GRUPOS Y SEMIGRUPOS. Unidad 5

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "GRUPOS Y SEMIGRUPOS. Unidad 5"

Transcripción

1

2 GRUPOS Y SEMIGRUPOS En sta unidad studiarmos algunas d las structuras algbraicas qu s utilizan n Toría d Codificación y también n l studio d máquinas d stado finito, como por jmplo los autómatas qu vrmos n la última unidad d sta asignatura. Dichas máquinas, rconocdoras d lnguajs, s usan n l disño d compiladors y por llo s muy important trabajar con llas. Comncmos por rtomar l concpto d opración binaria crrada qu hmos studiado n la unidad 2, y d acurdo a las propidads qu cumpla l darmos un nombr a la structura. Es así qu podrá tratars d smigrupo, smigrupo con nutro o grupo, y n algunos casos grupo abliano. Rcordmos: Qué s una Opración Crrada?... Sa A, : A 2 A s opración binaria crrada si s función. O dicho d otra forma: s opración binaria crrada n A si y sólo si: a, b A : a b A Rcordmos también qu las opracions binarias crradas s pudn dnotar con l símbolo o cualquir otro, como,,,,,, tc. Por jmplo, para indicar qu n l conjunto A s ha dfinido la opración binaria s scrib (A ; ) A continuación, darmos los nombrs d algunas d las principals structuras algbraicas qu pud alcanzar un conjunto n l qu stá dfinida una opración binaria y crrada. Sa A y s una opración binaria y crrada dfinida n A. Si admás s asociativa (A ; ) s SEMIGRUPO Si admás tin nutro (A ; ) s SEMIGRUPO CON NEUTRO Si admás tin simétrico ( s dcir si TODOS los lmntos posn simétrico rspcto d la opración ) (A ; ) s GRUPO En cualquira d los casos antriors, si admás s conmutativa ntoncs a la structura qu posa (A ; ) s l agrga ABELIANO ( En honor al matmático Nils HnrikAbl ( ), quin ntr otras cosas dmostró la insolubilidad d la quíntica utilizando la toría d Grupos) 1

3 Si no rcurdas las propidads mncionadas (asociativa, conmutativa, nutro, simétrico), puds volvr a lr n la unidad 2. Vamos a continuación varios Ejmplos: Ejmplo 1: Indiqumos la structura d ( R ; ). Sabmos qu la multiplicación s crrada n los rals s asociativa y tin lmnto nutro, qu s l 1. Pro no todos los númros rals tinn simétrico; n ralidad hay sólo uno qu no tin simétrico, qu s l cro, lo cual s suficint para dcir qu no s cumpl la propidad d simétricos. Por lo tanto la structura qu alcanza s SEMIGRUPO CON NEUTRO. Pro la opración multiplicación s conmutativa, ntoncs la structura complta srá: SEMIGRUPO ABELIANO CON NEUTRO. Ejmplo 2: Indiqumos la structura d ( Z ; + ). Sabmos qu la suma s crrada n los ntros, s asociativa y tin lmnto nutro, qu s l 0. También todos los númros ntros tinn simétrico, qu s l opusto d cada uno. Por lo tanto la structura qu alcanza s GRUPO, y como la suma s conmutativa, ntoncs la structura complta srá: GRUPO ABELIANO. Ejmplo 3: Indiqumos la structura d ( Q ; ) sindo x y = x + y - 3 Esta s una opración combinada, no s d las usuals. Ya stuvimos trabajando con st tipo d opracions n la unidad 2. Analicmos primro si s opración crrada y lugo las propidads qu cumpl: 1) Es crrada.? Dbmos vr si s cumpl qu a, b Q : a b Q Dm./ como a Q b Q a + b Q por sr + crrada n Q. Lugo como 3 Q (a+b)-3 Q a + b - 3 Q a b Q 2) Es asociativa? Dbmos vr si a, b, c Q : a ( b c ) = ( a b ) c Dm./ Dsarrollamos cada mimbro d nustra tsis por sparado: (I) a ( b c ) = a ( b + c - 3 ) = a + ( b + c - 3 ) - 3 = a + b + c - 6 (II) ( a b ) c = ( a + b - 3 ) c = ( a + b - 3 ) + c - 3 = a + b + c - 6 Las xprsions finals son iguals. Por lo tanto, s asociativa. 3) Es conmutativa? Dbmos vr si a, b Q: a b = b a Dm./ Dsarrollamos cada mimbro d nustra tsis por sparado: 2

4 (I) a b = a + b - 3 (II) b a = b + a - 3 = a + b - 3 Las xprsions finals son iguals. Por lo tanto, s conmutativa. 4) Tin lmnto nutro? Dbmos vr si Q : a Q : a = a = a Dm./ Como ya sabmos qu s conmutativa, podmos buscar l nutro sólo a drcha y l mismo srá nutro a izquirda. a = a a = a - 3 = 0 = 3 Por lo tanto tin nutro qu s = 3 5) Tin lmnto simétrico? Dbmos vr si a Q : a Q : a a = a a = 3 Dm./ Como ya sabmos qu s conmutativa, podmos buscar l simétrico sólo a drcha y l mismo srá simétrico a izquirda. a a = 3 a + a - 3 = 3 a = 6 - a Esto significa, por jmplo, qu l simétrico dl 5 s l 1, l simétrico dl 2 s l 4, tc. Como todos los racionals tinn simétrico, con sa opración, s dic qu tin simétrico n s conjunto. Por lo tanto la structura d (Q ; ) s GRUPO ABELIANO Ejmplo 4: Sa l conjunto A = { a, b, c }con la opración dada por la siguint tabla: a b c a c a b b a b c c b c a 1) Es crrada n A? Eso s compruba obsrvando la tabla. Como todos los rsultados stán n l conjunto A, ntoncs s crrada n A. 2) Es conmutativa? Para qu lo sa, la tabla db sr simétrica rspcto d su diagonal principal. Como lo s, ntoncs s conmutativa. a b c a c a b b a b c c b c a Aquí podmos vr qu los lmntos simétricos rspcto d la diagonal principal son iguals. 3

5 3) Tin lmnto nutro? Dbmos fijarnos si alguna fila y columna rpitn los lmntos n l mismo ordn n qu stán dispustos n la tabla. Vmos qu llo ocurr n st caso con la fila y columna dl lmnto b. Por lo tanto b s l nutro d. a b c a c a b b a b c c b c a Aquí podmos vr qu la fila y columna dl lmnto b rpit los lmntos dados. 4) Tin lmnto simétrico? Dbmos buscar l simétrico d cada lmnto, buscando n su fila y columna al nutro. Por jmplo, n la fila y columna d a, l lmnto b (l nutro) s ncuntra cuando s opra al lmnto a con l lmnto c. Ello significa qu a y c son simétricos. Por lo tanto, a = c, c = a y b = b. Todos tinn simétrico, por lo tanto la opración tin simétrico. a b c a c a b b a b c c b c a Aquí podmos vr la ubicación dl lmnto nutro como rsultado n cada fila y columna para podr ncontrar para cada lmnto su simétrico 5) Es asociativa? Para analizar sta propidad no podmos obsrvar la tabla únicamnt, sino qu dbmos vrificar todos los casos posibls. Como la dfinición d la propidad asociativa nombra a trs lmntos gnéricos, hay qu pnsar n todos los casos qu xistn d valors qu pudn tomar dichos lmntos. Cada uno d llos podrá tnr cualquir valor d los lmntos dl conjunto, por lo tanto, n total habrá n st caso = 3 3 = 27 casos posibls. Por jmplo: ( a b ) a = a ( b a ) ya qu ( a b ) a = a a = c y a ( b a ) = a a = c ( c b ) a = c ( b a ) ya qu ( c b ) a = c a = b y c ( b a ) = c a = b ( b b ) a = b ( b a ) ya qu ( b b ) a = b a = a y b ( b a ) = b a =a... análogamnt con los rstants 24 casos. En gnral, si l conjunto tin n lmntos, la cantidad total d casos posibls s n 3. Si n todos los casos s cumpl la igualdad, ntoncs la opración s asociativa. Por lo tanto la structura d (A ; ) s GRUPO ABELIANO. 4

6 Ejmplo 5: Indiqumos la structura d ( A ; ) sindo A = { a, b, c } y la opración dada n la siguint tabla: a b c a b c a b c b c c a c b 1) Es una opración crrada n A? Eso s compruba obsrvando la tabla. Como todos los rsultados stán n l conjunto A, ntoncs s crrada n A. 2) Es conmutativa? Para qu lo sa, la tabla db sr simétrica rspcto d su diagonal principal. Como lo s, ntoncs s conmutativa. 3) Tin lmnto nutro? Rcordmos qu dbmos fijarnos si alguna fila y columna rpitn los lmntos n l mismo ordn n qu stán dispustos n la tabla. Vmos qu llo no ocurr n st caso. Por lo tanto no xist lmnto nutro d n A. 4) Como no tin nutro, no tin sntido analizar si hay lmntos con simétrico. 5) Es asociativa? Lamntablmnt, como ya dijimos, para analizar sta propidad no podmos hacrlo a simpl vista obsrvando la tabla, sino qu dbmos vrificar todos los casos d lmntos tomados d a trs con o sin rptición. Por jmplo: ( a b ) a = a ( b a )? Sí, pus ( a b ) a = c a = a y a ( b a ) = a c = a Pro... ( a b ) c = a ( b c )? No, pus ( a b ) c = c c = b y a ( b c ) = a c = a Entoncs no hay ncsidad d analizar ningún otro caso, pus al no cumplirs ést no s asociativa. Por lo tanto la structura d (A ; ) no llga a sr un smigrupo. Ejmplo 6: Ahora vamos a analizar la structura d (P ; +) sindo l conjunto P l siguint: P = { x Z / x = 2 k k Z } y la suma habitual. Qué conjunto s P? Vmos qu l conjunto P s l conjunto d los ntros pars. 5

7 1) Es + crrada n P? Dbmos probar qu a, b P : a + b P Dm./ a, b P: a = 2 k 1 b = 2 k 2 con k 1, k 2 Z Sumando mimbro a mimbro: a + b = 2 k k 2 a + b = 2 ( k 1 + k 2 ) Como k 1 y k 2 son ntros, su suma también lo s a + b = 2 k 3 k 3 Z Por lo tanto a + b P. Y ntoncs + s crrada n P. 2) Es + asociativa n P? Dbmos vr si a, b, c P: a + ( b+ c) = ( a+ b) + c Dm./ El conjunto P stá incluido n Z. Nosotros sabmos qu + s asociativa n Z, s dcir qu a, b, c Z: a + ( b+ c) = ( a+ b) + c Por lo tanto, los lmntos d P cumpln con sta propidad. Z P S dic qu l subconjunto P hrda la propidad dl conjunto Z qu lo incluy. 3) Es + conmutativa n P? Ocurr lo mismo qu con la asociativa. El conjunto P hrda la propidad conmutativa d Z. 4) Tin + nutro n P? En st caso hay qu fijars, ya qu no s algo qu puda hrdars dl conjunto mayor. Pud sr qu l nutro sté n l subconjunto o no. En st caso, l nutro d + s l cro. Dbmos vr si l cro prtnc a P. Si tnmos n cunta qu 0 = Z 0 P P tin nutro d +. 5) Tin + simétrico n P? Al igual qu con l nutro, dbmos fijarnos si n st caso todos los lmntos d P tinn su simétrico n P. El simétrico rspcto d la suma usual s l opusto. Entoncs dbmos vr si a P : -a P. Dm./ a P a = 2 k k Z multiplicando ambos mimbros por (-1): - a = (-1) 2 k asociando l -1 con k: - a = 2 ( - k) - k Z Por lo tanto l opusto d todo númro par s par. Finalmnt la structura d ( P ; + ) s GRUPO ABELIANO. 6

8 A continuación vrmos otro jmplo d grupo: GRUPO DE PERMUTACIONES O GRUPO SIMÉTRICO S 3 Primro dfinimos l conjunto con l qu vamos a trabajar: Sa A = { f: X X / f s función biyctiva}sindox = { 1, 2, 3 } T animas a dar alguno d los lmntos d st conjunto A? Obsrvá qu son las funcions biyctivas dfinidas n l conjunto{1,2,3} Por jmplo, una función d dicho conjunto podría sr la qu asigna: f(1) = 3 ; f(2) = 1 ; f(3) = 2 Cuántas hay n total?... Como la función db sr biyctiva, los valors 1, 2 y 3 dbn aparcr xactamnt una vz cada uno como imagn. Por lo tanto, lo qu pud cambiar d una función a otra s únicamnt l ordn n qu aparcn. En la función dada n l jmplo antrior, l ordn d las imágns s: 3,1,2. También podría sr d otras formas. La cantidad d ordnamintos posibls d una cirta cantidad d lmntos distintos, s dnomina prmutación y s calcula como l factorial d dicho númro. En st caso hay tantas funcions como prmutacions d trs númros, s dcir P 3 = 3! = 6 Vamos a ncontrar las sis funcions qu llamamos así: A = { f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 }: X f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f Es dcir qu la función qu habíamos nombrado ants s aquí la f 5, ya qu f 5 (1) = 3 ; f 5 (2) = 1 ; f 5 (3) = 2 Sabindo d qué s trata l conjunto, considrmos la opración qu s la composición d funcions, y vamos a analizar si (A ; ) s un grupo. 7

9 Rcurdas cómo componr funcions? Por jmplo, para calcular f 2 f 3, significa aplicar primro f 3 y a continuación f 2. f 3 f Obsrvamos qu s lo mismo qu aplicar dirctamnt la función f 5, o sa f 2 f 3 = f 5 D la misma manra dbmos ir componindo todas. Como l conjunto s finito, nos convin hacr una tabla: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 2 f 2 f 1 f 5 f 6 f 3 f 4 f 3 f 3 f 4 f 1 f 2 f 6 f 5 f 4 f 4 f 3 f 6 f 5 f 1 f 2 f 5 f 5 f 6 f 2 f 1 f 4 f 3 f 6 f 6 f 5 f 4 f 3 f 2 f 1 Ya stamos n condicions d comnzar a studiar las propidads: 1) Es opración binaria y crrada, pus todos los rsultados d la composición diron lmntos dl mismo conjunto. 2) La opración s asociativa, pus lo s la composición d funcions n gnral. Entoncs como st s un subconjunto sigu cumplindo la propidad. Aquí lo dmostrarmos n gnral: x Dom: f (g h )(x) = f (g h)(x) = f (g ( h(x) ) = ( f g ) h(x) = (f g ) h (x) 3) La opración no s conmutativa, pus por jmplo, f 2 f 3 = f 5 pro f 3 f 2 = f 4 8

10 4) El lmnto nutro s la función f 1, qu s la función idntidad. 5) Los simétricos d los lmntos son: f 1 = f 1 f 2 = f 2 f 3 = f 3 f 4 = f 5 f 5 = f 4 f 6 = f 6 Por lo tanto ( A ; ) s un GRUPO y s lo llama S 3. Es un grupo NO abliano. Ahora pnsmos... Si l conjunto X n vz d tnr 3 lmntos, tuvira otra cantidad n, cuántas funcions biyctivas habría? En gnral cualquir Grupo S n tin n! lmntos. Volvrmos a considrar stos grupos lugo d analizar algunas propidads qu nos van a rsultar útils y prácticas para rsolvr problmas. PROPIEDADES QUE SE CUMPLEN EN UN GRUPO: Sa (A ; ) un grupo con nutro. Entoncs simpr s cumpln las siguints propidads: 1. El lmnto nutro s único. 2. El lmnto nutro s su propio simétrico: ' = 3. Propidad involutiva dl simétrico: a A: (a')' = a 4. El simétrico d un lmnto s único. 5. a, b A: (a b )' = b' a' 6. Las cuacions a x = b y x a = b tinn solución única. 7. El único lmnto idmpotnt s l lmnto nutro. Es dcir, si a a = a a = 8. a, b A: a = b b = a Vamos a dmostrar aquí las d númro impar y t proponmos qu intnts dmostrar las otras a modo d jrcitación. Dmostración d la propidad 1: El lmnto nutro s único. Para llo, utilizarmos un método válido qu s dnomina Método d Rducción al absurdo. Consist n suponr lo contrario a lo qu qurmos dmostrar, y con llo llgar a una contradicción o absurdo, con lo cual quda garantizada nustra tsis. En st caso, supongamos qu n A xistn dos lmntos nutros distintos 1 y 2. Por sr 1 lmnto nutro cumpl: x A: x 1 = x En particular, si tomamos como lmnto x a 2, nos quda: 2 1 = 2 (xprsión I) Por otro lado, como 2 s lmnto nutro s cumpl: x A: 2 x = x 9

11 En particular, si tomamos como lmnto x a 1, nos quda: 2 1 = 1 (xprsión II) Obsrva las xprsionsi y II. Tinn los primros mimbros iguals, por lo tanto los sgundos también lo son. Con lo cual 1 = 2. Y por lo tanto quda aprobada la unicidad dl lmnto nutro n un grupo. Dmostración d la propidad 3: Propidad involutiva dl simétrico: a A: (a')' = a Por sr (A ; ) un grupo, sabmos qu todos los lmntos tinn simétrico, s dcir: x A: x A : ( x x = x x = ) Entoncs l lmnto a como prtnc a A, db tnr un simétrico qu s dnota (a ). Lo qu dbmos hacr s calcular quién s. Por dfinición s cumpl qu: a (a ) = Y a partir d sta igualdad vamos a dspjar (a ). Para llo, opramos con a n ambos mimbros a izquirda: a ( a (a ) ) = a Lugo por propidad asociativa: ( a a ) (a ) = a Por dfinición d los simétricos: (a ) = a Por dfinición d lmnto nutro: (a ) = a qu s lo qu quríamos dmostrar. Dmostración d la propidad 5: a, b A: (a b )' = b' a' La dmostración d sta propidad s similar a la antrior, ya qu como dijimos sabmos qu cada lmnto tin simétrico pus stamos n un grupo. Entoncs l lmnto (a b) db tnr un simétrico qu s dnota (a b) y qu cumpl: (a b) (a b) = Dbmos dspjar (a b). Para llo, lo primro s aplicar la propidad asociativa: a b (a b) = y ahora opramos con a n ambos mimbros a izquirda a ( a b (a b) ) = a Nuvamnt por propidad asociativa: ( a a ) b (a b) = a Y por dfinición d simétricos: b (a b) = a Por dfinición d lmnto nutro: b (a b) = a 10

12 Obsrvmos qu logramos pasar la a qu staba n l primr mimbro. Ahora dbmos hacr l mismo procdiminto para pasar la b: b ( b (a b) ) = b a ( b b ) (a b) = b a (a b) = b a (a b) = b a Con lo cual qudó dmostrada la propidad 5. Dmostración d la propidad 7: El único lmnto idmpotnt s l lmnto nutro. a a = a a = Esta dmostración s muy sncilla, partimos dl antcdnt o hipótsis: a a = a Y opramos n ambos mimbros con a : ( a a ) a = a a Lugo por propidad asociativa: a ( a a ) = a a Por dfinición d simétricos: a = Y finalmnt por dfinición d lmnto nutro: a = Quda dmostrada la propidad 7. T proponmos qu intnts dmostrar las rstants propidads. Si tins dificultads consulta a tu tutor, para qu t orint o rvis tus dmostracions. Buna surt! ELEMENTOS REGULARES Rconocr los lmntos rgulars d un smigrupo nos prmit trabajar d una manra más rápida y agilizar los cálculos ya qu podrmos ahorrar pasos. Así dnominarmos a los lmntos d un smigrupo qu cumplan con una cirta particularidad. Vamos la dfinición: Sa (A ; ) un smigrupo con nutro. El lmnto a A s rgular a izquirda a x = a y ntoncs x = y El lmnto a A s rgular a drcha x a = y a ntoncs x = y El lmnto a A s rgular si s rgular a izquirda y a drcha. Es dcir: Los lmntos rgulars son los canclabls, o sa los qu s pudn suprimir al star oprados n ambos mimbros d una igualdad. Por jmplo: 11

13 En la adición d ntros, todos los lmntos son rgulars. En la multiplicación d rals, todos xcpto l cro son rgulars. Considrmos la opración triangulito n Q: x y = 3 (x + y) Vamos si todos sus lmntos son rgulars. Como s conmutativa, lo hacmos solo a drcha, arrancando dl antcdnt: x a = y a 3 ( x + a) = 3 ( y + a) x + a = y + a x = y Por lo tanto, son todos rgulars. Propidad: n un grupo todos los lmntos son rgulars. Como n un grupo, todos los lmntos tinn simétrico: a*x = a * y a *a*x = a *a* y ( a *a)*x = ( a *a)* y *x = * y x = y Análogamnt s pruba a drcha. Por llo, cuando trabajmos n un grupo, dirctamnt vamos a podr usar la propidad canclativa, sin ncsidad d hacr todos los pasos involucrados (oprar ambos mimbros con l simétrico dl lmnto, asociar, obtnr l nutro, y por propidad dl nutro llgar la igualdad n la qu ya no figura dicho lmnto). Pro si stamos trabajando n un smigrupo qu no llga a sr grupo, podrmos canclar sólo aqullos lmnto qu tin simétrico. Por jmplo, si cursast Álgbra, rcordarás qu no todas las matrics son rgulars rspcto d la multiplicación. Solamnt aqullas qu tinn invrsa. INVERSIBLES DE UN SEMIGRUPO Sa (A ; ) un smigrupo con nutro. El conjunto d invrsibls d A s: INV (A) = { a A / a A } O sa, s l conjunto d todos los lmntos qu tinn simétrico n l conjunto A rspcto d la opración Vamos algunos jmplos: 1) En ( Z ; ), los invrsibls son solamnt l 1 y l -1, pus los dmás ntros no tinn invrso ntro. 2) En ( R ; ), los invrsibls son todos xcpto l cro. 3) En l conjunto d matrics cuadradas d nxn con lmntos rals y la multiplicación ( R nxn ; ), los lmntos invrsibls son las llamadas matrics invrsibls o rgulars, s dcir aqullas cuyo dtrminant s distinto d cro. 12

14 4) En ( N 0 ; + ), l único lmnto invrsibl s l cro, ya qu los dmás no tinn su opusto n st conjunto. 5) En ( Z 5 ;+ ), los invrsibls son todos 0, 1, 2, 3 y 4, o sa todos. 6) En ( Z 6 ; ), los invrsibls son únicamnt 1 y 5 En gnral: INV(Z n ; ) = { k / m.c.d.{k, n} = 1 1 k n-1 } Propidad: Sa (A ; ) un smigrupo con nutro. Entoncs (INV (A) ; ) s grupo y s lo llama Grupo d Invrsibls dl smigrupo (A; ). Con rfrncia al jmplo 6 antrior, l conjunto {1,5 } s grupo multiplicativo. Vamos su tabla: PRODUCTO CARTESIANO DE GRUPOS San (G 1 ; 1 ) y (G 2 ; 2 ) dos grupos con nutros 1 y 2 rspctivamnt. En l conjunto G 1 x G 2 s dfin la siguint opración tal qu: (a ; b) (c ; d) = (a 1 c ; b 2 d) Entoncs (G 1 x G 2 ; ) s grupo y s dnomina grupo producto. A modo d jrcitación, t proponmos qu intnts dmostrar lo nunciado antriormnt, s dcir, qu l producto cartsiano d dos grupos s también un grupo. Rcurda qu si tins dudas, puds consultar al tutor. Obsrvación: Si 1 y 2 son conmutativas ntoncs también s conmutativa. T proponmos qu dmustrs la propidad antrior. Analicmos ahora algunos jmplos: San los grupos finitos (G 1 ; 1 ) y (G 2 ; 2 ) dados por las siguints tablas: 13

15 a b a a b b b a Vamos a hallar l producto G 1 x G 2 y dfinir la opración d modo qu (G 1 x G 2 ; ) sa grupo. G 1 x G 2 = { (0 ; a), (0 ; b), (1 ; a), (1 ; b), (2 ; a), (2 ; b) } La opración la indicamos n la siguint tabla tnindo n cunta qu: (x ; y) (z ; t) = (x 1 z ; y 2 t) Por jmplo, para sabr cuanto s (1 ; a) (2 ; b) hay qu rsolvr: ( ; a 2 b ) = ( 0 ; b) y así con todos compltamos la tabla: (0 ; a) (0 ; b) (1 ; a) (1 ; b) (2 ; a) (2 ; b) (0 ; a) (0 ; a) (0 ; b) (1 ; a) (1 ; b) (2 ; a) (2 ; b) (0 ; b) (0 ; b) (0 ; a) (1 ; b) (1 ; a) (2 ; b) (2 ; a) (1 ; a) (1 ; a) (1 ; b) (2 ; a) (2 ; b) (0 ; a) (0 ; b) (1 ; b) (1 ; b) (1 ; a) (2 ; b) (2 ; a) (0 ; b) (0 ; a) (2 ; a) (2 ; a) (2 ; b) (0 ; a) (0 ; b) (1 ; a) (1 ; b) (2 ; b) (2 ; b) (2 ; a) (0 ; b) (0 ; a) (1 ; b) (1 ; a) Ants d continuar, sintticmos lo qu hmos dsarrollado hasta aquí: Prsntamos las dfinicions d smigrupo y d grupo, qu son structuras algbraicas qu pud alcanzar un conjunto con una opración binaria y crrada dfinida n él. Estudiamos varios jmplos, d grupos y smigrupos finitos o infinitos. En particular, nos dtuvimos n un grupo no conmutativo llamado grupo d prmutacions o grupo simétrico S 3 y un grupo producto d dos grupos dados. También prsntamos algunas propidads importants d los grupos, los lmntos rgulars y los invrsibls d un smigrupo. 14

16 SUBGRUPOS Qué t sugir st nombr?... Si lo rlacionas con otros similars, como subconjunto, subspacio, subgrafo, tc. n lo qu también s aplica l prfijo sub qu indica qu stá incluido, nos sugir qu s trata d una structura dntro d otra. En Álgbra para los Espacios Vctorials, si dntro d un spacio stá incluido otro, s lo llama subspacio. Lo mismo pasa con los grafos, y también con los grupos. Básicamnt, un subgrupo srá un grupo dntro d otro grupo. Vamos la dfinición formal: Sa (G ; ) un grupo y sa H H G. Si (H ; ) s grupo ntoncs H s subgrupo d G. Dicho con palabras, un subgrupo s un conjunto no vacío, qu stá incluido n un grupo, y qu n sí mismo s también grupo con la misma opración. Por jmplo 1) (Z ; +) s un subgrupo dl grupo (R ; +), ya qu cumpl con la dfinición d subgrupo. 2) Considrmos l conjunto P = { x Z / x = 2 k con k Z } Obsrvamos qu l conjunto P s l d los ntros pars. Entoncs: (P ;+) s subgrupo dl grupo (Z ;+), pus cumpl las condicions: a) No s vacío ; b) Está incluido n Z ; y c) Al sumar númros pars, obtnmos simpr un númro par, la suma s asociativa, l lmnto nutro d la suma s l cro qu s par, y l opusto d un númro par también s par, o sa qu (P ; +) s un grupo n sí mismo. 3) Si (G ; ) s un grupo con nutro, ntoncs ({} ; ) s l subgrupo más pquño qu pud tnr y s dnomina subgrupo trivial d (G ; ) 4) (G ; ) s l subgrupo más grand d (G ; ) y s dnomina subgrupo impropio d (G ; ) Todos los subgrupos d un grupo qu no san ni l trivial ni l impropio, s llaman subgrupos propios. A continuación, vrmos un torma qu nos va a rsultar muy útil cuando tngamos qu analizar si un dtrminado conjunto s subgrupo d un grupo dado. 15

17 TEOREMA: CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE para SUBGRUPOS Sa (G ; ) un grupo. H s subgrupo d G 1) H 2) H G 3) a,b H a b H La dmostración puds ncontrarla n l libro d la cátdra, capítulo18. T invitamos a consultarlo. Cómo usar la condición suficint? Dado un conjunto H y un grupo (G ; ), si probamos qu H cumpl las trs condicions numradas 1,2 y 3, por st torma ya podrmos afirmar qu H s un subgrupo dl grupo dado. Cómo usar la condición ncsaria? Dado un conjunto H y un grupo (G ; ), si H no cumpl con alguna d las 3 condicions, podrmos afirmar qu H NO s subgrupo dl grupo dado. Para los subgrupos finitos, xist una propidad qu nos ahorra más sfurzo aún: Propidad: Si (G ; ) s un grupo y H s un subconjunto finito no vacío, ntoncs H s subgrupo d G si y sólo si s crrada n H. Ejmplo 1: Dmostrmos qu ( nz ; + ) s subgrupo d (Z ; + ) sindo nz = { x Z / x = n k con k Z } Es dcir, nz s l conjunto d todos los múltiplos d n. Para probar qu s subgrupo, utilizarmos la condición suficint dl Torma visto. 1) Como sabmos, l 1 s lmnto nutro d la multiplicación, ntoncs : n = n 1 y 1 Z, por lo tanto, n nz. Entoncs nz ya qu por lo mnos tin un lmnto. 16

18 En ralidad hay infinitos lmntos, pro para garantizar qu l conjunto no s vacío, mostrando uno solo - cualquira sa - alcanza. A vcs s cómodo utilizar al lmnto nutro, pro no s ncsario para probar qu l conjunto no s vacío. 2) nz Z por la dfinición d nz (spcíficamnt dond dic qu stá formado por x Z) 3) San a, b nz. Entoncs a = n k b = n t con k,t Z Primro obtnmos l opusto d b: -b = - n t Y ahora sumamos mimbro a mimbro: a + (- b) = n k + (- n t) a + (- b) = n ( k +(- t) ) k + (- t) Z ya qu la suma d ntros s crrada. Por lo tanto a + (- b) nz Finalmnt, como s cumpliron las trs condicions suficints d subgrupos, podmos afirmar qu ( nz ; + ) s subgrupo d ( Z ; + ) Ejmplo 2: Dado l grupo finito (A ; ) dado por la siguint tabla: a b c d f g h a a b c d f g h b b c d a h g f c c d a b f h g d d a b c g h f g f h a c b d f f h g c a d b g g f h d b a c h h g f b d c a Cuáls d los siguints conjuntos son subgrupos? H = {a, b} K = {a, b, c, d} F = {a, } M = {a,, f } Para rspondrlo, tngamos n cunta la propidad d los subgrupos finitos, qu dic qu s suficint qu l subconjunto no sa vacío, y qu la opración sa crrada. Con s critrio, H = {a, b} no s subgrupo, pus b b = c H K = {a, b, c, d} s subgrupo d A pus como podmos obsrvar n la tabla, la opración s crrada n K Lo mismo ocurr con F = {a, } n l qu s crrada, por lo tanto s otro subgrupo. Pro M = {a,, f } no lo s, pus f = c M 17

19 Ejmplo 3: Dados dos subgrupos ( H 1 ; ) y (H 2 ; ) d un mismo grupo ( G ; ), nos prguntamos si la intrscción d los subgrupos H = H 1 H 2 s también otro subgrupo dl mismo grupo ( G ; ). Para rspondrlo, utilizarmos también la condición suficint dl torma. 1) Hay qu dmostrar qu H no s vacío. Para llo, por hipótsis sabmos qu H 1 y H 2 son subgrupos, por lo tanto n cada uno stá l lmnto nutro dl grupo: H 1 H 2 por dfinición d intrscción: H 1 H 2 H H 2) x H : x H 1 H 2 x H 1 x H 2 por hipótsis ( H 1 G H 2 G ): x G x G x G con lo cual quda probado qu H G 3) x, y H : x (H 1 H 2 ) y (H 1 H 2 ) ( x H 1 x H 2 ) ( y H 1 y H 2 ) por conmutatividad y asociatividad d la conjunción: ( x H 1 y H 1 ) ( x H 2 y H 2 ) por condición ncsaria d subgrupos: ( x y H 1 ) ( x y H 2 ) por dfinición d intrscción: x y H 1 H 2 x y H Por lo tanto, por habrs cumplido las trs condicions suficints d subgrupos, podmos dcir qu (H 1 H 2 ; ) s subgrupo d ( G ; ) El jmplo antrior s pud gnralizar para una familia d subgrupos H 1,..., H n d un grupo G, tal qu la intrscción d todos llos s también un subgrupo. Esta dmostración gnralizada la puds ncontrar n l libro d la cátdra, capítulo 18. Ejmplo 4: Dados dos subgrupos ( H 1 ; ) y (H 2 ; ) d un mismo grupo ( G ; ), nos prguntamos si la unión d los subgrupos H = H 1 H 2 s también otro subgrupo dl mismo grupo ( G ; ). Piénsalo un poco... Si no pudist rspondrlo, aquí va la solución: La rspusta s NO, no simpr la unión d subgrupos s subgrupo. Por jmplo, considrmos los subgrupos 3Z y 5Z d (Z ; +), qu ya sabmos qu son subgrupos pus lo dmostramos ants. Sa H = 3Z U 5Z Tomando los siguints lmntos: 9 3Z 9 3Z U 5Z 9 H 20 5Z 20 3Z U 5Z 9 H 18

20 O sa qu 9 H 20 H, pro 9+20 = 29 H pus 29 3Z 29 5Z Por lo tanto, al no sr crrada la suma, no s subgrupo. A continuación, vrmos un tma qu vincula a los grupos con las rlacions d quivalncia. Sguramnt rcordarás qu las rlacions d quivalncia cumpln con las propidads rflxiva, simétrica y transitiva. Lo fundamntal d st tipo d rlacions s qu particionan al conjunto n distintas cldas llamadas class d quivalncia. Dfinirmos un tipo d rlacions d quivalncia llamadas rlacions d congruncia, qu gnralizan la congruncia módulo n. RELACIONES DE CONGRUENCIA Sa (G ; ) un smigrupo con nutro. Sa una rlación d quivalncia n G. s compatibl a izquirda con a, b, x G : a b x a x b s compatibl a drcha con a, b, x G : a b a x b x La rlación s compatibl con (o s d congruncia) s compatibl a drcha y a izquirda. Vamos un jmplo: Considrmos l grupo (Q-{0} ; ) y la rlación d quivalncia tal qu: a b a 2 = b 2 Analicmos si la rlación dada s compatibl con la opración dl grupo. Para llo, vamos a dmostrar sólo a drcha, ya qu la opración s conmutativa: a, b, x Q-{0} : a b a 2 = b 2 a 2 x 2 = b 2 x 2 (ax) 2 = (bx) 2 ax bx Por lo tanto, la rlación s compatibl con la multiplicación, o s d congruncia n l grupo. Obsrvacions: 1. Las rlacions d congruncia gnralizan las propidads d la congruncia módulo n y pudn rcibir otros nombrs como compatibl rspcto d la opración d grupo o stabl. 2. Una forma quivalnt d dfinir la compatibilidad s: La rlación s compatibl con a, b, c, d G : a b c d a c b d 19

21 Lo cual mustra qu l rsultado s indpndint dl rprsntant d clas. a b c d a c b d Obsrva la bllza d st grupo, dond s vn n difrnts tonos las class d quivalncia TEOREMA FUNDAMENTAL DE COMPATIBILIDAD Sa (G ; ) un smigrupo con nutro y una rlación d quivalncia compatibl con Entoncs l conjunto cocint (G/ ; ) s un smigrupo con nutro, sindo la opración la siguint: a b = a * b Si (G ; ) s grupo ntoncs (G/ ; ) también s grupo. Si (G ; ) s abliano ntoncs (G/ ; ) también s abliano. 20

22 La dmostración d st torma puds ncontrarla n l libro d la cátdra, capítulo 18. Es important tnr n cunta qu no s trata d podr rproducir d mmoria l Torma; apuntamos a qu comprndas su nunciado, las hipótsis y su aplicación. Obsrvación: Est Torma nos garantiza qu si la rlación d quivalncia s compatibl, la structura dl conjunto cocint s la misma qu la dl conjunto original. S traspasa la structura y las propidads structurals y por lo tanto rsulta una hrraminta muy útil n l momnto d modlizar situacions rals a rsolvr. Por jmplo: Considrmos l grupo (Z ; + ) y la rlación d quivalncia congruncia módulo n. 1) Primro dmostrmos qu la rlación s compatibl con la +. a, b, c, d Z : a b (n) c d (n) n a - b n c - d a - b = n k c - d = n t con k, t Z a - b + c - d = n k + n t ( a + c ) - ( b + d ) = n ( k + t ) sindo k+t Z por sr la suma crrada n Z. Entoncs n ( a + c ) - ( b + d ) ( a + c ) ( b + d ) (n) 2) Considrmos n = 5 y vrifiqumos qu ( Z 5 ; + ) s grupo abliano (la misma structura qu l conjunto original) D la tabla s dsprnd qu s crrada, conmutativa (ya qu s simétrica rspcto d su diagonal principal), tin lmnto nutro:0, cada uno tin simétrico: 0 =0, 1 =4, 2 =3, 3 =2 y 4 =1 En l punto 1 dl jmplo dmostramos qu la congruncia módulo n s compatibl con la adición n los ntros. Por lo tanto, podmos garantizar, n virtud dl Torma Fundamntal d Compatibilidad qu ( Z 5 ;+ ) s grupo abliano., ya qu ( Z 5 ;+ ) s un grupo abliano. 21

23 GENERADORES. GRUPOS CÍCLICOS Sa (G ; ) un grupo y a G. Llamamos Subgrupo cíclico d G gnrado por a al siguint conjunto: < a > = { a n / n Z } Aclaracions: a n significa a a a... a (n vcs) a -n significa a -1 a -1 a a -1 (n vcs, sindo a -1 l simétrico d a) a 0 = (lmnto nutro) Es dcir l conjunto < a > tin a todos los lmntos qu s pudn obtnr oprando al lmnto con sí mismo o con su simétrico. Vayamos a los jmplos: Ejmplo 1: Considrmos l grupo ( Z ; + ) y calculmos l subgrupo cíclico gnrado por l 2, n st caso son todos los númros qu s obtinn sumando l 2 con sí mismo cualquir cantidad d vcs, o l -2. Es dcir son todos los númros pars: < 2 > = { x Z / x = 2 k con k Z } Ejmplo 2: Considrmos l grupo finito (A ; ) dado por la siguint tabla: a b c d f g h a a b c d f g h b b c d a h g f c c d a b f h g d d a b c g h f g f h a c b d f f h g c a d b g g f h d b a c h h g f b d c a y calculmos l subgrupo cíclico gnrado por l lmnto d 22

24 Supongamos ahora qu xist un lmnto d un grupo (G ; ) qu al oprarlo con sí mismo l subgrupo qu gnra s l impropio. Calculamos d d = c ; d d d = c d = b ; d d d d = b d = a d d d d d = a d = d Admás, a s l lmnto nutro dl grupo, y l simétrico d d s b, qu ya lo opramos. Por lo tanto, no s pudn obtnr más lmntos distintos. Entoncs: < d > = { a, b, c, d } Concrtando, podmos dcir: Si (G ; ) un grupo, a G y < a > = G ntoncs a s gnrador dl grupo G y l grupo (G ; ) s cíclico porqu tin al mnos un lmnto gnrador. Analicmos cuals d los siguints grupos son cíclicos, y n caso afirmativo indiqumos los gnradors: 1) El grupo (Z ; +) s cíclico pus todos los ntros s pudn obtnr sumando al 1 con sí mismo o con l -1 la cantidad ncsaria d vcs. O sa, qu l 1 y l -1 son gnradors d ( Z ; + ) 2) Considrmos l grupo ( {1,-1, i, -i } ; ) sindo i la unidad imaginaria (i 2 = -1). Si construimos la tabla: 1-1 i -i i -i i i i i -i i -i i -1 i Vamos... El 1 no pud sr gnrador pus multiplicado por sí mismo simpr da 1. El -1 tampoco s gnrador pus multiplicado por sí mismo simpr da 1 o -1. En cambio vamos qu pasa con la i: i i = -1 ; i i i = -i ; i i i i = 1 ; i i i i i = i O sa qu i s gnrador dl grupo ( {1,-1, i, -i } ; ) Y lo mismo ocurr con su simétrico -i. 23

25 3) Rcordmos l grupo simétrico (S 3 ; o ), formado por las sis funcions biyctivas con dominio y codominio n un conjunto d 3 lmntos. La tabla qu habíamos armado s: f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 1 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 2 f 2 f 1 f 5 f 6 f 3 f 4 f 3 f 3 f 4 f 1 f 2 f 6 f 5 f 4 f 4 f 3 f 6 f 5 f 1 f 2 f 5 f 5 f 6 f 2 f 1 f 4 f 3 f 6 f 6 f 5 f 4 f 3 f 2 f 1 Analicmos si s cíclico. Para llo vamos a calcular los subgrupos gnrados por cada uno d los lmntos: < f 1 > = { f 1 } < f 2 > = { f 2, f 1 } < f 3 > = { f 3, f 1 } < f 4 > = { f 4, f 5, f 1 } < f 5 > = { f 5, f 4, f 1 } < f 6 > = { f 6, f 1 } Vmos qu ninguna gnró al grupo complto, sino qu han gnrado subgrupos. Entoncs l grupo (S 3 ; o ) NO ES CICLICO. 4) Tommos l grupo ( Z 5 ; + ), cuya tabla s:

26 Est grupo s CICLICO ya qu<1 > = { 0, 1, 2, 3, 4 } y lo mismo ocurr con su simétrico 5 Por lo visto n los jmplos, y pnsando un poco más, podmos arribar a las siguints conclusions: Todo grupo cíclico s abliano Todo subgrupo d (Z ;+) s cíclico Todo subgrupo d un grupo cíclico s cíclico T proponmos qu trats d dmostrarlas. Rcurda qu puds solicitar orintación a tu tutor. Ordn d un lmnto y d un subgrupo Sa (G ; ) un grupo y a G. El ordn d un lmnto s l cardinal dl subgrupo qu gnra. El Ordn d un subgrupo s l ordn d su gnrador, o bin l cardinal dl subgrupo. Si < < a >= n ntoncs s dic qu a tin ordn finito n. Si < < a >= ntoncs s dic qu a tin ordn infinito. Rtículo o Rd d subgrupos Dado un grupo (G ; ) con nutro, ntoncs l conjunto d todos los subgrupos pud sr ordnado por la inclusión. Si G s finito, ntoncs: (subgrupos d G ; ) s una Rd con primr lmnto,l subgrupo trivial, y con último lmnto, l subgrupo impropio. Por jmplo: Armmos la rd d los subgrupos dl grupo (S 3 ; o) 25

27 Los subgrupos son: H 1 = { f 1 } H 2 = { f 2, f 1 } H 3 = { f 3, f 1 } H 4 = { f 4, f 5, f 1 } H 5 = { f 6, f 1 } H 6 = { f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 } Armmos l diagrama d Hass considrando la rlación d inclusión: H 6 H 2 H 3 H 4 H 5 H 1 Para tnr n cunta: Si l grupo no s cíclico, admás d los subgrupos gnrados por los lmntos, hay qu considrar al propio grupo y buscar si xistn otros subgrupos no cíclicos. Propidads dl grupo (Zn ; + ) El grupo (Z n ;+) s cíclico Sus gnradors son: {k / mcd ( k,n) = 1, 1 k n - 1 } La cantidad d subgrupos d Z n s: D n y la rd d subgrupos s isomorfa a ( D n ; ) Hallmos todos los gnradors d (Z 18 ; +), los subgrupos y armmos la Rd d Subgrupos. Z 18 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 } D acurdo a la propidad nunciada, los gnradors son todas las class coprimas con 18 - s dcir aqullas cuyo máximo común divisor con l 18 s 1. 26

28 Gn Z 18 : {1, 5, 7, 11, 13, 17 } Es dcir qu l subgrupo gnrado por cada una d llas s l grupo complto. Ahora dbmos hallar los dmás subgrupos. Primro hallmos cuántos db habr n total. Para llo, calculamos: Cantidad d Subgrupos = D 18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } = 6 y admás, xist al mnos un subgrupo cuyo ordn o cardinal s cada uno d los divisors d 18. El subgrupo d ordn 1 s l trivial: H 1 = <0 > = {0 } El subgrupo d ordn 2 s: H 2 = <9 > = {0, 9 } El subgrupo d ordn 3 s: H 3 = <6 > = {0, 6, 12 } El subgrupo d ordn 6 s: H 4 = <3 > = {0, 3,6, 9,12,15 } El subgrupo d ordn 9 s: H 5 = <2 > = {0,2,4,6,8,10,12,14,16 } El subgrupo d ordn 18 s l subgrupo impropio: H 6 = Z 18 Ahora podmos armar la rd d subgrupos: H 6 18 H 4 H 5 y s isomorfa a la rd ( D 18, ) 9 6 H 3 H H

29 Ants d continuar, rpasmos y sintticmos: Dfinimos los subgrupos y vimos difrnts jmplos, tanto d grupos finitos como infinitos. El torma d condición ncsaria y suficint d subgrupos nos rsultó útil para invstigar y dmostrar si un dtrminado subconjunto s subgrupo d un grupo dado. Obsrvamos qu algunos subgrupos son cíclicos, pus s gnran a partir d un lmnto. Pro hay grupos y subgrupos qu no tinn gnradors, y por lo tanto no son cíclicos. Considramos qu si s toman todos los subgrupos d un grupo finito dado y s los ordna con la inclusión, s tin una rd d subgrupos. En particular studiamos los grupos cíclicos (Zn ; +) Analizamos las rlacions d congruncia, qu son rlacions d quivalncia compatibls con la structura d grupo o smigrupo. Nos dtuvimos n un Torma muy important qu nos dmustra qu si s tin una rlación d congruncia, la structura dl conjunto cocint ra la misma qu la dl conjunto original dado. A continuación, vamos a sguir considrando rlacions d congruncia, pro n st caso congruncia módulo un subgrupo. Concéntrat bin, ya qu s trata d concptos abstractos, aunqu si los analizas cuidadosamnt no rsultarán complicados. Congruncia módulo un subgrupo Sa (G ; ) un grupo y H un subgrupo d G. Dfinimos la siguint rlación n G: a s congrunt cha con b módulo H a b H Lo indicamos así: b (H) Análogamnt, dfinimos la rlación: a s congrunt rda con b módulo H a b H Lo indicamos así: a i b (H) Obsrvacions: Si (G ; ) s un grupo abliano, ntoncs la congruncia a drcha coincid con la congruncia a izquirda. La rlación d congruncia módulo n n Z (studiada antriormnt) s un caso particular d la congruncia módulo H, considrando H = nz = { x Z / x = nk, k Z} 28

30 Dmostración: a b (H) a b H a + (-b) H a - b = nk n a - b a b (n) La congruncia módulo H, tanto a drcha como a izquirda, s una rlación d quivalncia La clas d quivalncia d cualquir lmnto a d G s: a d = H a (n la rlación d congruncia a drcha) a i = a H (n la rlación d congruncia a izquirda) H=a H=H a Es dcir, todas las class d quivalncia producidas por la congruncia módulo H (ya sa a drcha o izquirda) tinn la misma cantidad d lmntos. S las llama class latrals o co-class a drcha y a izquirda. La rlación d congruncia módulo H (tanto a drcha como a izquirda), como hmos dmostrado qu s d quivalncia, produc una partición n l conjunto. Puds consultar la dmostración d algunas d stas obsrvacions n l libro d la cátdra, capítulo 18 Vamos algunos jmplos: Rcurdas l grupo d prmutacions S 3 = { f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6 }? Considra H = < f 3 > = { f 1, f 3 } Como hmos visto, podmos aplicar la rlación d congruncia módulo H a drcha y obtnr una partición dl conjunto: Para llo calculmos las class d quivalncia: f 1d = H f 1 = { f 1, f 3 } f 1 = { f 1 f 1, f 3 f 1 } = { f 1, f 3 } Vmos qu s l mismo subgrupo. Esto simpr va a ocurrir al calcular la clas d un lmnto dl subgrupo, pus por sr H un subgrupo, la opración s crrada n H. Es dcir, los lmntos d H simpr forman una clas d quivalncia. Ahora hallmos otra clas: f 2d = H f 2 = {f 1, f 3 } f 2 = {f 1 f 2, f 3 f 2 } = { f 2, f 4 } Nos prguntamos... Hay ncsidad d calcular alguna otra clas? Por qué? 29

31 Como ya hmos visto, n st tipo d rlación d quivalncia (la congruncia módulo un subgrupo), todas las class d quivalncia tinn la misma cantidad d lmntos; y tnindo n cunta la dfinición d partición, no quda otra posibilidad más qu las dos funcions qu nos faltan (f 5 y f 6 ) conformn una clas d quivalncia, Por lo tanto, no hay ncsidad d calcularla, pus ya sabmos quins la forman: f 5d = { f 5, f 6 } Por lo tanto la Partición d S 3 a drcha s: P d = { { f 1, f 3 }, { f 2, f 4 }, { f 5, f 6 } } Gráficamnt: S 3 H f 1 f 3 f 2 f 4 f 5 f 6 Ahora calculmos la partición a izquirda, para lo cual solamnt s ncsario calcular una clas, por jmplo la d f 2 : f 2i = f 2 H = f 2 { f 1, f 3 }= { f 2 f 1, f 2 f 3 } = { f 2, f 5 } Y hacindo l mismo razonaminto antrior, ya podmos indicar las otras class: P i = { { f 1, f 3 }, { f 2, f 5 }, { f 4, f 6 } } f 2 H f 1 f 3 f 5 S 3 f4 f 6 30

32 Mirmos los gráficos antriors y obsrvmos qu, las particions a drcha - n l primr gráfico - y a izquirda n l sgundo gráfico - son distintas. Más adlant vrmos una dfinición qu tin n cunta cuándo coincidn las particions a ambos lados. Ejmplo 2: Considrmos l grupo finito (A ; ) dado por la siguint tabla: a b c d f g h a a b c d f g h b b c d a h g F c c d a b f h g d d a b c g h f g f h a c b d f f h g c a d b g g f h d b a c h h g f b d c a y l subgrupo H = { a, } Partición a drcha: Como st subgrupo s d ordn 2, significa qu la partición tndrá cuatro class d quivalncia. Ya sabmos qu a d = { a, }, ntoncs calculamos: b d = { a, } b = { b, g } c d = { a, } c = { c, f } y ya stá, pus sguro qu la clas qu falta stá formada por { d, h } Por lo tanto: P d = { { a, }, { b, g }, { c, f }, { d, h } } Partición a izquirda: Ya sabmos qua i = { a, }, ntoncs calculamos: b i = b { a, } = { b, h } c i = c { a, } = { c, f } y ya stá, pus sguro qu la clas qu falta stá formada por { d, g } Por lo tanto: P d = { { a, }, { b, h }, { c, f }, { d, g } } En st caso tampoco son iguals ambas particions. 31

33 Índic d un subgrupo Sa (G ; ) un grupo y H un subgrupo d G. El índic d H n G s la cantidad d class d quivalncia módulo H. S indica: [ G : H ] Ejmplos: Tommos los dos jmplos antriors n los qu calculamos las particions: 1. En l grupo S 3 con H = { f 1, f 3 } s cumpl [ S 3 : H ] = 3 2. En l grupo ( A ; ) con H = { a, } s cumpl : [ A : H ] = 4 T proponmos qu pinss las siguints custions y complts n las línas puntadas. Ant cualquir duda o dificultad, consulta a tu tutor. [ G : G ] =... [ G : {} ] =... Si G y H son finitos ntoncs [ G : H ] s... Si G y H no son finitos, [ G : H ] s ncsariamnt infinito? Considra st jmplo para rspondr: G = (Z,+) H = 3Z (múltiplos d 3) [ G : H ] =... Pasmos ahora al siguint torma, qu constituy una hrraminta muy útil a la hora d buscar los subgrupos d un grupo finito ya qu nos indica l ordn qu tals subgrupos pudn tnr: Torma d Lagrang Sa (G ; ) un grupo d ordn finito n y H un subgrupo d G. Entoncs, l ordn d H divid al ordn d G. 32

34 Dmostración: Si l ordn d H s m, como todas las class d quivalncia tinn l mismo cardinal, significa qu n = k m sindo k la cantidad d class. Por lo tanto, m divid a n. D acurdo a st important torma, rspond: 1) Un grupo d 20 lmntos, pud tnr un subgrupo d ordn 6?... 2) Cuáls son los órdns posibls d los subgrupos d un grupo d 20 lmntos?... 3) Si G= p sindo p un númro primo. Cuáls son los únicos subgrupos qu tin?... Como simpr si tins dudas, consulta a tus tutors. Subgrupo Normal Sa (G ; ) un grupo con nutro y H un subgrupo d G. H s subgrupo normal las class a drcha coincidn con las class a izquirda. Ejmplos: 1) El subgrupo H = { f 1, f 3 } NO s subgrupo normal d S 3 pus cuando antriormnt calculamos las particions, vimos qu no ran iguals. 2) El subgrupo H = < f 4 > = { f 1, f 4, f 5 } s subgrupo normal d S 3 ya qu aunqu no hayamos calculado las co-class d quivalncia, como l cardinal d st subgrupo s xactamnt la mitad dl cardinal dl grupo, tndrmos dos class d quivalncia, sindo una d llas l subgrupo. Por lo tanto, la otra la forman las rstants trs funcions { f 2, f 3, f 6 }. Es dcir, qu tanto a drcha como a izquirda rsultan iguals. 3) El subgrupo H = <2 > s subgrupo normal d ( Z 12 ;+ ) ya qu la+ s conmutativa, por lo tanto, a drcha y a izquirda s obtin la misma partición. 33

35 T proponmos qu tnindo n cunta los jmplos analizados intnts compltar stas gnralizacions: 1. Si (G ; ) s un grupo abliano, ntoncs todos los subgrupos son H = {} s subgrupo normal d G? G s subgrupo normal d G? Si G= 2 H ntoncs H s subgrupo... A continuación prsntamos un torma qu nos va a garantizar la structura dl grupo cocint. Torma: Sa (G ; ) un grupo y H un subgrupo normal d G. Entoncs (G/H,) s grupo sindo a b = a b y l cardinal d G/H s [G : H] La importancia d st torma s qu da la structura dl conjunto cocint dl grupo G módulo dl subgrupo normal H y mustra qu s un subgrupo con la opración. Est grupo s llama GRUPO COCIENTE d G MÓDULO H y tin [G : H] lmntos. Para consultar la dmostración d st torma podés rcurrir al libro d la cátdra, capítulo 18. Vamos algunos jmplos: Volvindo al grupodado por la siguint tabla: a b c d f g h a a b c d f g h b b c d a h g f c c d a b f h g d d a b c g h f g f h a c b d f f h g c a d b g g f h d b a c h h g f b d c a 34

36 Considrmos l subgrupo normal H = { a, b, c, d } El conjunto cocint s: { A = { a, b, c, d}, E = {, f, g, h} } Justamnt lo qu nos garantizó l torma s qu st conjunto con la opración inducida d las class s también un grupo. Su tabla s: A E A A E E E A Y sto sucd pus, n primr lugar, la rlación d congruncia módulo l subgrupo H s compatibl con la opración dl grupo (sto significa qu l rsultado s indpndint dl rprsntant d clas. En st caso podmos vr qu cualquir lmnto d la clas d a llamada A, oprado con cualquir lmnto d la clas d llamada E, da por rsultado un lmnto d la clas d ). Si la rlación no fus compatibl, ntoncs no s podría habr armado sta tabla dl cocint. Admás, como l subgrupo H s normal, sta partición s la misma a drcha y a izquirda, por so dirctamnt lo llamamos l grupo cocint sin spcificar latralidad. Sinttizando: Dfinimos la congruncia módulo un subgrupo qu s una rlación d quivalncia qu gnraliza la congruncia módulo n qu ya habíamos studiado, dfinida n l conjunto d los númros ntros. Buscamos las class d quivalncia y analizamos algunas propidads qu rsultaron muy útils para rsolvr jrcicios. Nos dtuvimos n algunos jmplos dond pudimos vrificar las propidads nunciadas. Dfinimos índic d un subgrupo n un grupo. Dmostramos l Torma d Lagrang qu rsulta muy práctico para ncontrar los subgrupos d un grupo finito. Nos dtuvimos n la dfinición d subgrupo normal qu lugo utilizamos para construir l grupo cocint d un grupo gnrado por un subgrupo normal. El tma qu sigu s l último, dntro d la unidad d Grupos, y s rfir a funcions qu podmos dfinir ntr dos grupos dados. Nustro mayor intrés s cntra n aqullas funcions qu san biyctivas ya qu n sos casos, los grupos dados s comportarán d la misma manra. Si ya cursast Álgbra, y studiast Transformacions Linals, qu ran homomorfismos ntr spacios vctorials, muchas dfinicions y propidads qu vrmos a continuación t van a rsultar conocidas, ya qu s trata d lo mismo, pro ahora ntr distintos grupos. 35

37 Tngamos n cunta qu l conjunto d los vctors d un spacio vctorial, con la suma d vctors, s un grupo abliano, o sa qu las propidads qu stamos studiando ahora no pudn sr distintas, sólo s trata d qu cambiamos d conjunto. Homomorfismos d Grupos San (G 1 ; 1 ) y (G 2 ; 2 ) dos grupos con nutros 1 y 2 rspctivamnt f: G 1 G 2 s homomorfismo f s función y a, b G 1 : f( a 1 b) = f(a) 2 f(b) Vamos algunos jmplos: 1) Sa la función f: (Z ;+) (3Z ;+) / f(x) = 3x Vamos a dmostrar qu f s homomorfismo d grupos: a, b Z: f(a + b) = 3 (a+b) = 3 a + 3 b = f(a) + f(b) Con lo cual quda dmostrado. 2) Sa la función g: (R + ; ) (R ;+) / g(x) = log x Vamos a dmostrar qu g s homomorfismo d grupos: a, b R + : g(a b) = log (a b) = log(a) + log(b) = g(a) + g(b) Con lo cual quda dmostrado. A continuación, nunciarmos algunas propidads qu s cumpln n todo homomorfismo d grupos: Sa f : (G 1 ; 1 ) (G 2 ; 2 ) un homomorfismo d grupos. Entoncs: 1) f( 1 ) = 2 Por sr 1 l lmnto nutro d G 1, s cumpl: x G 1 : x 1 1 = x 1 1 x = x Aplicamos la función n ambos mimbros: f( x 1 1 ) = f(x) f( 1 1 x) = f(x) 36

38 Por sr f un homomorfismo, n los primros mimbros: f(x) 2 f( 1 ) = f(x) f( 1 ) 2 f(x) = f(x) Por sr G 2 también un grupo, cada lmnto tin simétrico, n particular l simétrico d f(x) srá [ f(x) ]. Lo opramos a izquirda n la primra igualdad: [ f(x) ] 2 f(x) 2 f( 1 ) = [ f(x) ] 2 f(x) Asociando: { [ f(x) ] 2 f(x) } 2 f( 1 ) = [ f(x) ] 2 f(x) Por dfinición d simétrico: 2 2 f( 1 ) = 2 Y por sr 2 lmnto nutro: f( 1 ) = 2 Con lo qu qudó dmostrado. 2) a G 1 : f(a ) = [ f(a) ] Por sr G 1 un grupo sabmos qu: a G 1 : a G 1 : a 1 a = 1 Aplicamos la función f n ambos mimbros: f( a 1 a ) = f( 1 ) Por sr f un homomorfismo, n l primr mimbro; y por la propidad antrior n l sgundo: f(a) 2 f(a ) = 2 Por sr G 2 también un grupo, cada lmnto tin simétrico, n particular l simétrico d f(a) srá [ f(a) ]. Lo opramos a izquirda: [ f(a) ] 2 f(a) 2 f(a ) = [ f(a) ] 2 2 Asociamos y utilizamos la propidad d los simétricos: 2 2 f(a ) = [ f(a) ] 2 2 Por propidad dl lmnto nutro: f(a ) = [ f(a) ] Con lo qu qudó dmostrado. Clasificación d homomorfismos: Sa f : G 1 G 2 un homomorfismo d grupos: Si f s inyctiva, f s llama monomorfismo Si f s sobryctiva, f s llama rfismo Si f s biyctiva, f s llama is o 37

39 Si G 1 = G 2, f s llama ndomorfismo Si G 1 = G 2 y f s biyctiva, f s llama automorfismo Ejmplos: 1) Sa ( G ; ) un grupo abliano. Dmostrarmos qu la función f: G G / f(x) = x s un isomorfismo. Primro hay qu avriguar qu sa homomorfismo: a, b G: f(a b) = (a b) = b a pro por sr G abliano: = a b = f(a) f(b) Ahora vamos a clasificarlo: La función f s inyctiva, ya qu a, b G : f(a) = f(b) a = b (a ) = (b ) a = b También la función f s sobryctiva, pus: b G : a G : b = f(a) para sto alcanza con tomar a = b Por lo tanto, como f s biyctiva, rsulta sr un ISOMORFISMO. 2) La función g: ( Z ; + ) ( Z 5 ;+ ) s un EPIMORFISMO. Primro avriguamos si s homomorfismo: a, b Z: g (a + b) = a b = a b = g(a) g(b) No s inyctiva, pus xistn infinitos ntros qu prtncn a una misma clas. Pro sí s sobryctiva, ya qu las class d quivalncia no son vacías. Núclo d un homomorfismo Sa f: G 1 G 2 un homomorfismo d grupos. S dfin: Nu(f) = { x G 1 / f(x) = 2 } G 1 G 2 Nu(f) 2 38

40 Es dcir l núclo stá formado por todos aqullos lmntos dl primr grupo cuya imagn s l lmnto nutro dl sgundo grupo. Ejmplo: Si considramos la función dl jmplo antrior g: ( Z ; + ) ( Z 5 ;+ ) El núclo s l conjunto formado por todos los múltiplos d 5, ya qu todos llos tinn como imagn a la clas dl cro, qu s l nutro d Z 5. Propidad dl Núclo: Nu(f) s subgrupo d G 1 T proponmos qu intnts dmostrarlo. Para llo, rcurda las condicions ncsarias y suficints d subgrupos. Si ncsitas ayuda puds consultar l capítulo 18 dl libro d la cátdra, dond s prsnta sta dmostración, o bin consultar a tu tutor. Otra propidad rlativa al núclo d un homomorfismo, qu rsulta bastant útil para clasificarlo s la siguint: Propidad: Sa f: G 1 G 2 un homomorfismo d grupos. Entoncs s cumpl: Nu(f) = { 1 } f s inyctiva Como la propidad s un bicondicional, dmostrarmos cada part por sparado: 1) Nu(f) = { 1 } f s inyctiva Dm) a, b G 1 : f(a) = f(b) f(a) 2 f(b) = f(b) 2 f(b) f(a) 2 f(b ) = 2 f(a 1 b ) = 2 Pro por hipótsis, l único lmnto dl núclo s 1, o sa l único cuya imagn s 2, por lo tanto db sr: a 1 b = 1 a 1 b 1 b = 1 1 b a 1 1 = b a = b Con lo cual quda dmostrado qu f s INYECTIVA 2) f s inyctiva Nu(f) = { 1 } Por método dl absurdo. Supongamos qu n l núclo, admás d 1 xistira otro lmnto x, ntoncs f(x) = 2. Pro como f s inyctiva, si f( 1 ) = 2 f(x) = 2, dbn sr iguals 1 = x Con lo cual quda dmostrado. 39

41 Imagn d un homomorfismo Sa f: G 1 G 2 un homomorfismo. S dfin: Im(f) = { y G 2 / x G 1 f(x) = y } Obsrva qu s la misma dfinición d Imagn d una función cualquira. Propidad d la Imagn: Im(f) s subgrupo d G 2 Como n l caso antrior, t proponmos qu intnts dmostrarlo. También para sta propidad rcurda las condicions ncsarias y suficints d subgrupos. Si ncsitas ayuda puds consultar l capítulo 18 dl libro d la cátdra, dond s prsnta sta dmostración, o bin consultar a tu tutor. Primagn o Imagn Rcíproca Sa f : G 1 G 2 un homomorfismo y sa B G 2. S dfin: f -1 (B) = { x G 1 / f(x) B } G 1 G 2 f -1 (B) B Es dcir son todos los lmntos d G 1 qu tinn como imagn algún lmnto d B. Para pnsar... D acurdo a sta última dfinición, y tnindo n cunta todo lo visto antriormnt puds dcir qué nombr rcib la primagn d B = { 2 }? Si quirs asgurart, consulta a tu tutor. 40

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Calcular los dominios d dfinición d las siguints funcions: a) f( ) 6 b) f( ) c) f( ) ln d) f( ) arctg 3 4 ) f( ) f) f( ) 5 g) f( ) sn 9 h) 4 4

Más detalles

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. FUNCIÓN EXPONENCIAL n Hmos stado manjando n st trabajo prsions dl tipo n dond s una variabl llamada bas n una constant llamada ponnt, si intrcambiamos d lugar

Más detalles

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2 Matmáticas Computación COMPUTACIÓN Práctica nº NÚMEROS REALES Eistn algunos númros irracionals prdfinidos n Maima como son l númro π l númro qu s corrspondn con los símbolos %pi % rspctivamnt. Otros númros

Más detalles

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y

Más detalles

Funciones de Variable Compleja

Funciones de Variable Compleja Funcions d Variabl Complja Modlos d Sistmas II Smstr 2008 Ing. Gabrila Ortiz L 1 Función Concpto Matmático Considrando los conjuntos X Y una función comprnd una rlación o rgla qu asocia a cada lmnto x

Más detalles

LIMITES DE FUNCIONES EN 1D

LIMITES DE FUNCIONES EN 1D LIMITES DE FUNCIONES EN D Límits d funcions n D Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.du), José Francisco Martínz Boscá (jmartinzbos@uoc.du) ESQUEMA DE CONTENIDOS Dfinición Límits latrals LÍMITE DE

Más detalles

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN ANÁLISIS DL AMPLIFIADO N MISO OMÚN Jsús Pizarro Pláz. INTODUIÓN... 2. ANÁLISIS N ONTINUA... 2 3. TA D AGA N ALTNA... 3 4. IUITO QUIALNT D ALTNA... 4 5. FUNIONAMINTO... 7 NOTAS... 8. INTODUIÓN l amplificador

Más detalles

Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES 5. CONDICIONES DE FRONTERA: Dbido a qu muchos problmas

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezb@uoc.edu) NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS. Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezb@uoc.edu) NÚMEROS COMPLEJOS Númros complos NÚMEROS COMPLEJOS Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.du), José Francisco Martín Boscá (martinb@uoc.du) MAPA CONCEPTUAL Dfinición Fórmula d Cardano NÚMEROS COMPLEJOS Rsolución d cuacions

Más detalles

REPRESENTACION GRAFICA.

REPRESENTACION GRAFICA. REPRESENTACION GRAFICA. Calcular puntos notabls así como intrvalos d monotonía y curvatura d: ² - = 0 ; ² = ; = son los valors d qu anulan l dnominador D = R- y () = 0 ; - 4 = 0 ; = 0 posibl ma, min Monotonia:

Más detalles

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c)

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c) TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Torma d Roll Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), y si f (, ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu Intrprtación gométrica: ist un punto al mnos d s intrvalo, n l qu

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES.

LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Sa y una unción ral d variabl ral. D una manra intuitiva y oco rcisa, dirmos qu l it d s L, cuando s aroima a, si ocurr qu cuanto más róimo sté

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN El almán Gottfrid Libniz (66-76), quin, junto con su antagonista l inglés Isaac Nwton (6-77), fu l crador dl cálculo infinitsimal. MATEMÁTICAS II

Más detalles

APUNTES DE CLASE MACROECONOMÍA CAPÍTULO Nº 8 LA RENTABILIDAD EN MONEDA NACIONAL DE UNA INVERSIÓN EN MONEDA EXTRANJERA AGOSTO 2008 LIMA PERÚ

APUNTES DE CLASE MACROECONOMÍA CAPÍTULO Nº 8 LA RENTABILIDAD EN MONEDA NACIONAL DE UNA INVERSIÓN EN MONEDA EXTRANJERA AGOSTO 2008 LIMA PERÚ Capítulo Nº 8: La rntabilidad n monda nacional d una invrsión n monda xtranjra Marco Antonio Plaza Vidaurr APUNTES DE CLASE MACROECONOMÍA CAPÍTULO Nº 8 LA RENTABILIDAD EN MONEDA NACIONAL DE UNA INVERSIÓN

Más detalles

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y

Más detalles

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES INSTITUTO TENOLÓGIO DE OSTA RIA ESUELA DE INGENIERÍA ELETRÓNIA URSO: MODELOS DE SISTEMAS ÁLULO DE RESIDUOS Y SUS APLIAIONES ING. FAUSTINO MONTES DE OA FEBRERO DE álculo d Rsiduos y sus Aplicacions INDIE

Más detalles

Ecuación para cirquitones en líneas de transmisión con carga eléctrica discreta. K. J. Candía

Ecuación para cirquitones en líneas de transmisión con carga eléctrica discreta. K. J. Candía Ecuación para cirquitons n ínas d transmisión con carga éctrica discrta. K. J. Candía Dpartamnto d Ectrónica, Univrsidad d Tarapacá, Arica, Chi Emai: kchandia@uta.c Rsumn En sta Chara s mustra un mcanismo

Más detalles

RADIO CRÍTICO DE AISLACIÓN

RADIO CRÍTICO DE AISLACIÓN DIO CÍTICO DE ISCIÓN En sta clas s studiará la transfrncia d calor n una tubría d radio xtrno (0,0 ft), rcubirta con un aislant d spsor (0,039 ft), qu transporta un vapor saturado a (80 F). El sistma cañría

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES ) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 007) Sa f: R R la función dfinida por f() =. Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica

Más detalles

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden APITULO 5. EUAIONES DIFERENIALES DE ORDEN N 5.. Introducción Una cuación difrncial d sgundo ordn s una prsión matmática n la qu s rlaciona una función con sus drivadas primra sgunda. Es dcir, una prsión

Más detalles

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Marita d Franco A Francisco José, Shrl, Marión, Paola, Constanc, Luis Migul Migul. AGRADECIMIENTOS Al Ing. Pdro Rangl por su comprnsión,

Más detalles

Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas

Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) Ejrcicios rsultos Distribucions discrtas y continuas ) La rsistncia a la comprsión d una mustra d cmnto s una variabl alatoria qu s

Más detalles

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA AIAIÓN DE IMPEDANIAS ON A FEUENIA EN IUITOS DE OIENTE ATENA Fundamnto as impdancias d condnsadors bobinas varían con la frcuncia n los circuitos d corrint altrna. onsidrarmos por sparado circuitos simpls.

Más detalles

LA ORGANIZACIÓN DEL DEPARTAMENTO FINANCIERO

LA ORGANIZACIÓN DEL DEPARTAMENTO FINANCIERO LA ORGANIZACIÓN DEL DEPARTAMENTO FINANCIERO 1. INTRODUCCIÓN No importa l tamaño d la mprsa n la qu dsarrollmos nustra labor profsional. No importa l númro d prsonas qu compongan l dpartamnto al qu nos

Más detalles

Tema 3 La economía de la información

Tema 3 La economía de la información jrcicios rsultos d Microconomía. quilibrio gnral y conomía d la información rnando Prra Tallo Olga María odríguz odríguz Tma La conomía d la información http://bit.ly/8l8u jrcicio : na mprsa d frtilizants

Más detalles

El Verdadero Cálculo de la Devaluación

El Verdadero Cálculo de la Devaluación El vrdadro alulo d la Dvaluaión El Vrdadro Cálulo d la Dvaluaión Riardo Botro G. rbgstoks@hotmail.om Casi a diario nontramos n la prnsa onómia inormaión omo sta El día d ayr la tasa rprsntativa dl mrado

Más detalles

Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Solucions a los jrcicios propustos Unidad. El conjunto d los númros rals Matmáticas aplicadas a las Cincias Socials I NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES. Dtrmina si los siguints númros son o no

Más detalles

TERMODINAMICA 1 1 Ley de la Termodinámica aplicada a Volumenes de Control

TERMODINAMICA 1 1 Ley de la Termodinámica aplicada a Volumenes de Control TERMODINAMICA 1 1 Ly d la Trmodinámica aplicada a Volumns d Control Prof. Carlos G. Villamar Linars Ingniro Mcánico MSc. Matmáticas Aplicada a la Ingniría CONTENIDO PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA PARA

Más detalles

Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm

Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm Problmas sultos.0 Un satélit dscrib una órbita circular n torno a la Tirra. Si s cambia d rpnt la dircción d su vlocidad, pro no su módulo, studiar l cambio n su órbita y n su príodo. Al cambiar sólo la

Más detalles

Ofertas y Contratos Agiles

Ofertas y Contratos Agiles Ofrtas y Contratos Agils algunas idas xtraídas dl libro Obra bajo licncia Crativ Commons los pilar s d transp arncia, ins adaptación pc, junto con l nfoqu d ción y continua q mjora u forman part d lo Agils,

Más detalles

Enfrentando Comportamientos Difíciles Usando el Sistema de Guía

Enfrentando Comportamientos Difíciles Usando el Sistema de Guía Enfrntando Comportamintos Difícils Usando l Sistma d Guía R s o u r c & R f r r a l H a n d o u t Agrsión Obsrvación - Prguntas Trata la niña d hacr contacto d una manra inapropiada? Está tratando d sr

Más detalles

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7 VERSIÓN:.0 FECHA: 19-06-01 I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO PÁGINA: 1 d 9 Nombrs y Apllidos dl Estudiant: Docnt: ALEXANDRA URIBE Ára: Matmáticas Grado: UNDÉCIMO Priodo: TERCERO GUIA 7 Duración: 0 horas Asignatura:

Más detalles

RESUMEN MOTORES CORRIENTE CONTINUA

RESUMEN MOTORES CORRIENTE CONTINUA RESMEN MOTORES CORRENTE CONTNA Los motors léctricos convirtn la nrgía léctrica n nrgía mcánica. Así, la corrint léctrica tomada d la rd rcorr las bobinas o dvanados dl motor, n cuyo intrior s cran campos

Más detalles

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler.

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. 5. Convgncia d intgals impopias. Las funcions Γ y Β d Eul. La foma haitual d calcula una intgal impopia, po jmplo dl intgando, aplica

Más detalles

Mercados Financieros y Expectativas Profesor: Carlos R. Pitta CAPÍTULO 8. Macroeconomía General

Mercados Financieros y Expectativas Profesor: Carlos R. Pitta CAPÍTULO 8. Macroeconomía General Univrsidad Austral d Chil Escula d Ingniría Comrcial Macroconomía Gnral CAPÍTULO 8 Mrcados Financiros y Expctativas Profsor: Carlos R. Pitta Macroconomía Gnral, Prof. Carlos R. Pitta, Univrsidad Austral

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso 010-011 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso 010-011 19-XI-010 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES

Más detalles

ANÁLISIS DE LOS REGISTROS DE OBSERVACIÓN. 1. MOAL. I. ESCUELA GRANDE.

ANÁLISIS DE LOS REGISTROS DE OBSERVACIÓN. 1. MOAL. I. ESCUELA GRANDE. ANÁLISIS DE LOS REGISTROS DE OBSERVACIÓN. 1. MOAL. I. ESCUELA GRANDE. El mastro impart la matria d Física y al iniciar un tma rscata los sabrs prvios d los alumnos sobr l tma, como s mustra a continuación:

Más detalles

CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN de TRANSFORMADORES

CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN de TRANSFORMADORES CARACTERÍSTCAS EXTERNAS y REGLACÓN d TRANSFORMADORES Norbrto A. Lmozy 1 CARACTERÍSTCAS EXTERNAS S dnomina variabl ntr a una magnitud qu stá dtrminada ntr dos puntos, tal como una difrncia d potncial o

Más detalles

Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b

Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b Matmáticas Emprsarials I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES Drivabilidad ( ) b si S09. La función f ( ) s continua y drivabl n = : a( ) si a) Si a = y b = b) Si a = y b = 5 c) Nunca pud sr

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DEIVADA Ecucación d la rcta tangnt Ejrcicio nº.- Halla las rctas tangnts a la circunrncia: y y 6 n Ejrcicio nº.- Dada la unción abscisa., scrib la cuación d su rcta tangnt n l punto

Más detalles

Valledupar como vamos: Demografía, Pobreza y Pobreza Extrema y empleo.

Valledupar como vamos: Demografía, Pobreza y Pobreza Extrema y empleo. Valldupar como vamos: Dmografía, Pobrza y Pobrza Extrma y mplo. Tradicionalmnt l programa Valldupar Cómo Vamos, lugo d prsntar la Encusta d Prcpción Ciudadana (EPC), raliza la ntrga d Indici d Calidad

Más detalles

OPCIÓN SIMPLIFICADA OPCIÓN SIMPLIFICADA ZONA CLIMÁTICA ZONA CLIMÁTICA

OPCIÓN SIMPLIFICADA OPCIÓN SIMPLIFICADA ZONA CLIMÁTICA ZONA CLIMÁTICA CÓDIGO TÉCNICO DE LA EDIFICACIÓN ACONDICIONAMIENTO TÉRMICO E HIGROMÉTRICO: CÁLCULO SEGÚN CTE El acondicionaminto térmico higrométrico s rcog n l Documnto Básico HE Ahorro d Enrgía, cuyo índic s: HE 1 Limitación

Más detalles

DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA

DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA OBJETIVOS Invstigación d la rgión visibl dl spctro dl átomo d Hidrógno y dtrminación d la constant d Ridbrg. Calibración d la scala dl spctrómtro d prisma. Dtrminación

Más detalles

Módulo 2 Herramientas para la búsqueda virtual en Internet. Internet. Internet?, qué es?, para qué sirve? y cómo funciona?

Módulo 2 Herramientas para la búsqueda virtual en Internet. Internet. Internet?, qué es?, para qué sirve? y cómo funciona? Módulo 2 Hrramintas para la búsquda virtual n Intrnt Intrnt Intrnt?, qué s?, para qué sirv? y cómo funciona? Algunas prsonas dfinn Intrnt como "La Rd d Rds", y otras como "La Autopista d la Información".

Más detalles

Fernando Cervantes Leyva

Fernando Cervantes Leyva INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL Mastría n Cincias con Espcialidad n Sistmas Digitals Adaptación d malla n l análisis d disprsión n guías d onda

Más detalles

XVI.- COMBUSTIÓN pfernandezdiez.es

XVI.- COMBUSTIÓN pfernandezdiez.es XVI.- COMBUSTIÓN XVI.1.- INTRODUCCIÓN S ntind por combustión a toda racción química qu va acompañada d gran dsprndiminto d calor; pud sr sumamnt lnta, d tal manra qu l fnómno no vaya acompañado d una lvación

Más detalles

PRÁCTICA 8 ESTUDIO DE ENGRANAJES 3º INGENIERÍA INDUSTRIAL

PRÁCTICA 8 ESTUDIO DE ENGRANAJES 3º INGENIERÍA INDUSTRIAL PRÁCTICA 8 ESTUDIO DE ENGRANAJES 3º INGENIERÍA INDUSTRIAL 1.- INTRODUCCIÓN. La prsnt práctica tin por objto introduir al alumno n l cálculo d trns d ngranajs, tanto simpls d js parallos, compustos y trns

Más detalles

r t a r r e e d a l r o m e n i t

r t a r r e e d a l r o m e n i t a r t x d s c o la r para l d s a r r o l lo da aritmética mntal i iv t c a m n t a l www.alohaspain.com índic Si hacs plans para un año, simbra arroz. Si los hacs para dos lustros, planta árbols. Si los

Más detalles

FÍSICA CUÁNTICA 14.1. LOS ORÍGENES DE LA FÍSICA CUÁNTICA

FÍSICA CUÁNTICA 14.1. LOS ORÍGENES DE LA FÍSICA CUÁNTICA 4 FÍSICA CUÁNTICA 4.. LOS ORÍGENES DE LA FÍSICA CUÁNTICA. Calcula la longitud d onda qu corrsond a los icos dl sctro d misión d un curo ngro a las siguints tmraturas: a) 300 K (tmratura ambint). b) 500

Más detalles

1 TEODORO AGUSTíN LÓPEZ y LÓPEZ

1 TEODORO AGUSTíN LÓPEZ y LÓPEZ -----------.------------ CALENDARIOS Y FESTIVIDADES 1 TEODORO AGUSTíN LÓPEZ y LÓPEZ Ants d qu l concpto «timpo» fus objto d studio n la historia dl pnsaminto grigo, surgn sistmas difrnts d mdir l timpo

Más detalles

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una unción ral d variabl ral s una aplicación d un subconjunto D d los númros rals n un subconjunto I d los númros

Más detalles

EMPRÉSTITOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ECONÓMICA, FINANCIERA Y ACTUARIAL. División de Ciencias Jurídicas, Económicas y Sociales

EMPRÉSTITOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ECONÓMICA, FINANCIERA Y ACTUARIAL. División de Ciencias Jurídicas, Económicas y Sociales MPRÉSTITOS Carn Badía, Hortènsia Fontanals, Mrch Galisto, José Mª Lcina, Mª Angls Pons, Trsa Prixns, Dídac Raírz, F. Javir Sarrasí y Anna Mª Sucarrats DPARTAMNTO D MATMÁTICA CONÓMICA, FINANCIRA Y ACTUARIAL

Más detalles

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones Ejrcicios rsultos d Introducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 3 La lasticidad

Más detalles

Tema 3 (cont.). Birrefringencia.

Tema 3 (cont.). Birrefringencia. Tma 3 (cont.). Birrfringncia. 3.8 Anisotropía. Dobl rfracción. 3.9 Modlo d Lorntz para la birrfringncia 3.10 Polarizadors dicroicos. Ly d Malus 3.11 Propagación a través d una lámina rtardadora 3.1 Aplicacions

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSI FACULTAD DE ECONOMÍA. Caracterización del valor de Solidaridad para juegos con externalidades

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSI FACULTAD DE ECONOMÍA. Caracterización del valor de Solidaridad para juegos con externalidades UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSI FACULTAD DE ECONOMÍA Caractrización dl valor d Solidaridad para jugos con xtrnalidads Junio 202 Caractrización dl valor d Solidaridad para jugos con xtrnalidads

Más detalles

CENTRO UNIVERSITARIO DEL FUTBOL Y CIENCIAS DEL DEPORTE, S. C. PROCEDIMIENTO PARA LA ENTREGA DE DOCUMENTOS A IHEMSYS Vigente a partir de:

CENTRO UNIVERSITARIO DEL FUTBOL Y CIENCIAS DEL DEPORTE, S. C. PROCEDIMIENTO PARA LA ENTREGA DE DOCUMENTOS A IHEMSYS Vigente a partir de: Vignt a partir d: Clav: 15 d Julio d 2005 Vrsión: Página 1 d 12 1. Objtivo Asgurar qu la Entrga d Documntos al Instituto Hidalguns d Educación Mdia Suprior y Suprior (IHEMSYS) por part d la Coordinación

Más detalles

Tema 2 La oferta, la demanda y el mercado

Tema 2 La oferta, la demanda y el mercado Ejrcicios rsultos d ntroducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 2 La ofrta, la

Más detalles

Energía. Reactivos. Productos. Coordenada de reacción

Energía. Reactivos. Productos. Coordenada de reacción CINÉTICA QUÍMICA 1 - Razon: a) Si pud dducirs, a partir d las figuras corrspondints, si las raccions rprsntadas n (I) y (II) son d igual vlocidad y si, prvisiblmnt, srán spontánas. b) En la figura (III)

Más detalles

núm. 76 miércoles, 22 de abril de 2015 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL AYUNTAMIENTO DE BURGOS

núm. 76 miércoles, 22 de abril de 2015 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL AYUNTAMIENTO DE BURGOS III. ADMINISTRACIÓN LOCAL AYUNTAMIENTO DE BURGOS C.V.E.: BOPBUR-2015-03235 465,00 GERENCIA MUNICIPAL DE SERVICIOS SOCIALES, JUVENTUD E IGUALDAD DE OPORTUNIDADES Concjalía d Juvntud Mdiant rsolución d la

Más detalles

ENTRENADORES PERSONALES Y FISIOTERAPEUTAS FISIOTERAPIA PARA HOTELES

ENTRENADORES PERSONALES Y FISIOTERAPEUTAS FISIOTERAPIA PARA HOTELES ENTRENADORES PERSONALES Y FISIOTERAPEUTAS FISIOTERAPIA PARA HOTELES www.loutrainrs.com/fisiotrapia 615 964 258 PRESENTACIÓN Lou Trainrs s una mprsa d Entrnaminto Prsonal, Fisiotrapia y Gstión Dportiva

Más detalles

INTERCAMBIADORES TUBO Y CARCAZA: ANÁLISIS TÉRMICO

INTERCAMBIADORES TUBO Y CARCAZA: ANÁLISIS TÉRMICO OPERCIONES UNIRIS PROF PEDRO VRGS UNEFM DPO ENERGÉIC Disponibl n: wwwopracionswordprsscom INERCMBIDORES UBO Y CRCZ: NÁLISIS ÉRMICO NÁLISIS ÉRMICO, CONSIDERCIONES GENERLES nts d scribir las cuacions qu

Más detalles

Competencia en cultura humanística y artística

Competencia en cultura humanística y artística Comptncia n cultura humanística y artística d r r i r r g o g zk hz k bi ar r n o u h b t zk n h a x il g au r o h n 1 2 3 t z h n z ba t 5 1 l h 8 8 13 z u 21a 34 5 z 13 h k n tz h k k r 55 d i ri g o

Más detalles

El Riesgo de Interés

El Riesgo de Interés Juan Mascarñas Univrsidad Complutns d Madrid Vrsión inicial: mayo 4 - Última vrsión: nro 8 - El risgo d intrés, - La duración modificada como mdida dl risgo d intrés, 4 - El risgo d rinvrsión, . EL RIESGO

Más detalles

Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones.

Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones. 1 Tema 1.-. Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange. Operaciones. 1.1. Primeras definiciones Definición 1.1.1. Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A. En un lenguaje más coloquial

Más detalles

Filtrado en el Dominio de la Frecuencia

Filtrado en el Dominio de la Frecuencia Unirsidad acional d Qilms Ing n Atomatización Control Indstrial Cátdra: Visión Artificial Octbr d 5 Filtrado n l Dominio d la Frcncia En l apnt d Filtrado Espacial s prsntaron las difrnts técnicas sadas

Más detalles

Para que exista límite de una f(x) en un punto han de coincidir los límites laterales en dicho punto.

Para que exista límite de una f(x) en un punto han de coincidir los límites laterales en dicho punto. REPASO LÍMITES º BACH. RECORDAR: Para qu ista límit d una f() n un punto han d coincidir los límits latrals n dicho punto. A fctos dl f() no tnmos n cunta lo qu ocurr actamnt n a, sino n las a proimidads.

Más detalles

Álgebra II. Tijani Pakhrou

Álgebra II. Tijani Pakhrou Álgebra II Tijani Pakhrou Índice general 1. Teoría de conjuntos 1 1.1. Conjuntos................................. 1 1.2. Productos cartesianos........................... 6 1.3. Relaciones de equivalencia........................

Más detalles

Anexo V "Acuerdos de Sistemas para la Facturación' del Convenio poro la Comercialización o Reventa de Servicios

Anexo V Acuerdos de Sistemas para la Facturación' del Convenio poro la Comercialización o Reventa de Servicios Anxo V "Acurdos d Sistmas para la Facturación' dl Convnio poro la Comrcialización o ANEXO V ACUERDOS DE SISTEMAS PARA LA FACTURACIÓN QUE SE ADJUNTA AL CONVENIO PARA LA COMERCIALIZACIÓN O REVENTA DE SERVICIOS

Más detalles

Luis G. Cabral Rosetti. El Enigma del Radio de Carga del Neutrino p.1

Luis G. Cabral Rosetti. El Enigma del Radio de Carga del Neutrino p.1 E Enigma d Radio d Carga d Nutrino Luis G. Cabra Rostti Dpartamnto d Física d Atas Enrgías, ICNUNAM. E Enigma d Radio d Carga d Nutrino p.1 Pan d a Chara: 1. Introducción 2. Factors d forma d Nutrino 3.

Más detalles

Núm. 36 Martes, 22 de febrero de 2011. III. ADMINISTRACIÓN local. DIpuTACIÓN provincial De burgos. secretaría general

Núm. 36 Martes, 22 de febrero de 2011. III. ADMINISTRACIÓN local. DIpuTACIÓN provincial De burgos. secretaría general III. ADMINISTRACIÓN local DIpuTACIÓN provincial D burgos scrtaría gnral cv: BOPBUR-2011-01058 El Plno d la Excma. Diputación Provincial, n ssión ordinaria clbrada l día 16 d novimbr d 2010, adoptó ntr

Más detalles

9.1 Primeras definiciones

9.1 Primeras definiciones Tema 9- Grupos Subgrupos Teorema de Lagrange Operaciones 91 Primeras definiciones Definición 911 Una operación binaria en un conjunto A es una aplicación α : A A A En un lenguaje más coloquial una operación

Más detalles

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL 74 Cuando un problma gométrico stá nunciado n términos d la rcta

Más detalles

COPY. Digital Photo Professional Ver. 3.9 INSTRUCCIONES. Software de procesado, visualización y edición de imágenes RAW

COPY. Digital Photo Professional Ver. 3.9 INSTRUCCIONES. Software de procesado, visualización y edición de imágenes RAW Softwar d procsado, visualización y dición d RAW Digital Photo Profssional Vr..9 INSTRUCCIONES Contnido d stas instruccions DPP s utiliza para Digital Photo Profssional. En stas instruccions, las vntanas

Más detalles

Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen.

Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen. Conjuntos, Relaciones y Grupos. Problemas de examen. Mayo 2006 1. La función f es definida por (a) Halle el recorrido exacto, A, de f. f : R R donde f(x) = e senx 1. (b) (i) Explique por qué f no es inyectiva.

Más detalles

CUANTO TARDA UNA PELOTA EN DEJAR DE BOTAR? Guillermo Becerra Córdova. Área de Física, Dpto. Preparatoria Agrícola, Universidad Autónoma Chapingo,

CUANTO TARDA UNA PELOTA EN DEJAR DE BOTAR? Guillermo Becerra Córdova. Área de Física, Dpto. Preparatoria Agrícola, Universidad Autónoma Chapingo, CUANTO TARDA UNA PELOTA EN DEJAR DE BOTAR? Guillrmo Bcrra Córdova Ára d Física, Dpto. Prparatoria Agrícola, Univrsidad Autónoma Chapingo, Chapingo, Txcoco, Estado d México, México, E-mail: gllrmbcrra@yahoo.com

Más detalles

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos:

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos: Univrsidad d Vigo Dpartamnto d Matmática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria d Fbrro 6 d Enro d 007 Nombr y Apllidos: DNI: (4.5 p.) ) S considra la función f(x) = x ln(x). (0.5 p.) (a) Calcular

Más detalles

Asamblea Nacional Secretaría General TRÁMITE LEGISLATIVO 2014-2015

Asamblea Nacional Secretaría General TRÁMITE LEGISLATIVO 2014-2015 Asambla Nacional Scrtaría Gnral TRÁMITE LEGISLATIVO 2014-2015 ANTEPROYECTO DE LEY: 106 PROYECTO DE LEY: 171 LEY: GACETA OFICIAL: TÍTULO: QUE ESTABLECE EL RECICLAJE DE PAPEL, LATAS DE ALUMINIO Y BOTELLAS

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011 IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 0-0 MATEMÁTICAS II Opción A Ejrcicio opción A, modlo Sptimbr 0 k si

Más detalles

núm. 56 lunes, 23 de marzo de 2015 V. OTROS ANUNCIOS OFICIALES SODEBUR SOCIEDAD PARA EL DESARROLLO DE LA PROVINCIA DE BURGOS

núm. 56 lunes, 23 de marzo de 2015 V. OTROS ANUNCIOS OFICIALES SODEBUR SOCIEDAD PARA EL DESARROLLO DE LA PROVINCIA DE BURGOS núm. 56 luns, 23 d marzo d 2015 V. OTROS ANUNCIOS OFICIALES SODEBUR C.V.E.: BOPBUR-2015-01880 SOCIEDAD PARA EL DESARROLLO DE LA PROVINCIA DE BURGOS Convocatoria pública d la Diputación Provincial d Burgos

Más detalles

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico.

TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. Álgebra y Estructuras Discretas Grupo B de la Ingeniería Técnica de Sistemas TEMA 2: Grupos. El grupo Simétrico. 1. Definición de Grupo. Propiedades Básicas. Definición 1. Dado un conjunto no vacío G,

Más detalles

Digital Photo Professional Ver. 3.5 Instrucciones

Digital Photo Professional Ver. 3.5 Instrucciones ESPAÑOL Softwar d procsado, visualización y dición d RAW Digital Photo Profssional Vr.. Instruccions Contnido d stas instruccions DPP s utiliza para Digital Photo Profssional. En stas instruccions, las

Más detalles

Inform d Gass Efcto Invrnadro Página 1 d 9 1. INDICE 1. INDICE. 3 3. CUANTIFICACIÓN DE EMISIONES DE GEIS 3 4. LÍMITES OPERATIVOS Y EXCLUSIONES 5 5. AÑO BASE 6 6. METODOLOGÍA DE CUANTIFICACIÓN 6 7. INCERTIDUMBRE

Más detalles

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8 Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 7 TEMA 8 Drivadas Tormas Rgla d L Hôpital Problmas Rsultos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula

Más detalles

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS 14-1 Los tipos d intrés nominals y rals Slid 14.2 Los tipos d intrés xprsados n unidads d la monda nacional s dnominan tipos d intrés nominals. Los

Más detalles

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación LÍMITES Cálculo y rprsntación...... 7. 8. - + + - - + + - + - ( + ) - + + - - + + 9. + - +. + - + - 9. + -. + + + - +. + + +. + + + -. +. + - ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y rprsntación. y = - +.

Más detalles

MANUAL DE BUENAS PRÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DE OBJETOS DE APRENDIZAJE VERSIÓN 1

MANUAL DE BUENAS PRÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DE OBJETOS DE APRENDIZAJE VERSIÓN 1 MANUAL DE BUENAS PRÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DE OBJETOS DE APRENDIZAJE VERSIÓN 1 Chil, agosto d 2005 El prsnt manual rprsnta la visión dl quipo d profsionals prtncints al Proycto FONDEF Aprndindo con

Más detalles

Asamblea Nacional Secretaría General TRÁMITE LEGISLATIVO 2014-2015

Asamblea Nacional Secretaría General TRÁMITE LEGISLATIVO 2014-2015 Asambla Nacional Scrtaría Gnral TRÁMITE LEGISLATIVO 2014-2015 ANTEPROYECTO DE LEY: 106 PROYECTO DE LEY: LEY: GACETA OFICIAL: TÍTULO: QUE ESTABLECE EL RECICLAJE DE PAPEL, LATAS DE ALUMINIO Y BOTELLAS PLÁSTICAS

Más detalles

Grupos y Anillos - 3006993 Escuela de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. Problemas # 1

Grupos y Anillos - 3006993 Escuela de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín. Problemas # 1 Grupos y Anillos - 3006993 Escuela de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín Problemas # 1 1. Dé dos razones por las cuales el conjunto de los enteros impares no es un grupo con la

Más detalles

Fundamentos algebraicos

Fundamentos algebraicos Fundamentos algebraicos 1. Grupos Sea S un conjunto. Se denota con S S el conjunto de los pares ordenados (s, t) con s, t en S. Un mapeo de S S en S se llama operación binaria en S. Esta definición requiere

Más detalles

Reporte Nº: 05 Fecha: JULIO 2012. ANÁLISIS DE SITUACIÓN MIGRATORIA DE EXTRANJEROS DE NACIONALIDAD HAITIANA 1. DESCRIPCIÓN DEL REPORTE

Reporte Nº: 05 Fecha: JULIO 2012. ANÁLISIS DE SITUACIÓN MIGRATORIA DE EXTRANJEROS DE NACIONALIDAD HAITIANA 1. DESCRIPCIÓN DEL REPORTE Rport Nº: 05 Fcha: JULIO 2012. ANÁLISIS DE SITUACIÓN MIGRATORIA DE EXTRANJEROS DE NACIONALIDAD HAITIANA 1. DESCRIPCIÓN DEL REPORTE El prsnt inform tin como objtivo spcífico stablcr los movimintos migratorios

Más detalles

Becas INSTITUTO, CIUDEN-ULE PARA LA REALIZACION DE PROGRAMAS DE POSGRADO 2013.

Becas INSTITUTO, CIUDEN-ULE PARA LA REALIZACION DE PROGRAMAS DE POSGRADO 2013. lón él Bcas INSTITUTO, CIUDEN-ULE PARA LA REALIZACION DE PROGRAMAS DE POSGRADO 2013. BASES El Instituto Ciun-UL Tcnologías CAC y Dsarrollo Trritorial convoca cuatro bcas para ralización, n Institucions

Más detalles

Aspectos Técnicos para la Determinación de la Prima de Riesgo en el Seguro de Gastos Médicos Mayores

Aspectos Técnicos para la Determinación de la Prima de Riesgo en el Seguro de Gastos Médicos Mayores Aspctos Técnicos para la Dtrminación d la Prima d Risgo n l guro d Gastos édicos ayors igul Angl Bltrán Prado Dicimbr 1992 ri Documntos d Trabajo Documnto d Trabajo No. 11 Índic Introducción 1 1. Objto

Más detalles

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios }

Ejemplos: Sean los conjuntos: A = { aves} B = { peces } C = { anfibios } La Teoría de Conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas

Más detalles

Estructuras algebraicas

Estructuras algebraicas Tema 1 Estructuras algebraicas 1.1 Álgebras binarias Sea A un conjunto no vacío, una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación *: A A A (x, y) x * y es decir, una regla que a cada

Más detalles

ANEXO 6.7.8. PONDERADORES Y GRADOS DE RIESGO ASOCIADOS A OTRAS CONTRAPARTES Y GARANTÍAS

ANEXO 6.7.8. PONDERADORES Y GRADOS DE RIESGO ASOCIADOS A OTRAS CONTRAPARTES Y GARANTÍAS ANEXO 6.7.8. PONDERADORES Y GRADOS DE RIESGO ASOCIADOS A OTRAS CONTRAPARTES Y GARANTÍAS Las opracions a las qu s rfir la fracción II d la Disposición 6.7.4, así como las garantías rals financiras o prsonals

Más detalles

Blender & Yafray. Diseño Gráfico 3D con Software Libre. Carlos González Morcillo Escuela Superior de Informática Universidad de Castilla-La Mancha

Blender & Yafray. Diseño Gráfico 3D con Software Libre. Carlos González Morcillo Escuela Superior de Informática Universidad de Castilla-La Mancha Aprnd n 24 horas Blndr & Yafray Disño Gráfico 3D con Softwar Libr Carlos Gonzálz Morcillo Escula Suprior d Informática Univrsidad d Castilla-La Mancha Sobr st libro... Aprn dr Bl ndr y Y afray n 24 h oras?

Más detalles

Seguridad en máquinas

Seguridad en máquinas Obsrvación d la norma UNE EN ISO 11161 rlacionada con los rquisitos qu db cumplir la structura d dispositivos d protcción Los dispositivos d protcción dbrán disñars y construirs d acurdo con la norma ISO

Más detalles

CAPITULO 3 PER: UN INDICADOR PARA MEDIR VALOR

CAPITULO 3 PER: UN INDICADOR PARA MEDIR VALOR CAPITULO 3 : UN INDICADOR PARA MEDIR VALOR Valor s la prcpción d bnficio o utilidad qu da un bin a una prsona (vr capítulo 1). En invrsions l valor sta dado por l dinro futuro qu gnra un capital n l día

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS.

FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS. Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática. FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS. Una función ponncial s aqulla n la qu la variabl stá n l ponnt. Algunos - - -5 jmplos funcions

Más detalles

COMO YA SE HA DICHO ANTERIORMENTE, DURANTE LA DÉCADA DE 1990 SE REALIZARON, EN

COMO YA SE HA DICHO ANTERIORMENTE, DURANTE LA DÉCADA DE 1990 SE REALIZARON, EN Capítulo 3 El disño d una política social para nfrntar l risgo: marco concptual COMO YA SE HA DICHO ANTERIORMENTE, DURANTE LA DÉCADA DE 1990 SE REALIZARON, EN AMÉRICA LATINA Y EL CARIBE, CIERTAS rformas

Más detalles