Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas

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1 ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) Ejrcicios rsultos Distribucions discrtas y continuas ) La rsistncia a la comprsión d una mustra d cmnto s una variabl alatoria qu s distribuy normalmnt con mdia 6000 kilogramos por cntímtro cuadrado y dsviación stándar d 00 kilogramos por cntímtro cuadrado. a) Cuál s la probabilidad d qu la rsistncia d una mustra d cmnto tomada al azar, sa mnor a 6250 Kg/cm 2? b) Cuál s la probabilidad d qu la rsistncia d una mustra d cmnto s ncuntr ntr 5800 y 5900 Kg/cm 2? c) Cuál s l valor d la rsistncia qu s suprado por l 95% d las mustras d cmnto? 2) ara cortar corchos dstinados a usars n botllas d vino, s utilizan dos máquinas. La primra produc corchos cuyos diámtros s distribuyn normalmnt con mdia 3 cm y dsviación stándar 0. cm. La sgunda produc corchos cuyos diámtros también s distribuyn normalmnt con mdia 3.04 cm y dsviación stándar 0.02 cm. Un corcho s acptabl si su diámtro s ncuntra n l intrvalo [2.9 ; 3.]. Un corcho producido por cuál d las dos máquinas tin mayor probabilidad d sr acptado? 3) La duración, n horas, d una lámpara s una variabl alatoria con distribución N (200 horas; ). El 97 % d las lámparas dura ntr 78.3 y22.7 horas. a) Calcul la probabilidad d qu una lámpara adquirida n dicha fábrica dur por lo mnos 25 horas. b) Calcul la probabilidad d qu, n una mustra alatoria d 0 lámparas qu s adquirn n dicha fábrica, a lo sumo una dur más d 25 horas. c) Si s obsrvan n forma sucsiva la duración d 0 lámparas slccionadas al azar, calcul la probabilidad d qu las primras 5 durn más d 200 horas y las siguints 5 durn a lo sumo 200 horas. 4) La rsistncia d una alación d aluminio varía alatoriamnt con distribución normal, sindo la mdia y la dsviación stándar igual a 0 y.4 gigapascals rspctivamnt. a) Dtrmin l rcorrido intrcuartílico. b) S ralizan 5 obsrvacions indpndints d la variabl alatoria rsistncia d una alación d aluminio. Calcul la probabilidad d qu al mnos 4 d las obsrvacions s ncuntrn dntro dl intrvalo [Q ; Q 3 ]. 5) La duración n años d un fusibl s una variabl alatoria con distribución xponncial con λ=0,25. a) Calcul la probabilidad d qu un fusibl dur más d trs años. b) Calcul la probabilidad d qu un fusibl dur más d 4 años, si ya ha durado año. c) rub: Si s una variabl alatoria xponncial d parámtro λ ntoncs: > t + s / > s = ( > t ( ) ) 6) El timpo (n minutos) qu transcurr ntr las llgadas conscutivas d dos cochs a una stación d paj, s una variabl alatoria cuya función d dnsidad s: f(x)= 4 е -4x si x > 0 0 caso contrario a) Calcul l timpo mdio transcurrido ntr las llgadas conscutivas d dos cochs. b) Calcul la probabilidad d qu l timpo transcurrido ntr dos llgadas conscutivas sa infrior a un minuto, si s sab qu al cabo d 30 sgundos aún no ha llgado l sgundo coch. 7) La vlocidad (n Km/h) d los cochs qu pasan por dtrminado punto d una carrtra s una variabl alatoria con función d dnsidad: ágina d 9

2 ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) f(x) = x x 0000 si 0< x < 00 si 00< x < caso contrario a) Calcul la probabilidad d qu un vhículo circul a más d 20 Km/h si s sab qu circula a más d 00 Km/h. b) En s punto d la carrtra s ncuntra ubicado un radar qu controla la vlocidad d los vhículos. Si la vlocidad s infrior a 00 Km/h l import d la multa s d $0 (no hay multa), n cambio si la vlocidad stá comprndida ntr 00 y 20 Km/h la multa s d $00 y si la vlocidad supra los 20 Km/h la multa s d $200. c) Calcul intrprt l valor d la spranza matmática d la variabl alatoria import d la multa qu tin qu pagar un vhículo lgido al azar. 8) La dmanda diaria d un dtrminado artículo s una variabl alatoria X con distribución uniform n l intrvalo [0 ; 6] dond X vin xprsada n mils d unidads. a) Dtrmin la cantidad d unidads qu hay qu tnr disponibls a la vnta, diariamnt, para podr satisfacr la dmanda con probabilidad b) Si s producn 5000 unidads diarias y cada día sólo s pudn consumir las unidads producidas s día, calcul la probabilidad d qu durant 20 días, n ninguno d llos haya una dmanda suprior a las unidads producidas n s día. 9) Un sistma consta d dos dispositivos (A y B) qu funcionan simultána indpndintmnt. La duración n horas dl dispositivo A s una variabl alatoria con distribución xponncial d parámtro α = 0.02 horas -, n cambio la duración n horas para l dispositivo B s una variabl alatoria con distribución normal d parámtros µ=0 horas y = hora. a) Calcul la probabilidad d qu fall al mnos un dispositivo ants d las 2 horas d funcionaminto. b) Si al mnos uno d los dispositivos ha fallado ants d las 2 horas d funcionaminto, calcul la probabilidad d qu sa l dispositivo B. c) Calcul la probabilidad d qu l dispositivo A funcion al cabo d 20 horas sabindo qu funciona al cabo d 8 horas. 0) El timpo n horas para fallar d cirtas componnts, s una variabl alatoria distribuida normalmnt con spranza matmática 50 horas y dsvío stándar 5 horas. En una agrupación n sri s conctan n d dichas componnts qu funcionan indpndintmnt. a) Si n=4, cuál s la probabilidad d qu l sistma funcion dspués d 52 horas d trabajo? b) Si n componnts s conctan n parallo, cuál dbrá sr l valor d n a fin d qu la probabilidad d fallar durant las primras 55 horas sa a lo sumo 0.0? ágina 2 d 9

3 ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) ) sa X: rsistncia a la comprsión d una mustra d cmnto X modliza las infinitas obsrvacions d rsistncia a la comprsión d todas las posibls mustras d cmnto X ~ N ( µ x = Kg/cm 2 ; x = 00 Kg/cm 2 ) En conscuncia 6000 Z = X ~ N (0;) 00 X ( < 6250) = < = Z < = tabla normal stándar rducida). a) X ( 2,5) (valor qu s obtin d la En las gráficas qu sigun s rprsntan las curvas d dnsidad d las variabls alatorias X y Z rspctivamnt. El ára d la suprfici rayada, n ambos casos, rprsnta l valor d la probabilidad calculada X Z b) X ( 5800 < X < 5900) = < < = Z < Z < = ( Z < ) ( Z < 2) = = ( los valors s obtinn d la tabla normal stándar) c) 0.95 x X 6000 x 6000 x D la tabla normal stándar s obtin Z = x =. 64, d dond rsulta x=5836 Kg/cm ( X > x) = 0.95 ( X x) = 0.05 = 0.05 Z = El 95 % d todas las posibl mustras d cmnto tin una rsistncia a la comprsión suprior a 5836 Kg/cm 2. ágina 3 d 9

4 ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) 2) D : diámtro d un corcho producido por la máquina D 2 : diámtro d un corcho producido por la máquina 2 D 3 D ~ N ( µ D = 3 cm; D = 0. cm) Z = ~ N (0;) 0. D D 2 ~ N ( µ D2 = 3.04 cm; D2 = 0.02 cm) Z = ~ N (0;) ( 2.9 < D < 3.) = < Z < = Z < Z < = = ( Z < ) ( Z < ) = = ( 2.9 < D2 < 3.) = < Z < = Z = ( Z < 3) ( Z < 7) = = < Z < = 0.02 Un corcho producido por la máquina 2 tin mayor probabilidad d sr acptado. 3) sa : duración n horas (o timpo transcurrido hasta la falla) d una lámpara ~ N ( µ = 200 hs; =?) ( 78.3 < < 22.7) = Z = ~ N (0;) < < = < Z < = ,7ê 0 2,7ê Z < Z < = 0.97 s quivalnt a = Z <. 2.7 D la tabla normal s obtin = Lugo =0 horas. a) ( > 25 ) = ( < 25) = Z < = ( Z <.5) = = b) sa : númro d lámparas qu duran más d 25 horas n una mustra d 0 ~ Binomial(0, p=0.0668) (Las diz lámparas constituyn una mustra alatoria d tamaño 0 xtraída sin rposición d una población infinita ). ágina 4 d 9

5 ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) ( ) = ( = 0) + ( 0 = ) = = = c) notmos con A: una lámpara dura a lo sumo 200 hs ( A) = ( 200) = 0.5 S pid calcular la probabilidad d qu n 0 prubas rptidas ocurra la siguint scuncia d sucsos: A A A A A A A A A A Sindo los nsayos indpndints rsulta ( AAAAAAAAAA) = ( ( A)) ( ( A)) = (0.5) l sorprnd l bajo valor d la probabilidad? 4) a) sa R: rsistncia d una alación d aluminio R ~ N ( µ R = 0; R =.4) Notmos con F R a la función d distribución acumulada. ara dtrminar l rcorrido intrcuartílico hay qu calcular los cuartils Q y Q 3 dond F R (Q )=0.25 y F R (Q 3 )=0.75 F R Q 0.4 Q 0 = 0..4 ( Q ) = ( R < Q ) = 0.25 Z < = D la tabla normal stándar o rducida s obtin 67 D modo análogo: F R 3 ( Q ) = ( R < Q ) = 0.75 Z < Q 0.4 Q 3 3 = 3 0 D la tabla normal stándar o rducida s obtin = El rcorrido intrcuartílico s Q 3 - Q = =.876 d dond Q = d dond Q = Q Q 2 Q 3 b) sa A: una obsrvación s ncuntra dntro dl intrvalo [Q, Q 3 ] y (A)=0.5 sa : númro d obsrvacions sobr un total d 5 qu s ncuntran dntro dl intrvalo [Q, Q 3 ]. ~ Bi (5; 0.5) ( 4) = ( = 4) + ( 5 = 5) = = = ) λ = por año (nº promdio d fusibls rotos por año) E() = = = 4 años d duración promdio λ 0.25 ágina 5 d 9

6 ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) a) sa : duración (n años) d un fusibl 0.25t ~ Exp (0.25) f ( t) = 0.25 para t t ( > 3) = 0.25 dt = = t 0.25 dt / t 0.25 dt b) ( > ) = = = = > ( > t + s) = ( > s) t+ s αt c) ( ) = = = = = ( > t) > t + s / > s s α α αt αx dx dx α ( t+ s) αs αt Comntario: los rsultados obtnidos n a) y b) mustran qu la probabilidad d qu un fusibl dur por lo mnos otros 3 años si ya ha durado un año, s igual a la probabilidad d qu dur por lo mnos 3 años dsd l instant n qu ha sido pusto n funcionaminto. En c) s gnraliza l rsultado obtnido n a) y b). La propidad dmostrada n c) s conoc por propidad d carncia d mmoria. En la misma s ha probado qu la probabilidad d qu un fusibl sobrviva l instant t + s cuando sobrviv l instant s s igual a la probabilidad d qu sobrviva l instant t dsd l momnto n qu ha sido pusto n funcionaminto. αs αs 6) sa X: timpo (n minutos) qu transcurr ntr la llgada d dos cochs conscutivos a una stación d paj. Sindo la función d dnsidad d X: f(x)= 4 е -4x si x > 0 0 caso contrario rsulta qu X tin distribución xponncial con parámtro α = 4. a) E(x) = = = 0.25min. α 4 El timpo mdio qu transcurr ntr la llgada d dos cochs conscutivos s 0.25 minutos, s dcir 5 sgundos. b) (0.50 < X < ) ( X > 0.50) ( ) ( ) ( ) 2 X < / X > 0.50 = = = = = Obsrvación: = ( X < 0.50) Sabindo qu l timpo transcurrido ntr la llgada d dos cochs conscutivos s mayor a 30 sgundos (mdio minuto), la probabilidad d qu l timpo transcurrido sa infrior a un minuto s igual a la probabilidad d qu l timpo sa infrior a mdio minuto ágina 6 d 9

7 ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) 7) fhxl x a) sa X: vlocidad (n Km/h) d un coch ( X ( X < 20) > 00) ( X > 20 / X > 00) = = = x 0000 ( X > 20) = dx = x 0000 ( X > 00) = dx = Entr los cochs qu circulan a más d 00 Km /h l 64 % d los mismos circula a más d 20 Km/h. b) sa : import d una multa 0 si x< 00 = 00 si 00 x si x > x 0000 ( = 00) = ( 00 < X < 20) = dx = 0. 8 E ( = 200 ) = ( X > 20) = ( ) = = $ 82 Import promdio pagado n concpto d multa 8) sa X: dmanda diaria d un artículo X ~ U ( 0.6 ), lugo la gráfica d la función dnsidad d X s la qu sigu, ágina 7 d 9

8 ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) 6 6 a) sa c: cantidad d unidads disponibls para la vnta n un día c ( X < c) = 0.95 = 0.95 c = ara satisfacr la dmanda l 95 % d los días, hay qu tnr 5700 unidads diarias disponibls para la vnta. b) sa : nº d días sobr un total d 20 n qu la dmanda diaria s d a lo sumo 5000 unidads. 5 ( < 5 ) = = Bi n = 20 ; p = 0.83 ~ ( ) ( = 20) = (0.83) 20 = ) san las variabls alatorias X: duración n horas d un dispositivo A : duración n horas d un dispositivo B S conoc qu: X ~ Exp (α = 0.02 hs - ) San los sucsos: A: un dispositivo tipo A dura mnos d 2 horas B: un dispositivo tipo B dura mnos d 2 horas ~ N ( µ = 0 hs; = h) ( A) = ( X < 2) = = a) Bajo l supusto d qu todos los dispositivos funcionan indpndintmnt ( B) = ( < 2) = < = ( Z < 2) = ( A B) = ( A) + ( B) ( A B) = ( A) + ( B) ( ( A) ( B) = = ( B) / = = b) ( B A B) ( A B) c) ( X > 20 / X > 8) = ( X > 2) = = (propidad d carncia d mmoria) ágina 8 d 9

9 ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) 0) a) Sa : timpo transcurrido hasta la falla d una componnt ~ N ( µ = 50 hs; = 5 hs) Sa A: una componnt funciona dspués d 52 horas (A) = ( > 52) = Sa S: l sistma funciona dspués d 52 horas d trabajo. El sistma (n sri) funciona al cabo d las 52 horas simpr y cuando funcionan los 4 componnts. Dado qu las componnts funcionan indpndintmnt: (S) = [(A)] 4 = 0.04 b) Sa B: una componnt falla ants d las 55 hs. (B) = ( < 55) = El sistma (n parallo) falla ants d las 55 horas simpr y cuando falln las n componnts ants d las 55 horas. Sa : nº d componnts sobr un total d n qu fallan ants d las 55 hs. ~ Bi (n ; 0.843) ( = n) 0. 0 ( n) n = 0.0 (0.843) 0.0 n log 0.0 log Conclusión: s ncsitan como mínimo 27 componnts conctadas n parallo. ágina 9 d 9