INTEGRALES DEFINIDAS. APLICACIONES

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Carolina Camacho Zúñiga
hace 6 años
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1 INTEGRLES DEINIDS. PLICCIONES. Ingrl dfinid. Propidds. unción ingrl. Torm fundmnl dl cálculo ingrl. Rgl d Brrow 5. Torm dl vlor mdio. Ár ncrrd jo un curv y l j. Ár ncrrd por dos curvs. INTEGRLES DEINIDS. PROPIEDDES Dd un función f y un inrvlo [,] d l rc rl, l ingrl dfinid s igul l ár limid nr l gráfic d f, l j d sciss, y ls líns vricls = y =. S rprsn por f d. s l signo d ingrción. lími infrior d l ingrción. lími suprior d l ingrción. f s l ingrndo o función ingrr. d s difrncil d, indic cuál s l vril d l función qu s ingr. PROPIEDDES DE L INTEGRLES DEINIDS. El vlor d l ingrl dfinid cmi d signo si s prmun los límis d ingrción. d f f d. Si los límis d ingrción coincidn, l ingrl dfinid vl cro. f d. Si c s un puno inrior dl inrvlo [, ], l ingrl dfinid s dscompon como un sum d dos ingrls ndids los inrvlos [, c] y [c, ]. CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Ingrl dfinid

2 c f d f d f d. L ingrl dfinid d un sum d funcions s igul l sum d sus ingrls g d f d f g d 5. L ingrl dl produco d un consn por un función s igul l consn por l ingrl d l función. k f d k f d. UNCIÓN INTEGRL S f un función coninu n l inrvlo [, ]. prir d s función s dfin l función ingrl: f d, qu dpnd dl lími suprior d ingrción. Pr vir confusions cundo s hc rfrnci l vril d f, s l llm, pro si l rfrnci s l vril d, s l llm. Goméricmn l función ingrl,, rprsn l ár dl rcino limido por l curv y = f, l j d sciss y ls rcs = y =. c l función ingrl,, mién s l llm función d árs d f n l inrvlo [, ].. TEOREM UNDMENTL DEL CÁLCULO f: L drivd d l función ingrl,, d l función coninu f s l propi = f. El orm fundmnl dl cálculo nos indic qu l drivción y l ingrción son oprcions invrss: si un función coninu primro s ingr y lugo s driv, s rcupr l función originl. EJEMPLOS CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Ingrl dfinid

3 CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Ingrl dfinid Clcul l drivd d ls siguins funcions:. d. d d. d. d 5. d. REGL DE BRROW Isc Brrow - fu un mmáico inglés, cuy porción más imporn ls Mmáics fu l unión dl cálculo difrncil ingrl. L rgl d Brrow dic qu l ingrl dfinid d un función coninu f n un inrvlo crrdo [, ] s igul l difrnci nr los vlors qu om un función primiiv d f, n los rmos d dicho inrvlo. d f EJEMPLOS Clcul ls siguins ingrls dfinids plicndo l rgl d Brrow:. d. ln ln ln d. cos cos cos snd

4 . log d, sindo u log du d log d ln dv d v log d log d log ln ln ln log d log ln log ln log ln log ln 5. TEOREM DEL VLOR MEDIO El orm d l mdi o orm dl vlor mdio pr ingrls dic qu: Si un función s coninu n un inrvlo crrdo [, ], is un puno c n l inrior dl inrvlo l qu: f d f c. ÁRE DE UN UNCIÓN Y EL EJE DE BSCISS. SI L UNCIÓN ES POSITIV Si l función s posiiv n un inrvlo [, ] noncs l gráfic d l función sá por ncim dl j d sciss. El ár d l función vin dd por: f d Pr hllr l ár sguirmos los siguins psos: º S clculn los punos d cor con l j OX, hcindo f = y rsolvindo l cución. º El ár s igul l ingrl dfinid d l función qu in como límis d ingrción los punos d cor. CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Ingrl dfinid

EJEMPLOS. Clcul l ár dl rcino limido por l curv y = y l j OX. En primr lugr hllmos los punos d cor con l j OX pr rprsnr l curv y conocr los límis d ingrción. En sgundo lugr s clcul l ingrl: d u.

5 EJEMPLOS. Clcul l ár dl rcino limido por l curv y = y l j OX. En primr lugr hllmos los punos d cor con l j OX pr rprsnr l curv y conocr los límis d ingrción. En sgundo lugr s clcul l ingrl: d u. Hll l ár d l rgión dl plno ncrrd por l curv y = ln nr l puno d cor con l j OX y l puno d scis =. En primr lugr clculmos l puno d cor con l j d sciss: ln En sgundo lugr s clcul l ingrl: ln d. Clculmos l primiiv uilizndo l méodo d ingrción por prs: u ln du d ln d dv d v ln ln d ln d ln d ln ln CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Ingrl dfinid 5

6 ln d u. SI L UNCIÓN ES NEGTIV Si l función s ngiv n un inrvlo [, ] noncs l gráfic d l función sá por djo dl j d sciss. El ár d l función vin dd por: f d f d EJEMPLOS. Clcul l ár dl rcino limido por l curv y = y l j OX. En primr lugr hllmos los punos d cor con l j OX pr rprsnr l curv y conocr los límis d ingrción. En sgundo lugr s clcul l ingrl: d d u. Hll l ár limid por l curv y = cos y l j OX nr π/ y π/. cos d sn sn sn u CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Ingrl dfinid

CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Ingrl dfinid. L UNCIÓN TOM VLORES POSITIVOS Y NEGTIVOS En s cso l rcino in zons por ncim y por djo dl j d sciss. Pr clculr l ár d l función sguirmos los siguins psos:.

7 CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Ingrl dfinid. L UNCIÓN TOM VLORES POSITIVOS Y NEGTIVOS En s cso l rcino in zons por ncim y por djo dl j d sciss. Pr clculr l ár d l función sguirmos los siguins psos:. S clculn los punos d cor con l j OX, rsolvindo l cución f = y s ordnn d mnor myor pus srán los límis d ingrción.. El ár s igul l sum d ls ingrls dfinids n vlor soluo n cd inrvlo. EJEMPLO. Clcul l ár d ls rgions dl plno limid por l curv f = + y l j OX. Primro s clculn los punos d cor con l j OX d u d d. ÁRE COMPRENDID ENTRE DOS UNCIONES El ár comprndid nr dos funcions s igul l ár d l función qu sá siud por ncim mnos l ár d l función qu sá siud por djo. Si ls gráfics s corn n más d dos punos, irán cmindo ls posicions rlivs nr lls.

8 CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Ingrl dfinid EJEMPLOS. Clcul l ár limid por l curv y = -5 + y l rc y =. En primr lugr hllmos los punos d cor d ls dos funcions pr conocr los límis d ingrción. Pr llo igulmos ls prsions d ms funcions y rsolvmos l cución: 5 D = =, l rc qud por ncim d l práol. Si no nmos l gráfic podmos vrigurlo clculndo l vlor ms funcions n un puno inrior dl inrvlo, por jmplo =, y osrvr cuál s myor. El ár srá por no l ingrl nr y d l rc mnos l práol: 5 5 u d d. Clcul l ár limid por ls gráfics d ls funcions y y = +. Hllmos los punos d cor d ls funcions, qu nos drán los límis d ingrción.

9 CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Ingrl dfinid u d d d

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