Por ejemplo, la siguiente tabla muestra qué materias cursó cada uno de los siguientes estudiantes: Matemática Discreta. Análisis Matemático I

Transcripción

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2 RELACIONES En las organizacions, spcialmnt las qu manjan gran cantidad d datos, s muy important podr procsarlos con ficincia, ya qu son fundamntals para una buna toma d dcisions. Los datos s almacnan gnralmnt n una bas d datos. Un modlo d datos muy común s l d las bass d datos rlacionals, n las cuals s rfljan las rlacions ntr distintos sctors d la mprsa, prsonas, tc. Las bass d datos rlacionals utilizan rlacions n-arias para l almacnaminto y accso a datos. En sta unidad xtndrmos la noción d conjunto, ya studiada n rlación con l caso particular d rlacions binarias (2-arias), ya qu comprndindo bin st tipo d rlacions, lugo srá más sncillo comprndr las n-arias y su utilización n las bass d datos. Así también analizarmos l concpto d función, qu s utiliza n otras asignaturas -como Análisis Matmático- y nos dtndrmos n un tipo spcial d funcions, las opracions crradas. Ncsitamos ntndr stos concptos para lugo podr comprndr otros como l d rd y grupo. Intntmos dfinir l concpto d rlación. Una rlación pud considrars como una corrspondncia ntr los lmntos d uno ó más conjuntos. Por jmplo, la siguint tabla mustra qué matrias cursó cada uno d los siguints studiants: Juan Juan María José Carlos Carlos Estudiant Cursó Matmática Discrta Física Matmática Discrta Análisis Matmático I Algbra I Análisis Matmático I Es dcir, Juan cursa Matmática Discrta y Física, María cursa Matmática Discrta, José cursa Análisis Matmático I y Carlos cursa Algbra I y Análisis Matmático I. Otra forma d spcificar una rlación s scribir las columnas dl cuadro antrior como pars ordnados. Es dcir: (Juan ; Matmática Discrta), (Juan ; Física), (María ; Matmática Discrta), (José ; Análisis Matmático I), (Carlos ; Algbra I), (Carlos ; Análisis Matmático I). En síntsis, podmos dcir qu una rlación binaria s un conjunto d pars ordnados.

3 A continuación, vrmos algunas dfinicions qu nos prmitirán rprsntar formalmnt l concpto d rlación. Par ordnado: Llamamos par ordnado a b y lo indicamos (a ; b) al conjunto d lmntos a, b con un critrio d ordn qu indica cuál s l primr lmnto y cuál s l sgundo. Producto cartsiano: San A y B dos conjuntos, llamamos producto cartsiano ntr A y B y lo indicamos AxB al conjunto: C = A x B = { (x; y) tal qu x A x B } Rlación binaria: Una rlación (binaria) R d un conjunto X a un conjunto Y s un subconjunto dl producto cartsiano X x Y. Si (x; y) R s scrib x R y s dic qu x stá rlacionado con y. En l caso d X = Y s afirma qu R s una rlación (binaria) sobr X. Dominio: S llama dominio d la rlación R al conjunto: D R = { x X tal qu (x; y) R para algún y Y } Contradominio: S llama contradominio, ámbito o imagn d la rlación R al conjunto: I R = {y Y tal qu (x; y) R para algún x X} Tomando l jmplo antrior: D R = { Juan, María, José, Carlos } I R = { Matmática Discrta, Física, Análisis Matmático I, Algbra I } Otro jmplo: Sa R la rlación n X = {, 2, 3, 4 } dfinida por (x; y) R si x < y. Entoncs, la rlación rsultant s: R = { (; 2), (; 3), (; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4) } El conjunto dominio d la rlación R: D R = {, 2, 3 } Y l conjunto imagn: I R = { 2, 3, 4 } 2

4 Tngamos n cunta qu:. D R A 2. I R B Rlación rcíproca o invrsa: San A y B dos conjuntos y la rlación R : A B, llamamos rlación rcíproca o invrsa d R a R - : B A tal qu R - = { (y;x) / (x; y ) R } Es dcir qu la rlación invrsa s la formada por los invrsos d los pars ordnados d la rlación original. Considrmos qu:. DR-¹ B Pud dmostrars d la siguint manra: y DR-¹ xist x A tal qu (x; y) R y B. Por dfinición d inclusión quda probado. Las dmostracions d los puntos qu sigun qudan como jrcicio. También podés consultarlas n la bibliografía d la cátdra n l Capítulo 7 2. I R -¹ A 3. D R -¹ = I R 4. I R -¹ = D R Rlación complmntaria San A y B dos conjuntos y sa la rlación R: A B, llamamos rlación complmntaria d R a: R: A B tal qu R = { (x; y) / (x; y) R } _ R = (A x B) R Por jmplo: Sa A = {, 2 } y B = { a, b } R = { (; a), (; b), (2; b) } A x B = { (; a), (; b), (2; b), (2; b) } 3

5 Entoncs: _ R = { (2; b) } Función San A y B dos conjuntos y sa la rlación A B, s dic qu R s función cuando cumpl simultánamnt con las condicions d xistncia (todos los lmntos tinn imagn) y unicidad (sa imagn s única). R : A B tal qu:. D R = A (cumpl con Existncia) 2. Si (x; y) R (x; z) R y = z (vrifica Unicidad) En st caso, s dnota, f: A B. Rcordmos ntoncs qu una función s una clas spcial d rlación. Por jmplo:. La rlación f = { (; a), (2; b), (3; a) } Dond X = {, 2, 3 }, Y = { a, b, c } s un función d X a Y. D f = X I f = { a, b } Y La rlación f cumpl xistncia y unicidad. 2. La rlación R = { (; a), (2; b), (3; c), (;b) } Dond X = {, 2, 3 }, Y = { a, b, c } no s un función d X a Y. No s cumpl la unicidad ya qu: S tin qu (;a) R (;b) R pro a b. 3. La rlación R = { (;a), (2;a) } Dond X = {, 2, 3 }, Y = { a, b, c } no s un función d X a Y. No s cumpl la xistncia ya qu D R X. Ants d continuar, t proponmos qu rcurras a los jrcicios d rlacions d la Guía y los rsulvas. Las rlacions pudn rprsntars d difrnts formas. Para las rlacions dfinidas ntr conjuntos finitos son importants dos: a través d un diagrama cuando los conjuntos no son muy grands y, n l caso d qu los conjuntos san iguals, la rprsntación a través d un dígrafo -o utilizando matrics boolanas-. Vamos cada una d llas. 4

6 REPRESENTACIÓN DE LA RELACIÓN A TRAVÉS DE UN DÍGRAFO Una manra útil d rprsntar una rlación sobr un conjunto s trazar su dígrafo. Para stablcr l dígrafo d una rlación n un conjunto X, s marcan primro puntos o vértics qu rprsntan los lmntos dl conjunto X. Si l lmnto (x; y) stá n la rlación s traza una flcha, llamada arco dirigido dsd x hasta y. Por jmplo: Sa X = { a, b, c, d, } R = { (a; a), (b; c), (c; b), (c; d) } a b c d REPRESENTACIÓN DE LA RELACIÓN A TRAVÉS DE MATRICES Si los conjuntos ntr los cuals stán dfinidas las rlacions son muy grands, los diagramas no rsultan prácticos. Admás, para podr rprsntar rlacions n una computadora, ncsitamos una forma algbraica d rprsntación. Para llo, rcurrimos a las matrics boolanas. Si m y n son dos númros naturals, dfinimos como Matriz Boolana d lmntos a ij a la matriz A {, } mxn, indicando así qu la matriz A tin m filas y n columnas. Sus lmntos a ij son ó. Est tma lo dsarrollarmos n la unidad 6; ahora sólo lo mncionamos n l contxto d las rlacions 5

7 A = 2 n i ij in m mn a a... a. a... a a a a Tngamos n cunta algunas obsrvacions: Una matriz s dic cuadrada cuando m = n. Si m n ntoncs la matriz s dic rctangular. Cualquir lmnto a ij con i = j, s dcir un lmnto a ii, stá n la diagonal principal. Si a ij = si i j la matriz A {, } mxn s dic diagonal. Por jmplo: A = B = son matrics boolanas A {,} 3x3 B {,} 2x2 Opracions ntr Matrics Boolanas: Las opracions ntr matrics qu usarmos son disyunción, conjunción, producto matricial y traspusta. Disyunción o suma boolana Dadas A, B {,} mxn s dfin la matriz C = A B tal qu C {,} mxn y admás c ij = a ij b ij i:... m j:... n Ejmplos: = = Conjunción Dadas A, B {,} mxn s dfin la matriz C = A B tal qu C {,} mxn y admás c ij = a ij b ij i:... m j:... n 6

8 Ejmplos: = = Producto matricial Dadas A {,} mxn, B {,} nxp s dfin C = A B tal qu C {,} mxp y admás n c ij = a ik b kj i:... m j:... n U k = Ejmplos: = = Traspusta d una matriz En rlación con las matrics, trasponr significa cambiar filas por columnas; así s obtin la matriz traspusta. Es dcir si A {,} mxn, s dfin traspusta d A, a la matriz B {,} nxm tal qu b ij = a ji i:... m j:... n. A la matriz traspusta s la dnota A t Por jmplo: Si A = ntoncs su traspusta s: A t = Si B= ntoncs su traspusta s: B t = Vamos ahora las propidads d las opracions con matrics. Éstas son las mismas qu vimos para proposicions y conjuntos. Es dcir, Idmpotncia: A A = A A A = A Conmutatividad: A B = B A A B = B A 7

9 Asociatividad: Distributividad: - disyunción A ( B C ) = ( A B ) C - conjunción A ( B C ) = ( A B ) C - producto matricial boolano A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B ) ( A C) A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) Hasta ahora hmos visto qué son las matrics boolanas y cómo oprar con llas, pro aún no sabmos como utilizarlas para rprsntar rlacions. Vamos... Matriz d una Rlación Sa R: A B tal qu A = { a, a 2,..., a n } y B = { b, b 2,..., b m } S dfin como matriz d R a la matriz M R {,} n x m M R = (( m ij )) tal qu m ij = si (a i ; b j ) R ( s dcir si a i R b j ) m ij = si (a i ; b j ) R Por jmplo: San los conjuntos A = {, 3, 4} y B = {x, y, z, t } y la rlación binaria R: A B tal qu R = {(;x), (; t), (3;x), (3;y), (3;z), (4;z)} Construyamos la matriz d la rlación: M R = Qué ocurr con las matrics al fctuar opracions? San R: A B y S: A B dos rlacions dfinidas ntr los mismos conjuntos, y sa M R la matriz d R y M S la matriz d S, ntoncs:. M RUS = M R M S 2. M RS = M R M S 8

10 3. M R - = ( M R ) t 4. M R = MR En síntsis Una rlación pud considrars como una corrspondncia ntr lmntos d uno o más conjuntos. Para rprsntar una rlación ntr conjuntos finitos s pud utilizar un diagrama, n l caso d qu los conjuntos san iguals s usa un dígrafo y ntoncs s marcan primro puntos o vértics qu rprsntan los lmntos dl conjunto X. Si l lmnto (x;( y) stá n la rlación s traza l arco dirigido dsd x hasta y. Otra forma d rprsntar rlacions ntr conjuntos finitos s a través d matrics boolanas. Algunas d las opracions ntr matrics son: disyunción, conjunción, producto matricial y traspusta las qu nos prmitn oprar más fácilmnt con las rlacions. Continumos ahora analizando las propidads d las rlacions d un conjunto, n particular las rlacions d ordn y quivalncia. PROPIEDADES DE LAS RELACIONES EN EL CONJUNTO X Cuando la rlación R stá dfinida n un conjunto -s dcir l primr conjunto y l sgundo son l mismo conjuntointrsa conocr sus propidads para podr studiar lugo, con más dtniminto, algunos tipos d rlacions qu cumpln dtrminadas propidads. Estas son las rlacions d ordn y quivalncia. Vamos n primr término, las propidads rflxiva, simétrica, antisimétrica y transitiva. Propidad rflxiva Una rlación R sobr un conjunto X rcib l nombr d rflxiva si x X: (x ; x) R. Tngamos n cunta qu: El dígrafo d una rlación rflxiva tin un lazo n cada vértic. La matriz d la rlación tin sólo n la diagonal principal, s dcir a ii =, i 9

11 Por jmplo: Sa X = {, 2, 3, 4 }. R = { (;), (; 2), (; 3), (; 4), (2; 2),(2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4), (4; 4) } La rlación R s rflxiva porqu para cada lmnto x X, s tin qu (x;x) R ; s dcir, qu (; ) R, (2; 2) R, (3; 3) R y (4; 4) R. El dígrafo corrspondint a sta rlación s: La matriz d la rlación s corrspond con la siguint: M (R) = Como todos los lmntos d la diagonal principal son, la rlación s rflxiva. 2. R = { (;), (; 2), (2; ), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (4; 4) } La rlación R no s rflxiva porqu para l lmnto 2 X, l par (2; 2) R. Al vrlo n l dígrafo, s obsrva qu sta rlación no s rflxiva porqu l vértic 2 no tin un lazo.

12 3 4 2 En la matriz d la rlación s rprsnta: M (R2) = Claramnt s obsrva qu n la matriz d la rlación, l lmnto a 22, por lo qu la rlación no s rflxiva. Propidad simétrica Una rlación Una R rlación sobr un R sobr conjunto X conjunto s conoc X s como conoc simétrica como simétrica (x; si y) (x; R y) s tin R s qu tin (y;x) qu (y;x) R. R. Considrmos qu: El dígrafo d una rlación simétrica tin la propidad d qu si xist un arco dirigido d x a y xist también un arco dirigido d y a x. La matriz d la rlación dbrá sr simétrica, s dcir, spjada rspcto d la diagonal principal. Rspcto dl jmplo antrior: Sa X = {, 2, 3, 4 }. R = { (; ), (; 2), (; 3), (; 4), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4), (4; 4) } R no s simétrica porqu (; 2) R y (2; ) R, lo mismo ocurr con (; 3) R y (3; ) R, (; 4) R y (4; ) R, (2; 3) R y (3; 2) R,

13 (2; 4) R y (4; 2) R, (3; 4) R y (4; 3) R. El dígrafo d la rlación corrspond al siguint: En l dígrafo d sta rlación s v qu la rlación pos la propidad d qu si xist un arco dirigido d x a y, no xist un arco dirigido d y a x. Un jmplo s l par (;4) dond l (4;) no s ncuntra n la rlación. Podés idntificar otros pars qu sirvan también d contrajmplo? 2. R = { (; ), (; 2), (2; ), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (4; 4) } La rlación R s simétrica porqu para todo (x; y) R s tin qu (y; x) R. Por jmplo (; 2) R y (2; ) R. Obsrvmos l dígrafo d sta rlación qu pos la propidad d qu si xist un arco dirigido d x a y, ntoncs también xist un arco dirigido d y a x

14 Propidad antisimétrica Una rlación R sobr un conjunto X s conoc como antisimétrica si (x; y) R y (y; x) R x = y. Es important tnr n cunta qu: Dcir qu una rlación s antisimétrica no s lo mismo qu dcir qu sa no simétrica. El dígrafo d una rlación antisimétrica tin la propidad d qu ntr dos vértics cualsquira hay, a lo sumo, un arco dirigido. Si una rlación R no tin lmntos d la forma (x; y) con x y ntoncs R s antisimétrica. Por jmplo:. X = { a, b, c } R = { (a;a), (b; b), (c; c) } La rlación R s antisimétrica. El dígrafo d R mustra qu tin a lo sumo un arco dirigido ntr cada par d vértics. Obsrvmos qu R s también rflxiva y simétrica. Podmos prguntarnos hay alguna otra rlación distinta d la igualdad (como n l caso antrior) qu a la vz sa simétrica y antisimétrica? La rspusta s no, por lo tanto a la prgunta hay rlacions qu san simétricas y antisimétricas? La rspusta s sólo n l caso d la igualdad. Vamos otros jmplos:. Sa X = {, 2, 3, 4 } R = { (;), (; 2), (; 3), (; 4), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3;4), (4; 4) } R s antisimétrica porqu (;2) R y (2; ) R, lo mismo para l rsto d los pars d la rlación. También vmos n l dígrafo qu hay, a lo sumo, un arco dirigido ntr cada par d vértics. 3

15 R = { (;), (; 2), (2; ), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (4; 4) } La rlación R no s antisimétrica porqu por jmplo: (; 2) R y (2;) R pro 2. En l dígrafo podmos vr qu hay más d un arco dirigido ntr algunos pars d vértics Propidad transitiva Una rlación R sobr un conjunto X s conoc como transitiva si (x;y) R (y; z) R s tin qu (x; z) R. 4

16 Algunas obsrvacions para tnr n cunta:. El dígrafo d una rlación transitiva tin la propidad d qu simpr qu xistan arcos dirigidos d x a y y d y a z ntoncs también xist un arco dirigido d x a z. 2. La propidad transitiva nos indica una rlación d paso. Rspcto dl jmplo antrior: Sa X = {, 2, 3, 4 }. R = { (;), (; 2), (; 3), (; 4), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (3; 3), (3; 4), (4; 4) } Para analizar si s transitiva, al igual qu cada vz qu trabajmos con un conjunto finito, s ncsario mostrar qu s vrifica n todos los casos posibls. Vamos algunos análisis importants qu val la pna tnr n cunta: Uno d los casos qu s db cumplir s por jmplo: (;2) R (2; 2) R (;2) R Si considramos los pars (;2), (2;), como l condicional () tin antcdnt falso pus (2; ) R, ya indpndintmnt dl valor d vrdad dl conscunt, la proposición s vrdadra. Lo mismo sucd con (2;4) y (2;3) Obsrvmos, por otro lado, qu (;3) R pro, por jmplo l (3;2) no stá n la rlación, si lo scribimos formalmnt quda: (;3) R (3;2) R, qu s una proposición cuyo valor d vrdad s falso. Como sa proposición s l antcdnt n la dfinición d la propidad transitiva y s falsa al valor d vrdad s vrdadro y por lo tanto no invalida transitividad. Tngamos so n cunta para analizar las propidads: Si l condicional ( ) tin antcdnt falso ya indpndintmnt dl valor d vrdad dl conscunt, la proposición s vrdadra. Otro caso son los pars dl tipo (a; a): (; ) R (; ) R (;) R Lo mismo ocurr con los otros pars d iguals componnts. 5

17 En dfinitiva, si ya abarcamos todos los casos posibls, y vimos qu n todos l condicional s vrdadro, podmos afirmar qu la rlación R s transitiva. El dígrafo d sta rlación s: R = { (;), (; 2), (2; ), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (4; 4) } La rlación R no s transitiva porqu por jmplo: (2; ) R y (, 2) R pro (2; 2) R. El dígrafo s v d la siguint manra Ants d continuar, sintticmos algunos concptos: Una rlación R sobr un conjunto X rcib l nombr d rflxiva si x X: (x ; x) R. Una rlación R sobr un conjunto X s conoc como simétrica si (x; y) R s tin qu (y;x) R. 6

18 Una rlación R sobr un conjunto X s conoc como antisimétrica si (x; y) R (y; x) R x = y. Composición d rlacions Una rlación R sobr un conjunto X s conoc como transitiva si (x;y) R (y; z) R s tin qu (x; z) R. En sta scción studiarmos una opración qu tin muchas intrprtacions y aplicacions: la conctividad n dígrafos. Pro prviamnt vamos a dtnrnos n l concpto d composición d rlacions: San A, B y C trs conjuntos y R : A B y R 2 : B C dos rlacions, llamamos composición d R sguida d R 2 indicamos R 2 o R a: R 2 o R = { (a; c) / b B (a;b) R (b; c) R 2 } R R2 a b c A B C R2 o R Por jmplo: San los conjuntos A = { a, b } B = { x, y, z, t } C = {, 2, 3 } y las rlacions binarias: R : A B / R = { (a;x), (a;z), (b;y), (b;z), (b;t) } S : B C / S = { (x;2), (x;3), (y;), (z;2), (t;2) } Hallmos la composición SoR por xtnsión: SoR = { (a;2), (a;3), (b;), (b;2) } 7

19 En st caso no s complicado ya qu los conjuntos tinn muy pocos lmntos. Pro cuando son más grands, s mjor hallar la composición n forma matricial, para vitar olvidarnos d algún par ordnado. La rlación ntr las matrics s: M SoR = M R M S -sindo l producto matricial boolano-. Vrifiqumos n st caso: Las matrics d ambas rlacions son: M (R) = M (S) = Ahora fctuamos l producto: M R M S = = En muchos casos, n aplicacions n difrnts áras, intrsa rcorrr un grafo o dígrafo, s dcir, ir pasando d vértic n vértic a través d las aristas. Para so xistn procdimintos (algoritmos) qu prmitn hacrlo. Matmáticamnt una hrraminta qu ayuda a comprndr sa custión s la composición d rlacions, qu prmitn darnos cunta d qu xist una corrspondncia ntr l ordn d la composición y l rcorrido d los vértics dl grafo ó dígrafo. Vamos ahora a analizar la conctividad n dígrafos. La noción d conctividad Al dtrminar qu xist algún camino ntr los vértics d un dígrafo stamos stablcindo una rlación d conctividad. Sa R una rlación dfinida n un conjunto A. Al dibujar l dígrafo d la rlación, las flchas (o aristas) ntr dos lmntos (o vértics) indican qu dichos lmntos stán rlacionados a través d R. Si no hay flcha ntr dos lmntos s porqu no xist dicho par ordnado n la rlación. Si calculamos R 2, o sa R R (R compusta con sí misma), por dfinición tin a todos los pars ordnados (x;z) tals qu y A (x; y), (y; z) R. O sa qu n la rlación original R, hacía falta rcorrr dos flchas para ir d x hasta z. En R: x y z En R 2 : x z Con sto qurmos dcir qu R 2 rprsnta todos los caminos d longitud 2 xistnts n la rlación original R. Análogamnt, si calculamos R 3, starán todos los pars ordnados corrspondints a caminos d longitud 3 n l dígrafo d R. Y así sucsivamnt. Por lo tanto, s pud dfinir a la rlación: 8

20 x R n y xist un camino d longitud n ntr x y. También, dfinimos: x R y xist algún camino d cualquir longitud ntr x y. Esta rlación s llama Rlación d conctividad d R. Como n R stán los caminos d cualquir longitud, lla s forma con la unión d todas las dmás, s dcir: R = R U R 2 U R 3 U R 4 U... U R n U... unimos los los d los d... los d caminos d longitud 2 longitud 3 longitud n longitud Por lo tanto, hacindo rfrncia a las matrics, podmos stablcr: M R = M R M R 2 M R 3... M R n... En ralidad, si hay n lmntos n l conjunto A, los caminos d longituds mayors a n no nos aportan pars nuvos, por lo tanto alcanza sólo con calcular hasta l nivl n: M R = M R M R 2 M R 3... M R n Con sto tnmos un método para calcular R, qu implica ralizar varios productos d matrics (ya qu M 2 R = M R M R y así sucsivamnt). Admás, lugo db hacrs la d todas. Exist un método más práctico qu s l Algoritmo d Warshall, qu no usarmos n sta matria. Por jmplo: Sa A = { a, b, c, d } y la rlación R dada por l dígrafo: 9

21 Escribamos primro M R = Ahora calculamos M R 2 = = Ahora calculamos M R 3 = = Ahora calculamos M R 4 = = Finalmnt calculamos M R : M R = = Clausuras o crraduras d una rlación: Sa R una rlación dfinida n un conjunto A, supongamos qu R no s d quivalncia pus no cumpl alguna propidad. Qurmos agrgarl aqullos pars ncsarios para qu la cumpla, pro no más d los ncsarios. Es dcir qurmos ncontrar la mnor d las rlacions qu incluyn a R y qu cumpln la propidad spcificada. A sta nuva rlación s la llama clausura o crradura. La clausura o crradura rflxiva s la mnor d las rlacions qu incluyn a R y qu s rflxiva. La clausura o crradura simétrica s la mnor d las rlacions qu incluyn a R y qu s simétrica. La clausura o crradura transitiva s la mnor d las rlacions qu incluyn a R y qu s transitiva. Es obvio qu si R cumpl con una propidad, lla misma s la clausura d dicha propidad. 2

22 Hallar la clausura rflxiva s muy simpl, ya qu solamnt dbmos agrgar los bucls qu no stén n l dígrafo o compltar con unos la diagonal d la matriz d R. Hallar la clausura simétrica también s simpl, ya qu dbmos agrgar las flchas d vulta, a todas las flchas d ida, qu no las tngan, o compltar los unos qu l faltn a la matriz para sr simétrica. Vámoslo n un jmplo: Sa A = { a, b, c, d } y R = { (a;a), (a; b), (b;b), (a;c), (c;a), (d;d), (b;d) } S v qu R no s rflxiva pus (c; c) no prtnc a R. Si s lo agrgamos, la nuva rlación srá rflxiva: R f = R { (c; c) } s la clausura rflxiva d R. R tampoco s simétrica, pro podmos hallar: R s = R { (b; a), (d; b) } qu s la clausura simétrica d R. Unindo las dos obtnmos: R fs = R f R s = R{ (c; c), (b; a), (d; b) } la clausura rflxiva y simétrica. En st jmplo, R tampoco s transitiva, pus por jmplo, (a; b) y (b; d) prtncn a R y sin mbargo, (a; d) no prtnc. Podríamos ntoncs agrgarlo y con so obtnr la clausura transitiva d R? Ants, dbríamos vrificar qu no ocurra lo mismo con otros pars, pus n dicho caso, habría más pars ncsarios qu agrgar. No s tan simpl dars cunta d todos los pars ncsarios para la transitividad. Pro, si rcordamos la rlación d conctividad R s pud dmostrar qu lla s la clausura transitiva d R. Por lo tanto, lo qu dbmos hacr s aplicar algún método para calcularla, como por jmplo, l método d Warshall, mncionado antriormnt, qu podés consultar n la bibliografía rcomndada, pro qu no utilizarmos n sta asignatura. La clausura rflxiva y transitiva s la R* = R A (o sa, admás d la clausura transitiva, dbmos agrgar los bucls.) Propidad: Dadas dos rlacions d quivalncia R y S, dfinidas n un mismo conjunto A, la rlación d quivalncia más pquña, qu contin a R y a S s (R U S). Rcordmos qu para sabr si una rlación s transitiva, podmos calcular su clausura transitiva. Si rsultan iguals, significa qu la rlación dada ra transitiva. 2

23 Vamos a sinttizar: San A, B y C trs conjuntos y R : A B y R 2 : B C dos rlacions, llamamos composición d R sguida d R 2 indicamos R 2 o R a: R 2 o R = { (a; c) / b B (a;b) R (b; c) R 2 } Al dtrminar qu xist algún camino ntr los vértics d un dígrafo stamos stablcindo una rlación d conctividad. M R = M R M 2 R M 3 R... M n R...) La clausura oc rflxiva s la mnor d las rlacions qu incluyn a R y qu s rflxiva. La clausura o c ica s la mnor d las rlacions qu incluyn a R y qu s simétrica. La clausura oc va s la mnor d las rlacions qu incluyn a R y qu s transitiva. Tnindo n cunta la rlación d conctividad R pud dmostrars qu lla s la clausura transitiva d R aplicando algún método para calcularla, como por jmplo, l método d Warshall. Ahora rmitámonos a la Guía d Ejrcicios d la cátdra para hacr prácticas sobr st tma. Estudiamos hasta ahora las propidads qu pudn cumplir las rlacions dfinidas n un conjunto. El tma qu sigu a continuación, las rlacions d quivalncia, son d spcial intrés n cincias d la computación ya qu clasifican a los lmntos dl conjunto dond stán dfinidas sgún un atributo (s dcir sgún la rlación qu dbn cumplir). Por jmplo los alumnos d sta Facultad Rgional tinn todos un númro d lgajo y l último dígito s l código vrificador, cuando llga l momnto d la inscripción sgún s dígito ls corrspond un día para inscribirs, s dcir los alumnos furon clasificados sgún l último dígito d su lgajo, podmos pnsar qu la Rlación qu s dfinió n l conjunto s dos alumnos s rlacionan si l último dígito dl lgajo s l mismo Si s cambiara l critrio, por jmplo por l siguint dos alumnos s rlacionan si cumpln años l mismo ms, s cambiaría l critrio d clasificación d los alumnos y por lo tanto l día d inscripción. La importancia d stas rlacions s su podr d clasificación. 22

24 RELACIONES DE EQUIVALENCIA Una rlación binaria s d quivalncia si s rflxiva, simétrica y transitiva. Las rlacions d quivalncia suln rprsntars con l símbolo: Vamos a continuación algunas dfinicions: Sa (A ; ), s dfin como clas d quivalncia dl lmnto a A: a = [ a ] = Cl (a) = { x A / x a } O sa, n la clas d quivalncia d a, stán todos los lmntos qu s rlacionan con a. Sa (A/), s dfin como conjunto cocint al conjunto formado por todas las class d quivalncia. Es dcir, A/ = { Cl(a) / a A } Ejmplo : Dado l conjunto A = { a, b, c, d,, f } y la rlación R = { (a;b), (a;c), (b;c), (c;b), (b;a), (c;a), (;f), (f;) } A - Qué s A? A = { (x;x) / x A } s dcir, A s l conjunto formado por todos los pars rflxivos. - Es R una rlación d quivalncia? Si lo s, halla las class d quivalncia y l conjunto cocint. 23

25 Primro hagamos l dígrafo d la rlación R: A b d a c f Ahora hallmos las class d quivalncia y l conjunto cocint. cl(a) = { a, b, c } cl(b) = { a, b, c } cl(c) = { a, b, c } Como las trs antriors son la misma, dbmos ponr un solo rprsntant, por jmplo la a. cl(d) = { d } cl() = {, f } cl(f) = {, f } D las dos últimas también lgimos un rprsntant. El conjunto cocint s: A/ R = { cl(a), cl(d), cl() } El jmplo qu s da a continuación s muy important para las cincias d la computación, por jmplo para sguridad informática. Ejmplo 2: Congruncia Módulo n: En l conjunto d los ntros s dfin la rlación: a R b a b (n) n a b, n N S l a s congrunt con b módulo n Dmostración d quivalncia. Rflxiva: x Z : x - x = x - x = n n x - x x x (n) 24

26 Simétrica: x, y Z : x R y x y (n) n x - y x - y = n k k Z - ( x - y) = - n k y - x = n (-k) -k Z n y - x y x (n) y R x Transitiva: x, y, z Z : x R y y R z x y (n) y z (n) n x - y n y - z x - y = n k k Z y - z = n t t Z sumando mimbro a mimbro x - y + y - z = n k + n t x - z = n (k + t) k+t Z n x - z x z (n) x R z Considrá l caso particular d n=3 (Congruncia módulo 3) y calculá las class d quivalncia y l conjunto cocint. cl() = { x Z / x = 3 k con k Z } O sa qu n la clas dl cro stán todos los múltiplos d 3. cl() = = { x Z / x = 3 k + con k Z } O sa qu n la clas dl uno stán todos los ntros qu al dividir por 3 dan rsto. cl(2) = = { x Z / x = 3 k + 2 con k Z } O sa qu n la clas dl dos stán todos los ntros qu al dividir por 3 dan rsto 2. Nos qudó algún ntro sin sabr n qué clas stá? NO. Por lo tanto, podmos scribir l conjunto cocint: Z R = Z (3) = { cl(), cl(), cl(2) } Es dcir, qu solamnt hay 3 class pro con infinitos lmntos dntro d cada una. Nota: n vz d scribir l conjunto cocint Z (3) s scrib Z 3 A las class d quivalncia d sta rlación s ls sul dcir class rsiduals, ya qu son los rstos posibls al dividir por 3. Cómo srá Z 4, Z 5 y n gnral Z n? Z 4 = { cl(), cl(), cl(2), cl(3) } Z 5 = { cl(), cl(), cl(2), cl(3), cl(4) } Z n = { cl(), cl(),, cl(n-) } 25

27 Pro, cuidado: cl(2) n la congruncia módulo 5 NO s la misma cl(2) n la congruncia módulo 4, por jmplo. Vamos un caso crcano y muy concrto dond s utiliza la congruncia módulo n: Cada alumno d la Facultad tin un númro d lgajo qu lo idntifica, por jmplo, El último dígito, s dcir l qu s scrib dspués dl guión, s llama dígito vrificador. También l CUIL, CUIT, númro d mplado, clint, tc. tinn dígitos vrificadors. Pro para qué sirvn? Pus, por jmplo, volvindo al dl númro d lgajo d la facultad, n las inscripcions, los finals o cuando s ncsita información d un alumno n particular, s ingrsa su númro d lgajo n una computadora para obtnrla. Si no xistira s dígito vrificador l programa iría dirctamnt a buscarlo a la bas d datos y si hubira un rror n l númro ingrsado, st s dtctaría lugo d habrlo buscado n la bas, s dcir s prdría timpo inútilmnt para accdr a los datos. En cambio, si primro s controla qu l númro ingrsado sa corrcto, s vita l accso inncsario a la bas d datos, a la qu solamnt s accd cuando l númro d lgajo ingrsado s corrcto. Cómo s hac sa vrificación? Pus s un cálculo d congruncia módulo 7 para los lgajos mnors a y módulo para los lgajos mayors o iguals a. Para los lgajos infriors a, supongamos , s hac un cálculo con unos coficints ntros d pondración fijos: a, b, c, d, (no damos acá sus valors xplícitos) y s obtin un númro x; n st caso srá: x = a 8 + b 2 + c + d Lugo hay qu considrar la clas d x módulo 7 -s dcir s divid x por 7- y s mira l rsto. Dicho rsto s l dígito vrificador. Es dcir qu los lgajos infriors a solo tinn dígitos vrificadors d a 6. En cambio, para los lgajos a partir dl, s hac lo mismo pro módulo. Ustds s prguntarán acaso algunos lgajos tinn dobl dígito vrificador?, ya qu un rsto posibl n la división por s. Pus los qu dan rsto llvan como dígito vrificador al. Es important tnr n cunta sto cuando, por jmplo, s planifican los días d inscripción, ya qu s sparan a los alumnos sgún su dígito vrificador. Hay qu considrar qu los d dígito son aproximadamnt l dobl d alumnos qu d los otros dígitos. Si no s tin n cunta sto, algunos alumnos tndrán qu prparars para hacr una larga cola l día qu ls toqu inscribirs. Una obsrvación: Srá casualidad qu los dos módulos utilizados (tanto 7 como ) san númros primos? Más adlant, cuando studimos grupos cíclicos, vrmos qu propidads tinn los Z n con n primos. Ejmplo 3: En l conjunto d los rals R s dfin: x S y x 2-4 x = y 2-4 y S pid: a) Dmostrar qu s d quivalncia b) Graficar la rlación. c) Hallar las class y l conjunto cocint. 26

28 Solución: a) Rflxiva: x R : x 2-4 x = x 2-4 x (pus toda cosa s igual a sí misma) x S x Simétrica: x, y R : x S y x 2-4 x = y 2-4 y y 2-4 y = x 2-4 x (por simtría d la igualdad) y S x Transitiva: x, y, z R : x S y y S z x 2-4 x = y 2-4 y y 2-4 y = z 2-4 z x 2-4 x = z 2-4 z (por transitividad d la igualdad) x S z b) Para graficar la rlación vamos a tratar d simplificar un poco: x 2-4 x = y 2-4 y x 2-4 x + 4 = y 2-4 y + 4 (x - 2 ) 2 = (y - 2 ) 2 x - 2 = y - 2 x - 2 = y - 2 x - 2 = - y + 2 y = x y = 4 - x b) Son dos rctas: y x c) En l gráfico pud vrs qu todos los lmntos s rlacionan con dos (tinn dos imágns) xcpto l 2 qu tin una sola, pus s justo la intrscción d las dos rctas: cl(2) = { 2 } para los dmás: cl(x) = { x, 4 - x } Por jmplo: cl() = {, 3 }, cl(5) = { 5, - }, tc. 27

29 En total hay infinitas class, por so l conjunto cocint db dars por comprnsión n vz d por xtnsión. Está bin scribir l conjunto cocint así: R / S = { cl(x) / x R }? NO. Pus s staría nombrando dos vcs a cada clas (al dcir x R stamos nombrando, por jmplo, la clas dl uno dos vcs al dcir cl() y cl(3), dado qu s la misma) Entoncs... qué hacmos? Pud scribirs así: R / S = { cl(x) / x (-, 2 ] } O bin, si d cada clas tomamos como rprsntant al mayor: R / S = { cl(x) / x [2, + ) } Al subconjunto d A qu stá formado por un rprsntant d cada clas s lo llama conjunto d índics. Llgados a st punto, podmos nunciar l torma fundamntal d las rlacions d quivalncia Toda rlación d quivalncia dfinida n un conjunto provoca n él una partición (conjunto cocint). Rcíprocamnt, toda partición d un conjunto induc n él una rlación d quivalncia. La dmostración d st Torma podés ncontrarla n l libro d la cátdra, capítulo 2 Esqumáticamnt: Sinttizando Una rlación binaria s d quivalncia si s rflxiva, simétrica y transitiva. Sa (A ; ), s dfin como clas d quivalncia a dl lmnto aa A: a = [ a ] = Cl (a) = { x A / x a } 28

30 Sa (A/ ), s dfin como conjunto cocint al conjunto formado por todas las class d quivalncia. Es dcir, A/ = { Cl(a) / a A } El torma funda t l d las rl i s d quivalncia afirma qu: Toda rlación d quivalncia dfinida n un conjunto provoca n él una partición (conjunto cocint). Rcíprocamnt, toda partición d un conjunto induc n él una rlación d quivalncia. A continuación, studiarmos un tipo spcial d funcions, las opracions binarias crradas, las qu aplicarmos n las unidads siguints d sta asignatura, por jmplo, n la unidad 3 al abordar l tma Rds, n la unidad 4 con Álgbras d Bool y n la unidad 5 al studiar Grupos n los qu profundizarmos las structuras algbraicas dfinidas n un conjunto con una opración crrada. Opracions Crradas Para podr ntndr bin st concpto, primro pnsmos n alguna opración conocida por nosotros aplicada a un conjunto dtrminado, por jmplo la adición d númros naturals. Cada vz qu sumamos dos naturals, l rsultado s también un númro natural. Podmos dcir qu l rsultado simpr stará dntro dl conjunto, por so la opración s crrada o intrna. En cambio, si considramos la adición n l conjunto A = {, 2, 3, 4, 5} vmos qu no s crrada ya qu por jmplo, A. Como vmos una misma opración pud sr crrada n un conjunto y no n otro. Por so simpr dbmos indicar cuál s l conjunto y cuál s la opración a considrar. Gnralizando l jmplo antrior, podmos dcir qu una opración crrada s una opración dfinida n un conjunto tal qu l rsultado d oprar dos lmntos, s simpr un lmnto dl mismo conjunto. Para no utilizar l símbolo d ninguna d las opracions conocidas (como +,, tc.) usarmos, por jmplo, l símbolo para indicar qu pud sr cualquir opración y no una n particular. A continuación prsntarmos la dfinición simbólica o formal: Sa un conjunto A y una opración dfinida n A. S dic qu s opración crrada n A x, y A : x y A O d otra forma quivalnt: Sa un conjunto A. : A X A A s opración crrada n A s función. Tngamos n cunta qu: ) Las opracions binarias y crradas s pudn dnotar con l símbolo o cualquir otro, como,,,,,, tc. Para indicar qu n l conjunto A s ha dfinido tal opración s scrib ( A ; ) 2) A las opracions crradas también s las llama, a vcs, lys d composición intrna o lys d cirr. 29

31 Analicmos algunos jmplos: Ya habíamos visto qu la adición s opración crrada n N, también lo s n Z, n Q y n R. En cambio, n l conjunto d ntros impars, la adición no s crrada pus al sumar dos impars l rsultado no s impar, sino par. La multiplicación d ntros impars sí s crrada, ya qu si x y son impars, su producto x y también s impar. S pud dmostrar gnéricamnt: Si x = 2 k + y = 2 t + con k, t Z x y = ( 2 k + ) ( 2 t + ) = 4 k t + 2 k + 2 t + qu s pud scribir como: x y = 2 ( 2 k t + k + t ) + sindo 2 k t + k + t Z. La potnciación n N s crrada, pro no lo s n Z, pus por jmplo 2-3 Z. Vamos ahora otros jmplos con otro tipo d opracions qu no san las aritméticas: ) Qurmos sabr si la unión d conjuntos () s crrada n P({a,b}) Los lmntos d P({a,b}) son:, {a}, {b} y {a,b} Si fctuamos todas las unions posibls ntr dos cualsquira d llos, l rsultado simpr srá alguno d llos, por lo tanto s crrada. 2) Analicmos si la intrscción () s crrada n l conjunto X = P({a,b}) ) En st caso, al no tnr al, rsulta qu, por jmplo,{a} {b} X, por lo tanto la opración no s crrada. 3) Si considramos como opración n l conjunto A = {, 2, 3, 6} a la qu dvulv l máximo común divisor, podrmos comprobar qu s crrada. Podmos construir una tabla para ralizar todas las posibls opracions: Para construir la tabla, primro colocamos los lmntos dl conjunto tanto n la columna d la izquirda como n la fila suprior, n l mismo ordn n ambas: Para llnar los casillros d los rsultados hay qu tnr n cunta qu la tabla s l d izquirda hacia arriba, dond a b = m.c.d.{a, b} Por jmplo, para ubicar l rsultado d 2 3, buscamos l 2 n la primr columna y marcamos su fila: 3

32 Lugo buscamos l 3 n la fila suprior y marcamos su columna: El casillro intrscción s l qu db contnr l rsultado: 2 3 = m.c.d{2,3} = Hacindo lo mismo con todos los casillros, la tabla quda: ) Analicmos si la opración qu dvulv l mínimo común múltiplo s crrada n A={,2,3,4} En st caso, por jmplo m.c.m.{2,3} = 6 pro 6 A, por lo tanto la opración no s crrada. Hasta ahora hmos visto lo qu significa qu una opración sa crrada n un conjunto. A continuación vrmos algunas propidads qu pudn tnr las opracions crradas y qu nos van a srvir para clasificar las structuras y podr trabajar más ágilmnt. 3

33 Propidads d una Opración Crrada Sa A y s una opración crrada dfinida n A. Podmos dscribir las siguints propidads: ) Propidad asociativa. S dic qu s asociativa a, b, c A : a ( b c ) = ( a b ) c Básicamnt, si s cumpl sta propidad s pudn cambiar los paréntsis d lugar sin qu llo afct al rsultado. Por jmplo: a) La adición y la multiplicación son asociativas n R. b) Si considramos la potnciación n N, vmos qu s crrada pro no s asociativa pus, por jmplo: 2 (3 ) 2 (2 3 ) 2 c) La intrscción d conjuntos s asociativa. 2 ) Elmnto nutro. S dic qu tin nutro o idntidad A : a A : a = a = a O sa qu l lmnto nutro d una opración crrada s aqul qu al star oprado con cualquir otro no afcta l rsultado. Por jmplo: En la suma d ntros, l nutro s l cro, pus x + = x + x = x para cualquir x. En la multiplicación d ntros l nutro s l uno, pus x = x x = x para cualquir x. En la unión d conjuntos l nutro s l conjunto vacío, pus X = X X = X para cualquir conjunto X. La potnciación n los naturals no tin nutro pus si bin x = x, sin mbargo no s cumpl qu x = x 3) Elmntos simétricos. Considrmos ahora qu n l conjunto A xist lmnto nutro, ntoncs: dado un lmnto a A, l simétrico d a s otro lmnto a A : a a = a a = Si a A : a A, s dic qu l conjunto A con la opración tin simétrico. 32

34 Por jmplo: En la adición d ntros, l simétrico d cada lmnto s l opusto. Así, por jmplo, l simétrico d 3 s -3 ya qu 3 + (-3) = (nutro). En forma gnérica podmos scribir qu: a = -a En la multiplicación d racionals, l simétrico d un lmnto s l rcíproco. Así, por jmplo, l simétrico d 3 s 3 ya qu 3 3 = (nutro). En forma gnérica s pud xprsar: a = a simpr qu s rsultado sa un númro racional. Pro hay un lmnto racional qu no tin simétrico rspcto d la multiplicación: l cro. Por lo tanto, s dic qu la multiplicación no tin simétrico n Q, ya qu no todos sus lmntos lo posn. 4) Propidad conmutativa. S dic qu s conmutativa a, b A: a b = b a Es dcir, qu si sta propidad s cumpl para una opración, l ordn d los oprandos no afcta al rsultado. Por jmplo: La adición y la multiplicación son conmutativas n todos los conjuntos numéricos. La potnciación n N no lo s, ya qu por jmplo: La unión y la intrscción d conjuntos sí son conmutativas. La conjunción y la disyunción d proposicions lógicas también son conmutativas, pro l condicional no lo s. 5) Elmntos idmpotnts. Dado un lmnto a A, a s idmpotnt a a = a Si a A: a s idmpotnt, ntoncs l conjunto A con la opración s idmpotnt. Por jmplos: a) En la multiplicación d ntros los lmntos idmpotnts son l y l, únicamnt. b) El conjunto d proposicions lógicas con la conjunción s idmpotnt. 6 ) Elmnto absorbnt. Dado un lmnto b A, b s absorbnt a A: b a = a b = b Es dcir, qu si xist lmnto absorbnt, cuando s opra con ést, l rsultado simpr s l mismo. 33

35 Por jmplo: a) En la multiplicación d ntros, l lmnto absorbnt s l cro. b) En l conjunto d proposicions lógicas con la disyunción, l lmnto absorbnt s la tautología, ya qu p V = V Hasta aquí vimos difrnts propidads qu pudn o no cumplir las opracions crradas. Los jmplos qu fuimos vindo junto con las propidads corrspondn a opracions usuals o conocidas por nosotros como la adición, multiplicación y potnciación n los conjuntos numéricos, o la unión intrscción d conjuntos, o las opracions lógicas. Pro por jmplo, no hmos considrado n los casos analizados la sustracción o a la división, ya qu n ralidad toda rsta s una suma ntr l primr lmnto y l opusto dl sgundo, y toda división s l producto dl primr lmnto por l invrso dl sgundo. Es dcir, aunqu cramos qu la sustracción y la división son opracions, n ralidad s arman sobr la bas d las opracions conocidas. D la misma manra, podmos ir armando nuvas opracions basándonos n llas. Vamos algunos jmplos: Ejmplo : Supongamos qu n Z s dfin la siguint opración: a * b = a + b + 2 Qué significa so? Significa qu l rsultado d oprar dos ntros, n st caso s la suma d ambos mas 2. Por jmplo: 3 * 4 = 9 ya qu = 9 Y cuánto s 2 * 2? 2 * 2 = = 6 Y si qurmos hacr x * y? x * y = x + y + 2 No importa como s llamn los lmntos, lo qu caractriza a sta opración s qu hay qu sumar los dos ntros y, admás, sumar dos. Ahora qu ya ntndimos d qué s trata sta opración *, vamos a studiar las propidads qu tin y clasificar la structura d ( Z; * ) ) Es * crrada? Dbmos vr si s cumpl qu a, b Z : a * b Z Dmostración: Como a Z b Z a + b Z por sr la suma crrada n Z. Lugo como 2 Z (a+b)+2 Z a + b + 2 Z 2) Es * asociativa? Dbmos vr si a, b, c Z : a * ( b * c ) = ( a * b ) * c Dmostración: Dsarrollamos cada mimbro d nustra tsis por sparado: (I) a * ( b * c ) = a * ( b + c + 2 ) = a + ( b + c + 2 ) + 2 = a + b + c + 4 (II) ( a * b ) * c = ( a + b + 2 ) * c = ( a + b + 2 ) + c + 2 = a + b + c + 4 Las xprsions finals son iguals. Por lo tanto, * s asociativa. 34

36 3) Es * conmutativa? Dbmos vr si a, b Z: a * b = b * a Dmostración: Dsarrollamos cada mimbro d nustra tsis por sparado: (I) a * b = a + b + 2 (II) b * a = b + a + 2 = a + b + 2 Las xprsions finals son iguals. Por lo tanto, * s conmutativa. 4) Tin * lmnto nutro? Dbmos vr si Z : a Z : * a = a * = a Dmostración: Como ya sabmos qu * s conmutativa, podmos buscar l nutro sólo a drcha y l mismo srá nutro a izquirda. a * = a a = a + 2 = = -2 Por lo tanto * tin nutro qu s = -2 5) Tin * lmnto simétrico? Dbmos vr si a Z : a Z : a * a = a * a = -2 Dmostración: Como ya sabmos qu * s conmutativa, podmos buscar l simétrico sólo a drcha y l mismo srá simétrico a izquirda. a * a = -2 a + a + 2 = -2 a = -4 - a Esto significa qu, por jmplo, l simétrico dl 5 s l -9, l simétrico dl - s l -3, tc. Como todos los ntros tinn simétrico, s dic qu * tin simétrico n l conjunto dond stá dfinida 6) Existn lmntos idmpotnts? Dbmos vr si a Z: a a = a Dmostración: a a = a a + a + 2 = a a = -2 Por lo tanto Hay algún lmnto idmpotnt? El único s l -2 7) Tin lmnto absorbnt? Dbmos vr si b Z: a Z: b a = a b = b Dmostración: Como ya sabmos qu s conmutativa, podmos buscarlo sólo a drcha: a b = b a + b + 2 = b a + 2 = lo cual no s cumpl con cualquir a. Por lo tanto Hay algún lmnto absorbnt? No, no hay. Ejmplo 2: Considrmos ahora sta otra opración n Q: x y = 3 (x + y) La opración triangulito dvulv l tripl d la suma d ambos númros. Analicmos las propidads: ) Es crrada? Dbmos vr si s cumpl qu a, b Q : a b Q Dmostración: Como a Q b Q a + b Q por sr + l.c.i n Q. Lugo como 3 Q 3 ( a + b ) Q a b Q 35

37 2) Es asociativa? Dbmos vr si a, b, c Q : a ( b c ) = ( a b ) c Dmostración: Dsarrollamos cada mimbro d nustra tsis por sparado: (I) a ( b c ) = a 3 ( b + c ) = 3 [a + 3 ( b + c )] = 3 a + 9 b + 9 c (II) ( a b ) c = 3 ( a + b ) c = 3 [ 3 ( a + b ) + c ] = 9 a + 9 b + 3 c Las xprsions finals son distintas. Por lo tanto, NO s asociativa. 3) Es conmutativa? Dbmos vr si a, b Q: a b = b a Dmostración: Dsarrollamos cada mimbro d nustra tsis por sparado: (I) a b = 3 (a + b) (II) b a = 3 ( b + a ) = 3 ( a + b ) Las xprsions finals son iguals. Por lo tanto, s conmutativa. 4) Tin lmnto nutro? Dbmos vr si Q : a Q : a = a = a Dmostración: Como ya sabmos qu s conmutativa, podmos buscar l nutro sólo a drcha y l mismo srá nutro a izquirda. a = a 3 ( a + ) = a 3 a + 3 = a 3 = -2 a = -2/3 a Como l nutro dpnd d a, no xist nutro d. 5) Como no tin nutro, no s pud buscar simétrico. 6) Existn lmntos idmpotnts? Dbmos vr si a Q: a a = a Dmostración: a a = a 3 ( a + a ) = a 3 2 a = a 6 a = a a = Por lo tanto Hay algún lmnto idmpotnt? El único s l 7) Tin lmnto absorbnt? Dbmos vr si b Z: a Z: b a = a b = b Dmostración: Como ya sabmos qu s conmutativa, podmos buscarlo sólo a drcha: a b = b 3 ( a + b ) = b 3a + 3b = b lo cual no s cumpl con cualquir a. Por lo tanto Hay algún lmnto absorbnt? No, no hay. Opracions dadas por tablas: Muchas vcs, cuando los conjuntos son finitos, las opracions pudn vnir dirctamnt dadas a través d una tabla. Vamos algunos jmplos: Ejmplo 3: Sa l conjunto A = { a, b, c } con la opración dada por la siguint tabla: 36

38 a b c a c a b b a b c c b c a Analicmos las propidads: ) Es crrada n A? Eso s compruba obsrvando la tabla. Como todos los rsultados stán n l conjunto A, ntoncs s crrada n A. a b c a c a b b a b c c b c a Aquí podmos vr qu los 9 rsultados prtncn al conjunto dado. 2) Es conmutativa? Para qu lo sa, la tabla db sr simétrica rspcto d su diagonal principal. Como lo s, ntoncs s conmutativa. a b c a c a b b a b c c b c a Aquí podmos vr qu los lmntos simétricos rspcto d la diagonal principal son iguals. 3) Tin lmnto nutro? Dbmos fijarnos si alguna fila y columna rpitn a los lmntos n l mismo ordn n qu stán dispustos n la tabla. Vmos qu llo ocurr n st caso con la fila y columna dl lmnto b. Por lo tanto b s l nutro d. a b c a c a b b a b c c b c a Aquí podmos vr qu la fila y columna dl lmnto b rpit a los lmntos dados. 37

39 4) Tin lmnto simétrico? Dbmos buscar l simétrico d cada lmnto, buscando n su fila y columna al nutro. Por jmplo, n la fila y columna d a, b (l nutro) s ncuntra cuando s opra al lmnto a con l lmnto c. Ello significa qu a y c son simétricos. Por lo tanto, a = c, c = a y b = b. Todos tinn simétrico, por lo tanto la opración tin simétrico. a b c a c a b b a b c c b c a Aquí podmos vr la ubicación dl lmnto nutro como rsultado n cada fila y columna, para podr ncontrar los simétricos. 5 ) Es asociativa? Lamntablmnt para analizar sta propidad no podmos hacrlo a simpl vista obsrvando la tabla, sino qu dbmos vrificar todos los casos posibls. Como la dfinición d la propidad asociativa nombra a trs lmntos gnéricos, hay qu pnsar n todos los casos qu xistn d valors qu pudn tomar dichos lmntos. Cada uno d llos podrá tnr cualquir valor d los lmntos dl conjunto, por lo tanto, n total habrá n st caso = 3 3 = 27 casos posibls. Por jmplo: ( a b ) a = a ( b a ) ya qu ( a b ) a = a a = c y a ( b a ) = a a = c ( c b ) a = c ( b a ) ya qu ( c b ) a = c a = b y c ( b a ) = c a = b ( b b ) a = b ( b a ) ya qu ( b b ) a = b a = a y b ( b a ) = b a =a... análogamnt con los rstants 24 casos. En gnral, si l conjunto tin n lmntos, la cantidad total d casos posibls s n 3. Si n todos los casos s cumpl la igualdad, ntoncs la opración s asociativa. Es important tnr n cunta qu si no s posibl probar la propidad n forma gnral, hay qu hacr TODOS los casos. 6) Es idmpotnt? No, pus por jmplo a a = c n vz d sr a. Para qu una opración dada por tabla sa idmpotnt, la diagonal principal db contnr a los mismos lmntos. a b c a c a b b a b c c b c a Aquí podmos vr qu no todos los lmntos d la diagonal principal coincidn con l ordn dado. Por jmplo n l primr casillro, dond stá la c dbría habr stado la a. Por lo tanto, la opración no s idmpotnt. El único lmnto idmpotnt s la b. 38

40 7) Tin lmnto absorbnt? No, pus si lo tuvira, la fila y la columna d dicho lmnto tndrían a s lmnto n todos los lugars. Ejmplo 4: En l mismo conjunto A, la opración dada por la siguint tabla: a b c a a a a b c b b c a b c ) Es crrada n A? Si, ya qu todos los rsultados stán n l conjunto A. 2) Es conmutativa? NO, pus la tabla NO s simétrica rspcto d su diagonal principal, por jmplo a b = a pro b a = c. 3) Tin lmnto nutro? Si, s c. 4) Tin lmnto simétrico? El único qu tin simétrico s c. Por lo tanto la opración NO tin simétrico. 5) Es asociativa? NO, pus por jmplo: ( b a ) a = c a = a pro b ( a a ) = b a = c 6) Es idmpotnt? SI, pus n la diagonal principal d la tabla stán los mismos lmntos. 7) Tin lmnto absorbnt? No, pus si bin la primr fila dvulv simpr a, no ocurr lo mismo con la columna. A continuación, vrmos algunos jmplos d opracions crradas usuals como la adición, multiplicación, tc. pro dfinidas n conjuntos qu no son los qu usamos habitualmnt como,, o. Ejmplo 5: Ahora vamos a analizar la structura dl conjunto A = { x = 2 k k } con la multiplicación. Vmos qu l conjunto A s l conjunto d potncias d 2 y tngamos n claro qu s un subconjunto d los rals () ) Es crrada n A? Dbmos probar qu x, y A : x y A Dmostración: x, y : x = 2 k k y = 2 t t x y = 2 k 2 t x y = 2 k+t k+t 39

41 pus la suma s crrada n x y A 2) Es asociativa n A? Sí, lo s pus la multiplicación s asociativa n, y como st conjunto A stá incluido n, hrda dicha propidad. 3) Es conmutativa n A? Sí, lo s pus la multiplicación s conmutativa n, y como st conjunto A stá incluido n, hrda dicha propidad. 4) Tin nutro n A? Sí, pus l lmnto nutro d la multiplicación n s l, y prtnc al conjunto A. porqué?, ponr qu s ncsario podr scribir al nutro dl conjunto, dond A stá incluido n la forma d los lmntos d A, =x, s ntro 5) Tin simétrico n A? Dbmos vr si todos los lmntos d A tinn su simétrico también n A. x A : x = 2 k k x - = (2 k ) - k x - = 2 -k -k x - todos los lmntos d A tinn simétrico n A. Tngamos n cunta qu, muchas vcs, al rsolvr situacions ncontramos qu s ncsario utilizar más d una opración, por jmplo, n los rals para calcular x n la cuación: 2 x + 3 = 2 ncsitamos oprar con la adición y la multiplicación. Cuando n un conjunto stán dfinidas dos opracions binarias y crradas dbn star vinculadas por alguna propidad. Por jmplo, n l caso d rals la adición y la multiplicación stán vinculadas por la propidad distributiva; n l conjunto d parts d un conjunto dado, la unión y la intrscción s rlacionan por la absorción y la propidad distributiva. Dfinirmos ahora la propidad distributiva. Distributividad d dos opracions binarias San y dos opracions crradas dfinidas n l mismo conjunto A. S dic qu s distributiva rspcto d a, b, c A : a ( b c ) = ( a b ) ( a c ) (distributiva a izquirda) a, b, c A : ( b c ) a = ( b a ) ( c a ) (distributiva a drcha) 4

42 Ejmplos: ) La multiplicación n s distributiva rspcto d la adición: x ( y + z ) = ( x y ) + ( x z) 2) Vamos si la opración º dfinida: a º b = a + b + a b s distributiva rspcto d * dfinida a * b = a + b + n. Dbmos vr si s cumpl: a, b, c A : a º ( b * c ) = (a º b) * (a º c) ya qu como la opración º s conmutativa, no hac falta probarlo a drcha. no dbríamos ponr qu como ambas son conmutativas. Dmostración: Dsarrollamos cada mimbro d nustra tsis por sparado: (I) a º ( b * c ) = a º ( b + c + ) = a + ( b + c + ) + a ( b + c + ) = = a + b + c + + a b + a c + a = 2 a + b + c + + a b + a c (II) (a º b) * (a º c) = (a + b + a b) * ( a + c + a c ) = = (a + b + a b) + ( a + c + a c ) + = 2 a + b + c + + a b + a c Como las xprsions finals son iguals, podmos dcir qu º s distributiva rspcto d *. Sinttizando Una opración crrada s una opración dfinida n un conjunto tal qu l rsultado d oprar dos lmntos, s simpr un lmnto dl mismo conjunto. Simbólicamnt: sa un conjunto A. : A X A A s opración crrada n A s función. Algunas d las propidads d una opración crrada son: asociativa;conmutativa; xistncia d lmnto nutro;xistncia d lmntos con simétrico;lmntos idmpotnts; lmnto absorbnt. Cuando n un conjunto stán dfinidas dos opracions binarias y crradas dbn star vinculadas por alguna propidad (por jmplo, la adición y la multiplicación pudn vinculars por la propidad distributiva; la unión y la intrscción pudn rlacionars por la absorción y la propidad distributiva). 4