SOLUCIONARIO. UNIDAD 13: Introducción a las derivadas ACTIVIDADES-PÁG Las soluciones aparecen en la tabla.

Transcripción

1 UNIA : Introducción a las drivadas ACTIVIAES-PÁG. 0. Las solucions aparcn n la tabla. [0, ] [, 6] a) f () = b) f () = + c) f () = 9 d) f () = 7, 6 8, 67. El valor d los límits s: f ( h) f () a) lím 6 h 0 h g ( h) g ( ) b) lím h 0 ) h (. La cuación d la rcta qu pasa por P (-, ) y con pndint s +y = 7. La cuación d la rcta prpndicular a la antrior n P (-, ) s y = La cuación d la rcta tangnt a y = + 6 n l punto P (0, 6) s + y = 6. ACTIVIAES-PÁG. 9. Podmos rprsntar l problma n un gráfico. En l gráfico stá muy clara la situación dl problma y la solución dl mismo. Efctivamnt, hay un punto por l qu pasa a la misma hora, y s l punto (*) n l qu s ncuntran los dos trayctos, l d ida y l d vulta.. Cuando Luis stá n la mitad dl camino, cominza a andar, lugo la otra mitad va a vlocidad más lnta. En cambio, Ana, al corrr la mitad dl timpo, corr más d la mitad dl camino, por lo qu mnos d la mitad lo hac andando, así llga ants Ana.

2 . El primr cirujano s pon l guant (A) dntro dl otro (B), s dcir, s pon (A) y ncima s pon (B). El sgundo cirujano s pon l guant (B) por la cara qu no ha tocado al hrido. El trcr cirujano s pon l guant (A) dándol la vulta y ncima d ést (B) con qu han oprado los otros dos cirujanos. ACTIVIAES-PÁG.. En la imagn vmos la rsolución d sta actividad. En la imagn vmos la rsolución d sta actividad. a) Para la función y = f() obtnmos su drivada n = - y la cuación d las rcta tangnt n = - qu s 7 y, y la d la rcta normal y. 6 b) Para la función y = g() obtnmos su drivada n = 0 y la cuación d la rcta tangnt n = 0 qu s y = π; la d la rcta normal no la dtrmina al sr = 0.

3 ACTIVIAES-PÁG.. Las solucions pudn vrs n la tabla. [-, ] [0, ] [, ] a) f () = + b) g () = c) h ( ) 6 0, 0 6 0, 8 8 0,6 d) t ( ) 0, , 0, 9 6. Las solucions son: a) La gráfica la podmos vr n l dibujo. b) Las tasas d variación mdias son: TVM [;,] = 0 m/s TVM [; ] = m/s TVM [; ] = 6 m/s c) Los valors antriors son las vlocidads mdias qu alcanza l balón n cada uno d los intrvalos citados.. Las tasas pdidas son: ln ln ln ln TVM [, ],78 ; TVM [, ] 0,. La vlocidad mdia ntr los instants, y 6 val m/s. La vlocidad instantána n l instant, val 6 m/s. La vlocidad instantána n l instant 6 val 0 m/s.

4 . a) Las tasas d variación mdia dl fcto son: TVM [0,] = 0,768 y TVM [0, ] = 0,. b) En la gráfica podmos vr qu n las cuatro primras horas aumnta l fcto dl fármaco, no así n las siguints. a) f() = 8 + b) g () = c) t () = 6. El valor d las drivadas s: a) f () = - 6 b) f () = c) f (7) = 7. Los rsultados pudn vrs n la tabla. Función Tangnt Pndint Ángulo con OX a) f() = 8 + y = + 8 º b) g () = y = 0 0º c) t () = y = º 8. La rcta tangnt n l punto P (0, ) s + y =. 9. Los puntos d ordnada son P (, ) y Q (, ). Las rctas tangnt y normal n l punto P (, ) son, rspctivamnt: 8 + y = y 8y = - 9. Las rctas tangnt y normal n l punto Q (, ) son, rspctivamnt: 8 - y = y + 8y =. 6

5 0. No hay ningún punto d la curva f ( ) cuya tangnt sa paralla a la bisctriz dl sgundo y cuarto cuadrant (n sta curva todas las pndints d las tangnts son positivas o nulas). En l punto (0, - ) la rcta tangnt srá paralla al j d abscisas. Todo lo antrior pud vrs n la gráfica. ACTIVIAES-PÁG.. Los valors qu s pidn son: f () = 0 y f 0, 7,7. La función buscada s f () =.. S corrspond con la gráfica dl apartado b). La gráfica d f () tin por cuación f () = - +, ntoncs f () = Las funcions drivadas son: a) f () = c) f () = - + b) f () = d) f ( ) 7

6 . Las funcions y sus drivadas aparcn a continuación. En las rprsntacions las gráficas d las funcions son las línas continuas y rojas y las gráficas d las funcions drivadas son las azuls y discontinuas. a) f () = f () = 0 b) f () = 8 - f () = - c) f () = + f () = 6 + 8

7 d) f () = 0 + f () = - 0 ) f () = f ( ) ) f) f () = 6 f () = 9

8 0 6. S db vrificar qu: f () = g (); s dcir la cuación 6 = 9 ; d dond obtnmos las solucions y -. Para la función y = f () los puntos son A (, ) y A (-, - 0), n ambos las pndints d las rctas tangnts valn y, rspctivamnt. Para la función y = g () los puntos son B (, ) y B (-, - 8), n ambos las pndints d las rctas tangnts valn y, rspctivamnt. ACTIVIAES-PÁG. 7. Las drivadas son: a) [ 8 ] = 7 8 b) 6 c) d) [ + - ] = 0 + ) f) ) ( 6 g) ) ( 7 8 h) [( - ) ] = ( ) ( ) i) ) ( 8. Las drivadas son: a) ln b) [ ] = ln c)

9 ( ln ln ) d) ) f) [( + ) ] = 8 ( + ) 9. Las drivadas son: a) [ln (7 - )] = 7 6 b) [ln ( ) ] = c) [ln ( )] = 6 ln 9 d) 9 ) [log ( - )] = ln ( ) f) 0 ln g) [ln (ln )] = ln 8 h) ln 9 9 i) ln ( ) 0. Las drivadas son: a) [sn ] = cos () b) [ sn ] = cos

10 c) sn cos d) sn cos ) [sn ] = cos f) [sn ] = sn cos g) [cos - ] = - sn - h) [cos ( + π)] = - sn ( + π) i) [cos ( + )] = - cos ( + ) sn( + ) j) sn sn () cos ( ) k) [tg ( + )] = + tg ( + ) l) tg tg tg m) [tg ] = ln [ + tg ( )] n) tg tg ñ) [tg ( +)] = tg ( + ) tg ( + ) o) [arcos (ln )] = ln p) [arcsn ( - ) ] = q) arctg ( ) ( ) ( ). Los valors d las drivadas son: a) f ( ) f () = 0

11 b) 8 ) ( g g (0) = 8 8 c) h () = cos sn h (π) = 0 d) ) ( ) ( j j (0) no ist (la función j () no stá dfinida n l 0. ACTIVIAES-PÁG.. a) b) ) ( c) ) ( 8 d) [(7 - ).( - ) ] = ( 6 7) ( ) ) [ln 6 6 ] = (ln 6) 6 f) ln ln g) 8 h) ) ( i) ln j) [( + ) ] = ( + ) ( + ) k) 6 ) ( ln

12 l) ln ln ( ) ln " ln 0 m) [ ln + ln ] = ( + ) ln + ( + ) n) [ln ( - 6 ] = 6 ñ) ln ( ) o) [sn 7 7 ] = 7 [7 cos (7) + ln 7 sn (7)] p) [ln (ln sn )] = cot g ln ( sn ). sn cos 8 cos () (cos () ) q) r) [ a a a ] = a a a [a + ln a + a] s) [sn cos ] = sn ( ) cos ( ) cos ( ) sn ( ) cos ( ) sn ( ) t) ln cos cos sn tg ( ) [ tg ( )] u) tg v) arctg w) sn sn sn sn cos ( sn ) sn ) y) 9 ln 9 9 arcsn ( )

13 z) ln. a) La vlocidad mdia n l intrvalo [, ] fu d 6 m/s. b) La vlocidad d la plota fu d m/s n l instant t = ; sto sucdió a la altura d m.. La drivada pdida s f (0) () = 0. La drivada s positiva para los valors d prtncints a 0,,. ( n) 6. La drivada nésima s f ( ) Por tanto, f (06) 0! ( ) ( ) 06 n n! n ( ). 7. La rcta tangnt n l punto (8, 6) s y = La rcta tangnt s y. ACTIVIAES-PÁG Hay dos puntos d coordnadas P (, ) y Q (, - 0). Hallamos la pndint d todas las rctas tangnts a sta circunfrncia: + yy y = 0 y y La rcta tangnt n P s: La rcta tangnt n Q s: 8 y ( ) y. y 0 ( ) y. 0. Los valors son m = - y n = y la función srá y =

14 . La dmostración quda: Sa la función y = a sn b, drivamos introducimos n la prsión a dmostrar. y = a a sn b + b a cos b y = a a sn b + ab a cos b b a sn b Introducimos las drivadas n la prsión a dmostrar: a y - y = a a sn b + b a sn b = (a + b ) a sn b = (a + b ) y. Llamamos h a la altura dl cono y r al radio d la bas. El volumn vndrá dado por V r h. Hmos d calcular dh/dt cuando h =,7 m y dv/dt = 0,. Como h = r obtnmos V dv dt dh dt h. rivando obtnmos: h. dh 0, dond dt,7 = 0,0 m/min.. La rcta tin por cuación y = y la parábola y = 0,,8 + 9,8.. a) El radio inicial s R (0) = 0, cm. Para qu l radio sa d, cm han d pasar, minutos. b) La tasa d variación dl radio rspcto al timpo vin dada por dr dt 6 t t. c) El ára d la mancha s A (t) = π R y da dt y la tasa d variación dl ára d la mancha s 6,8 m /min. 6 t 6 t y para R = ; t =,8 minutos t t. a) N (0) = 600 avispas. b) Hallamos N (); N (t) = 60 0,t ; N () = 68,9 avispas/día. c) Hallamos t para qu N (t) = 8,8 y obtnmos t = 8 días. 6. a) Estas funcions s cortan n l punto P (, 6). b) La rcta tangnt a la primra curva n l punto P tin por pndint m = y por cuación y = -. La rcta tangnt a la sgunda curva n l punto P tin por pndint m = 9 y por cuación y = 9. 6

15 Hallamos l ángulo qu forman stas rctas con la fórmula: tg m m m m y obtnmos = 7,70 º ACTIVIAES-PÁG. 7 Ofrcmos bibliografía sobr la rlación ntr matmáticas y ciclismo. CORBALÁN, Frnando. (0) Matmáticas d crca. Graó. Barclona. ORTEGA, Tomás. (00). Conions matmáticas. Graó. Barclona. SORANO MUZÁS, J. M. (0) Matmáticas y dport. Sugrncias para l aula. Rvista Númros. Volumn 80. SORANO MUZÁS, J. M