANTE SUS PROPIEDADES A UN ÚNICO LOGARITMO QUE CONTENGA LA INCÓGNITA, O BIEN UNO EN CADA LADO DE LA ECUACIÓN..-ELIMINARLOS USANDO LA FUNCIÓN INVERSA DEL LOGARITMOS, LA EXPONENCIAL PARA DETERMINAR EL VALOR DE LA INCÓGNITA:

11 .-lo primro qu hcmos s grupr n l mismo ldo d l cución odos qullos rimos qu conngn l incógni, pr mdin ls propidds d l sum d l rs gruprlos n un único rimo: ( ).-Tnindo prsn qu l =, hor podmos junr l sum d rimos n l rimo dl produco: ( ).-Ahor hmos llgdo l primr ojivo cd ldo d l cución sólo nmos o un rimo o un rimo un númro. Ahor liminmos l rimo con l función ponncil d l mism s qu l rimo n s cso s : ( ( ) ) Compromos qu ms solucion son posils, nindo prsn un d ls propidds d los rimos s qu no s posil clculr l rimo d un númro ngivo: Podmos compror qu l sgund solución no s posil, qu implic l cálculo d un rimo d un númro ngivo, qu no in snido. B) c)

12 d) ) f) g) h) i) j) 6.-SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS: LA RESOLUCIÓN DE SITEMAS LOGARÍTMICOS DE ECUACIONES PASA POR TRANSFORMAR, USANDO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS, EN UN SISTEMA ALGEBRAICO Y RESOLVER EL MISMO. O BIEN REALIZAR, SI LOS LOGARÍTMOS LO PERMITEN UN CAMBIO DE VARIABLE PARA TRANSFORMAR EL SISTEMA EN UNO ALGEBRAICO Y DESPUÉS DESHACER EL CAMBIO DE VARIABLE.

13 EJEMPLO DE CÁLCULO: LO PRIMERO QUE VAMOS A HACER ES AGRUPAR LOS LOGARITMOS, EN LA PRIMERA ECUACIÓN USAMOS QUE LA SUMA DE LOGARITMOS ES EL PRODUCTO DE LOGARITMOS Y EN LA SEGUNDA, ANTES DE TRANSFORMAR LOS LOGARITMOS EN UNA DIVISIÓN, PASAMOS LOS COEFICIENTES A POTENCIAS: ( ) ( ) ( ) AHORA ELIMINEMOS LOS LOGARITMOS USANDO LA EXPONENCIAL DE BASE YA QUE LOS LOGARTIMOS SON DE BASE : ( ) ( ), AHORA TENEMOS UN SISTEMA ALGEBRAICO QUE RESOLVEREMOS SEGÚN LOS MÉTODOS CONOCIDOS. 6,,,,.-Rsolvr los sisms d cucions rímics

14 ) ( / ) ( / ) ( ) (.- 6 ) (

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