TEMA 4 ESTUDIO DE ONDAS PLANAS HOMOGÉNEAS

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1 Tm 4: Onds plns lcrodinámic TMA 4 STUDIO D ONDAS PLANAS OMOGÉNAS Migul Ángl Solno Vér

2 lcrodinámic Tm 4: onds plns TMA 4: STUDIO D ONDAS PLANAS OMOGÉNAS 4. Inroducción n l cpíulo 3 s hn dsrrolldo l cucions d ond pr l cmpo lcromgnéico corrspondin mdios con sin pérdids. Asimismo, s hn obnido sus solucions n los sisms d coordnds rcngulrs cilíndrico uilindo l méodo d sprción d vribls. n s cpíulo, vmos considrr ls solucions dl cmpo lcromgnéico pr cmpos con vrición rmónic mporl qu vin por un mdio infinio no n l cso sin pérdids como con pérdids. n priculr, vrmos qu ls solucions d s cso son onds (o modos) lcromgnéics d ipo TM, o rnsvrsls lcromgnéics qu signific qu l cmpo lcromgnéico no in ningun componn n l dircción n l qu s propg l nrgí. S inroducirán concpos como impdnci d ond, vlocidds d fs grupo rón d ond scionri. Tmbién s vrá l concpo d polrición. 4. Modos rnsvrsls lcromgnéi (TM) Un modo s un configurción priculr d un cmpo. Pr un problm lcromgnéico ddo, somido uns cirs condicions d conorno, isn muchs disribucions dl cmpo qu sisfcn ls cucions d onds, o lo qu s lo mismo, ls cucions d Mwll uno con ss condicions d conorno. Tods ss difrns configurcions (solucions) dl cmpo s llmn hbiulmn modos. Un modo TM s un d ss configurcions d cmpo n l qu no l cmpo lécrico como l cmpo mgnéico n cd puno dl spcio sá connido n un plno locl, llmdo plno d igul fs, qu s indpndin dl impo. n gnrl, l orinción d sos plnos locls socidos con un ond o modo TM son difrns n ls difrns posicions dl spcio. n ors plbrs, n un puno ddo (,, ) odos ls componns dl cmpo sán connidos n un plno. n oro puno (,, ) d nuvo odos ls componns dl cmpo sán connids n oro plno. Sin mbrgo, n un ond TM sos dos plnos no in porqu sr prllos, como pud vrs n l figur 4.. Si l orinción d los plnos pr un modo TM s l mism, s dcir, los plnos d igul fs son prllos, como musr l figur 4.b, noncs los

3 3 Tm 4: Onds plns lcrodinámic cmpos formn un ond pln. n ors plbrs, ls suprficis d igul fs son suprficis plns prlls nr sí. Si dmás, n los plnos d igul fs l mpliud dl cmpo s consn, noncs s dnominn onds plns uniforms. so signific qu l cmpo no s función d ls coordnds qu formn los plnos d igul fs d igul mpliud. Figur 4.- Ond TM () ond pln (b). 4.3 Onds plns n l vcío l cmpo lécrico s solución d l cución d lmhol homogén k k s cución s válid pr cd componn dl cmpo lécrico, lugo

4 lcrodinámic Tm 4: onds plns 4 i k k i i i i i i,, cu solución s obin mdin l méodo d sprción d vribls conocido. Así, pr l componn ndrmos k k k A ),, ( (4.) dond µ ε c πf c k ; k k k k L cución (4.) s inrpr como l componn dl cmpo lécrico corrspondin un ond qu s propg n l dircción dd por l vcor d ond k qu s k k k k (4.) qu l produco sclr d k por l vcor d posición r s k k k s k vcs l disnci prpndiculr dsd l orign un plno norml l vcor k. l vcor k s pud scribir mbién como nk k, dond n s l vcor unirio n l dircción d propgción k s l módulo d k (vr figur 4.) Figur 4..- squm d un plno norml l vcor nk k

5 5 Tm 4: Onds plns lcrodinámic Solucions similrs s pudn nconrr pr l rso d ls componns dl cmpo lécrico qu, dmás, no son indpndins qu dbn cumplir l rlción. B. so signific qu solmn dos d ls rs componns pudn nr mpliuds rbirris. Sin mbrgo, pr qu l divrgnci dl cmpo lécrico s nul, s ncsrio qu ods ls componns ngn l mism dpndnci spcil k k k k k k (,, ) B ; (,, ) B (4.3) dond B C son ls mpliuds. Si dfinimos l vcor cmpo lécrico s pud ponr como A B B, l (,, ) k k k k.r (4.4) L condición d l divrgnci produc k.r k.r. (,, ) k. k. lo qu implic qu l cmpo lécrico s prpndiculr l dircción d propgción d l nrgí. L solución dd por (4.4) s dnomin ond pln uniform porqu ls suprficis d fs consn dds por k.r consn son plnos l cmpo lécrico no vrí sobr un plno d fs consn. L solución pr l cmpo mgnéico s obin d l l d Frd µ d form qu dspndo qud k.r µ k n µ µ ε µ k.r µ n Y n k k.r (4.5) ε dond Y in dimnsions d dminci s llm dminci inrínsc µ dl vcío. Su invrso Z s llm impdnci inrínsc dl vcío. Nomos Y qu s prpndiculr n, por lo qu no como dscnsn n un plno d fs consn. Por s rón s ipo d onds s ls dnomin onds o modos rnsvrsls lcromgnéi (TM), como musr l figur 4.3.

6 lcrodinámic Tm 4: onds plns 6 Figur Rlción spcil nr, n n un ond TM. l cmpo lécrico físico (rl) corrspondin l rprsnción fsoril (4.4) s k.r` ξ ( r, ) R ( k.r ) (4.6) dond, por simplicidd, hmos sumido rl. L longiud d ond λ s l disnci qu db vir l ond pr qu l fs cmbi n π rdins. s dcir, π k λ k λ π k ε µ c λ (4.7) s rsuldo s l rlción conocid nr l longiud d ond λ, l frcunci f/π l vlocidd c n l vcío. Tmbién s pud dfinir un longiud d ond n or dircción qu no s l d propgción. Por mplo, l longiud d ond n l dircción s π λ k, qu k s mnor o igul qu k, λ s mor o igul qu λ. L vlocidd d fs s l vlocidd l qu s dbrí d movr un obsrvdor pr vr l fs consn. D l cución (4.6), s v qu l fs dl cmpo lécrico s consn simpr qu ( k.r ) lo s. Si l ángulo qu formn k r s θ, noncs k.r k r θ. Difrncindo l rlción

7 7 Tm 4: Onds plns lcrodinámic k r θ cons d dr v p (4.8) d k θ pr l vlocidd d fs n l dircción r. A lo lrgo d l dircción d propgción θ v p /k c. n ors dirccions, l vlocidd d fs s mor qu l vlocidd d l lu c n l vcío. s rsuldo pud nndrs mor minndo l figur XXX. Cundo l ond s muv un disnci λ lo lrgo d l dircción d propgción l inrscción dl plno d fs consn con l u s h movido un disnci λ u λ sc θ, como musr l figur 4.4. Por s rón, l longiud d ond l vlocidd d fs lo lrgo d l dircción u son mors por un fcor sc θ qu ls corrspondins mdids lo lrgo d l dircción d propgción. Figur Propgción d un ond lo lrgo d un dircción oblicu l u. 4.4 Onds plns n mdios dilécri con pérdids Supongmos hor qu l ond pln s propg por un mdio dilécrico con pérdids crcrido por su prmiividd ε r por un conducividd fini σ. l

8 lcrodinámic Tm 4: onds plns 8 procso s l similr l rlido pr l vcío, pro hor l consn d fs s un númro complo qu dnominmos consn d propgción; sí n ; (4.9) dond n l vcor unirio n l dircción d propgción s l módulo d l consn d propgción ( ) εµ µσ β α Igulndo pr rl imginri qud ε σ β α εµ β α dspndo ε σ µ ε β ε σ µ ε α (4.) n un mdio con pérdids, l ond pln s propg l v qu s nú d curdo con l vlor d l consn d nución α, cus unidds son Np/m o simplmn m -. s mu común prsr l consn d nución α n db/m. L rlción nr s obin prir d 8,686 α log α log db ) ( α α si mro, noncs m ) / Np ( α 8,686 m ) db / ( α (4.) l cmpo lécrico s noncs.r ),, (

9 9 Tm 4: Onds plns lcrodinámic D l mism mnr qu ns, l cmpo mgnéico s obin prir d l l d Frd µ.r µ.r µ k.r n µ dond hor s pud dfinir l dminci inrínsc (o su invrso l impdnci inrínsc) como Y Z µ µ ( σ ε ) µ σ ε µ (4.) Como vmos, l impdnci inrínsc s l cocin (n mgniud) nr l cmpo lécrico l mgnéico corrspondin un ond pln qu s propg por un mdio infinio. A s cocin s l llm impdnci d ond, por no, l impdnci inrínsc d un mdio s l impdnci d ond d un ond pln qu s propgu por s mdio infinio. L impdnci inrínsc s un númro complo cundo l mdio in pérdids. Si no ls in srá un númro rl. S dfin l profundidd por fco pil δ (skin) como l invrso d l consn d nución. Si un ond pln s propg por un mdio sin pérdids cundo h rcorrido un longiud igul δ s hbrá nudo n un cnidd igul l invrso dl númro lo qu signific un cnidd crcn l 38% Bunos dilécri qu Un mdio con pérdids s dic qu s un bun dilécrico cundo s cumpl σ ε << noncs, plicndo l proimción ( ) n n n ( n )!... si <<,

10 lcrodinámic Tm 4: onds plns α µ ε 4 σ σ σ µ ε... ε ε 8 ε σ µ ε 4 ε σ µ ε (4.3) D l mism mnr s obin qu β µε (4.4) l impdnci inrínsc srá Z µ µ ε µ σ ε σ ε ε (4.5) D ss rs cucions s obsrv qu pr un dilécrico d bs pérdids, l consn d fs l impdnci inrínsc coincidn con ls qu ndrí l dilécrico si ls pérdids no s considrsn. Admás, l consn d nución in un vlor ddo por l cución (4.3) qu nunc srá un vlor dmsido grnd qu l conducividd σ d un bun dilécrico srá un númro bsn mnor qu l unidd Bunos conducors qu Un mdio con pérdids s dic qu s un bun conducor cundo s cumpl σ ε >> siguindo l mismo procso nrior, ndrmos

11 Tm 4: Onds plns lcrodinámic µ σ ε σ µ ε... σ ε 8 σ ε ε σ µ ε σ ε ε σ µ ε ε σ µ ε α 4 (4.6) dond s hn dsprcido odos los sumndos dnro dl corch cpo l primro. Análogmn, s obin pr l consn d fs µ σ β (4.7) pr l impdnci inrínsc ( ) Ω σ µ σ µ σ µ ε σ ε µ ε σ µ Z 4 / π (4.8) D ss rs cucions obsrvmos qu los vlors d α β coincidn n un bun conducor qu l cmpo lécrico l mgnéico sán dsfsdos 45 grdos qu s l fs l impdnci inrínsc, qu s un númro complo. 4.5 Ponci rnspord n l cso dl vcío, l dnsidd d ponci socid un ond pln s { } ( ) { } * * * * m w / n. Y n. Y n R Y R S s pud suprimir l crácr vcoril muliplicndo por l vcor unirio n l dircción d propgción; noncs, l dnsidd d ponci rnspord n l dircción d propgción s * m w /. Y P

12 lcrodinámic Tm 4: onds plns dond s l mpliud d l ond pln. L dnsidd d nrgí lécric s U ε. 4 * ε 4 *. l dnsidd d nrgí mgnéic * µ * * ( )( ) ε n. n Y.. U µ * µ U m. Y Como (U U m ) v G P, sindo v G l vlocidd l qu s propg l nrgí, s in qu v ε Y µ G ε ε ε µ c lo qu indic qu l vlocidd l qu s propg l nrgí s l vlocidd d l lu. n l cso d un mdio con pérdids, n l qu l ond vnc n l dircción dl Z posiivo con los cmpos lécrico mgnéico siguins α β ; Z w α β l dnsidd d ponci s S R * α R Z * w w / m 4.6 Onds scionris Vmos sudir l cso n l qu dos onds vin n l mism dircción pro n snidos opusos. Pr simplificr l formulción, considrmos qu l cmpo lécrico in sólo componn l dircción d propgción s l dl. l cmpo lécrico srí ( ) β [ β sn β ] [ β sn β ] φ ( ) β ( ) sn β β

13 3 Tm 4: Onds plns lcrodinámic A un ond con l cmpo lécrico como l ddo por l cución nrior s l llm ond scionri. l módulo d s cmpo lécrico s ( ) ( ) β ( ) s l llm prón d l ond scionri, l fs s ( ) ( ) ( ) φ g g β l moivo por l qu un ond sí s llm ond scionri no s porqu no rnspor ponci, qu lo pud hcr, sino porqu los máimos los mínimos s producn n posicions fis indpndins dl impo. Así, pr l módulo dl cmpo lécrico s in má ( ) si β mπ, m,,,... pr l mínimo m ( ) si β π, m,,,... mín s fácil vr qu l sprción nr dos máimos o dos mínimos conscuivos s λ/ qu l sprción nr un máimo un mínimo conscuivos s λ/4. L prsión n l dominio dl impo pr s ond scionri s Σ (, ) R { ( ) } ( ) ( φ ) S dfin l Rón d l Ond scionri (RO) como l cocin nr l máimo dl cmpo lécrico l mínimo dl cmpo lécrico, s dcir R.O.. ( ) ( ) má mín Γ Γ (4.9) dond Γ s l coficin d rflión dfinido como

14 lcrodinámic Tm 4: onds plns 4 Γ (4.) Pr mdios psivos (los qu no gnrn ponci) l módulo dl coficin d rflión vrí nr, por lo no, l RO pud vrir dsd hs. n l figur 4.5 s musr l prón d l ond scionri pr difrns vlors dl coficin d rflión. n l cso n qu l módulo dl coficin d rflión vlg, l RO omrá un vlor infinio s producirá l máim inrfrnci; n s cso l ond rsuln s dnomin ond scionri pur qu no conllv ningún rnspor d nrgí. n s cso l prón d l ond scionri pur s ( ) β Figur Prón d ond scionri d un ond pln pr difrns coficins d rflión.

15 5 Tm 4: Onds plns lcrodinámic 4.7 Vlocidd d grupo s hor s hn considrdo onds cuo cmpo lcromgnéico vrín sinusoidlmn un únic frcunci. Ls onds lcromgnéics s uilin mu hbiulmn pr rnsmiir informción (vo, dos digils c.) n un sñl qu s dnomin sñl n bnd bs. Como vrmos n cpíulos posriors, ls frcuncis d l ond dbn sr bsn grnds puso qu ls dimnsions físics d ls srucurs qu propgn l nrgí lcromgnéic dbn sr dl ordn d l longiud d ond. Por mplo, ls sñls n bnd d vo o músic s indn dsd dc hs 5 K, ls sñls d lvisión o los dos digils cubrn l rngo dsd dc hs lgunos mg hrcios. Por no, s rqurirín srucurs d propgción mu grnds pr rnsmiir ls sñls n bnd bs dircmn. Un form d vir s problm s rsldr l sñl n bnd bs un frcunci suprior o llmd frcunci pordor sí prmiir mños más ronbls d ls guís d ond d ls nns. Un méodo común d hcr so, s l llmdo modulción n mpliud (AM). Un sñl n bnd bs m() vrí l mpliud d un sñl pordor cu frcunci s f c como s( ) A m( ) ( πf ) c n l dominio d l frcunci, l sñl n bnd bs cons d un bnd d frcuncis M(f) qu s rsldd ví modulción n mpliud hs un frcunci pordor suprior S(f)M(f-f c ). Podmos considrr s sñl como compus d un muliud d frcuncis discrs, d form qu l rnsmisión d s sñl rvés d un mdio linl s pud obnr, por suprposición, como l rnsmisión d cd frcunci individul. Si l vlocidd d fs dl mdio por l qu s rli l rnsmisión s indpndin d l frcunci ods ls componns d l ond vin l mism vlocidd con lo qu sufrn l mismo rrso. s s l cso d un ond pln vindo por un mdio sin pérdids. Rcombinndo ods ss componns s obin l sñl rcibid n l dominio dl impo d l mism form qu l rnsmiid. Dcimos, noncs, qu l sñl s rnsmi sin disorsión s dic qu l mdio s no disprsivo puso qu ods ls frcuncis vin l mism vlocidd. Supongmos hor qu l vlocidd d fs dl mdio por l qu s rli l rnsmisión dpnd d l frcunci v p (f). n s cso, cd componn frcuncil vi difrn vlocidd, cono lo qu cd frcunci individul n l rcpor ni mnin l mism difrnci d fs qu l sñl rnsmiid. Por lo no, l sñl rcibid n l dominio dl impo srá un sñl disorsiond d l sñl rnsmiid. S dic qu l sñl sufrido disprsión qu l mdio s disprsivo. L vlocidd d fs vin dd por l rlción

16 lcrodinámic Tm 4: onds plns 6 v p (4.) β dond β s l consn d fs. n l vcío, l consn d fs d un ond pln s β ε µ por no l vlocidd d fs s consn igul v p. Por oro ldo, pr un mdio con pérdids, l consn d fs s ε µ l pr imginri d l consn d propgción { } { } Im µ ( σ ε ) β Im d form qu l vlocidd d fs s dpndin d l frcunci por no onds plns uniforms d disin frcunci qu s propgun por s mdio con pérdids virán disin vlocidd l mdio srá disprsivo. S dfin l vlocidd d grupo como l vlocidd l qu s propg un sñl con un bnd d frcuncis srch (un grupo d frcuncis). Considrmos un grupo d frcuncis compuso únicmn por dos frcuncis mu próims nr sí -, sindo <<. Ls consns d fs pr cd ond srán rspcivmn β β β - β. l cmpo lécrico ol corrspondin srá ξ(, ) [( ) ( β β ) ] [( ) ( β β ) ] ( β ) ( β ) qu s l composición d dos onds un l frcunci or l frcunci mucho mnor qu l nrior, s dcir, un ond qu oscil mu rápidmn or qu lo hc mucho más lnmn qu hc l ppl d nvolvn. L vlocidd l qu s propg l ond n l inrior d l nvolvn s d v p d β l vlocidd l qu s propg l nvolvn, qu s llm vlocidd d grupo, s d c. v g d β β ( β ) n l lími d ->, l prsión pr l vlocidd d grupo pr un mdio disprsivo s

17 7 Tm 4: Onds plns lcrodinámic v g (4.) dβ d n l figur 4.6 s musr un rprsnción gráfic d ls vlocidds d fs grupo. Figur Sum d dos onds virs rmónics n l impo d igul mpliud frcuncis ligrmn difrns n un insn d impo ddo. A coninución, s v vr l cso más gnrl n qu no sólo s considrn dos frcuncis discrs. n l prácic no s prsn nunc l siución idl d un ond monocromáic pur, qu llo igirí un cición sinusoidl prfc (mpliud frcunci consns) durn un príodo d impo infinio. n gnrl, lo qu ocurr s qu un misor mi un sñl, qu omrmos por simplicidd como f(,) durn un inrvlo finio d impo, qu d curdo con l orm d Fourir, s pud dscomponr n un spcro coninuo d frcuncis con mpliuds A como f (, ) ( β A ) d n l cso d qu l sñl s propgu por un mdio disprsivo, cd componn spcrl virá un vlocidd difrn. Si n un puno summos ls onds qu llgn rconsruimos l función rvés d l rnsformd invrs d Fourir, obndrmos un nuv función f (,). Si l mdio s poco disprsivo, no hbrá grn difrnci d fs nr ls difrns frcuncis, s dcir s producirá poc disprsión. Si l mdio s mu disprsivo, l sñl s dformrá su rconsrucción srá mu difícil. n l cso mu común, n l qu s spcro o grupo d frcuncis s srcho, pud nconrrs un únic vlocidd crcrísic dl grupo o pqu d onds qu s l vlocidd d grupo.

18 lcrodinámic Tm 4: onds plns 8 A() Figur Sñl n bnd srch con un ncho d bnd. Supongmos un grupo d frcuncis cnrdo n un pordor d frcunci l qu A s cro fur dl inrvlo (-, ) como musr l figur 4.7. noncs, podmos scribir f (, ) A ( β ) d (4.3) Y qu l consn d fs dpnd d, s dcir, ββ(), podmos dsrrollrl n sri d Tlor n orno l frcunci β β( ) β( ) ( ) β ( )... Pr grupos srchos n los qu (- ) s pquño, l prsión nrior s pud proimr por los dos primros érminos, s dcir, qudrnos únicmn con un proimción linl β( ) β( β ) ' ( ) β( ) β ( ) dond l signo β signific drivr rspco, l subíndic cro signific qu los vlors s priculrin pr l frcunci. Susiundo n l prsión (4.3) s in qu f (, ) ' ' ( β β ) A ( β ) d Priculrindo s prsión pr f (, ) A d

19 9 Tm 4: Onds plns lcrodinámic podmos scribir f (, ) ( ) ( β ' ' β, β ) f (4.4) qu musr qu l sñl n un puno in l mism mpliud qu n l orign () dspués d rnscurrido un impo β ' un dsfs ddo por ' β β. L vlocidd l qu s h propgdo l sñl, por no, l nrgí socid s d d v g (4.5) d dβ Si l vlocidd d fs vrí lnmn con l frcunci, un pulso pudn vir rvés d un mdio disprsivo con un cmbio rlivmn pquño; pro si s condición no s sisfc, l grupo s disorsion mucho l concpo d vlocidd d grupo no s válido. Finlmn s convnin punr qu l hcho d un concnrción d cmpo n l spcio no implic un corrspondin concnrción dl spcro d frcuncis, sino l conrrio, d curdo con l propidd d cmbio d scl d l rnsformd d Fourir qu indic qu nr l durción d l sñl su ncho d bnd is un rlción invrs. n l siguin gráfic s musr l digrm d disprsión pr un mdio disprsivo pr un no disprsivo. P g - v p g - v g K β Figur Rprsnción gráfic d ls vlocidds d fs grupo.

20 lcrodinámic Tm 4: onds plns 4.8 Polrición d onds plns l concpo d polrición d un ond s dfin como l lugr d los punos n l spcio qu dscrib l rmo dl vcor cmpo lécrico (o mgnéico) mdid qu s propg n función dl impo. l cmpo s db obsrvr simpr n l dircción d propgción. Un cso ípico s musr n l figur 4.9. Pr simplificr n lo posibl los dibuos, hbiulmn sólo s dibu l procción sobr un plno prpndiculr l dircción d propgción como musrn ls dmás figurs. Figur 4.9 Roción d un ond pln n función dl impo. L polrición s pud clsificr n rs cgorís: linl, circulr lípic (vr figur 4.). Si l vcor qu dscrib l cmpo lécrico n un puno n l spcio como función dl impo sá simpr colocdo lo lrgo d un lín, qu s prpndiculr l dircción d propgción, s dic qu l cmpo sá

21 Tm 4: Onds plns lcrodinámic linlmn polrido. n gnrl, l figur qu r l cmpo lécrico s un lips s dic qu l cmpo sá lípicmn polrido. n rlidd, ls polricions linl circulr son csos priculrs d l polrición lípic s pudn obnr cundo l lips s convir un lín o n un círculo. L figur qu r l cmpo lécrico pud girr n uno u oro snido, difrnciándos, como vrmos posriormn, noncs polrición drchs o iquirds. (c) Figur 4..- Trs dl rmo dl vcor cmpo lécrico n función dl impo pr un posición fi: () linl, (b) circulr (c) lípic Polrición linl Considrmos un ond pln con componns dl cmpo lécrico, qu vi n l snido d ls posiivs. Los cmpos lécrico mgnéico insnános son

22 lcrodinámic Tm 4: onds plns ( ) ( ) { } ( ) ( ) R, ) ( φ β φ β β β ( ) ( ) ( ) ( ) Z Z Z Z R, ) ( φ β φ β β β dond φ φ. Vmos hor l vrición dl cmpo lécrico insnáno n l plno. S pudn lgir oros plnos c culsquir, pro l plno lgido proporcion un nálisis más simpl. gmos por mplo. noncs ( ) φ l lugr d los punos qu dscrib l rmo dl vcor cmpo lécrico s un lín rc qu sá dirigid simpr sgún l X (vr figur 4.). S dic qu l cmpo sá linlmn polrido sgún l X. Figur 4..- Cmpo linlmn polrido n l dircción.

23 3 Tm 4: Onds plns lcrodinámic Ors siucions son igulmn posibls, hcindo por mplo, rsul noncs un ond linlmn polrid sgún l Y. Asimismo, rsul un ond linlmn polrid si por mplo φ φ φ ; noncs ( φ ) ( φ ) L mpliud dl vcor cmpo lécrico s ( ) ( ) ( φ ) qu s un lín rc qu form un ángulo φ con l X, ddo por ϕ n n s dic qu l cmpo sá polrido n l dircción φ. D odo lo nrior, podmos dducir qu un cmpo sá polrido linlmn n un puno ddo dl spcio si l vcor cmpo lécrico (o cmpo mgnéico) si n s puno sá simpr dirigido sgún un lín rc n culquir insn d impo. so s consigu simpr qu l cmpo lécrico (o mgnéico) pos un únic componn o dos componns orogonls n fs o n oposición d fs Polrición circulr Un ond s dic qu sá circulrmn polrid si l rmo dl vcor cmpo lécrico r un círculo n l spcio. ) Polrición circulr drchs Un ond sá circulrmn polrid drchs si l snido n qu gir l ond proporcion un dircción d curdo l rgl d l mno drch qu coincid con l dircción snido d vnc d l ond. so signific qu l snido d giro d l ond, obsrvdo lo lrgo d l dircción d propgción, coincid con l d ls gus dl rlo. Por mplo, si hcmos (n ) φ ; φ π ;

24 lcrodinámic Tm 4: onds plns 4 noncs ( ) ( π ) sn ( ) l mpliud dl cmpo lécrico s ( sn ) qu sá dirigido formndo un ángulo φ con l X ddo por ϕ n n sn n ( n) Si dibumos l lugr d los punos n l spcio pr vrios insns mporls n l plno, vmos qu form un círculo d rdio qu ro, mirndo n l dircción d propgción, n l snido d ls gus dl rlo con un frcunci ngulr (figur 4.). Dcimos noncs qu l ond sá circulrmn polrid drchs. Podmos scribir l cmpo lécrico insnáno como ( β ) { ( β π / (, ) R )} R ( β ) {[ ] } qu musr qu h un difrnci d fs d 9º nr ls dos componns orogonls dl cmpo lécrico. D l mism form qu s h mosrdo nriormn, pr l cso n qu φ π ; φ ; mbién s musr qu s un ond circulrmn polrid drchs.

25 5 Tm 4: Onds plns lcrodinámic Figur 4..- Ond polrid circulrmn drchs. b) Polrición circulr iquirds Un ond sá circulrmn polrid iquirds si l snido n qu gir l ond proporcion un dircción d curdo l rgl d l mno drch qu s l conrrio l dircción snido d vnc d l ond. so signific qu l snido d giro d l ond, obsrvdo lo lrgo d l dircción d propgción, s conrrio l d ls gus dl rlo. Por mplo, si hcmos (n ) φ ; φ π ; noncs ( ) ( π ) sn ( ) l mpliud dl cmpo lécrico s ( sn ) qu sá dirigido formndo un ángulo φ con l X ddo por

26 lcrodinámic Tm 4: onds plns 6 ϕ n n sn n ( n ) Si dibumos l lugr d los punos n l spcio pr vrios insns mporls n l plno, vmos qu form un círculo d rdio qu ro, mirndo n l dircción d propgción, n l snido conrrio l d ls gus dl rlo con un frcunci ngulr (figur 4.3). Dcimos noncs qu l ond sá circulrmn polrid iquirds. Podmos scribir l cmpo lécrico insnáno como ( β ) { ( β π / (, ) R )} R ( β ) {[ ] } qu musr qu h un difrnci d fs d 9º nr ls dos componns orogonls dl cmpo lécrico. Figur Ond polrid circulrmn iquirds D l mism form qu s h mosrdo ns, pr l cso n qu

27 7 Tm 4: Onds plns lcrodinámic ; ; φ π φ mbién rsul un ond circulrmn polrid iquirds. Como conclusión, podmos dcir qu un ond circulrmn polrid drchs consis d dos onds orogonls linlmn polrids d igul mpliud dsfsds 9º. l snido d roción s drmin girndo l componn dlnd sobr l rrsd, si l giro coincid con l dl vnc d l ond, sgún l rgl d l mno drch, srá drchs si no iquirds Polrición lípic S dic qu un ond sá polrid lípicmn si l rmo dl vcor cmpo lécrico dscrib, mdid qu v psndo l impo, n un plno prpndiculr l dircción d propgción un lips. l concpo d giro drchs o iquirds s l mismo qu pr l polrición circulr. Considrmos l siguin cso priculr ; ; ; φ π φ noncs ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sn π Podmos clculr l lugr d los punos n l spcio pr l módulo dl cmpo lécrico ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sn sn sn sn qu grupndo podmos ponr como ( ) ( ) ( ) sn como

28 lcrodinámic Tm 4: onds plns 8 sn ( ) ( ) ( ) ( ) podmos rscribir l cución nrior como Figur Polricions lípic drchs iquirds con l mor sgún l dircción. () Polrición drchs, (b) polrición iquirds. No: l noción d l figur s R L.

29 9 Tm 4: Onds plns lcrodinámic qu s l cución d un lips con su mor sindo má l mnor mín. A mdid qu ps l impo, l rmo dl vcor cmpo lécrico r un lips como s musr n l figur 4.4. n s cso los máimos mínimos dl cmpo lécrico coincidn con los s mor mnor d l lips, lo qu s produc n má cundo ( n ) π ; n,,,... mín π cundo n ; n,,,... S dfin l rón il (AR) como l cocin n l mor (inclundo su signo) l mnor AR má mín dond son númros rls posiivos. L rón il sí dfinid pud sr posiiv (pr polrición iquirds) o ngiv (pr polrición drchs). Admás l rón il vrí nr AR. l cmpo lécrico insnáno s pud scribir como (, ) R R R ( β π / ) ( β ) { ( ) ( ) } ( β ) [ ( ) ( )] { } ( β ) {[ ( ) ( )] } cución qu musr qu s ond lípicmn polrid s pud ponr como l sum d dos onds circulrmn polrids un drchs, l d mpliud, or iquirds, l d mpliud. Si > l rón il srá ngiv, l ond circulrmn drchs srá más fur qu l lípicmn polrid iquirds, cono lo qu mrcrá l ond ol, s dcir, l ond srá lípicmn polrid iquirds. Si < ocurrirá lo conrrio l ond ol srá lípicmn polrid iquirds. Análog siución s ndrá si

30 lcrodinámic Tm 4: onds plns 3 ; ; ; φ π φ ls gráfics corrspondins s musrn n l figur 4.5. Figur Polricions lípic drchs iquirds con l mor sgún l dircción. () Polrición drchs, (b) polrición iquirds. No: l noción d l figur s R L.

31 3 Tm 4: Onds plns lcrodinámic Finlmn, l cso gnrl srá qul n l qu los s d l lips no coincidn con los s coordndos, como musr l figur 4.6. n s cso s ndrá qu Figur Ond lípicmn polrid no cnrd n los s. nπ φ φ φ ; n,,,... noncs, los snidos d giro srán φ drchs si > iquirds si < ó φ drchs si < sindo iquirds si > L rón nr l mor l mnor, qu s dfin como l rón il (AR) s mor OA AR ± ± AR mnor OB dond

32 lcrodinámic Tm 4: onds plns 3 OA OB 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ϕ ) 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ϕ ) l signo s pr polrición iquirds l signo - corrspond l polrición drchs. L inclinción d l lips, rliv l, s rprsn por τ s / / / / π τ n ( ) ( ) ( ϕ ) 4.9 Propgción n frris infinis s hor s h sudido l propgción d onds plns monocromáics n mdios infinios isóropos con o sin pérdids. n s úlimo prdo vmos sudir l propgción n un mdio infinio nisóropo como un frri mgni mdin un cmpo mgnéico sáico rno d mgniud. Supongmos qu l dircción d propgción d l ond form un ángulo θ con l dircción dl cmpo mgnéico plicdo, qu s cmpo s plic n l dircción qu l dircción d propgción sá connid n l plno -, como musr l figur 4.7 Y θ X Z Figur Ond propgándos por un frri infini formndo un ángulo θ con l dircción dl cmpo mgnéico sáico rno.

33 33 Tm 4: Onds plns lcrodinámic Sgún l figur 4.7, podmos scribir.r Suponindo qu los cmpos no vrín con l coordnd, vmos obnr ls cucions d ond pr cd componn dl cmpo lcromgnéico prir d ls cucions d Mwll d rocionl D B más ls rlcions d consiución, qu pr l cso d mgnición n l dircción son [ ] B ; D µ µ κ κ µ µ ε Tomndo l componn d l cución d Frd qud ( ) ( ) κ µ θ κ µ d l mism mnr pr l rso d ls componns ndrmos ( ) ( ) sn µ κ θ θ µ κ sn µ θ µ Procdindo d mnr olmn nálog pro pr l cución d Ampèr, ndrmos sn sn ε θ ε θ θ ε θ Tnmos, por lo no, sis cucions qu involucrn ls sis componns dl cmpo lcromgnéico más l consn d propgción. s fácil, mdin

34 lcrodinámic Tm 4: onds plns 34 un procso lgbrico sncillo, liminr, por mplo, ls rs componns dl cmpo lécrico, qudndo noncs sn θ ( µ κ ) µ θ sn θ ( sn θ θ ) ε µ (4.6) ε ( κ µ ) qu s un sism homogéno qu pr qu ng solución s ncsrio qu l drminn d los coficins d, s nulo, µ sn θ sn θ θ κ ε κ sn θ εµ µ sn θ θ ε µ ε (4.7) s hbiul sudir dos csos difrns: uno n l qu l dircción d propgción d l ond coincid con l dircción d mgnición oro n l qu mbs dirccions son prpndiculrs Propgción n l dircción d mgnición Pr l primr cso, l ángulo θ, por lo qu l cución dd por l drminn d (4.7) pud ponrs como cus solucions son [ ε( µ κ )][ ε( µ κ )] (4.8) ± ± [ ε ( κ )] / / [ ε ( κ )] Susiundo mbs solucions n l úlim d ls cucions d (4.6) s in qu pr pr

35 35 Tm 4: Onds plns lcrodinámic qu s corrspondn con un ond circulrmn polrid iquirds con un ond circulrmn polrid drchs, rspcivmn. D hí prcismn l nombr qu rcibn ls consns d propgción. Por lo no, n l cso d propgción d un ond lcromgnéic por un mdio infinio d frri n l dircción d mgnición l solución son dos onds o modos d propgción con polrición circulr iquirds drchs Roción d Frd Considrmos un mdio d frri sin pérdids con propgción como l dl prdo nrior. Supongmos qu s mdio llg un ond pln linlmn polrid sgún l X propgándos sgún l Z, β n, podmos scribir l cmpo lécrico nrior dsdobldo n dos onds circulrmn polrids, l primr iquirds l sgund drchs, sí ( ) ( ) qu l propgrs por l frri lo hrán con consns d fs difrns, con lo qu llgrán d n insns d impo difrns. noncs, n d ( d ) qu s pud ponr como β d d ( ) β ( ) ( d ) ( β β ) d / ( β β ) d ( β β ) [ d ] (4.9) qu s un ond linlmn polrid, rrsd (β - β )d/ gird un ángulo rspco l ddo por [ g ( β ) d ] ( ) d β β θ g g β (4.3) Si s considr hor qu l ond pln s propg n l dircción ngiv dsd hs -d s rpi cmn l mismo nrior s obin l mism prsión dd n (4.3) pr l ángulo d roción rspco l X. llo signific, qu si un ond vi n l dircción posiiv un disnci d l plno d polrición gir (por mplo) un ángulo θ rspco l X vulv hci l ond sigu girndo un ángulo θ n l mismo snido, lo qu confir s

36 lcrodinámic Tm 4: onds plns 36 compormino un crácr no rcíproco. n conclusión, l cmbir l snido d propgción l plno d polrición coninú girndo n l mismo snido. A s fco s l dnomin fco Frd Propgción n l dircción prpndiculr l d mgnición cindo θ9º n (4.7) s obin qu pr l cmpo mgnéico [ εµ ] [ εµ ][ ε µ ] µ ε κ (4.3) ε µ µ κ ε µ κ µ Ls solucions d (4.3) son. ± εµ d form qu, lo qu s corrspond con un ond pln propgándos por un mdio dilécrico isóropo d prmiividd ε s l llm ond prll o ro ordinrio.. µ κ ± ε d form qu, µ,, lo qu s corrspond con un ond qu in un componn d cmpo n l dircción d propgción por lo qu no s corrspond con un ond pln s l llm ond prpndiculr o ro rordinrio. 4. Rfrncis [] Consnin A. Blnis: Advncd nginring lcromgnics, John Wil & Sons, 989. Cpíulo 4.

37 37 Tm 4: Onds plns lcrodinámic [] Robr. Collin: Foudnions for Microwv nginring, McGrw ill, 99. Cpíulo. [3] Dvid M. Por: Microwv nginnring, Addison-Wsl, 99. Cpíulo. [4] C. Pul, K. Whis nd S. Nsr: Inroducion o lcromgnic Filds, Third diion, Mc Grw ill,. Cpíulo 6. [5] D. Chng: Fundmnos d lcromgnismo pr Ingnirí, Addison- Wsl, 997. Cpíulo 7.

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