11 Funciones derivables ACTIVIDADES INICIALES

Transcripción

1 Solucionario Funcions drivabls ACTIVIDADES INICIALES I Cunta la tradición qu sobr la tumba d Arquímds había sculpido un cilindro con una sfra inscrita Arquímds halló la rlación ntr sus volúmns y l volumn dl cono d igual radio y altura qu l cilindro Para llo, utilizó planos parallos a las bass y comparó las áras d los círculos obtnidos (vr figura) Qué rlación s obtin? Hállala R r r r Radio d la sfra (r ): R r r R Radio dl cilindro (r ): r R R r Radio dl cono (r ): r R S tin, pus, qu r r r Por tanto, l ára dl círculo d la sfra s igual al ára dl círculo dl cilindro mnos la dl cono II Halla l ára total y l volumn d un cono formado con un sctor circular d radio g y ángulo α radians El arco qu abarca un ángulo d α radians mid αg El radio r d la circunfrncia qu mid αg s: αg π r αg r, qu s l radio dl cono S calcula su altura h π La altura s l otro catto dl triángulo d hipotnusa g y catto αg g h g h π α π π αg : π g α El ára total dl cono s αg π π αg g El volumn dl cono s αg π π g π π α III Utilizando la smjanza d triángulos, halla la prsión dl ára latral y r dl volumn d un tronco d cono S calcula primro la altura corrspondint al cono pquñito qu s l ha h quitado al cono primignio para formar l tronco d cono R r rh R Por smjanza: Así pus, la altura H dl cono inicial h R r rh Rh ra H h h R r R r Tanto l volumn dl tronco como su ára latral s calcularán rstando las rspctivas mdidas dl cono inicial y dl cono pquñito suprimido π Rh π rh π h( R r ) Volumn dl tronco d cono: V R r R r R r R r Para calcular l ára latral, s dbn conocr las gnratrics G dl cono inicia y g dl cono suprimido Rh G R, R r g r rh R r Ára latral dl tronco d cono: A πr Rh R R r π r r rh R r 8 Solucionario

2 EJERCICIS PRPUESTS a bln si Sa f() Calcula a y b para qu f sa drivabl n si > Primro s impondrá la condición d qu sa continua n Para so s studia sus límits latrals y l valor d la función n dicho punto: lim f( ) lim ( a bln ) a bln a, lim f ( ) lim ( ), f ( ) a S igualan las prsions antriors y s tin qu l valor d a db sr a Abordando la drivabilidad n La función drivada para s: b b a si < si < f ( ) f ( ) si > si > Como ya s tin sguridad d qu f s continua n, s sab qu para qu f sa drivabl n basta con qu lim f ( ) lim f ( ) : b b lim f ( ) lim b, lim f ( ) lim Por tanto, b, s dcir, b Así pus, para qu f sa drivabl n db sr a y b Es continua n 0 la siguint función? f() sn si 0? Y drivabl? si > 0 lim f( ) lim ( sn ) 0 sn , Así pus, f s continua n 0, ya qu lim f ( ) f (0) 0, f ( 0) 0 0 lim ( ) lim ( f ) cos si < 0 La función drivada para 0 s: f ( ) si > 0 Como ya s tin sguridad d qu f s continua n 0, s sab qu para qu f sa drivabl n basta con qu lim f ( ) lim f ( ) : lim f ( ) lim ( cos ) 0 cos 0, lim f ( ) lim Como lim f ( ) lim f ( ), la función no s drivabl n 0, aunqu sí qu s continua n dicho punto 0 0 Sa f() ( ) ( ) Dmustra qu la cuación f () 0 tin alguna solución n l intrvalo [, ] La función f s continua y drivabl ya qu s polinómica Admás, f( ) f(), por tanto, pud aplicars l torma d Roll qu nos asgura qu f () 0 tin una solución n l intrvalo [, ] Aplicando l torma d Roll, justifica qu la gráfica d la función f () 5 7 no pud cortar vcs al j horizontal La función f s continua ya qu s polinómica Admás f() 09 y f(0), así pus, l torma d Bolzano nos asgura qu f corta al mnos una vz al j horizontal n un punto c prtncint al intrvalo (, 0) Si cortara al j horizontal n otro punto d, s tndría qu f(c) 0 y f(d) 0 y, por tanto, s podría aplicar l torma d Roll n l intrvalo crrado d trmos c y d y rsultaría qu la drivada d f s anularía al mnos una vz Sin mbargo, la drivada d f s f () 5 7 qu no s anula nunca porqu simpr s positiva Así pus, la suposición qu s hizo d qu cortaba más vcs al j horizontal s falsa Solucionario 8

3 Solucionario 5 Dmustra qu la cuación 5 0 c 0 no pud tnr más d una solución n l intrvalo [, ], sa cual fur l númro c Llamando f() 5 0 c, como f ( ) 0 0 prsupon qu f () nunca s transforma n cro n (, ), ntoncs f() no pud cortar más d una vz al j n l intrvalo [, ] 6 Sa f() Compruba qu f s continua n R, f(8) f(8) y, n cambio, f () no s anula nunca Contradic st hcho l torma d Roll? f s continua n R porqu s composición d funcions continuas n R: g() Trabajando n l intrvalo crrado [8, 8], s v qu: f ( 8) ( 8) 6 6, f (8) y h() S calcula su drivada: f ( ) La drivada no stá dfinida para 0 y, por tanto, f no s drivabl n l intrvalo abirto (8, 8) y no s cumpln las hipótsis dl torma d Roll 7 Dada la función, f () Hay algún punto d su gráfica n l qu la tangnt sa paralla a la rcta qu un los puntos A(,) y B(, 8)? Hállalo Calcula la cuación d la tangnt mncionada La función f() s continua n l intrvalo crrado [, ] y drivabl n l abirto (, ) por sr una función polinómica Así qu l torma dl valor mdio indica qu ist un númro c d (, ) qu cumpl f () f ( ) 9 qu f ( c) S halla ahora s númro c: f ( ), ntoncs:, ( ) (,) S obtin, pus, l punto P(, ), n l qu la tangnt s paralla al sgmnto AB bsrva qu, aunqu l torma dl valor mdio no lo asgur, l punto Q(, ) también cumpl qu la tangnt qu pasa por él s paralla a la rcta qu un los puntos A y B En st caso l sgmnto AB prtnc a la rcta tangnt La tangnt n P(, ) s y y la tangnt n Q(, ) s y si < 8 Sa f() Compruba qu: si a) f s continua n [, ] y drivabl n (, ) b) Encuntra l númro c (, ) cuya istncia asgura l torma dl valor mdio a) Como 0 no prtnc al dominio, s claro qu l único punto conflictivo s l d abscisa : lim f( ) lim, lim f( ) lim, f () Así pus, f s continua si < < En l intrvalo abirto (, ) la función drivada para s: f ( ) si < < lim f ( ) lim, lim f ( ) lim Como lim f ( ) lim f ( ), la función s drivabl si < n y s f ( ) Por tanto, la función s drivabl n (, ) y su prsión s: f ( ) si < < f () f () b) S sab ntoncs qu ist un númro c dl intrvalo abirto (, ) qu cumpl: f ( c) 8 Ahora s busca s númro c, qu db prtncr al intrvalo (, ] ya qu n l otro tramo la drivada val simpr 8 Así pus, c, 6 (la solución ngativa no prtnc al intrvalo (, ]) c 8 8 Solucionario

4 9 Halla los siguints límits: sn a) lim 0 sn b) ln lim c) lim 0 ln ( ) d) lim ln a) Como lim sn 0 y 0 sn cos lim lim 0 sn 0 cos lim sn 0, s pud aplicar L Hôpital para calcular l límit pdido: 0 cos 0 cos 0 b) Como lim ln y lim, s pud aplicar L Hôpital para calcular l límit pdido: ln lim lim lim 0 c) Como lim ( ) 0 0 lim lim 0 ln ( ) 0 y lim ln ( ) 0, s pud aplicar L Hôpital para calcular l límit pdido: 0 lim 0 ( )( ) d)para calcular lim ln hay qu transformar sa rsta n un cocint: ln lim lim Como lim ( ln ) 0 y lim (( ) ln ) 0, s pud aplicar ln ( ) ln L Hôpital para calcular l límit pdido: ( ) ln lim lim lim lim ln ln ln ln y d nuvo s pud aplicar L Hôpital: lim lim lim ln ln ln 0 Calcula lim 0 sn Est límit da lugar a una indtrminación dl tipo 0 0, por tanto, s db manipular un poco para podr sn sn aplicar L Hôpital Si y, ntoncs ln y ln sn ln S calcula l límit d sta última prsión: ln, y ya s stá n condicions d aplicar L Hôpital: lim ln y lim sn ln lim sn ln sn sn cos 0 lim sn ln lim lim lim lim 0 cos cos cos sn sn sn S ha obtnido qu lim ln y 0 0 sindo y sn, así pus sn sn lim ln 0 lim 0 0 Dmustra qu lim k 0, para cualquir k > 0 k Para calcular lim, s pud aplicar L Hôpital ya qu numrador y dnominador tindn a más infinito (rcuérds qu k > 0), y s rpit l procso hasta qu l numrador sa un númro (l dnominador no s altra porqu la drivada d y s lla misma): k k k k k( k ) k( k )( k ) lim lim lim lim 0 si K Z k kn k( k ) ( k n ) Si K Z y K ( n, n) con n N lim lim 0 Solucionario 85

5 Solucionario Calcula lim ( ) S pud scribir l límit buscado como dl tipo lim ( ) lim ( ) 0 ( ) Si s dnomina y a la prsión última s v qu: qu da lugar a una indtrminación ln( ) y ( ) ln y ln( ) ln( ), y ya s pud calcular l límit d sta última prsión aplicando L Hôpital dos vcs: ln( ) lim lim lim lim lim lim Así pus, s ha obtnido qu lim ln y, por tanto: lim ln ( ) lim ( ) Dmustra qu ln lim k 0, para cualquir númro positivo k El límit da lugar a una indtrminación dl tipo lim ln lim lim k k 0 k k k y aplicando L Hôpital s obtin qu: Sa f drivabl n 0 Justifica si las siguints afirmacions son vrdadras o falsas: a) Si f ( 0 ) 0, ntoncs f s crcint n 0 b) Si f s dcrcint n 0, ntoncs f ( 0 ) < 0 c) Si f ( 0 ) 0, ntoncs f prsnta un trmo rlativo n 0 a) Es falsa ya qu si f ( 0 ) 0, hay casos n los qu la función pud prsntar un trmo rlativo n 0 y, ntoncs, ni crc ni dcrc Por jmplo, f ( ) cumpl qu f ( 0) 0 y no s crcint n 0 ya qu s un mínimo Si la dsigualdad fura stricta sí sría cirta la afirmación b) Es falsa ya qu 0 podría sr un punto d inflión con tangnt horizontal y la función sr dcrcint n él Por jmplo, la función f ( ) s simpr dcrcint, y n 0 su drivada val cro c) Es falsa; f ( 0 ) 0 solo dmustra qu n dicho punto la tangnt s horizontal Por jmplo, la función f ( ) cumpl qu f ( 0) 0 y n 0 no hay máimo ni mínimo rlativo ya qu s trata d un punto d inflión, so sí, con tangnt horizontal 5 Sñala las abscisas d todos los puntos dond s posibl qu la función f() 5 5 prsnt trmos rlativos Las abscisas d los posibls trmos rlativos son los valors d qu anulan la drivada d f(): f ( ) S rsulv ahora la cuación f ( ) 0 : ( ) 0 ( ) 5 si 0,, ó, qu son las abscisas d los posibls trmos rlativos 6 Sa f una función tal qu f () ( ) ( ) ( 5) btén las abscisas d los trmos rlativos d f, dcidindo qué son La drivada s anula para, y 5, qu son las abscisas d los puntos suscptibls d sr máimos o mínimos rlativos S studia l signo d la drivada n los intrvalos dfinidos por dichos valors: (,) (, ) (, 5) 5 ( 5, ) Signo d f f Dcrcint Mín Má Mín Crcint Dcrcint rlativo rlativo rlativo Crcint 86 Solucionario

6 7 btén los trmos rlativos d la función f() Como intrvinn valors absolutos, s db dfinir la función a trozos, limitados por los valors qu anulan los valors absolutos: y Admás, la función s continua pus s suma d cocints d funcions continuas y los dnominadors nunca s hacn cro La función s: si < 5 f( ) si 5 si > Su drivada, salvo n los puntos y, s: si < ( ) (5 ) f ( ) si< < (5 ) si > ( ) La drivada no s anula ni n l primr tramo (simpr s positiva) ni n l trcr tramo (simpr s ngativa) Así qu, los trmos rlativos s dbn buscar n l tramo intrmdio: (5 ) (5 ) (5 ) (,, ), (, ) Signo d f 0 Mínimo f Crcint Dcrcint rlativo Crcint Dcrcint La función prsnta un mínimo rlativo n l punto A 5 5 Máimo rlativo n B, y C 5,, y no s drivabl ni n ni n 5 8 Encuntra númros no ngativos qu sumn, tals qu uno sa dobl qu otro y qu la suma d sus cuadrados sa: a) Máima b) Mínima Es un problma d optimización S nombran las variabls, qu son los trs númros:,, y S rlacionan las variabls: y, s dcir, y La función qu s quir maimizar y minimizar s S ( ) y, s dcir, S ( ) () ( ) 8 96 S busca l intrvalo n l qu s muv la variabl Como y son no ngativos, db star n l intrvalo 0, 5 S busca l máimo y l mínimo d S ( ) 8 96 n 0, 980 S ( ) 8 8 0, S compara: S ( ) 70, S ( 0) 96 y S 9 Así pus, l máimo s alcanza para 0, con lo qu los númros srían 0, 0 y y l mínimo s alcanza para y los númros srían, 6 y 5 Solucionario 87

7 Solucionario 9 S quir scribir un tto d 96 cm tal, qu dj cm n cada margn latral d la hoja n la qu stá scrito así como cm arriba y abajo Calcula las dimnsions d la hoja más pquña posibl S dtrminan las variabls, qu son los dimnsions d la hoja: los cm qu mid la bas y los cm qu mid la altura S rlacionan las variabls: l tto scrito db sr 96 cm, así pus ( )( y 6) 96, y oprando s 7 6 obtin: ( )( y 6) 96 y 6 y 96 y( ) 7 6 y La función qu s quir minimizar s la suprfici d la hoja: S y S ( ) S busca l intrvalo n l qu s muv la variabl En st caso, db star n l intrvalo abirto (, ) S busca l mínimo d S ( ) n (, ) (7 )( ) (7 6 ) ( )( ) La drivada S ( ) s anula si ( ) ( ) ( ) La solución ngativa no aporta nada Si 0 < <, la drivada s ngativa y la función dcrc; si >, la drivada s positiva y la función crc, así pus, n stá l mínimo 7 6 La altura, y, mid y 8 cm Las dimnsions d la hoja más pquña posibl son: cm d bas y 8 cm d altura 0 Tin algún punto d inflión la gráfica d f() sn? Para hallar los puntos d inflión s dbn calcular los valors d qu anulan la drivada sgunda d la función y dspués studiar si, n llos, cambia la curvatura: f ( ) cos f ( ) sn f ( ) 0 sn 0 sn, qu no tin solución Por tanto, la función f no tin puntos d inflión La drivada sgunda s simpr positiva y la función s cóncava hacia arriba n todo su dominio Halla los puntos d inflión d f() La primra drivada s f ( ) ( ) La sgunda drivada s f ( ) ( ) ( ) S anula solo si S studia la curvatura para sabr si n dicho valor hay o no punto d inflión: (, ), Signo d f 0 f Cóncava hacia abajo Punto d inflión Cóncava hacia arriba Así pus, l punto (, ) ( ) s un punto d inflión Eplica por qué todas las cúbicas (gráficas d polinomios d trcr grado) tinn un punto d inflión Las funcions cúbicas tinn una prsión dl tipo f ( ) a b c d con a 0, cuya primr drivada s f ( ) a b c y la sgunda drivada s f ( ) 6a b b La sgunda drivada s anula si f ( ) 0 6a b 0 y aquí hay simpr un punto d a inflión ya qu f ( ) 6a b s una rcta no horizontal ( a 0), y, por tanto, cambia d signo a izquirda b y drcha d, qu s dond corta al j a 88 Solucionario

8 Encuntra una rlación ntr a, b y c para qu la curva f () a b c no tnga puntos d inflión La primra drivada s f ( ) a b c, y la sgunda s f ( ) a 6b c Para qu no tnga puntos d inflión, la drivada sgunda no db anulars nunca: f ( ) 0 a 6b c 0 6a b c 0 y para qu sta cuación d sgundo grado no tnga solucions db tnr su discriminant ngativo, s dcir: (b) 6a c < 0 9b ac < 0 Para anstsiar a una prsona hacn falta 0 mg d anstésico por cada kg d pso El anstésico s limina d la circulación sanguína con una rapidz proporcional a la cantidad prsnt Si tarda horas n rducirs a la mitad, calcula aproimadamnt la dosis ncsaria para mantnr anstsiada a una prsona d 60 kg durant hora Sa A(t) la función qu da los mg d anstésico qu hay n la sangr n cada instant d t horas Al sr A ( t) kt proporcional, s sab qu A ( t) k A( t), s dcir, k, d dond, A( t) M A( t) S calcula ahora los valors d los parámtros M y k ayudándonos d los datos dl problma A( t) Nos asguran qu a las dos horas s rduc a la mitad, s dcir: A ( t ) kt k( t ) M kt k k prando s obtin qu: M k 0, 657 0,5t Así pus, s pud asignar l valor k 0,5 La función buscada s A( t) M Para mantnr anstsiada a una prsona d 60 kg s ncsitan 00 mg d anstésico y s rquir qu sta sa la cantidad qu haya n su sangr al cabo d una hora: A() 00 0,5 Por tanto, A () M 00 M 70, 88 S pud asignar M 70,88 y la función ya quda dfinida: A( t) 70,88 La cantidad d anstésico la dará l valor d A(t) para t 0: A ( 0) 70, 88 mg kt 0,5t 5 En l punto B d la suprfici d un lago s dja un bot con una gaviota qu quir ir volando hasta l punto T d la orilla Si al volar sobr agua fría gasta l dobl d nrgía qu volando sobr tirra, calcula la dircción dl vulo qu db lgir la gaviota para consumir la mínima nrgía n llgar d B a T B α A P T Datos: AT 000 m, AB 500 m La gaviota consum y unidads d nrgía por km volando sobr tirra y y unidads sobr agua fría Consumo y y f 500 (000 ) ( ) 500 f ( ) y f () 0 si ± f(0) 000 u, f (000) u, f 000 u 500 Así pus, l mnor consumo d nrgía corrspond a qu quival a una dircción d vulo d α grados con tgα, s dcir, α 0º rspcto d la rcta AB Solucionario 89

9 Solucionario 6 La función qu nos da la posición, n mtros, d un móvil con trayctoria rctilína s t () 0t t sindo t l timpo mdido n sgundos a) Calcula su vlocidad a los 6 s b) Calcula su aclración Qué tipo d moviminto s? c) En qué momnto cambia d sntido su trayctoria? d) Para qué t vulv a pasar por l punto d partida? ) D las siguints gráficas, indica cuál rprsnta la vlocidad dl móvil n función dl timpo v v v t t t a) La vlocidad s la drivada dl spacio rspcto dl timpo, vt ( ) t ( ) 0 6t, así pus, a los 6 sgundos la vlocidad s v (6) m/s b) La aclración s la drivada d la vlocidad rspcto dl timpo, at ( ) v ( t) 6 m/s Es un moviminto uniformmnt aclrado (la aclración s ngativa) c) Como la trayctoria s rctilína, l punto d rtrocso srá aqul n l qu su vlocidad s hac cro y, por tanto, pasa d positiva a ngativa: vt () 0 0 6t 0 t 5s d) Pasará por l punto d partida cuando (t) (0), s dcir, para t 0 s ) La sgunda gráfica EJERCICIS Drivadas latrals y los límits latrals d f k si 7 Para la función f( ) : k si > a) Dmustra qu s continua sa cual fur l valor d k b) Calcula l valor d k para qu la función sa drivabl n todo su dominio a) g ( ) k y h ( ) k son continuas, por tanto, hay qu studiar la continuidad n n f k k, lim ( ) lim ( ) lim f( ) lim ( k ) k, f() k Así pus, f s continua n ya qu lim f ( ) f (), indpndintmnt dl valor qu tom k b) Las funcions g ( ) k y h ( ) k son drivabls, por tanto, solo falta imponr la condición d k si < qu también sa drivabl n La drivada d la función para s: f ( ) si > Para qu sa drivabl n (ya s sab qu s continua) db cumplirs qu lim f ( ) lim f ( ) : lim f ( ) lim k k y lim f ( ) lim Así pus, para qu f sa drivabl, db sr k k 90 Solucionario

10 8 Halla los valors d a y b para qu a b si < 0 f( ) sn( ) cos si 0 sa continua y drivabl n 0 lim f( ) lim ( a b) b 0 0, f ( ) lim ( ) lim sn( ) cos, f ( 0) 0 0 Para qu f sa continua n 0 db sr b a si < 0 f ( ) ; f ( ) lim a a cos( ) sn si > Para qu f sa drivabl n 0 db sr a y b lim ( ) lim cos( ) sn lim, f ( ) Estudia la continuidad y drivabilidad d la función f( ) Como aparcn valors absolutos s db dfinir la función a trozos Vamos cómo: ( ) si < ( ) si, si < si Sumando ambos valors absolutos, s obtin una función dfinida n trs trozos, a sabr: ( ) si < si < f( ) ( ) si <, s dcir f( ) 6 si < si si Solo s ncsario studiar la continuidad n los puntos d solapaminto y ya qu las funcions dl intrior d los intrvalos d dfinición son continuas y drivabls por tratars d rctas lim f ( ) lim ( ) 6, lim f ( ) lim 6 6, f ( ) 6 lim f ( ) lim 6 6, lim f ( ) lim 6, f ( ) 6 Así pus, tanto n como n, la función s continua y, por tanto, s continua n todo su dominio si < La drivada d la función, salvo para y, s: f ( ) 0 si < < si > La función no s drivabl ni n ni, ya qu: lim f ( ) lim f ( ) y lim f ( ) lim f ( ) 0 Encuntra la drivada d la función < si f( ) si Primro s db studiar la continuidad En l intrior d los intrvalos d dfinición, la función s continua ya qu n un caso s trata d una parábola y n l otro d una rcta Y n? lim f ( ) lim ( ), lim f ( ) lim, f ( ) Es dcir, f s continua n y, por tanto, f s continua n todo R si < Para distinto d, la drivada d la función s: f ( ) S studia si n ist la si > drivada: lim f ( ) lim ( ), lim f ( ) lim si < Por tanto, f ( ) y la función drivada d f s: f ( ) si Solucionario 9

11 Solucionario ln si 0 < Estudia la continuidad y drivabilidad d la función f( ) si > En l intrior d los intrvalos d dfinición, la función s continua ya qu n un caso s trata d un logaritmo con > 0 y n l otro d una racional cuyo dnominador no s anula S db studiar qué ocurr n l punto dond cambia la dfinición, s dcir, n : lim f ( ) lim ln, lim f ( ) lim, f ( ) Es dcir, f s continua n y, por tanto, f s continua n todo su dominio ( 0, ) si 0 < < Para distinto d, la drivada d la función s: f ( ) si > S studia si n ist la drivada: lim f ( ) lim y lim f ( ) si 0 < Por tanto, f ( ) y la función drivada d f s: f ( ) si > La función f s continua y drivabl n todo su dominio d dfinición lim sn si 0 (PAU) Considra la función f : R R dfinida por: f( ) b si > 0 Calcula l valor d b para qu f sa drivabl n 0 Como simpr, s impon primro la continuidad y lugo, si s l caso, la drivabilidad Continuidad n 0: lim f( ) lim sn 0, lim f ( ) lim ( b ) 0, f ( 0) Así pus, f s continua indpndintmnt dl valor qu tom b cos si < 0 Drivabilidad n 0: f ( ) b si > 0 lim f ( ) 0 lim cos, lim f ( ) lim ( b ) b Por consiguint, para qu f sa drivabl n 0 db cumplirs qu b Torma d Roll, con b R Eplica claramnt por qué las siguints funcions no cumpln las condicions dl torma d Roll n los intrvalos qu s mustran a) Y b) Y c) Y d) Y a) Aunqu la función s continua y f() f(5), tin dos puntos angulosos n los qu no ist la drivada b) La función no s continua n l intrvalo crrado Aunqu sí drivabl n l abirto c) La función s discontinua d) Aunqu s continua y drivabl no cumpl qu la función valga lo mismo n los trmos dl intrvalo crrado 9 Solucionario

12 Ilustra l hcho d qu las trs hipótsis dl torma d Roll son ncsarias con jmplos d gráficas d funcions qu solo cumplan dos d las trs hipótsis, y qu no cumplan la tsis dl torma a) La función s continua n [, ] y f() f( ), sin mbargo, no s drivabl n 0 No hay ningún punto con tangnt horizontal b) La función s continua y drivabl pro f( ) f() No hay ningún punto con tangnt horizontal c) La función s drivabl n (, ) y f() f( ), sin mbargo, no s continua n [, ] No hay ningún punto con tangnt horizontal a) b) c) Y Y Y 5 Compruba qu f( ) 5 cumpl las condicions d Roll n l intrvalo [, ] Dtrmina l valor d c dl torma d Roll Hay más d uno? La función s continua y drivabl ya qu s una función polinómica Por otra part, f( ) y f(), así qu f cumpl las hipótsis dl torma d Roll n l intrvalo crrado [, ] S halla ahora l valor c (,) n l qu s anula la drivada f ( ) : f ( ) 0 0, Así pus, c El otro valor n l qu s anula drivada s, qu no prtnc al intrvalo (, ) 6 Dtrmina si s aplicabl l torma d Roll a la función f n l intrvalo qu s spcifica En caso afirmativo, ncuntra todos los valors c dl intrvalo n los qu f (c) 0 a) f( ) ( )( )( ) n [ ] b) f( ) c) f( ), d) f( ) n [, ] ) n [, ] f) f( ) n [, ] n [ 0, ] n [, ] f( ) 5 a) La función s continua y drivabl por sr polinómica y f() 0 y f() 0 Sí s cumpln las hipótsis dl torma d Roll n l intrvalo [, ] La drivada d f( ) ( )( )( ) 6 6 s f ( ), qu s anula para 6 6 c, y para c,58, ambos valors prtncints al intrvalo abirto (, ) b) La función no s continua n [, ] porqu anula l dnominador Así qu no s cumpln las hipótsis dl torma d Roll n l intrvalo crrado [, ] c) El dnominador d f( ) no s anula nunca, así qu la función s continua ( )( ) ( )() () f ( ) El dnominador d su drivada, tampoco s ( ) ( ) anula nunca, por lo qu también s drivabl S calculan ahora las imágns n los trmos dl intrvalo [, ]: f( ) y f() Por tanto, sí s cumpln las hipótsis dl torma d Roll La drivada s anula si ( ) 0, s dcir si Así pus, c cumpl qu f (c) 0 Solucionario 9

13 Solucionario si 0 d) S dfin la función a trozos: f( ) si 0 < La función s continua ya qu n 0 s continua porqu sus límits latrals n 0 coincidn con f(0) si < 0 La drivada, si 0, s f ( ) Como lim f ( ) no coincid con lim f ( ), ntoncs si 0 < 0 0 f (0) no stá dfinida y la función no s drivabl n l intrvalo crrado [, ] ya qu no lo s n un punto dl mismo, 0 Por tanto, no s cumpln las hipótsis dl torma d Roll ) La función f( ) no s continua n pro st valor no prtnc al intrvalo [0, ] Así qu f sí ( ) ( ) s continua n [0, ] La drivada f ( ) también stá dfinida n l intrvalo ( ) ( ) abirto (0, ) S studian las imágns n los trmos dl intrvalo: f(0) 0 y coincidn, no s pud aplicar l torma d Roll n l intrvalo [0, ] f) f( ) 5 n [, ], continua y drivabl, f() f() c (, ) / f (c) 0 c f (), qu como no a 6 7 Dtrmina a para qu la función f( ) cumpla las condicions dl torma d Roll n l a intrvalo [, ] Halla los puntos d la gráfica n l intrvalo n l qu la tangnt s horizontal En primr lugar s impon la condición d qu la función valga igual n los trmos dl intrvalo: f( ) f(): a a a a f ( ( ) ) f () y rsolvindo sta última cuación, s ( ) 6 a 6 a 5 a a 5 obtin qu a ó a Ahora s db studiar si para stos valors la función s continua Si a, f( ) cuyo dnominador no s anula nunca por lo qu f() s continua y drivabl y cumpl las hipótsis dl torma d Roll, f '( ) ( 5) qu s anula para ( ± 5) Como c ( 5 ) 0,8 (,), s ést l punto dl intrvalo n l qu la tangnt s horizontal 6 Si a, f( ) cuyo dnominador s anula para 6 y qu no prtncn al intrvalo [-, ], lugo la función s continua y drivabl n l intrvalo y cumpl las hipótsis dl torma d ± Roll, f '( ) qu s anula para, lugo n c (,) s ( ) dond la tangnt s horizontal 8 Compruba qu ni f( ) ni g ( ) cumpln las condicions dl torma d Roll n l intrvalo [, ] y, sin mbargo, la gráfica d una d llas sí tin una tangnt horizontal n s intrvalo Cuál d llas? La función f ( ) no s continua n [, ] porqu no stá dfinida para 0 La función g( ) no s continua n [, ] porqu no stá dfinida para ni para Así pus, ninguna d las dos funcions cumpln las condicions dl torma d Roll n l intrvalo [, ] La drivada d f ( ) s f ( ), qu no s anula nunca La drivada d g ( ) s g ( ), qu s anula para 0, prtncint al intrvalo [, ] ( ) 9 Solucionario

14 Torma dl valor mdio 9 Compruba qu la función f( ) satisfac las condicions dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ] y, a continuación, ncuntra l númro c cuya istncia asgura dicho torma La función f ( ) s continua y drivabl n l intrvalo [, ] Nóts qu 0 no prtnc a dicho intrvalo f () f () Así pus, ist un númro c (,) tal qu f ( c) Por otra part, f ( c) Ya s pud c calcular c: c (La solución ngativa no s dl intrvalo [, ]) c 0 Dmustra qu si α y β son ángulos dl primr cuadrant con α < β, ntoncs, sn β sn α < β α Utiliza l torma dl valor mdio y la función sno A la función f() sn s l pud aplicar l torma dl valor mdio n l intrvalo crrado [α, β] Así pus, ist un númro c comprndido ntr α y β tal qu f( β) f( α ) f ( c)( βα ), s dcir, snβ snα cos c( β α ), y como l cosno d un ángulo dl intrior dl primr cuadrant s simpr mnor qu, s concluy qu: snβsnα cos c ( βα ) < ( βα ) <βα (PAU) Sa f la siguint función: a b < si f( ) si Eistn valors d a y b para los cuals f satisfac las hipótsis dl torma dl valor mdio n l intrvalo [0, ]? Razona la contstación y, n caso afirmativo, calcula dichos valors En primr lugar, la función db sr continua n : lim f ( ) lim ( a b) a b, lim f ( ) lim, f ( ) Por tanto, a b a b 0 En sgundo lugar, la función también db sr drivabl n : a si < La drivada, si s distinto d, s f ( ) si > Para qu f sa drivabl n db cumplirs qu: lim f ( ) lim f ( ) a a b Si a y b, la función f satisfac las hipótsis dl torma dl valor mdio n l intrvalo [0, ] (PAU) Aplicando l torma d Lagrang d los incrmntos finitos, dmustra qu para > 0 s vrifica: arctg( ) arctg( ) < El torma dl valor mdio también s conoc como l torma d Lagrang d los incrmntos finitos La función f() arctg() s continua y drivabl y s pud aplicar, pus, l torma dl valor mdio n cualquir intrvalo [a, a] con 0 < a, s dcir, ist un númro c, a < c < a, con f( a) f( a) f ( c)( a a), sto s, a a a arctg( a) arctg( a) a Como 0 < a < c, ntoncs < y s concluy qu: c c c a a a arctg( a) arctg( a) a < para cualquir a > 0 c c a Solucionario 95

15 Solucionario PAU S considra la función: f( ) n < si si m a) Dtrmina m y n para qu s cumplan las hipótsis dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ] b) Halla los puntos dl intrvalo cuya istncia garantiza dicho torma a) En primr lugar, la función db sr continua n : lim f ( ) lim ( n) n, lim f ( ) lim ( m ) 8 m, f ( ) 8 m Por tanto, n 8 m n m 6 En sgundo lugar, la función también db sr drivabl n : n si < La drivada, si s distinto d, s f ( ) m si > Para qu f sa drivabl n db cumplirs: lim f ( ) lim f ( ) n m n m 6 Así pus db cumplirs a la vz qu n m 6 y qu n m 6, s dcir n y m 5 si < si < b) La función s f( ) y su drivada f ( ) 5 si 0 si f() f( ) 8 5 >, no val ± 0, solo s mayor qu la solución Dada la función f( ), pruba qu n l intrvalo [, ] no ist ningún númro c tal qu f() f() f ( c) Contradic sto l torma dl valor mdio? Por qué? La drivada d la función s f( ), qu s simpr ngativa ( ) f() f() Por otra part s positivo f() f() La conclusión s qu no ist ningún númro c con f ( c) La función f( ) no s continua n l intrvalo [, ], ya qu n no stá dfinida Así pus, no s contradic l torma dl valor mdio ya qu st ig qu la función sa continua n l intrvalo n custión En cualquir otro intrvalo qu no contuvira a sí s cumpliría l torma 96 Solucionario

16 Rgla d L Hôpital y aplicacions 5 Calcula los siguints límits: ( cos ) sn a) lim 0 d) lim 0 ln ( ) g) lim 8 8 j) lim( a a) 0 a, a >0 b) lim ( tg ) tg 0 ) ( ) lim h) π lim( ) tg cos c) lim 0 f) lim 0 sn ( ) ( h ) ( ) h i) lim h 0 h (cos )sn sn sn ( cos )cos sn cos cos a) lim lim lim sn cos sn cos ( sn ) sn cos sn lim lim b) S pud scribir ( tg ) tg tg tg ln( tg ) tg ln( tg ) como ( tg ), ntoncs: ln( tg ) tg cos lim tg ln( tg ) lim lim lim ( tg ) tg tg cos Así pus: ( ) tg lim tg ln( tg ) 0 lim tg 0 0 c) cos cos lim lim lim lim lim 0 cos cos lim lim lim 0cos 0 0cos Si 0 l límit s y si 0 l límit s 0 d) 0 ln lim ln 0 ln lim ; ) lim ( ) lim ln lim ln, por tanto: ln ln 0 0 lim ln ln ( ) ( ) lim 0 lim cos ln lim ln 0 ln lim f) sn sn cos sn cos cos sn lim lim lim lim 0 0 sn 0 cos 0 sn sn ( )sn cos sn ( )cos cos sn 6 lim lim 6 0 sn 0 cos ( ) ( ) ( ) ( ) g) lim lim lim Al studiar los límits latrals, por la izquirda val y por la drcha Así pus, l límit no ist π π π π ( )sn sn ( ) cos π h) lim ( ) tg lim lim π π π π cos sn π i) La prsión d st límit nos rcurda mucho a la dfinición d drivada En fcto: h ( h) ( ) ( ) ( )' ( ) lim h 0 h j) lim ( ) 0 0 a lnaa a aln( a a a a ) lim ln ln ( a a ) lim lim a a a a a a(ln a a) a a a a a Solucionario 97

17 Solucionario 6 (PAU) Calcula los siguints límits: cos( ) a) lim ln( ) ( ) b) ( ) π cos lim cos cos( ) sn( ) sn( ) sn( ) cos( ) a) lim lim lim lim ( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( cos ) sn lim ln( cos ) cos lim π π cos ln( cos ) b) lim ( cos ) cos ; lim lim cos lim π π cos π sn π cos Así pus: lim ( cos ) π ln( cos ) lim π cos cos 7 En cada uno d los casos, calcula l valor d a para qu s cumpla la igualdad: ln( a) a) lim c) 0 sn lim a ln( ) b) 0 ( a ) ln cos lim d) ln(cos ) lim a 5 a ln( a) a) lim lim a a a 6 0 sn 0 cos asn( a) ln( cos( a) ) cos( a) asn( a) cos( ) a cos( ) sn( a) b) lim lim lim lim lim 0 ln(cos( ) ) 0 sn( ) 0 sn( ) cos( a) 0 cos( a) 0 sn( ) cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a sn a a a cos a a a a a lim lim Así pus, a ó a 0 sn 0 cos a a a a a c) lim lim lim lim lim a a a a a ln( ) a a a a a a a a d) ( a 5) a 5 a 5 lim lim lim a, por tanto, a 8 Dtrmina, n cada caso, l valor d a qu hac qu la función sa continua n todo R: a) f( ) si 0 a si 0 b) at si t gt () ( t ln ) ( t ) sit > a) Db cumplirs lim f ( ) f (0) a : lim f ( ) lim lim, si a, la función s continua b) Db cumplirs limg( t) g() a Para qu ista st límit hay qu asgurars d qu sus límits latrals coincidn lim g( t) lim ( t t lim g( t) lim ( at ) a t t ln( t ) )ln( t ) lim lim t t ) lim ( t ) ( t ) ( t ) lim t( t ) t t( ) t t t t t t ( t ) ( t ) lim 0 Si a 0, la función s continua t t t ( t 98 Solucionario

18 ( ) ln 9 (PAU) Sa f :( π, π) R la función drivabl qu para 0 vrifica qu f( ) sn a) Cuánto val f (0)? b) Cuánto val f '(0)? a) Al sr continua, f(0) db sr igual al límit d f n dicho punto ln( ) Aplicando L Hôpital: lim lim lim 0 Así pus, f(0) sn cos ( )cos b) S calcula f (0) aplicando la dfinición d drivada, y la rgla d L Hôpital dos vcs: ln( h ) f(0 h) f(0) f( h) 0 f( h) snh ln( h ) f (0) lim lim lim lim lim h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h sn h h ( h ) h h ( ) lim h h lim Así pus, f (0) h 0 snh hcosh h 0cos h cos h h( sn h) Etrmos rlativos Crciminto y dcrciminto 50 Las cuatro gráficas qu s mustran son las d las drivadas d otras tantas funcions En cada caso, razona si la función corrspondint alcanza un valor mayor para a o para b a) Y b) Y c) Y d) Y a b a b a b a b a) La drivada s positiva n l intrvalo [a, b], por tanto, la función s crcint n st intrvalo: f(a) < f(b) b) La drivada s ngativa n [a, 0 ) y positiva n ( 0, b], por lo qu f(a) > f( 0 ) y f( 0 ) < f(b) pro no podmos comparar los valors d f(a) y f(b) c) La drivada s positiva n l intrvalo [a, b], por tanto, la función s crcint n st intrvalo: f(a) < f(b) d) La drivada s ngativa n [a, b], por tanto, la función s dcrcint n st intrvalo Lugo f(a) > f(b) 5 (PAU) Considra la función f() g() Sabindo qu: I La función g() s continua, drivabl y tin un máimo n II f()g() a) Tin la función f un máimo n? Justifica tu rspusta b) Si, admás, s sab qu g ( ) a b ccalcula los valors d a, b y c para qu f tnga un mínimo n 0 a) La drivada d f() s f ( ) g( ) g ( ) S sab qu g () 0 ya qu g tin un máimo n Así pus f () g() g () g() 0 Para qu f tnga un máimo n, su drivada n dicho punto db valr cro, pro f () no pud valr cro ya qu ntoncs g() también valdría cro y sto no pud sr porqu nos dicn qu f() g() Por tanto, f no pud tnr un máimo n porqu f ( ) 0 b) La drivada d g ( ) a b c s g ( ) a b Como g tin un máimo n, g () 0, s dcir, a b 0 y b a Como f tin un mínimo n 0, f (0) 0 La prsión d la drivada d f ra f ( ) g( ) g ( ), ntoncs f ( 0) g(0) 0 g (0) g(0) c c 0 Así pus, g s d la forma g( ) a a g Por otra part, s sab qu f() g(), s dcir, g() g() [ () ], por tanto, g() ó g() Si g(), s tndría qu g () a a a, y la función sría g( ), qu s db dscartar porqu sta función s una parábola cóncava hacia arriba, qu no prsnta un máimo Si g(), s tin qu g () a a a, y la función sría g( ), qu sí tin un máimo n su vértic Así pus, a, b y c 0 Las funcions n custión son g( ) y f ( ) Solucionario 99

19 Solucionario 5 (PAU) Dtrmina un punto d la curva d cuación tangnt sa máima f( ) n l qu la pndint d la rcta La pndint d las rctas tangnts nos la da l valor d la drivada: f ( ) ( ) ( ) La pndint máima srá l máimo d sta drivada, por tanto s db studiar la drivada d la drivada: ( ) ( ) ( ) ( 6 ) f f ( ) 0 ( 6 ) ( ) 0 0,,, Por consiguint, las pndints d las rctas tangnts tinn un máimo rlativo n l punto (0, 0) Falta, pus, asgurarnos d qu s máimo s absoluto Para llo s studian los límits n l infinito d dichas pndints:, 0 0 0, Signo d f f Dcrcint Mínimo rlativo Crcint Máimo rlativo Dcrcint lim f ( ) lim ( ) lim 0 Análogamnt, lim f ( ) 0 Por tanto, l punto (0, 0) s l punto n l qu la pndint d la rcta tangnt s máima y dicha pndint 0 val f (0) ( 0 ) Mínimo rlativo, Crcint P 5 Dmustra qu para todo númro ral positivo, P, s cumpl qu ln( P) > Para llo sigu stos P pasos: I Dmustra qu la función f( ) ln( ) 0, s continua y drivabl n l intrvalo ( ) II Dmustra qu f () s strictamnt crcint n l intrvalo ( 0, ) III Calcula lim f( ) 0 IV Concluy tu dmostración I La función s continua y drivabl para valors positivos d ya qu s suma d funcions drivabls II La drivada d f() s función f() s strictamnt crcint n (, ) f ( ), qu s simpr positiva si > 0, por tanto, la ( ) ( ) 0 III lim f ( ) lim ln( ) IV Como s ha visto qu si s positivo, ntoncs, f ( ) > 0 ln( ) > 0 ln( ) > ; s P dcir, para todo númro ral positivo, P, s cumpl qu ln ( P) > P 00 Solucionario

20 5 (TIC)(PAU) Sa la función: f( ) a b c 7 a) Calcula c sabindo qu su rcta tangnt n l punto d abscisa 0 s horizontal b) Para l valor d c ncontrado n l apartado antrior, calcula a y b sabindo qu sta función tin un trmo rlativo n l punto d abscisa y qu corta al j n c) Para los valors obtnidos n los otros apartados, calcula los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función, sus trmos rlativos y haz una rprsntación gráfica aproimada a) f a b c c (0) b) f ( ) a b Como tin un trmo rlativo n, s sab qu f ( ) 0, s dcir: a b 0, o lo qu s lo mismo: a b 8 Como corta al j n, f() 0 a b 7 0, a b 8 Rsolvindo l sistma s obtin a 0 y b 8 La función s f( ) 8 7 c) La drivada d f( ) 8 7 s f ( ) 6 ( ) y s anula para 0, y Admás s sab qu la función s continua Estudimos su monotonía: (, ) (, 0) 0 (0, ) (, ) Signo d f f Dcrcint Mínimo rlativo Crcint Así pus, f dcrc n (, ) (0, ) y crc n (,0) (, ) Máimo rlativo Tin mínimos rlativos (qu también son absolutos) n los puntos: A(, 9) y B(, 9) Tin un máimo rlativo n l punto C(0, 7) La gráfica d la función s la qu s mustra Dcrcint Mínimo rlativo Y Crcint 55 (PAU) Para cada h s considra la función: f( ) h a) Halla los puntos n los qu f alcanza sus valors máimos y mínimos b) Encuntra h para qu l valor d f n l mínimo local hallado ants sa 0 a) La drivada s f ( ) ( ), qu s anula si 0 ó si S studia si son máimos o mínimos con l critrio d la drivada sgunda, f ( ) 6 : f ( 0) 6 < 0, por tanto, l punto A(0, h) s un máimo f ( ) 6 > 0, por tanto, l punto B(, h) s un mínimo b) Para qu l mínimo sa cro db cumplirs qu h 0, s dcir, h 56 Halla los máimos y mínimos d la función: ( ) ( ) f La drivada s ( ) ( 0 8 ) f ( )( ), y s anula si 0,, S studia l signo d la drivada: (,0) 0 (0, ) (, ) (, ) Signo d f Máimo Mínimo Máimo f Crcint Dcrcint Crcint Dcrcint rlativo rlativo rlativo La función tin máimos rlativos n los puntos (0, 0) y (, 6 ) Est último s absoluto La función tin un mínimo rlativo n l punto (, ) Solucionario 0

21 Solucionario 57 Dmustra qu la cuación no tin solución Para llo sigu stos pasos: I Estudia los intrvalos d crciminto y dcrciminto d la función f( ) II Halla l mínimo absoluto d la función f III Dmustra qu f( ) 0 para todo IV Dmustra qu > 0 para todo y concluy tu dmostración I La drivada d la función continua f( ) s f ( ), qu s anula si 0 S studia su monotonía: (,0) 0 ( 0, ) Signo d f 0 f Dcrcint Mínimo rlativo Crcint La función dcrc n (,0) y crc n ( 0, ) II El mínimo absoluto s l punto (0, 0) ya qu la función s continua y s simpr dcrcint a la izquirda d cro y simpr crcint a la drcha d cro Así pus, l valor mínimo qu toma la función s f(0) 0 III Por tanto, f( ) 0 para todo IV Como f( ) 0, ntoncs 0 > 0 > para todo y, por tanto, nunca pud sr qu 58 Bajo qué condicions sobr a, b, c y d s pud asgurar qu la función f() a b c d, con a 0 s strictamnt crcint o dcrcint n R? En primr lugar, s obsrva qu los límits n más infinito y n mnos infinito no pudn coincidir nunca porqu l grado dl polinomio s Como la drivada s un polinomio d sgundo grado, la cuación f () 0 tndrá una, dos o ninguna solución (qu nos darían los posibls trmos rlativos) Para qu sa strictamnt crcint o dcrcint no db tnr ni máimos ni mínimos rlativos, s dcir, la cuación f () 0 no pud tnr dos solucions Si tuvira una única solución, sría porqu ahí tndría un punto d tangnt horizontal qu no s trmo rlativo, s dcir, sría un punto d inflión La drivada s f ( ) a b c, qu tndrá una única solución si su discriminant s cro: ( b) ac 0 b ac 0 Y no tndrá solución si b ac < 0 Así pus, rsumindo: La función srá crcint si a > 0 y b ac 0 La función srá dcrcint si a < 0 y b ac 0 En l caso qu falta, b ac > 0, la función tndría un máimo y un mínimo rlativo y, por tanto, sría crcint n algunos tramos y dcrcint n otros 0 Solucionario

22 59 Localiza los trmos absolutos, si istn, d las siguints funcions n los intrvalos indicados: a) f( ) n [, 0), n (, 0], n [0, ], n (0, ) y n (, ] 5 si < b) g ( ) n [, ), n [, ], n [, ], n [, ), n [, ] y n [, ) si a) El mínimo d la función s ncuntra n l vértic d la parábola f( ) La ª coordnada s v Para hallar los trmos absolutos n los intrvalos indicados s db valuar la función n (valor qu anula drivada) y n los trmos d los intrvalos:f ( ), f( ), f(0), f() i) En l intrvalo [, 0), l mínimo absoluto s m, s alcanza n l punto A(, ) y l máimo absoluto s M, s alcanza n l punto B(, ) ii) En l intrvalo (, 0], l mínimo absoluto s m,s alcanza n A(, ) y no tin máimo absoluto iii) En l intrvalo [0, ], l mínimo absoluto s m, s alcanza n C(0, ) y l máimo absoluto s M y s alcanza n l punto D(, ) iv) En l intrvalo (0, ), no tin ni mínimo absoluto ni máimo absoluto v) En l intrvalo (, ], no tin mínimo absoluto y l máimo absoluto s M, s alcanza n D(, ) b) La función s continua n ya qu sus límits latrals coincidn La drivada d p ( ) 5 s p ( ), y s anula si, qu no prtnc a su dominio d dfinición Así pus, l valor no nos aporta nada a la hora d calcular los trmos absolutos La drivada d q ( ) s q ( ), y s anula si 0 Est valor sí hay qu tnrlo n cunta Para hallar los trmos absolutos n los intrvalos indicados s db valuar la función n 0 (valor qu anula drivada), n los trmos d los intrvalos y n (n st punto, la función no s drivabl y por so s l db incluir n l studio) g(0), g( ), g( ), g() 0, g( ), g(), g() 5, g( ) 5 i) En l intrvalo [, ), l mínimo absoluto s m,s alcanza n l punto (, ) y l máimo absoluto s M 5, s alcanza n l punto (, 5) ii) En l intrvalo [, ], l mínimo absoluto s m y l máimo absoluto s M 5 iii) En l intrvalo [, ], l mínimo absoluto s m y l máimo absoluto s M 0 iv) En l intrvalo [, ), l mínimo absoluto s m y l máimo absoluto s M 5 v) En l intrvalo [, ], l mínimo absoluto s m y l máimo absoluto s M 5 vi) En [, ), l mínimo absoluto s m y no hay máimo absoluto Problmas d optimización 60 S quir construir una piscina n forma d parallpípdo rcto d bas cuadrada S dispon d 9 m d baldosas para rcubrir las pards y l fondo d la piscina Halla las dimnsions d la piscina d manra qu su capacidad sa máima S trata d un problma d optimización S nombran las variabls: longitud n mtros d la bas () cuadrada y profundidad (y) n mtros S rlacionan las variabls: l ára total db sr 9 m 9, por tanto: y 9, y 9 La función qu s quir maimizar s l volumn V y, s dcir: V( ) 8 S busca l intrvalo n l qu s muv la variabl : como los númros buscados son positivos, db star n l intrvalo abirto ( 0, 9 ) 5 S busca l máimo d V( ) 8 n ( 0, 9 ) V ( ) 8 8 ( 0, 9 ) La solución ngativa no s ralista Como los límits d la función n los trmos dl intrvalo son cro, l máimo absoluto d la función s 9 8 alcanza n 8, por tanto, y 8 Las dimnsions d la piscina qu maimizan l volumn son 8 mtros d lado para la bas cuadrada y mtros d profundidad El volumn máimo s V(8), sto s, 56 m Solucionario 0

23 Solucionario 6 S dispon d un hilo mtálico d longitud 0 m S quir dividir dicho hilo n trs trozos d tal manra qu uno d llos tnga dobl longitud qu otro y qu, al construir con cada uno d llos un cuadrado, la suma d las áras d los trs cuadrados sa mínima Encuntra la longitud d cada trozo S trata d un problma d optimización S nombran las variabls: cada uno d los trozos (, y) S rlacionan las variabls: la suma d los trozos s dam: y ; s dcir, y y La función qu s quir minimizar s la suma d las áras: A Sustituyndo y oprando: A ( 6 ) S busca l intrvalo n l qu s muv la variabl 0, 7 5 S busca l mínimo A ( ) ( 6) qu s anula para qu corrspond al vértic d una parábola 8 cóncava hacia arriba Los trozos srán d dam, 6 dam y 5 dam,s dcir,0 m, 60 m y 50 m 6 S part un hilo mtálico d longitud m n dos trozos, hacindo con uno un cuadrado y con l otro un círculo Calcula las dimnsions d cada trozo para qu la suma d las áras sa: a) Máima b) Mínima S trata d un problma d optimización S nombran las variabls, qu son las longituds d los dos trozos: (para hacr l círculo), y (para hacr l cuadrado) S rlacionan las variabls: y, s dcir, y La función qu s quir maimizar y minimizar s la suma d las áras El lado dl cuadrado s ára: La longitud dl círculo s π r r, así pus, su ára s π r π π π π ( π ) π π La función suma d áras s A ( ) π 6π S busca l intrvalo n l qu s muv la variabl : (0, ) ( π ) π π 5 S busca l máimo y l mínimo d A ( ) n (0, ) 6π ( π ) π A ( ) 0 6π cóncava hacia arriba π Est valor corrspond al mínimo ya qu la función s una parábola π Así pus, l mínimo s alcanza si l trozo dstinado a formar l círculo mid π m π No s pud calcular l valor d la función n los trmos, por tanto, s calculan sus límits: lim A ( ) y 0 6 lim A ( ) Si solo s formara un círculo con todo l hilo, s obtndría l ára máima Pro sta π posibilidad no la contmpla l problma Para rspondr s podría dcir qu cuanto más largo sa l trozo para formar l círculo, mayor srá la suma d las áras y su 0 Solucionario

24 6 D ntr todos los númros rals positivos, y, tals qu y 0, ncuntra aqullos para los qu l producto p y s máimo S nombran las variabls, qu son los númros: y S rlacionan las variabls: y 0, s dcir, y 0 La función qu s quir maimizar y minimizar s l producto ( ) p y 0 0 S busca l intrvalo n l qu s muv la variabl Db star n l intrvalo abirto (0, 0) 5 S busca l máimo d p( ) 0 n (0, 0) p ( ) 0 (0 ) 0 lim p ( ) 0 y 0 lim p ( ) 0 0 Así pus, l máimo s alcanza si 0 Est valor corrspond al máimo ya qu 0 0 y 0 0 p 8 6 Un barco B y dos ciudads A y C d la costa forman un triángulo rctángulo n C, d acurdo a lo rfljado n la figura A B km 5 km C P Un hombr situado n A dsa llgar hasta l barco B Sabindo qu pud nadar a km/h y caminar a 5 km/h, a qué distancia d A db abandonar la costa para nadar hasta B si quir llgar lo ants posibl? Primro, con ayuda dl torma d Pitágoras, s obsrva qu la distancia ntr las dos ciudads s d km S nombra la variabl: s la distancia PC La función qu s quir minimizar s l timpo mplado por l hombr para rcorrr AP (a 5 km/h) y PB (a km/h) S studia cuánto midn stos sgmntos: AP ; para calcular PB s trabaja n l triángulo PBC y s obtin qu PB El timpo mplado s la función t( ) 5 5 S busca l intrvalo n l qu s muv la variabl : [0, ] S busca l mínimo d t( ) n [0, ] t ( ) , 75 5 S compara: t ( 0), 07, t (),, t (,75),7 5 Así pus, l mínimo s alcanza si camina durant,75 8, 5 km y lugo s pon a nadar 65 Calcula la bas y la altura dl triángulo isóscls d prímtro 8 y ára máima S nombra la variabl: s la longitud d los lados iguals La función qu s quir maimizar s l ára dl triángulo La bas mid b 8 y la altura s pud ba hallar con Pitágoras y s obtin a 8 6 El ára s A( ) ( ) 8 6 ( ) S busca l intrvalo n l qu s muv la variabl La suma d dos lados db sr simpr mayor qu l trcro, así pus: > 8 > y 8 > < : < <, suponindo qu s muv n l intrvalo crrado [, ] 8 8 A ( ) ( ) 0 S compara: A() 0, A() 0, 8 A, 5 8 Así pus, l triángulo d ára máima s l triángulo quilátro d lado Solucionario 05

25 Solucionario 66 En un rctángulo d m d prímtro, s sustituyn los lados por smicircunfrncias triors, ntr qué valors stá comprndida l ára d la figura rsultant? Calcúlala S nombra la variabl: s la longitud d la altura y la longitud d la bas S rlacionan las variabls: y, s dcir, y La función qu s quir maimizar y minimizar s l ára d la figura (un rctángulo más dos círculos) π π A ( ) ( ) π π ( ) ( π) π S busca l intrvalo n l qu s muv la variabl En st caso, 0 < < π 5 El mínimo absoluto d la parábola (cóncava hacia arriba) A ( ) ( π) π s ncuntra n su π π vértic, s dcir, si S compara: A (), lim A( ) π, lim A( ) π π 0 Así qu s podría contstar qu l ára d la figura stará comprndida ntr El ára π s consguiría si la figura fura un círculo π y π 67 En un rctángulo d m d prímtro s sustituyn dos lados opustos por smicircunfrncias triors Calcula las dimnsions dl rctángulo original para qu la figura formada tnga máima ára S nombra la variabl: s la longitud dl lado sustituido por smicircunfrncias, y la longitud d los otros dos lados S rlacionan las variabls: y, s dcir, y La función qu s qiur maimizar y minimizar s l ára d la figura (un rctángulo más un círculo) π La función ára s A( ) ( ) π S busca l intrvalo n l qu s muv la variabl En st caso, 0 < < 5 El máimo d la parábola (cóncava hacia abajo) s ncuntra n su vértic, s dcir, si, 66 π Pro st valor no prtnc al intrvalo d dfinición d : 0 < < Por otra part, A(0) 0 y A() π Así qu s podría dcir qu l ára máima s consguiría si la figura dgnrara n un solo círculo d m d diámtro Curvatura y puntos d inflión ( ) 68 (TIC) Dibuja la gráfica d la función f( ) Para llo, calcula sus asíntotas, dmustra qu s simétrica rspcto al orign, dmustra qu s simpr dcrcint, studia su curvatura y halla su punto d inflión Y El dominio s todo R, por lo qu no tin asíntotas vrticals ( ) lim lim La rcta y s una asíntota horizontal n más infinito ( ) lim La rcta y s una asíntota horizontal n mnos infinito La función s impar La drivada s simpr ngativa Así pus, la función s simpr dcrcint No tin trmos rlativos ( ) La drivada sgunda s f ( ) y solo s anula si 0 La función s cóncava hacia abajo ( ) si < 0; cóncava hacia arriba si > 0; y tin un punto d inflión n l punto (0, 0) 06 Solucionario

26 f : intrvalos d crciminto y dcrciminto, trmos rlativos, puntos d inflión intrvalos d curvatura 69 (TIC)(PAU) Calcula, para la función ( ) ( ) La función s continua y drivabl porqu s producto d funcions continuas y drivabls n todo R: Df ( ) R Su drivada s f ( ), qu s anula si 0 Así pus, la función crc n (,0) ( 0, ) Tin un máimo n l punto (0, 0) La drivada sgunda s y dcrc n f ( ) ( ), qu s anula si Así pus, la función s cóncava hacia abajo n (,) y cóncava hacia arriba n ( ) gráfica cambia d curvatura, El punto (, - ) s un punto d inflión porqu la 70 (TIC)(PAU) Sa la función f( ) : a) Halla, si istn, los puntos d cort con los js y las asíntotas d la gráfica d f b) Calcula los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los trmos rlativos d f c) Estudia su curvatura y sus posibls puntos d inflión d) Esboza su gráfica a) Df () R {0} ya qu 0 anula l dnominador Así pus, no corta al j Y Tampoco corta al j ya qu la función no s anula nunca porqu l numrador s simpr positivo Asíntotas vrticals: lim y lim, así pus, la rcta 0 s una asíntota vrtical 0 0 Asíntotas horizontals: lim y Tampoco tin asíntotas oblicuas ya qu lim No tin asíntotas horizontals ( ) f f lim lim y ( ) lim lim ( ) b) La drivada d la función s f ( ) y s anula para y (, ) (, 0) 0 (0, ) (, ) Signo d f 0 0 f Crcint Máimo rlativo Dcrcint No ist f Dcrcint La función crc n (, ) (, ) y dcrc n (, 0 ) ( 0, ) Mínimo rlativo Crcint Tin un máimo rlativo n l punto (, f( )) (, ) y un mínimo rlativo n l punto (, f()) (, ) 6( ) c) La drivada sgunda s f ( ) Es ngativa para valors ngativos d y positiva para valors positivos Así pus, la función s cóncava hacia abajo n (,0) y cóncava hacia arriba n ( 0, ) d) La gráfica s: Y Solucionario 07

27 Solucionario 7 Halla los valors d m para los qu la función f( ) m s simpr cóncava hacia arriba Para qu la función sa simpr cóncava hacia arriba su drivada sgunda db sr simpr positiva S impon sta condición: f ( ) m y f ( ) m Para qu f ( ) m sa simpr positiva db cumplirs qu m > 0 7 La gráfica qu s mustra s la d la drivada sgunda d cirta función f A partir d lla, dduc la curvatura d f y sus puntos d inflión Qué s pud afirmar con sguridad d la gráfica d f? Y La función s cóncava hacia abajo n: (,0) (, ) La función s cóncava hacia arriba n: ( 0, ) Los puntos (0, f(0)) y (, f()) son puntos d inflión 7 Las gráficas qu s mustran n la figura rprsntan la drivada d cirtas funcions f() y g(), rspctivamnt A partir d llas, dduc los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f() y g(), así como sus trmos rlativos, su curvatura y sus puntos d inflión a) Y b) Y a) La función crc si la drivada s positiva: (,) Dcrc si la drivada s ngativa: (, ) Tin un máimo rlativo n l punto (, f()) porqu la drivada val cro y f pasa d crcint a dcrcint Las pndints d las tangnts a f son simpr ngativas, así qu la función s simpr cóncava hacia abajo Como la función no cambia d curvatura, no tin puntos d inflión b) La función crc si la drivada s positiva: (, ) (, ) Dcrc si la drivada s ngativa: (, ) Tin un máimo rlativo n l punto (, g( )) porqu la drivada val cro y g pasa d crcint a dcrcint Tin un mínimo rlativo n l punto (, g()) porqu la drivada val cro y g pasa d dcrcint a crcint La función s cóncava hacia abajo n (,) ya qu las pndints d las tangnts a g (s dcir, la drivada sgunda) son ngativas, y s cóncava hacia arriba n (, ) ya qu las pndints d las tangnts a g (s dcir, la drivada sgunda) son positivas El punto (, g()) s un punto d inflión porqu s un punto d cambio d curvatura 08 Solucionario