Convocatoria de Febrero 26 de Enero de Nombre y Apellidos:

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1 Univrsidad d Vigo Dpartamnto d Matmática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria d Fbrro 6 d Enro d 007 Nombr y Apllidos: DNI: (4.5 p.) ) S considra la función f(x) = x ln(x). (0.5 p.) (a) Calcular l dominio d dfinición d f. (0.75 p.) (b) Hallar los xtrmos rlativos d f y los intrvalos d crciminto y dcrciminto. (.5 p.) (c) Calcular las asíntotas horizontals y vrticals d la gráfica d f. (0.5 p.) (d) Sabindo qu f no tin puntos d inflxión n su dominio d dfinición, rprsntar d forma aproximada la gráfica d f. (.5 p.) () Hallar una primitiva d f n l intrvalo (, ) utilizando l cambio d variabl t = ln(x) y studiar la convrgncia d las intgrals impropias f(x)dx. f(x)dx, (.5 p.) ) Hallar l polinomio d Taylor d grado 3 d la función g(x) = x ln(x) cntrado n x 0 =. Utilizarlo para aproximar l valor d ln() y dar una cota dl rror comtido. (3 p.) 3) S considra la cuación x + x = x, x R. (0.75 p.) (a) Utilizar l torma d Bolzano para probar qu xist una solución ngativa α y dos solucions positivas α, α 3 (con α < α 3 ). Acotarlas n intrvalos d longitud uno. (0.75 p.) (b) Usar l torma d Roll para probar qu α, α, α 3 son las únicas solucions d la cuación. (.5 p.) (c) Probar qu α, α, α 3 son los únicos puntos fijos d la función H(x) = x x +. Utilizar st hcho para probar qu la sucsión {x n } dfinida a partir d x 0 = 0 por la rcurrncia x n+ = H(x n ), n 0, convrg a α. (.5 p.) 4) Estudiar para qué valors d x R convrgn las siguints sris d potncias: n n! (x )n. n= n n (x )n. n=

2 SOLUCIONES PROBLEMA. (a) Dado qu ln(x) stá dfinido n (0, ), la función f stá dfinida n st intrvalo salvo n los puntos n qu x ln(x) = 0. Como { x = 0 x ln(x) = 0 ln(x) = 0 x =, l dominio d dfinición d f s D = (0, ) (, ). (b) La función f s drivabl n su dominio d dfinición por sr cocint d funcions drivabls cuyo dnominador no s anula n los intrvalos considrados. Admás, f (x) = D la xprsión d f s obtin qu ( + ln(x)) (x ln(x)), x D. f (x) > 0 + ln(x) < 0 ln(x) < x <. Por tanto, f s crcint n (0, ) y s dcrcint n los intrvalos (, ) y (, ). En x =, la función f alcanza un máximo rlativo stricto. (c) Como f stá dfinida n D = (0, ) (, ), la única posibl asíntota horizontal s obtin calculando l límit d f n : ya qu x x ln(x) =. x x x ln(x) = 0, Por tanto, la rcta y = 0 s una asíntota horizontal d f n. Las posibls asíntotas vrticals s obtinn calculando los límits latrals n x = 0 y x =. x 0 + x 0 + x ln(x) = /x x 0 + ln(x) = /x x 0 + /x = x 0 + x =, dond n la trcra igualdad hmos utilizado la rgla d L Hôpital. D aquí s dduc qu la rcta x = 0 s una asíntota vrtical d la gráfica d f por la drcha. Por otra part, tnindo n cunta qu x ln(x) < 0 si x (0, ), x ln(x) > 0 si x >, y x ln(x) = 0: x x x ln(x) = ; x + x + x ln(x) =. Lugo la rcta x = s una asíntota vrtical d la gráfica d f por la drcha y por la izquirda. (d) Tnindo n cunta los intrvalos d crciminto y dcrciminto y las asíntotas calculadas n los apartados antriors, la gráfica d f tin aproximadamnt la siguint forma (nóts qu f( ) = < 0):

3 / 0 - () Hacindo l cambio d variabl t = ln(x), s obtin dt = /x dx, y por tanto: x ln(x) dx = ln(x) x dx = dt = ln(t) = ln(ln(x)). t Obsérvs qu x > = ln(x) > 0 y n conscuncia ln(ln(x)) stá bin dfinida. La intgral f(x)dx = ya qu ln(ln()) = ln() = 0 y f(x)dx s impropia ya qu dx = x ln(x) a + a a Por tanto la intgral s divrgnt. x ln(x) a f(x) =. Así, x + ln(a) = 0 = ln(ln(a)) =. + + Vamos qu la otra intgral impropia también s divrgnt: f(x)dx = dx = [ln(ln()) ln(ln(a))] =, a + b dx = dx = [ln(ln(b)) ln(ln())] =, x ln(x) b x ln(x) b ya qu b ln(b) = = b ln(ln(b)) =. PROBLEMA. El polinomio d Taylor d grado 3 d g cntrado n x 0 = vin dado por p 3 (x) = g() + g ()(x ) + g ()! Las drivadas sucsivas d g son: (x ) + g () (x ) 3. 3! g (x) = ln(x) + ; g (x) = x ; g (x) = x. 3

4 Evaluando n x =, s obtin: g() = 0, g () =, g () =, g () =. conscuncia, p 3 (x) = (x ) + (x ) 6 (x )3. En Para aproximar l valor d ln(), obsrvmos qu g() = ln() = ln() = g() p 3() = 3 = A continuación damos una cota dl rror comtido. Pusto qu g iv) (ξ) g g() p 3 () = ( ) 4 iv) (ξ) =, 4! 4 con ξ (, ), y s tin: g iv) (ξ) = <, ξ (, ), ln() p 3() = g() p 3() = g iv) (ξ) 4 ξ 3 < 4 = 4 = PROBLEMA 3. (a) Dado qu x +x = x x +x x = 0, considrarmos la función h(x) = x +x x. Claramnt h s continua n R. Para aplicar l torma d Bolzano, calculamos l valor d h n distintos númros ntros: h(0) = < 0, h( ) = 3/ < 0, h( ) = /4 < 0, h( 3) = 3/8 > 0. Por tanto, h tin una raíz ngativa α ( 3, ). Por otra part, h(0) = < 0, h() = > 0, h() = 4 > 0, h(3) = 7 > 0, h(4) = 8 > 0, h(5) = 3 > 0, h(6) = 6 < 0. En conscuncia, h tin dos raícs positivas α (0, ) y α 3 (5, 6). (b) Las drivadas sucsivas d h son: h (x) = x + x ln() ; h (x) = x (ln()) ; h (x) = x (ln()) 3. Como h (x) 0, x R, por l torma d Roll la función h tin a lo sumo una raíz ral. Aplicando d nuvo l torma s dduc qu h tin a lo sumo dos raícs y qu h tin a lo sumo trs raícs. (c) Vamos qu los puntos fijos d H son las raícs d la cuación x + x = x. En fcto, H(x) = x x x + = x x = x(x + ) = x + x. 4

5 Como ya hmos visto, las únicas raícs d sta cuación son α, α y α 3. Vamos qu la función H s strictamnt crcint n (0, ). La drivada d H s Ahora bin, H (x) = x ln()(x + ) x (x + ) = x ((x + ) ln() ). (x + ) x (0, ) = (x + ) ln() > ln() > 0 = H (x) > 0. (Obsérvs qu ln() > 0 ln() > ln() > / > / 4 >.) Por otra part, H(0) = / [0, ] y H() = /3 [0, ]. D aquí s dduc qu la sucsión {x n } dfinida a partir d x 0 = 0 por la rcurrncia x n+ = H(x n ), n = 0,,,... convrg a un punto fijo d H n [0, ]. Ncsariamnt st punto fijo s α. PROBLEMA 4. La sri d potncias su radio d convrgncia s: n= n n! (x )n tin como término gnral a n = n /n! Por tanto a n n (n + )! n + r = = n a n+ n n+ = =. n! n En conscuncia, la sri convrg para todo x R. Por otra part, la sri d potncias y su radio d convrgncia s: n n (x )n tin como término gnral a n = n /n n= a n n (n + ) r = = n a n+ n n+ n = n + n n =. Por tanto, la sri convrg absolutamnt para x ( /, + /) = (/, 3/). Estudiamos dirctamnt la convrgncia para x = 3/ y x = /. Para x = 3/, la sri s y por tanto s divrgnt. n n= ( ) n Para x = /, la sri s, qu s convrgnt n virtud dl critrio d Libniz, n n= ya qu la sucsión {/n} s dcrcint y tind a cro. En rsumn, la sri convrg para x [/, 3/). 5

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