TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVA ERIVADA DA.

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1 Unidad. Funcions.Aplicacions d la drivada TEMA. APICACIONES DE A DERIVA ERIVADA DA.. Monotonía. Crciminto y dcrciminto d una función. Etrmos rlativos 3. Optimización. Curvatura 5. Punto d Inflión 6. Propidads funcions drivabls 6.. Torma d opital 6.. Torma d Roll Apunts d Matmáticas II ºBachillrato para prparar l amn d la PAU OE 69

2 Unidad. Funcions. Aplicacions d la drivada. Contto con la P.A.U. En los ámns d slctividad sul habr simpr un problma n cada opción n dond s pid calcular l crciminto y/o la curvatura d una función. Por lo gnral las funcions qu aparcn son n una opción una fracción polinómica y n la otra o un ponnt o un logaritmo. Aunqu d primras pud parcr qu las funcions ponncials o logarítmicas son más complicadas, por lo gnral suln sr más sncillas, ya qu las drivadas, n spcial la sgunda, son más fácils d igualar a cro, y así studiar la curvatura o l crciminto. Otros problmas qu aparcn son los problmas d maimización o minimización, qu por lo gnral son rlativas a las funcions áras máimas o mínimas, pndint mínima o máima. Una custión muy común n los ámns d slctividad son los límits qu s calculan a partir d opital. También s utiliza opital n l studio d asíntotas d las funcions, la continuidad y la drivabilidad d funcions vr tma antrior. 7 José. ornt Aragón lorntjl@gmail.com

3 Unidad. Funcions.Aplicacions d la drivada. Monotonía. Crciminto y dcrciminto d una función En l tma antrior, rlacionamos las drivadas con la pndint d las rctas tangnts a la gráfica dscrita por la función, s dcir f s la pndint d la rcta tangnt a la gráfica f n. Vamos a rlacionar l signo d mf con l crciminto o dcrciminto d la función, para sto nos valmos d la siguint función: yf 3-5 f ,- - -,, Signo f - Crciminto Apunts d Matmáticas II ºBachillrato para prparar l amn d la PAU OE 7

4 Unidad. Funcions. Aplicacions d la drivada. Claramnt vmos como si f > la rcta tangnt s crcint, pus la pndint s positiva, y por lo tanto f crcint n. D igual forma si f < la rcta tangnt s dcrcint, pus su pndint s ngativa, y por lo tanto f dcrcint n Conclusión: a Si f > la función f s strictamnt crcint n b Si f < la función f s strictamnt dcrcint n. Etrmos rlativos Ants d rlacionar los trmos rlativos con la drivada dfinámoslos. Dfinición: trmo rlativo d una función f s todo punto tal qu para todo ntorno dl punto E,r s cumpl qu la función n st intrvalo crc y dcrc. Sgún crzca ants o dspués d, distinguimos dos tipos d trmos rlativos: a Máimo rlativo n : la función crc hasta y dcrc a partir d. b Mínimo rlativo n : la función dcrc hasta y crc a partir d. Está claro qu si s un trmo rlativo d f n st punto la gráfica ni crc ni dcrc, lugo una condición ncsaria s qu f, así la pndint d la rcta tangnt s m sindo por tanto parallo al j. Pro stá no s la única condición. Vamos qu admás otra condición s ncsaria, qu admás nos prmit discrnir si s máimo o mínimo rlativo: Sa un punto d una función n l qu s cumpl a f b f < ntoncs,f s máimo rlativo Sa un punto d una función n l qu s cumpl a f b f > ntoncs,f s mínimo rlativo En la práctica cumpliéndos qu f y vindo l crciminto d la función ants y dspués dl punto podmos vr si s punto rlativo y cuál d los dos s. En l caso d qu f pro también f, no podmos asgurar qu st punto sa trmo rlativo y hay qu studiar las drivadas d ordn suprior hasta qu sta drivada no sa nula n. Para vr si la función tin trmo rlativo o no vmos l siguint squma: 7 José. ornt Aragón lorntjl@gmail.com

5 Unidad. Funcions.Aplicacions d la drivada f n con n impar Punto d Inflión n f f f f n > mínimo f n n par f n < máimo Ejmplo: studiar si n las siguints funcions hay máimo, mínimo o punto d inflión n a yf 3 f 3 n f f 6 n f f 6 n f 6 Como la primra drivada no nula s la trcra impar tnmos un Punto d Inflión n P. I,f, b yf f 3 n f f n f f n f f IV IV n f Como la primra drivada no nula s la cuarta par tnmos un Punto rlativo, IV como f > srá mínimo m,f, 3 Apunts d Matmáticas II ºBachillrato para prparar l amn d la PAU OE 73

6 Unidad. Funcions. Aplicacions d la drivada. Ejrcicio: Estudiar la monotonía, y los trmos rlativos d las siguints funcions: a yf Vamos l signo d la drivada: f f f -3 -,,3 3 3, Signo f - Crciminto,f,6 3,f33,5 f < Máimo f 3> Mínimo Máimo M,f,6 Mínimo m3,f33,5 M m b y/ln Primro studimos l dominio, vamos los puntos qu no prtncn al dominio a > por l logaritmo npriano b Dnominador s cro: ln, asíntota vrtical Domf, -{} ln f ln ln ln f ln ln ln ln ln ln ln 7 José. ornt Aragón lorntjl@gmail.com

7 Unidad. Funcions.Aplicacions d la drivada Signo d la primra drivada: como ln > para vr l signo sólo ncsitamos vr l signo d ln-: ln- Admás d los puntos dond s anula la drivada hay qu añadir los puntos qu no prtncn al dominio, ya qu n llos pud cambiar l crciminto. En st caso añadimos.,,, Signo f - - Crciminto Mínimo m,f, Dom f,f, f /> Mínimo m c 8 y f, DominioR-{} f, f Signo d f : 8 No solución no trmos rlativos f > Sólo tnmos qu vr crciminto ants y dspués d, qu no prtnc al dominio: -,, Signo f Dominio Crciminto Apunts d Matmáticas II ºBachillrato para prparar l amn d la PAU OE 75

8 Unidad. Funcions. Aplicacions d la drivada. 3. Optimización En muchas situacions s plantan problmas d optimización, s dcir hacr qu una variabl sa máima o mínima para una prmisas impustas. os casos d optimización qu trabajarmos s cuando la función dpnd d una sola variabl. Pasos a sguir para optimizar:. Eprsar la función qu dsamos optimizar n función todas variabls.. Si la función tin más d una variabl rlacionar las variabls con los datos dl problma y obtnr una función d una sola variabl. 3. Drivar la función, igualarla a cro y así obtnr los puntos rlativos. Comprobar mdiant la sgunda drivada si stos puntos máimos o mínimos. Ejmplo: S quir construir bots d nlatar d forma cilíndrica d litros d capacidad. Calcular las dimnsions para qu l gasto sa mínimo y Vπ y y/π El gasto s proporcional a la suprfici: Gasto,yK Suprf π π ygk [π π /π ]K[π /] G K[π-/ ] π-/ π r π dm hy π G π/ 3 G 3 5 π > Mínimo 76 José. ornt Aragón lorntjl@gmail.com 3 5 π dm

9 Unidad. Funcions.Aplicacions d la drivada Ejrcicio: dscomponr l númro 8 n dos sumandos tal qu l quíntuplo dl cuadrado dl primro más l sétuplo dl cuadrado dl sgundo sa mínimo. 8y y8- f,y5y 6 f f -8 /, y 88/ f f /> Mínimo Ejrcicio: una hoja d papl db contnr 8 cm d tto imprso, márgns suprior infrior d cm y latrals d cm. Obtnr las dimnsions qu minimizan la suprfici dl papl y y8 y8/ Ara,y y A 8/836/8636/ A -36/ 3cm y6cm A 7/ 3 A 3> mínimo Dimnsions: 5cm cm. Curvatura Vamos las dfinicions d los dos tipos d curvaturas posibls n una función: Dfinición : una función s cóncava hacia las y positivas o cóncava hacia arriba n un punto P,y si la rcta tangnt n st punto stá por dbajo d los puntos próimos a P. Gráficamnt tin forma d Dfinición : una función s cóncava hacia las y ngativas o cóncava hacia abajo n un punto P,y si la rcta tangnt n st punto stá por ncima d los puntos próimos a P. Gráficamnt tin forma d. Apunts d Matmáticas II ºBachillrato para prparar l amn d la PAU OE 77

10 Unidad. Funcions. Aplicacions d la drivada. Podmos sabr si una función s cóncava hacia arriba o hacia abajo a partir d la sgunda drivada: Si f >, ntoncs f s cóncava hacia arriba n l punto,f. Rcordar la curvatura d yf y como f > Si f <, ntoncs f s cóncava hacia abajo n l punto,f. Rcordar la curvatura d yf- y como f -< Ejmplo: yf 3 f 6, si > cóncava hacia arriba y si < hacia abajo Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba 5. Puntos d Inflión Uno d los puntos más importants a la hora d rprsntar una función son los puntos d inflión, vamos qu s un punto d inflión: Dfinición: s dic qu f tin punto d inflión n,f si n s punto cambia la curvatura d la función, s dcir pasa d sr cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o al rvés. En st punto la rcta tangnt a la función corta a la función. Vamos a vr la rlación ntr los puntos d inflión y las drivadas d la función, n l siguint torma: Si f cumpl n qu la sgunda drivada s nula f y admás la trcra drivada s distinta d cro f ntoncs la función f tin un punto d inflión n,f. En l caso d qu f pro también f tndrmos qu rcurrir a las drivadas d ordn suprior, y vr l ordn d la primra no nula n. Como vimos n l apartado. 78 José. ornt Aragón lorntjl@gmail.com

11 Unidad. Funcions.Aplicacions d la drivada f n con n impar Punto d Inflión n f f f f n > mínimo f n n par f n < máimo Ejmplo: Estudia l crciminto, puntos rlativos, la curvatura y los puntos d inflión d la función f Primro vmos l dominio DomfR-{-} f Vmos qu simpr s positiva para todo valor d -,- - -, Signo f No ist - Domf Crciminto No Punto rlativo Vamos ahora la curvatura y los puntos d inflión f Como s positivo sólo tnmos qu studiar l signo d, por so no simplificamos la fracción. El signo d la sgunda drivada s: -,- - -, Signo f No ist - Domf - Cocavidad No P.I. Apunts d Matmáticas II ºBachillrato para prparar l amn d la PAU OE 79

12 Unidad. Funcions. Aplicacions d la drivada. Ejrcicio: studiar monotonía y curvatura d f Primro vmos l dominio d f, como -- ntoncs DomfR-{} f No simplificamos la fracción para qu l signo dl dnominador sa simpr positivo lvado a potncia par. El numrador s anula n y Domf -,,, Signo f - No ist - Crciminto m,f, Domf f < Mínimo f 3 [ 8 6 8] / S anula n -/ José. ornt Aragón lorntjl@gmail.com

13 Unidad. Funcions.Aplicacions d la drivada -,-/ -/ -/,, Signo f - No ist Concavidad PI-/,f-/ -.5,/9 Domf f -/ Ejrcicio: san f 3, g y h 5 dtrminar si n hay un P.I. o un punto rlativo. a f 3 f f 6 f f 6 f 6 n3 P.I., Apunts d Matmáticas II ºBachillrato para prparar l amn d la PAU OE 8

14 Unidad. Funcions. Aplicacions d la drivada. b g 3 g g g g g g g > n Punto rlativo Mínimo m, c h 5 h h 3 h h 6 h h h h 5 h 5 n5 P.I., y 3 y y 5 6. Propidads funcions drivabls 6.. Torma d opital Ya hmos visto n l tma antrior qu hay límits qu para calcularlos s ncsario utilizar l torma d opital, vamos n qu consist: Torma: San f y g continuas y drivabls n qu vrifican: a f g b f g ± ntoncs s cumpl: f f g g Esta rgla s válida para R, o -. 8 José. ornt Aragón lorntjl@gmail.com

15 Unidad. Funcions.Aplicacions d la drivada Esta rgla s pud aplicar sucsivas vcs si l límit sigu sindo / o / Ejmplos: sn cos a 3 6 b sn cos sn cos ln c ln d ln / π tg tg π π π π π sn cos π sn π cos π cos π π cos 6.. Torma d Roll Un torma muy important s l dnominado torma d Roll qu nos dmustra qu cuando una función drivabl pasa dos vcs por la misma altura ntoncs tin un punto rlativo ntr stos dos puntos: Torma d Roll: sa f qu cumpl las siguints condicions: continua n [a,b] drivabl n a,b fafb ntoncs ist al mnos un punto c a,b tal qu f c s dcir tin un máimo o mínimo rlativo Vamos como s fácil d intrprtar st torma, si lo hacmos d forma gráfica, s smjant al d Bolzano Apunts d Matmáticas II ºBachillrato para prparar l amn d la PAU OE 83

16 Unidad. Funcions. Aplicacions d la drivada. Intrprtación gráfica: Pud ocurrir qu haya dos o más puntos qu cumpln l torma f c a c c b Ejrcicios PAU: sólo vrmos los qu stán rlacionados con la optimización y con opital, los rlativos al crciminto y a la curvatura s vrán n l tma siguint A Optimización Sptimbr. Pruba B. PR a Dada la función f/ln dfinida n [,], rcta tangnt con mayor pndint. Escribir cuación d dicha rcta a pndint d las rctas tangnts vin dada por la drivada d f f -/ /. Como tnmos qu buscar l valor con mayor pndint la función a optimizar s f, qu llamarmos g, gf. Optimicémosla g - [,] 3 3 Vamos si s máima o mínima: g / 3-6/ g /-3/8< máimo a pndint máima s m ma gf -///, sta s la pndint d la rcta tangnt n l punto P,f,/ln a rcta tangnt s por tanto: y-/ln/- y.5 ln 8 José. ornt Aragón lorntjl@gmail.com

17 Unidad. Funcions.Aplicacions d la drivada Junio 6. Pruba A. PR- Considérns las funcions f, g- -. Para cada rcta r prpndicular al j OX, san A y B los puntos d cort d dicha rcta con las gráficas d f y g, rspctivamnt. Dtrmíns la rcta r para la cual l sgmnto AB s d longitud mínima. Rctas prpndiculars al j OX son dl tipo. Cort con las gráficas a f A, o b g- - B,- -o ongitud sgmnto AB da,b AB, d Como tin qu sr distancia mínima calculmos la drivada d d igualar a cro d -. Vamos si s mínima o máima d d > Mínimo ugo la rcta s. Corta con f n,, y con g n,- -,- y Rcta qu pasa por dos puntos m y rcta paralla alj OY A, B,- - - Apunts d Matmáticas II ºBachillrato para prparar l amn d la PAU OE 85

18 Unidad. Funcions. Aplicacions d la drivada. Sptimbr 8. Pruba B PR-. allar, d ntr los puntos d la parábola d cuación y -, los qu s ncuntran a distancia mínima dl punto A-,-/ os puntos d la parábola son P, -. a distancia ntr P y A son: d A, P AP, 7 d Nota si buscamos distancia mínima s cumpl también qu d también srá mínima: fd 7 f 3 - P-, Vamos qu s mínimo f, f ->, s mínimo Otros jrcicios optimización: Ejrcicio: san las funcions f- y g, d todas las rctas parallas al j OX qu cortan n A a g y a B a f, calcular aqulla qu minimiza las distancias ntr los dos puntos. as rctas parallas al j OX son d la forma yt, qu srá l parámtro libr. os puntos A y B srán: y t A t Alnt,t y y B y t t Bt-,t da,b AB t ln t, t ln t t ln t a función qu tnmos qu maimizar srá dtt--lnt: d t t. t Vamos qu s un mínimo: d t t ugo la rcta buscada s y. d < 86 José. ornt Aragón lorntjl@gmail.com

19 Unidad. Funcions.Aplicacions d la drivada Ejrcicio : s la función f, calculo l punto P d la gráfica tal qu la ordnada n l orign d la rcta tangnt a dicha función n P sa máima. os puntos d la gráfica srán Pt,ftt, y las pndints d la rcta tangnt para stos puntos s mf t-t. D sta forma las rctas tangnts son: r: y-y m- r: y- -t -t r: y-t t. ugo la ordnada n l orign s nt t. Calculmos l valor d t qu minimiza la función: n t-t t -t 3 t-t 3 t-t t, t ± Vamos cuál d stos valors máimiza la función: n t t -8t n > Mínimo n ± < Máimo. ugo los punto son P, -/, P -, -/ Apunts d Matmáticas II ºBachillrato para prparar l amn d la PAU OE 87

20 Unidad. Funcions. Aplicacions d la drivada. Ejrcicio, calcular l rctángulo d ára máima inscrita n una circunfrncia d radio cm: Ara,y y Ayy y y y A y y - y y 6 y y y y B opital PAU Sptimbr 6. Pruba A C-3. y cm cm cuadrado Vamos qu s máima: A <. Máimo sn sn lncos cos cos tg sn tg cos PAU Junio 6 Pruba A C-3. lncos sn cos tg tg PAU Junio 6 Pruba BC-. Calcular a y b para qu l límit sa : a b cos a b sn b b para it sn cos a sn cos a cos cos sn a a / PAU Sptimbr Pruba A C-3 tg tg tg π tg π tg π tg José. ornt Aragón lorntjl@gmail.com

21 Unidad. Funcions.Aplicacions d la drivada Apunts d Matmáticas II ºBachillrato para prparar l amn d la PAU OE 89 PAU Junio Pruba B C- cos cos cos cos sn sn sn sn sn sn PAU Sptimbr 5 Pruba A C-. Calcular λ para qu l límit valga -: cos sn λ cos cos cos cos cos λ λ λ λ λ λ λ λ sn sn sn λ λ±. PAU Sptimbr 5 Pruba B C-3 cos cos cos cos ln ln sn sn sn sn sn sn PAU Junio 5 Pruba A C-3 / ln ln PAU Junio 7 Pruba A. C- ln ln ln ln ln ln

22 Unidad. Funcions. Aplicacions d la drivada. 9 José. ornt Aragón lorntjl@gmail.com PAU Sptimbr 7 Pruba B C-. PAU Junio 8 Pruba A. C-: 8 6 cos 3 cos 3 sn sn sn PAU Sptimbr 8 Pruba B. C-3: Calcular a para qu l límit sa 8 8 a a a a a a a a a a a±