PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE NAVARRA JUNIO 2012 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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1 IES CSTELR DJOZ nguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNIVERSIDD DE NVRR JUNIO (GENERL) (RESUELTOS por nonio nguino) TEÁTICS II Timpo máimo: hors minuos Rlir un d ls dos opcions propuss ( o ) OPCIÓN º) Esudi l siguin sism d cucions linls dpndins dl prámro rl α rsuélvlo n los csos n qu s compibl: Ls mrics d coicins mplid son: El rngo d l mri d coicins n unción d α s l siguin: [ ] [ ] [ ] do r Compibl incóg n Rngo Rngo Pr min d º

2 Rngo Rngo Pr do r in Compibl incóg n Rngo Rngo Pr min d º < 7 Rngo Pr Vmos cul s l rngo d : Rngo Rngo Pr Vmos cul s l rngo d : 8 Rngo Incompibl Rngo Rngo Pr Rsolvmos n l cso d compibl drmindo plicndo l méodo d Guss Rsndo cd il l primr:

3 Rsolvmos hor n l cso d compibl indrmindo, pr α, n cuo cso l sism rsul, quivln l sism, cus solucions son ls siguins: R Solución, :

4 º) Los punos P(, -, ), Q(,, ) R(,, ) son rs vérics d un rombo Encunr l curo véric ( ) ( ) ( ) 9 PQ PQ ( ) ( ) ( ) 6 PR PR 8 ( ) ( ) 9 QR QR Q El puno S pud obnrs d divrss orms un d lls s nr n cun qu l puno s l puno mdio d los sgmnos PR QS P R (,, ) (,, ) P R (,, ) Q S Q S (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) S S (,, ) (,, ) (,, ) Or orm d obnr S s nindo n cun qu QR PS : (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) R Q S P S (,, )

5 º) Clcul ls siguins ingrls dinids d I d I v dv d d du u d I d d I I C C d I ± ± d d I I C L C L L d I

6 º) Dd l unción l qu ( α ) sn cos ( ) ncion los rsuldos óricos mpldos jusiic su uso, dmusr qu is un vlor α (, ) cos Llmndo g sn, ( h ) i ls rs inn por dominio l conjuno d los númros rls Tnindo n cun qu od unción ponncil s simpr posiiv >, R, l dnomindor d () s posiivo, lo qu implic qu l dominio d s R Por or pr, ls drivds d g(), h() i() son ls siguins: g h cos cos [ cos ] ( sn L ) i ( ) Como s prci, ls uncions g(), h() i() son coninus drivbls n R D lo nrior s dduc qu () s coninu drivbl n R, por lo cul s pud plicr l orm d Lgrng culquir inrvlo inio qu s considr, n priculr, l inrvlo (, ) El orm dl Vlor dio dl cálculo dirncil, mbién conocido como orm d Lgrng, s pud nuncir dl modo siguin: Si () s un unción coninu n l inrvlo [, b] drivbl n (, b), noncs, is l mnos un puno c (, b) qu cumpl: ( b) c b (b) () O Y P c () N b Q X L inrprción goméric pud prcirs más ácilmn mdin l igur djun Considrd l unción (), coninu n [, b] drivbl n (, b) is, por lo mnos un puno N prncin l inrvlo (, b) n l qu l rc ngn l gráic () s prll l curd qu un los punos P Q d coordnds

7 [ ] Q[ b ( b) ] P,, plicndo l orm () n l inrvlo considrdo: sn cos 8 9 sn 8 cos ( α ) Qud dmosrdo qu is αε(, ) l qu (α)

8 OPCIÓN º) Dd l mri, ncunr los vlors R pr los qu l mri no s rgulr Un mri s rgulr cundo su drminn s disino d cro [ ] L mri no s rgulr pr, -

9 º) Encunr l cución coninu d l rc qu ps por l puno P(, -, ) cor l rcs r s L prsión d r por uns cucions prmérics s l siguin: r r Un puno un vcor dircor d r son (-,, ),, r v Los punos P drminn l vcor,, P P El plno qu ps por P conin l rc r s l siguin:, P v P r 6 Un puno un vcor dircor d s son (-, -, -),, s v Los punos P drminn l vcor,, P P El plno qu ps por P conin l rc s s l siguin:, P v P s L rc s l qu drminn los plnos l corrs su prsión dd por uns cucions coninus s l siguin:

10 6

11 sn º) Dmusr qu l drivd d l unción s nul n lgún puno dl inrvlo, ncion los rsuldos óricos mpldos jusiic su uso sn Pr drivr l unción ommos logrimos nprinos: L sn [ ] L sn L Drivndo hor los dos érminos: cos L sn sn cos L sn L unción () s coninu n l inrvlo, por lo cul l s plicbl l orm d olno, qu dic: Si un unción s coninu n un inrvlo crrdo [, b] n los rmos d és om vlors d disino signo, noncs is l mnos un c, b l qu ( c) vlor sn > cos L sn L sn ( ) ( cos L sn ) ( L ) ( L ) L < Lo nrior prub qu, s nul pr lgún vlor dl in rvlo

12 º) Dds ls uncions g, clcul l ár d l rgión dl plno ncrrd nr ls gráics d () g() L rprsnción gráic d l siución s, proimdmn, l qu indic l igur djun Los punos d cor d ls juncions s obinn d l igulción d sus prsions son los siguins: g ± ± ± 9 6,,,, D C Por sr g g, mbs uncions son simérics con rspco l j OY dmás, como s prci n l igur, ls ordnds d l unción son iguls o mors qu ls ordnds corrspondins l unción g n los inrvlos corrspondins l ár clculr, por lo qu l ár pdid s: [ ] d d g S u S 7 8 O Y X - - C D S () g()

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