Límite Idea intuitiva del significado Representación gráfica

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1 LÍÍMIITES DE FUNCIIONES ((rrsumn)) LÍMITE DE UNA FUNCIÓN f() k s : ímit d a función f() cuando tind a k Límit Ida intuitiva d significado Rprsntación gráfica Cuando f() A aumntar, os vaors d f() s van acrcando a vaor. ( ímit d f() s finito) Ejmpo con - Ejmpo con f() A aumntar, os vaors d f() crcn cada vz más. f() A aumntar, os vaors d f() son cada vz más ngativos. f() f() f() f() a Estudiamos os LÍMITES LATERALES f() a Cuando - A tomar vaors ngativos pro cada vz más grands n vaor absouto, os vaors d f() crcn cada vz más. A tomar vaors ngativos pro cada vz más grands n vaor absouto, os vaors d f() son cada vz más ngativos. A tomar vaors ngativos pro cada vz más grands n vaor absouto, os vaors d f() s van acrcando a vaor. ( ímit d f() s finito) Cuando a Por a drcha d a: a f() : A ir tomando vaors crcanos pro a mayors qu a, a función va hacia f() : A ir tomando vaors crcanos pro a mayors qu a, a función va hacia - Por a izquirda d a: a f() : A ir tomando vaors crcanos pro a mnors qu a, a función va hacia f() : A ir tomando vaors crcanos pro a mnors qu a, a función va hacia - A ir tomando vaors crcanos a a, os vaors corrspondints d f() s van acrcando a vaor. ( ímit d f() s finito) Ejmpo con Ejmpo con En st jmpo: Cuando, f() - Cuando, f() Cuando, f() Cuando, f() - Ejmpo con a y 5 Límits d funcions - pág.

2 Ejmpo.: a) 5 5 Vamos hacia dónd s acrca a función vaors crcanos a 5: 5 f(), cuando tind a 5, crando una taba d,99,999,9999 5, 5, 5, f() 6,995 6,9995 6, ,5 7,5 6, S pud obsrvar qu os vaors d a función s acrcan a 7, por tanto, f() 7 5 b) Eabora una taba como n jmpo antrior para comprobar ímit siguint: OBSERVACIÓN: Una función f() tin ímit n un punto a si y sóo si istn os ímits atras y coincidn; sindo dicho vaor ímit d a función. Si aguno d os ímits atras no ist o no coincidn, ntoncs a función no tin ímit n s punto a. Ejmpo.: a) La función no tin ímit cuando tind a,99,99 5 f(,99) 6,995,99 b) f () < > Aunqu pud dducirs obsrvando su gráfica, vamos qué ocurr n os puntos d cambio d prsión d sta función dfinida a trozos: Cuando - f() f() f() f() ( ) f() f() f() f() Cuando f() Los ímits atras no coincidn / f() f() ( ) Límits d funcions - pág.

3 PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LÍMITES FINITOS: Las propidads qu aparcn a continuación vinn prsadas para tndindo a infinito pro son váidas para tndindo a un vaor cuaquira.. k k Si f() y g() m, ntoncs:. (f() ± g()) ± m. (f() g()) m. f() g() 5. Si f()>, m ( Simpr qu m y g() ) g() g() (f()) n n f() n f() [og a (f()) f()] og a m ( Cuando n s impar o n par y f() ) f() (Si a > y f() > ) OPERACIONES CON EXPRESIONES INFINITAS: () () (- ) (- ) - - (- ) si y igua signo (Ej: (- ) - si y distinto signo ; - (- ) ) Si (Como s vrá más adant, podría sr ncsario dcidir signo () o ( ) d ) si > si < < ( ) ; ( ) ( ) si > si < ; rsutado dpnd d o obtnido para CÁLCULO DE LÍMITES Para ncontrar ímit d una función, primr paso srá sustituir por vaor a qu tind. Tras cácuo d a función n dicho vaor, podmos obtnr uno d os rsutados siguints: un númro,, -, o bin una prsión d a qu no podmos dducir una soución concrta. Esta útima situación s o qu s conoc como indtrminación. Ejmpo.: a) E ímit d a función cuando tind a s 7 Límits d funcions - pág.

4 b) Estudiando a difrncia podmos obsrvar o siguint: si nos acrcamos a con vaors mayors qu (por jmpo,,,,,, tc.), stas difrncias tinn signo positivo y como numrador s positivo, cocint s d signo positivo dando como rsutado fina. si nos acrcamos a con vaors mnors qu (por jmpo,99,,999,,99999, tc.), stas difrncias tinn signo ngativo y como numrador s positivo, cocint sría ngativo dando como rsutado fina -. En st jmpo, hmos tnido qu rcurrir a os ímits atras (por a drcha n primr caso y por a izquirda n sgundo) para concuir rsutado. c) Tnindo n cunta as opracions con prsions infinitas, sría difíci dcidir rsutado d st cocint. Estamos ant una indtrminación, no sabmos cuá d as dos funcions, a d numrador o a d dnominador, va más rápido a infinito o si van a a par. A continuación comntarmos agunos tipos d indtrminacions y a forma d rsovras. INDETERMINACIONES: k ; ; ; ; ; ; ; (Estas dos útimas s vrán más adant) k Surg cuando, a sustituir por vaor a qu tind, numrador da como rsutado un númro ra y dnominador s anua. E rsutado s pro habrá qu fctuar os ímits atras para studiar signo fina d cocint. Ejmpo.: 5 5 a) Límit por a drcha: 5 Signo d cocint: Las difrncias d dnominador para vaors mayors qu son positivas, nos acrcamos a con vaors positivos. 5 Límit por a izquirda: Signo d cocint: Las difrncias d dnominador para vaors mnors qu son ngativas, nos acrcamos a con vaors ngativos. Límits d funcions - pág.

5 6 ( ) ( ) 6 6 b) 6 Límit por a drcha: Signo d cocint: Vaors mayors qu - y crcanos a - son por jmpo: -,99, -,999, -,99999, tc. Los rsutados d son positivos. Por a izquirda d - Por a drcha d Límit por a izquirda: 6 Signo d cocint: Vaors mnors qu - y crcanos a - son por jmpo: -,, -,, -,, tc. Los rsutados d son ngativos. c) En st caso, podmos procdr d a misma manra qu n os jmpos antriors studiando os ímits atras, o bin, si obsrvamos dnominador, vmos qu s trata d a idntidad notab siguint: ( ). Como cuadrado d cuaquir cantidad simpr s positivo y numrador s ngativo, cocint fina s ngativo, s dcir: ( ) ( ) (Compruba qu cacuando os ímits atras rsutado sría mismo, ) Si P() y Q() son poinomios, P() Q() Cocint d os coficints d mayor grado si grado d P() > grado d Q() si grado d P() < grado d Q() si grado d P() grado d Q() En infinito s comporta como si fus cocint d os términos d mayor grado, rsto d os términos pudn dsprciars por sr muy pquños frnt a os antriors. Límits d funcions - pág. 5

6 Ejmpo 5.: a) 5 b) 5 Mayor grado n numrador quda E signo vin dado por cocint d os signos d os términos d mayor grado signo : Cuando aparc aguna raíz, p n a..., s comporta como p n a, s dcir, como p n p a. Si a < y p par, ntoncs no tin ímit ya qu no ist a raíz d índic par d númros ngativos. Ejmpo 6.: a) Grado S comporta como, qu s trata d un cocint d dos poinomios d mismo grado Es d ordn d s dcir,, Es d ordn d 5 5 b) 5 Grado S comporta como 5 5 La técnica qu s utiiza para dducir rsutado d st tipo d indtrminacions consist n dividir numrador y dnominador por término d mayor grado. Ejmpo 7.: a) b) Cada uno d stos términos tind a Cada uno d os tind a Límits d funcions - pág. 6

7 Si no hay radicas, fctuarmos a opración. Ejmpo 8.: ( ) a) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 5 Grados iguas ( ) b) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Signo: ( ) ( ) Signo: ( ) E grado d numrador s mayor qu d dnominador, por tanto rsutado s y signo fina s cocint d os signos d os coficints d mayor grado: Si hay radicas, mutipicamos y dividimos por conjugado d cada una d as prsions qu dan como rsutado. Los conjugados d prsions d tipo a b. a b, a b, a b son, rspctivamnt, a b, a b, Ejmpo 9.: a) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Grado d numrador: Grado d dnominador: Signo: ( ) ( )( ) b) ( ) Límits d funcions - pág. 7

8 ( ) ( ) c) Mutipicamos y dividimos por conjugado d dnominador y también por d numrador, ya qu ambas prsions originan una indtrminación d tipo - ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ( Grados iguas: grado ) )( ) d) ( )( ) ( )( ) gr. numrador < gr. dnominador Mutipicamos y dividimos por conjugado d dnominador, qu s a prsión con rsutado - (Límits d tipo d númro ) Cuando s dsa cacuar ímit d una función cuya prsión s una potncia n a qu tanto a bas como ponnt son funcions, pud dars caso n qu a bas tinda hacia y ponnt hacia infinito. Estamos ntoncs ant una indtrminación d tipo, qu s rsovrá utiizando a prsión cuyo ímit s númro : Podmos gnraizaro para una función f() d a forma siguint: o bin f() f() si f() ( f() ) f ( ) si f() Estos rsutados también son váidos para caso n qu tinda hacia un númro a n ugar d tndr hacia infinito. La cav stá n qu a bas tinda hacia y ponnt hacia infinito. Dspués, bastará con raizar as transformacions ncsarias n a prsión inicia hasta obtnr aspcto d una d as situacions antriors, gnrándos así una potncia d númro. Límits d funcions - pág. 8

9 Vamos agunos jmpos: Ejmpo.: E ponnt, 7, tind a infinito, pro no s a función f(). Por tanto, habrá qu mutipicar y dividir por dicha prsión para qu aparzca. 7 7 ( ) 7 a) 7 Esta prsión tind a cro, pusto qu dnominador tind a infinito. f() También podíamos habr mutipicado y dividido ponnt por, n ugar d, y tomar a qu aparc ya n dicho ponnt. D sta forma, no habría sido ncsario simpificar a dspués, habría qudado dirctamnt a constant 7/. ( ) ( ) b) Es un ímit d tipo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) Sumamos y rstamos y dspués opramos para transformar a prsión y consguir una bas d a forma f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) ( ) [ ( )] Límits d funcions - pág. 9

10 Surg cuando aparc producto d dos funcions tndindo una d as a y a otra a infinito. En st caso, transformarmos a prsión d forma qu obtngamos una indtrminación d tipo o. Ejmpo.: a) ( ) 9 ( ) ( ) Si introducimos factor () bajo a raíz, obtnmos una prsión d tipo. Para incuir un factor n una raíz, o introducirmos vándoo a índic d dicha raíz. Propidad 6 Indtrminación con grados iguas b) 8 ( 5 ) S prsnta n situacions n as qu vaor hacia qu tind s una raíz tanto d a función d numrador como d a d dnominador. Cuando aparcn poinomios: Factorizamos y simpificamos. Ejmpo.: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) 6 ( ) ( ) c) ( ) 8 E numrador s una idntidad notab, una difrncia d cuadrados qu s dscompon n suma por difrncia. Cuando aparcn raícs: Mutipicamos y dividimos por conjugado d a prsión qu s anua. Ejmpo.: a) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( a b) (a b) a b Límits d funcions - pág.

11 b) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) 6 9 ( ) Estudiamos os ímits atras Por a drcha: Por a izquirda: Límits d funcions - pág.

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