PARTE I Parte I Parte II Nota clase Nota Final

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1 Ejrcicio Part I Puntos PARTE I Part I Part II Nota clas Nota Final Univrsidad Carlos III d Madrid Dpartamnto d Economía Eamn Final d Matmáticas I 14 d Enro d 2009 APELLIDOS: NOMBRE: DNI: Titulación: Grupo: 1. Sa la función f() =. S pid: 1 a) Hallar los intrvalos d crciminto/dcrciminto d f, así como sus trmos locals y/o globals. b) Hallar todas las asíntotas d f. a) Para studiar l crciminto drivamos la función y studiamos su signo: f ()= ( ( 2) ( 1) 2 1 ) = ( 1) ( 1) = 2, obsrvamos qu su signo vin dtrminado por l signo d 2 pus y ( 1) 2 son simpr positivos. D dond obtnmos qu: f > 0 (2, ), lugo f s crcint n (2, ). f < 0 (, 1) (1, 2), lugo f s dcrcint n (, 1) (1, 2). En cuanto a los trmos locals, sabmos qu f alcanza un mínimo local n = 2 pus satisfac la condición ncsaria d trmo f (2) = 0 y, por l párrafo antrior, también la suficint dl cambio d signo d f. En cuanto a los trmos globals = 2 no pud sr un mínimo global, pus f(2) > 0 > f(0); dado qu lim = s claro qu f no tin máimo global. o b) Para calcular sus asíntotas vrticals obsrvamos qu l dominio d la función s R {1}, si hacmos l límit por la drcha obtnmos lim = 0 =. Análogamnt por la izquirda + lim 1 0 =. Por lo tanto f tin a = 1 como asíntota vrtical. Para las horizontals, si hacmos l límit hacia obtnmos qu lim 1 = = =?, s trata d una indtrminación d tipo L Hopital, drivando numrador y dnominador por sparado obtnmos lim 1 = lim 1 = 1 =. Por lo tanto f no tin asíntota horizontal hacia más infinito. Hacindo l límit hacia obtnmos lim 1 = = 0 = 0 Por lo tanto y = 0 s asíntota horizontal hacia mnos infinito. 1 = 1 = lim = =?, s trata d una indtrminación d tipo L Hopital, aplicando dos vcs st Solo falta comprobar si tin asíntota oblicua n, para llo hacmos lim f() lim 2 = método obtnmos qu lim función no tin asíntotas oblicuas. 2 = lim 2 1 = lim 2 = 2 =, por lo tanto la 1

2 2. San a, b, c númros rals y considrmos la función dfinida por a 2 + 3, < 1 f() = b, = 1 c, > 1 a) Estudiar, sgún los valors d a, b y c la drivabilidad d f n l intrvalo (0, 2). b) Enunciar l torma dl valor mdio y hallar los valors d a, b y c para qu puda aplicars l torma antrior a dicha función n l intrvalo [0, 2]. a) En primr lugar, studiamos si la función s continua n l intrvalo (0, 2). Para llo, obsrvamos qu l único punto qu causa problmas s = 1. Ahora bin, f() s continua n dicho punto cuando s cumpl qu: lim 1 f() = f(1) = lim 1 +f(), s dcir, cuando a + 3 = b = c. Y ahora, suponindo qu f() s continua n = 1, f() s drivabl n = 1 cuando lim 1 f () = lim 1 +f (), s dcir, cuando 2a = c. Por lo tanto, s dduc qu a + 3 = c = 2a, s dcir, a = 1, b = c = 2. Lugo f() s drivabl n l intrvalo (0, 2) cuando a = 1, b = c = 2.. b) El torma dl valor mdio, aplicado a una función f dfinida n l intrvalo [A, B] dic así: Si f s continua n [A, B] y drivabl n (A, B), ist C n l intrvalo (A, B) d forma qu f(b) f(a) = f (C).(B A). Entoncs, para qu dicho torma puda aplicars a la función f antriormnt citada, n l intrvalo [0, 2], s suficint con qu s cumpla qu f s drivabl n (0, 2), pus n s caso s dduc automáticamnt qu f srá continua n dicho intrvalo y, n cualquir caso, f s continua n = 0 y = 2. Lugo s pud aplicar l torma cuando a = 1, b = c = 2.

3 3. Sa y = f() la función dfinida d manra implícita mdiant la cuación ln(+y)+2y = 4+2 crca dl punto (0, 1). S pid: a) Hallar, mdiant f (0), la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto = 0, y = 1. b) Calcular aproimadamnt, utilizando la cuación d la rcta tangnt hallada antriormnt, l valor d f( 0.1). a) Drivando la cuación, obtnmos qu 1 + y + y + 2y = 4, lugo sustituyndo n = 0, y = 1, obtnmos qu 1 + y y = 4, lugo f (0) = y = 1. Por tanto, la cuación d la rcta tangnt srá: y 1 = 1.( 0), s dcir, y = + 1. b) f( 0.1) y( 0.1) = = 0.9

4 PARTE II Ejrcicio Part II Puntos Part I Part II Nota clas Nota Final Univrsidad Carlos III d Madrid Dpartamnto d Economía Eamn Final d Matmáticas I 14 d Enro d 2009 APELLIDOS: NOMBRE: DNI: Titulación: Grupo: 4. Sa C() = C la función d costs d una mprsa monopolista, sindo C 0 0, y dond 0 s l númro d unidads producidas d cirta mrcancía. La función invrsa d dmanda (o prcio por unidad) s p() = S pid: a) Probar qu la función d bnficios s cóncava y, a partir d ahí, dtrminar la cantidad qu maimiza l bnficio. b) Para qué valor d C 0 s cumpl qu la producción qu maimiza l bnficio coincid con la producción qu minimiza l cost mdio (o por unidad)? a) La función d bnficios s: B() = p(). C() = (C ) = = C 0, lugo B () = 0.06 < 0. Por tanto B() s cóncava. Por lo tanto, l punto crítico srá único y maimizador global. Ahora bin: B () = = 0 = = = 500 qu s una solución acptabl, pus s una producción positiva cuyo prcio d vnta s p(500) = 90 (0.02).500 = 80 > 0. Lugo la producción = 500 maimiza l bnficio. b) La función d cost mdio s conva, pus C md () = C() C md () = 2C 0 3 = C satisfac qu > 0. Por lo tanto, l punto crítico srá único y minimizador global dl cost mdio. Ahora bin: C md () = C = 0 = = 100C 0. Lugo st punto coincidirá con l maimizador global dl bnficio cuando 500 = 100C 0 = C 0 = = Por lo tanto, para dicho valor d los costs fijos coincidn las produccions qu maimizan l bnficio y minimizan l cost mdio.

5 5. Dada f() = 1, dfinida n l intrvalo [0, ), s pid: a) Estudiar l crciminto/dcrciminto, y la concavidad/convidad d cualquir primitiva F d f, así como la posibl istncia d trmos (locals y/o globals) y d puntos d inflión. b) Hallar la primitiva F d f qu cumpl F (0) = 1. Sugrncia: no s ncsario conocr la prsión d F () para l apartado a). a) Para studiar l crciminto/dcrciminto, así como los trmos d F, ncsitamos la drivada d F. Pro como F () = f() = 1 Entoncs F s crcint cuando F s positiva, s dcir, n l intrvalo [0, 1). Análogamnt, F s dcrcint cuando F s ngativa, s dcir, n l intrvalo (1, ). Por lo tanto, F alcanza un máimo local y global n l punto = 1. Por otro lado, para studiar la concavidad/convidad, así como los puntos d inflión d F, ncsitamos la drivada sgunda d F. Pro como F () = f () = 2 () 2 < 0 Entoncs F s cóncava n l intrvalo d dfinición, s dcir, n l intrvalo [0, ). Por lo tanto, F no pos ningún punto d inflión. b) En primr lugar, hallmos la cuación d todas las primitivas d f. 1 f()d = d = d = ( )d = + 2 ln() + C Y ahora, como nos intrsa, d ntr todas las primitivas, aqulla q cumpla F (0) = 1, s dduc qu ln(1 + 0) + C = F (0) = 1 = C = 1. Por lo tanto, F () = + 2 ln() + 1.

6 6. Dada la función f() = , s considra l conjunto A limitado por la gráfica d f, la rcta vrtical = 2 y la rcta r, tangnt a la gráfica d f n l punto c = 1. S pid: a) Rprsntar gráficamnt l conjunto A. b) Calcular l ára d dicho conjunto. Sugrncia: probar qu la rcta tangnt r corta a la gráfica d f sólo n l punto d tangncia. a) Como f () = = f (1) = 3 6 = 3. Por lo tanto, la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto c = 1 srá: y 1 = ( 3)( 1), s dcir, y = Por otro lado, n l intrvalo (1, 2] la gráfica d f quda simpr por ncima d la rcta tangnt hallada antriormnt. Eso pud probars, por jmplo, usando l hcho d qu f s conva n dicho intrvalo, ya qu si 1 < 2 = f () = 6 6 > 0. Admás, como f () = = 3( 2) < 0 si 1 < < 2, s dduc qu f s dcrcint n dicho intrvalo. Finalmnt, obsrvando qu la rcta tangnt y la gráfica cortan, rspctivamnt, a la rcta vrtical = 2 n los puntos (2, 2) y (2, 1), s dduc qu l conjunto A s, aproimadamnt, así: (2,-1) (2,-2) b) Como la gráfica d f quda simpr por ncima d la rcta tangnt r n l intrvalo (1, 2], s dduc qu Ára(A) = 2 1 (f() r())d = 2 1 ( ( 3 + 4))d = = 2 1 ( )d = 2 1 ( 1)3 d = [ ( 1)4 ] 2 1 =