ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN. Aplicaciones de la derivada: condiciones de máximo, mínimo, inflexión

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN. Aplicaciones de la derivada: condiciones de máximo, mínimo, inflexión"

Transcripción

1 ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN Obsrvación: La mayoría d los problmas rsultos a continuación s han propusto n los ámns d Slctividad. Aplicacions d la drivada: condicions d máimo, mínimo, inflión. Sa f: R R una función polinómica d grado mnor o igual a trs qu tin un mínimo rlativo n (0, 0) y un máimo rlativo n (, ). Calcular la prsión d dicha función. Si f ( ) a b c d s tin: f ( ) a b c f ( ) 6a b Por pasar por (0, 0), f(0) = 0 0 = d Por pasar por (, ), f() = = 8a +b + c + d Por mínimo n (0, 0), f (0) = 0 0 = c Por máimo n (, ), f () = 0 0 = a + b + c Por tanto: d = 0; c = 0; a = /; b = / La función s: f ( ) b. Calcula los valors d a y b para qu la función f ( ) tnga como asíntota vrtical a la rcta = y como asíntota horizontal la rcta y =. Razona si para a = y b = la función f () tin algún mínimo rlativo. b Para qu la rcta = sa asíntota vrtical d f() s ncsario qu lím. a b b Como lím a 0 a =. a a b Para qu la rcta y = sa asíntota horizontal d f() s ncsario qu lím. a b Como lím b b =. a Para a = y b = la función f ( ). ( ) 6 Lugo f ( ) ( ) ( ) Como la drivada no s anula n ningún caso, la función no pud tnr mínimos rlativos (ni máimos).

2 . Dtrmina un punto d la curva máima. y n l qu la pndint d la rcta tangnt sa La pndint d la tangnt s máima n las solucions d y 0 (qu son los puntos d inflión) y qu, admás, vrifican qu y 0. Hacindo las drivadas s tin: y y ( ) ( ) y ( ) y ( 6 ( )( ) ( 6 ) ) ( 6 )( ) y ( 6 ) 0 6 ( ) = 0; y ( 0) 6 ; y ( / ) ( 6 6 8) / 0 El punto buscado s (0, 0). ( 6 8 ). Eistn máimo y mínimo absolutos d la función f ( ) cos( ) n l intrvalo [0,]? Justifica su istncia y calcúlalos. Los máimos y mínimos d una función, si los hay, s dan n los puntos qu anulan su drivada. Admás, n un máimo, la drivada sgunda db sr ngativa, mintras, qu n un mínimo db sr positiva. Drivando: f ( ) sn ; f ( ) cos f ( ) sn = 0 = 0 o f ( 0) ; f ( ) Por tanto, la función tin un máimo n = 0 y un mínimo n =. Sus valors son: máimo: f ( 0) cos(0) ; mínimo: f ( ) cos( ) 0. Ambos son absolutos, pus cos.

3 5. Dmustra qu la curva d cuación y no tin ningún punto d inflión. Halla la cuación d la rcta tangnt a la curva n l punto ( 0, y 0 ) dond 0 s l valor d qu hac mínima y. S hacn las drivadas sucsivas: y y y 6 ) y 6 y Los puntos d inflión s dan n las solucions d la cuación y = 0. Como y 6 0 no tin solucions rals, la curva no tin ningún punto d inflión (En fcto: no s ral.) La función y s hac mínima (o máima) n la solución d y 6 = 0, qu s : ) Efctivamnt s mínimo pus y > 0. La cuación d la tangnt s: 05 5 y f ( / ) f (/ )( / ) y f ( / ) ; 56 f ( / ) Sa f: R R la función dfinida por f ( ) ( a b), dond a y b son númros rals. a) Calcula los valors d a y b para qu la función tnga un trmo rlativo n l punto (, ). b) Para los valors d a y b obtnidos, dígas qué tipo d trmo tin la función n l punto mncionado. a) Qu la función tnga un trmo rlativo n l punto (, ) significa:.º f ( ) f ( ) (a b) a b.º f ( ) 0. Como f ( ) ( a b) a (a b) a 0 a b 0 S tin l sistma: a b a b 0 a =, b = b) La función s f ( ) ( ), y sus drivadas primra y sgunda: f ( ) ( ) ( ) ; f ( ) ( ) ( ) Es vidnt qu f ( ) 0, por tanto n s punto s tin un trmo. Como f () 0, s trata d un máimo.

4 7. Considra la función f ( ) a b c 7 a) Calcula c sabindo qu su rcta tangnt n l punto d abscisa = 0 s horizontal. b) Para l valor d c hallado n l apartado antrior, calcula a y b sabindo qu sta función tin un trmo rlativo n l punto d abscisa = y qu corta al j OX cuando =. c) Para los valors obtnidos n los otros apartados, calcula los intrvalos dond la función crc y dcrc, sus trmos rlativos y haz una rprsntación gráfica aproimada. Drivada primra y sgunda: f ( ) a b c 7 f ( ) a b c f ( ) 6a b a) Si la rcta tangnt n = 0 s horizontal ntoncs f ( 0) 0. Como f ( 0) c c = 0. La función srá f ( ) a b 7 b) Si la función tin un trmo rlativo n =, ntoncs f ( ) 0. Si corta al j OX n =, ntoncs f ( ) 0. En conscuncia: f ( ) a b 0 a b 8 f ( ) a b 7 0 a b 8 Rsolvindo l sistma s obtin: a = 0; b = 8. c) La función srá f ( ) 8 7 f ( ) 6 f ( ) 6. ( ) 6 0 f ( ) 0 = 0; = ; =. Estos puntos son posibls máimos o mínimos. Para: <, f ( ) 0 la función dcrc; < < 0, f ( ) 0 la función crc; 0 < <, f ( ) 0 la función dcrc; >, f ( ) 0 la función crc Como: f ( ) 0, n = hay un mínimo; f ( 0) 6 0, n = 0 hay un máimo; f ( ) 0, n = hay un mínimo. Dando algunos valors podmos trazar su gráfica. Puntos: (, 9); (, 0); (0, 7); (, 0); (, 9). Admás la curva corta a los js n las solucions d 8 7 0, qu son 7 y = ±. Por tanto, la curva s la adjunta.

5 5 8. Halla razonadamnt l punto d la curva y n l qu la rcta tangnt a la curva tin pndint máima y calcula l valor d sta pndint. El punto n l qu la curva tin rcta tangnt con pndint máima (o mínima) s un punto d inflión d la curva. (En fcto: la pndint d la rcta tangnt a f() n un punto gnérico vin dada por l valor d f (). El máimo d f () s obtin cuando f ( ) 0 : n las solucions d la cuación f ( ) 0 qu hacn ngativa a la función f ( ). Por tanto, n los posibls puntos d inflión d f().) Calculamos las trs primras drivadas d la función: 6 y y y y ( ) ( ) ( ) La drivada sgunda s anula n y n Como y ( / ) 0 y y ( / ) 0 la curva tin rcta tangnt con pndint máima n l punto. / 9 El valor d sa pndint s y ( / ) ( / ) 8 9. Dada la función f ( ) f ( ) 0 y f ( ). Di qué torma utilizas. dmustra qu istn, (, ) tals qu La función dada s continua n l intrvalo [, ]. Admás cumpl qu: f ( ) 0 ; f ( ) 0 Por tanto, por l torma d Bolzano, ist un punto (, 0) tal qu f ( ) 0. S hac f () : f ( ) (ln ) ln Esta función también s continua n l intrvalo [, ]. Admás: f ( ) (ln) ln ( ln ) ; f ( ) (ln ) ln 5 Por tanto, por l torma d los valors intrmdios, la función f () toma todos los valors comprndido ntr f ( ) y f (). Lugo istirá un valor (, 0) tal qu f ( ).

6 6 Problmas y rprsntacions gráficas 0. Estudia l signo d las drivadas primra y sgunda d cada una d las siguints funcions, y dtrmina n cada caso los intrvalos d crciminto y dcrciminto, la concavidad y la convidad. 8 a) f ( ) b) f ( ) ( ) a) f ( ). S anula n =. Si < 0, f () < 0 f () dcrc. Si 0 < <, f () > 0 f () crc. Si >, f () < 0 f () dcrc. En conscuncia, n = hay un máimo. ( ) 6 La drivada sgunda s: f ( ), qu s anula n =. Lugo: 6 para < 0, f () < 0 f () s conva (). para 0 < <, f () < 0 f () s conva (). para >, f () > 0 f () s cóncava (). En conscuncia, la función tin un punto d inflión n =. 8 6 b) f ( ) f ( ) S anula n = 0; s positiva si < 0 (crc), y ngativa cuando > 0 (dcrc). 6 ( ) 6 ( ) f ( ) = ( 6. 8 ) Si f () > 0 f () s cóncava (). f () < 0 f () s conva (). Si f () > 0 f () s cóncava ().

7 7. Dmustra qu la curva f ( ) cos tin un punto d inflión n l intrvalo (0, ) y halla la cuación d la rcta tangnt a la curva n s punto. Para qu f tnga un punto d inflión s ncsario qu f s anul n algún punto dl intrvalo (0, ). Sria suficint si, admás, la drivada trcra n l punto hallado fus distinta d 0. Drivando: f ( ) sn f ( ) cos f ( ) sn f ( ) cos 0 = /. Como f ( / ) sn ( /) =, pud asgurars qu la función dada tin un punto d inflión n = /. La cuación d la rcta tangnt n l punto ( 0, y0 ) s y f ( 0 ) f ( 0 )( 0 ). f ( / ) cos( / ) ; f ( / ) sn ( /) Por tanto, la rcta tangnt s y y.. Calcula los coficints a y b dl polinomio p ( ) a b para qu su gráfica pas por l punto (, ), tnindo aquí un punto d inflión. p ( ) a b p ( ) a 6 b p ( ) 6a 6 Para qu (, ) sa punto d inflión db cumplirs qu p ( ) y qu p ( ) 0. D p ( ) 0 6a 6 0 a =. Para qu p ( ) a b b =. Por tanto: p ( ). Dtrmina a y b para qu la función f ( ) a b tnga un mínimo n = y un punto d inflión n = /. Drivando dos vcs: f ( ) a b f ( ) a b f ( ) 6a b Por tnr un mínimo n =, f () = 0 0 = a + b Por tnr un punto d inflión n = /, f (/) = 0 0 a b a b Rsolvindo l sistma s obtin qu: a, b a b Por tanto, la función s f ( ). 8 8

8 8. Dada la función f ( ), s pid: a) Calcula su drivada dond ista y justifica la no istncia d drivada dond procda. b) Haz su rprsntación gráfica, dtrminando l punto d cort con los js, los intrvalos d crciminto, los puntos d inflión y las asíntotas d f. a) Al tratars d una función dfinida mdiant valor absoluto hay qu distinguir los casos > si 0 0 y 0, sindo f ( ) si 0 Esta función stá dfinida y s continua n todo R. (El punto qu prsnta dificultads s = 0, pro s inmdiato vr qu f ( 0 ) f (0 ) 0.) Drivando por sparado s obtin si 0 f ( ) si 0 Como s fácil vr: cuando 0, f ( ) ; y cuando 0 +, f ( ) Por tanto, al no coincidir las drivadas latrals, la función no s drivabl n l punto = 0. b) Sólo hay un punto d cort con los js: l punto (0, 0). Para los rstants valors d, la función simpr s positiva, pus su valor s obtin como cocint d dos númros positivos. En conscuncia, l punto (0, 0) s l mínimo absoluto d la función. Al tratars d una función par, pus f ( ) f ( ), para studiar l crciminto, los trmos y los puntos d inflión basta con considrar l signo d f () y d f () para > 0. Drivada primra: Si =, f () = 0. Si 0 < <, () Si >, () f ( ) f > 0 f () s crcint. f < 0 f () s dcrcint. Por tanto: f () s crcint si (, ) (0, ); srá dcrcint cuando (, 0) (, + ). En los puntos = y = tin sndos máimos. ( ) Drivada sgunda: f ( ) Si =, f () = 0 n = hay un punto d inflión. (Pud vrs qu f () cambia d signo a izquirda y drcha d.) Asíntota: Como lim 0, la rcta y 0, l j d abscisas, s asíntota horizontal d la función. (Como la función simpr s positiva, la curva s acrca al j por ncima d él.) Dando algunos valors: (0, 0); (, 0,5); (, 0,); s obtin la gráfica qu sigu.

9 9 5. Halla una función polinómica d trcr grado qu tnga un trmo rlativo n (, ) y un punto d inflión n (0, ). Sa f ( ) a b c d la función buscada. Por tanto, sus drivadas primra y sgunda srán: f ( ) a b c f ( ) 6a b Por pasar por (, ), f() = a b c d Por trmo n (, ), f () = 0 0 a b + c Por pasar por (0, ), f(0) = = d Por PI n (0, ), f (0) = 0 0 = b Sustituyndo b = 0 y d = n las dos primras cuacions s tin: a c c = y a = a c 0 La función s f ( ) 6. Dtrmina los valors d a y b para qu la función f ) a b ( tnga un trmo rlativo n l punto d abscisa = y admás pas por l punto (, /). Halla la cuación d la rcta tangnt a f () n l punto d abscisa = 0. f ( ) a b f ( ) a b a b a (a b) b Para qu la función tnga un trmo rlativo n = s ncsario qu f ( ) 0, lugo: 9a (a b) b 0 f () a b 0 Por pasar por l punto (, /), sto s f ( ) a b a b. a b 0 Rsolvindo l sistma a =, b =. a b La función srá f ( ) ; sindo f ( ) 7. f ( ) y f ( 0) f (0)( 0) Como f ( 0) 0 y f ( 0), la tangnt s y. La cuación d la rcta tangnt a n l punto (0, f(0)) s:

10 0 7. Halla los puntos d la curva y n los qu la pndint d la rcta tangnt val Hay qu prsar la curva y, qu s una lips, n su forma plícita. y y y y Como la pndint d la rcta tangnt vin dada por la drivada n l punto, hay qu buscar los valors d qu hacn qu y =. Esto s: y Para y. El punto s:, Para 6 6 y. El punto s:, D otro modo, mdiant la drivación implícita: y y y 0 y y Como y y y. Sustituyndo n y y y 6y Nota: Pud vnir bin hacr l dibujo adjunto. 8. Halla los valors dl parámtro a, a 0, para qu las tangnts a la curva d cuación y a a a 5 n los puntos d inflión san prpndiculars. En los puntos d inflión la drivada sgunda val 0. y a a a 5 y a 6a a y a a Como y a a a( ) 0 = o = 0. Por tanto los puntos d inflión s dan n = y n = 0. Como y a a, s cumpl y ( ) 0 y y ( 0) 0 ; lo qu confirma qu para ambos valors s dan sndos puntos d inflión. En sos puntos la pndint d la rcta tangnt val: En =, y ( ) a 6a a a En = 0, y ( 0) a Como dbn sr prpndiculars: y ( ) a a a = ±. y (0) a

11 9. Estudia l crciminto y dcrciminto y los máimos y mínimos rlativos la función f ( ) Drivando s tin: ( ) ( ) ( 7 ) f ( ) La drivada s anula cuando 7 0 = y = /. Por tanto: Si < /, f () < 0 f s dcrcint. Si / < <, f () > 0 f s crcint. Si >, f () < 0 f s dcrcint. Por la información antrior, y dado qu f s continua para todo, s dduc qu n = / la función tin un mínimo rlativo, y n = un máimo rlativo. También pud hacrs la drivada sgunda y dtrminar su valor n sos dos puntos. ( 7) ( 7 ) 0 f ( ) / / 0 Como f ( / ) 0, n = / la función tin / un mínimo. 8 0 Como f ( ) 0, n = la función tin un máimo. Con GoGbra s obtin su gráfica. f ( ) ln 0. Halla los máimos y mínimos rlativos, y los puntos d inflión d La función stá dfinida n l intrvalo (0, + ). Drivadas primra y sgunda. f ( ) ln ln ln ln f ( ) ln ln f ( ) ln ln ln 0 o ln = o Si 0 0, f () > 0 la función s crcint. Por tanto: Si, f () < 0 la función s dcrcint Si >, f () > 0 la función s crcint Por sr f ( ) 0, n s tin un máimo rlativo. Y como f ( ) 0, n = hay un mínimo. Como f ( ) ln 0 cuando, n sa abscisa s da un punto d inflión, ya qu n s punto la drivada sgunda cambia d signo. (A su izquirda la función s cóncava, ; mintras qu a su drcha s conva, ) Con GoGbra pud hacrs su gráfica.

12 . Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d, los trmos rlativos, los intrvalos d concavidad y convidad y las asíntotas d f ( ) ln. Esboza la gráfica d f. La función stá dfinida n l intrvalo (0, + ). Drivadas primra y sgunda: f ( ) ; f ( ) La drivada primra s anula cuando = : 0 =. Si 0 < <, f () > 0 la función crc. Si >, f () < 0 la función dcrc. Como la función crc a la izquirda d = y dcrc a su drcha, n = hay un máimo. La drivada sgunda no s anula nunca: f ( ) 0. En conscuncia, la función simpr s cóncava (). Tin una asíntota vrtical, la rcta = 0, pus lim ln. 0 La curva stá a la drcha d la asíntota. No tin más asíntotas. Podría sospchars qu tin otra asíntota oblicua, d la forma y m n, pro aunqu m =, l término n, como s v a continuación: f ( ) ln m lim lim ; n lim f ( m) lim ln Dando algunos valors s traza la siguint curva. Valors: (, ); (, ln 0,7); (, + ln = 0,); (, 0,6). Dada la función f ( ) arctg, dtrmina su dominio, sus intrvalos d crciminto, sus máimos y sus mínimos. La función arctg stá dfinida para todo númro ral, lugo l dominio d f ( ) arctg s R. Drivada: f ( ) Esta drivada s anula cuando 0 = o = +. Por tanto: Si <, como f () < 0 la función dcrc. Si < <, como f () > 0 la función crc. En conscuncia, n = s tin un mínimo rlativo Si >, como f () < 0 la función dcrc. Lugo n = s da un máimo rlativo.

13 Más rprsntación gráfica d una función. S considra la función f ( ). S pid: a) Encontrar los intrvalos dond sta función s crcint y dond s dcrcint. b) Calcular las asíntotas. c) Hacr una gráfica d la función. a) El dominio d sta función s R {, }. Su drivada s: f ( ) ( ) ( ) ( ) La drivada s anula n = 0. Como admás no stá dfinida n = y n =, hay qu considrar los intrvalos qu indicamos a continuación: Si <, f () > 0 f() crc. Si < < 0, f () > 0 f() crc. Si 0 < <, f () < 0 f() dcrc. (En = 0 s tndrá un máimo rlativo.) Si >, f () < 0 f() dcrc. Nota: Podría obsrvars qu la función s par. b) lím = s una asíntota vrtical. Si, f() + Si +, f() lím = s una asíntota vrtical. Si, f() Si +, f() + lím y = s una asíntota horizontal. (La rcta va por dbajo d la curva, pus >.) Su gráfica aproimada s la adjunta.

14 . Dada la curva y s pid: a) Dominio d dfinición d la función y puntos d cort con los js, si los hay. b) Asíntotas, si las hay. c) Intrvalos d crciminto y dcrciminto. d) Máimos y mínimos, si los hay. ) Una rprsntación aproimada d la misma. Como l dnominador no s anula para ningún valor d, l dominio d dfinición s todo R. Cort con los js: Si = 0 y =. Punto (0, ). Si y = 0 = 0 =, =. Puntos (, 0) y (, 0). b) No hay asíntotas vrticals: la función nunca d va al infinito. Como lím la rcta y = s asíntota horizontal d la curva, tanto hacia + como hacia. c) Drivando: ( ) ( ) y ( ) ( ) Si = 0, y = 0 n = 0 pud habr máimo o mínimo. Si < 0, y < 0 la función s dcrcint. Si > 0, y > 0 la función s crcint. d) Como la función dcrc a la izquirda d = 0 y crc a su drcha, n = 0 hay un punto mínimo. También pud comprobars vindo qu y (0) > 0. ( ) ( ) El fcto, como y y (0) = > 0. ( ) ( ) ) Admás d la información obtnida pud vrs qu la curva s simétrica rspcto dl j OY; si calculamos algunos valors más, como (, 8/0), (, /5); (, /5), (, 8/0), pud dibujars la gráfica siguint.

15 5 5. S considra la función f ( ). Halla l dominio d dfinición, los intrvalos d crciminto y los trmos d f. Traza un squma d su gráfica. La función stá dfinida para todo númro ral distinto d : Dom (f) = R {, } Crciminto: f ( ) f ( ) ( ( ) ) ( ) La drivada s anula cuando = 0, por tanto dbmos studiar lo qu pasa n los intrvalos: < ; < < 0; 0 < < ; > si <, f () > 0 f s crcint; si < < 0, f () > 0 f s crcint; si 0 < <, f () < 0 f s dcrcint; si >, f () < 0 f s dcrcint; Como la drivada s anula n = 0, s crcint si < 0 y dcrcint cuando > 0, n = 0 la función tin un máimo. Para trazar su gráfica, admás d lo dicho, pud obsrvars qu: La función tin dos asíntotas vrticals, = y =, y otra horizontal, y =. En fcto: lím ; lím Algunos puntos d la gráfica son: (, /); (/, /); (0, 0): máimo; (/, /); (, /) Así s obtin la gráfica adjunta

16 6 6. a) Dibuja la gráfica d la función f ( ) indicando su dominio, intrvalos d crciminto y dcrciminto y asíntotas. n b) Dmustra qu la sucsión a n s monótona crcint. n c) Calcula lím n a a ) n ( n a) Dom(f) = R {}. Asíntotas: Tin una asíntota vrtical, la rcta =, pus Cuando, f() +. Cuando +, f(). n lím. La rcta y = s una asíntota horizontal, pus lím. Cuando, f() + (la curva va por ncima d la asíntota.) Cuando +, f() (la curva va por dbajo d la asíntota.) Crciminto: ( ) f ( ) ( ) ( ) Como la drivada s positiva para todo d su dominio, la curva s simpr crcint. Su gráfica s la siguint. b) Una sucsión s monótona crcint cuando a n an 0, para todo n. En st caso: ( n ) n (n )( n ) n( n ) an an =, ( n ) n ( n )( n ) ( n )( n ) qu, fctivamnt, s positivo para todo n. c) lím n a a ) n ( n n n = límn lím n ( n )( n ) n n n

17 7 7. Estudia y rprsnta la función y. La función stá dfinida para todo númro ral. Su rcorrido s positivo: 0. Es una función par: ( ) Tin una asíntota horizontal: lím 0 Crciminto y dcrciminto: y y s anula n = 0 Si < 0, y > 0 la función crc. Si > 0, y < 0 la función dcrc En = 0 hay un máimo. Concavidad y convidad: 6 y y 6 ( ) s anula n / 0,9 y n = 0 Si /, y > 0 la función conva (). Si / 0, y < 0 la función cóncava (). Por la simtría: si 0 / la función s cóncava y si / srá conva. Pudn dars algunos valors: (, /) (, 0,7), (0,5, 0,9), (0, ); (0,5, 0,9), (, 0,7) S obtin la gráfica:

18 8 8. Rprsnta gráficamnt la función f ( ). La función tin una asíntota horizontal hacia +, pus: lím 0 = lím (Aplicando la rgla d L Hôpital cuatro vcs) lím lím lím lím lím 0. Por tanto, la rcta y = 0 s una asíntota horizontal (hacia más infinito). Drivadas: f ( ) f ( ) ( ) 8 La drivada primra s anula cuando = 0 y =, por tanto db studiars lo qu pasa n los intrvalos: < 0; 0 < < ; >. Si < 0, f () < 0 f s dcrcint; Si 0 < <, f () > 0 f s crcint; Si >, f () < 0 f s dcrcint; Como la drivada s anula n = 0, s dcrcint si < 0 y crcint cuando > 0, n = 0 la función tin un mínimo. D manra análoga s concluy qu n = hay un máimo. La drivada sgunda s anula n = 0, = y = 6. Si < 0, f () > 0 f s conva (). Si 0 < <, f () > 0 f s conva (). En = 0 no hay punto d inflión, pus la función no cambia su curvatura. Si < < 6, f () < 0 f s cóncava (). En = hay un punto d inflión. Si > 6, f () > 0 f s conva (). En = 6 hay otro punto d inflión. Para trazar la curva convin obsrvar qu la rcta y = 0 s una asíntota horizontal hacia +, pus lim 0. La curva pasa por los puntos: (, ), (0, 0), (, 6/ ) (,,7), (, 56/ ) (,,69), (6, 6/ 6 ) (6,,). Con toda la información hallada s obtin la gráfica:

19 9 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Obsrvación: La mayoría d los problmas rsultos a continuación s han propusto n los ámns d Slctividad.. El consumo d un barco navgando a una vlocidad d nudos (millas/hora) vin 50 dada por la prsión C( ). Calcular la vlocidad más conómica y l 60 cost quivalnt. El consumo s mínimo n las solucions d C () = 0 qu hacn positiva a C () C( ) C ( ) C ( ) C ( ) / Como C ( 5 / ) > 0, para s valor s obtin l mínimo consumo Por tanto, la vlocidad más conómica s d 5 /,8 nudos. / El cost quivalnt srá: C ( 5 / ) 8,5 u.m. / / S dispon d una tla mtálica d 00 mtros d longitud para vallar una rgión rctangular. Cuáls son los valors d y, dimnsions dl rctángulo, qu hacn qu l ára dl romboid, formado por la unión d los puntos mdios d los lados, sa máima? Objtivo: qu l ára dl romboid sa máima. Su ára s la mitad qu la dl rctángulo. Por tanto: y Ára dl romboid: A R =. Condición: prímtro dl rctángulo = 00 m 00 = + y y 50 Sustituyndo n la prsión antrior, s tin: A( ) 5 Esta función alcanza l máimo n las solucions d A () = 0 qu hacn ngativa a A (). A ( ) Como A ( ) 0, para s valor hallado s tndrá l máimo buscado. El valor d y srá: y 5. Por tanto, tanto l rctángulo como l romboid son cuadrados. El rctángulo tndrá lado 5 5; l romboid srá un cuadrado d lado.

20 0. S dispon d una tla mtálica d 00 mtros d longitud para vallar una rgión como la d la figura. Cuáls son los valors d y qu hacn qu l ára ncrrada sa máima? S trata d un problma d optimización. Objtivo: qu l ára d la figura sa máima. La figura stá formada por un triángulo quilátro d lado y por un rctángulo d lados y. Ára dl triángulo: A T =. Véas la figura. La altura dl triángulo s: h Ára dl rctángulo: A R = y Ára total: A y Condición: prímtro d la figura = 00 m 00 = + y Sustituyndo n la prsión antrior, s tin: A( ) 50 y 50 Esta función alcanza l máimo n las solucions d A () = 0 qu hacn ngativa a A () (6 ) A ( ) Como A ( ) 0, para s valor hallado s tndrá l máimo buscado. 50(6 ) El valor d y srá: y 50.

21 . Considra la función f ( ) y un punto d su gráfica, M, situado n l primr cuadrant ( 0, y 0). Si por l punto M s trazan parallas a los js d coordnadas, su intrscción con OX y OY dtrmina dos puntos, A y B, rspctivamnt. a) Haz una gráfica d los lmntos dl problma. b) Halla las coordnadas dl punto M qu hac qu l rctángulo OAMB tnga ára máima. a) La curva s una parábola. Pud rprsntars dando valors. La situación s la siguint. b) Si l punto M = (, y), las coordnadas d A y B son: A = (, 0) y B = (0, y). El ára dl rctángulo srá: S = y Como y, sustituyndo s tin: S( ) ( ) El máimo d S() s da n las solucions d S () = 0 qu hagan ngativa a S (). S ( ) 0 = y = (sta última no val) Como S ( ) 6, s tin qu S () = 6 < 0; lugo para s valor d s tndrá la suprfici máima. Por tanto M = (, ). 5. Una imprnta rcib l ncargo d disñar un cartl con las siguints caractrísticas: la zona imprsa db ocupar 00 cm, l margn suprior db mdir cm, l infrior cm, y los márgns latrals cm cada uno. Calcula las dimnsions qu db tnr l cartl d modo qu s utilic la mnor cantidad d papl posibl. Si las dimnsions d la part imprsa son por y, l cartl srá como l qu dibujamos. La cantidad d papl qu s ncsita, y qu s dsa qu sa mínima, s: S = ( + 8) (y + 5) Con la condición d qu y = 00 y = 00/ Sustituyndo n S, quda: S ( ) ( 8) 5 S ( ) 5 0 Esta función s mínima n las solucions d S = 0 qu hacn positiva a S S ( ) 5 S ( ) S () = y,5 0 0 Como para s valor S s positiva s tin la solución mínima buscada. Las dimnsions dl cartl dbn sr: ancho: alto: y 5 5,5 0

22 6. D todos los prismas rctos d bas cuadrada y tals qu l prímtro d una cara latral s d 0 cm, halla las dimnsions dl qu tin volumn máimo. Si s l lado d la bas y la altura dl prisma, l volumn srá V = y. Esta s la función qu s dsa hacr máima. S sab qu + y = 0 y = 5. Lugo V ( ) y (5 ) 5 El máimo d V s da n la solución d V = 0 qu hac ngativa a V. V ( ) 0 (0 ) ; V ( ) 0 6 La drivada s anula para = 0 y = 0. Como V (!0) = 0 < 0, para s valor s tin l máimo buscado. Las dimnsions srán 0 0 5; y l volumn 500 cm. 7. D todos los rctángulos d diagonal 6, ncontrar las dimnsions dl d prímtro máimo. Los rctángulos son d la forma Su prímtro s P = + y, sindo la rlación ntr los lados y 6 Dspjando ( y 7 ) y sustituyndo n P quda:. P( ) 7 El máimo d P s obtin n las solucions d P () qu hacn ngativa a P (). ( ) P ( ) = 6 En vz d hacr P (), porqu rsulta ngorrosa, podmos studiar l signo d P () a izquirda y drcha d = 6. Así, si < 6, P () > 0 P() s crcint. si > 6, P () < 0 P() s dcrcint Como la función crc a la izquirda d = 6 y dcrc a su drcha, para = 6 s da l máimo d P(). Si l lado = 6, l otro lado val también 6. Así pus, s trata d un cuadrado d lado 6.

23 8. Calcular la bas y la altura d un triángulo isóscls d prímtro 8 y ára máima. Sa l triángulo d la figura. Su prímtro val 8 y + = 8 Por Pitágoras: y h h 8 Sustituyndo l valor d y 8 y y 6 6 h 6 h El ára dl triángulo s A. 6 Sustituyndo h por su valor, A( ) Para qu A sa máima: A () = 0 y A () < 0: 8 A ( ) = 0, = 8/ En vz d calcular la drivada sgunda, qu rsulta muy ngorroso, studiamos l crciminto y l dcrciminto d A(). Para < 0 no tin sntido vr l signo d A. Para 0 < < 8/, A () > 0 A() crc. Para > 8/, A () < 0 A() dcrc. Como la función crc a la izquirda d = 8/ y dcrc a su drcha, n = 8/ s da l máimo. Por tanto, la bas pdida s = 8/, mintras qu la altura valdrá h 6 (8/ )

24 9. El prímtro d la vntana dl dibujo mid 6 mtros. Los dos lados supriors forman ntr sí un ángulo d 90º. Calcula la longitud d los lados a y b para qu l ára d la vntana sa máima. Suponmos qu los dos lados supriors son iguals (l nunciado no lo dic, pro así lo sugir la figura). Si su mdida s s tndrá: b Por Pitágoras: b b 6 b( ) El prímtro s: a b 6 a b 6 a El ára d la vntana s la suma dl ára d la scción rctangular más la d la scción triangular: 6 b( ) b b ( ) b A ab b A( b) Para qu A sa máima: A = 0; A < 0. ( ) b 6 A ( b) 0 b ( ) A ( b) 0 lugo, para l valor d b hallado s tin l máimo d A. 6( ) 6 6 Si b a 0. Tnmos qu hacr dos chapas cuadradas d dos distintos matrials. Los dos matrials tinn prcios rspctivamnt d y uros por cntímtro cuadrado. Cómo hnos d lgir los lados d los cuadrados si qurmos qu l cost total sa mínimo y si admás nos pidn qu la suma d los prímtros d los dos cuadrados ha d sr d un mtro? (,5 puntos) San los cuadrados siguints: Prímtro = + y = 00 cm Suprfici = + y Cost = + y 00 Dspjando y n la cuación dl prímtro: y 5 Sustituimos n la prsión dl cost: C( ) (5 ) C ( ) El cost srá mínimo n la solución d C () = 0 qu haga positiva C (). C ( ) = 5 Como C () = 0 > 0, para s valor d = 5 s obtin l mínimo buscado. Por tanto, los lados dbn sr d 5 cm y d 5 5 = 0 cm.

25 5. Dscomponr l númro n dos sumandos positivos d forma qu la suma d los logaritmos nprianos d los sumandos sa máima. Calcular dicha suma. San los sumandos y : S dsa qu S() = ln + ln( ) sa máima. El máimo s da n las solucions d S () = 0 qu hacn ngativa a S (). S ( ) 0 0 = 0 ( ) ( ) Como S ( ) s suma d dos númros ngativos, S () < 0 para cualquir ( ) valor d ; n conscuncia, para s tndrá l máimo buscado. La suma pdida s: S ln ln ln (ln ln ) ln. Con 60 cntímtros d alambr s construyn dos triángulos quilátros cuyos lados midn y. Qué valors d y hacn qu la suma d las áras d los triángulos sa mínima. La altura dl triángulo d lado s: h, la dl triángulo d lado y s, h y y S cumpl qu + y = 60 y = 0 y y S dsa qu S S S y ( y ) sa mínima. Sustituyndo y = 0, s tin: S ( (0 ) ) ( 0 00) Para qu S sa mínima: S = 0 y S > 0: S ( 0) 0 = 0 Como S 0, para s valor d = 0 s tin l mínimo buscado. En conscuncia, los lados srá = 0 y = 0; o sa, dos triángulos quilátros iguals.

26 6. Eprsa l númro 60 como suma d trs númros positivos d forma qu l sgundo sa dobl dl primro. Si l producto d los trs s máimo, dtrmina l valor d dicho producto. San, y, z los númros. S sab qu y = ; y qu + y + z = 60 + z = 60 z = 60 El producto d los trs númros s: P = yz = (60 ) = El producto n función d s: P() = Est producto s máimo n los valors d qu cumpln qu P () = 0 y P () > 0 P () = = 6( + 0) = 0 = 0; = 0/. Como P () = s tin qu P (0/) = 0 < 0. Por tanto, l producto srá máimo cuando = 0/. Los otros dos númros son y = = 80/; z = El producto máimo s P = 0 7,. S dsa construir un parallpípdo rctangular d 9 litros d volumn y tal qu un lado d la bas sa dobl qu l otro. Dtrminar las longituds d sus lados para qu l ára total d sus 6 caras sa mínima. Si su altura s h, l volumn d st parallpípdo val: V = h = h El ára total d sus 6 caras s: A = ( ) + ( h) + ( h) A = + 6h Como V = 9 h = 9 h 7 Sustituyndo n A: A( ) Esta función s mínima n las solucions d A = 0 qu hacn positiva a A. 7 A ( ) 8 = Como A ( ) 8 > 0 para todo > 0, para s tin la solución mínima. Por tanto, l lado más largo valdrá, y la altura h 9 (/ )

27 7 5. Dada la función f ( ) s pid: a) Hallar la cuación d la rcta tangnt a su gráfica n l punto ( a, f ( a)) para a > 0. b) Hallar los puntos d cort d la rcta tangnt hallada n l apartado a) con los dos js coordnados. c) Hallar l valor d a > 0 qu hac qu la distancia ntr los dos puntos hallados sa mínima. a) La cuación d la rcta tangnt a f() n l punto ( a, f ( a)) s: y f ( a) f ( a)( a) En st caso: f ( ) f ( a) a f ( ) f ( a) a S tndrá: y ( a) y a a a a b) Cort con j OY, (s hac = 0) y. Punto 0,. a a Cort con j OX, (la y = 0) 0. a a a c) La distancia ntr los dos puntos d cort s: d (a) a a a. Punto,0 D a a. Esta distancia srá mínima cuando lo sa su cuadrado, d. a El valor mínimo s da n las solucions d D = 0 qu hagan D > 0. (Drivamos con rspcto a a.) 8 D 8a 0 8a 8 0 a = (la solución a = s dscarta) a Como D 8 > 0, para a = s dará l valor mínimo. a

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso 010-011 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso 010-011 19-XI-010 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES

Más detalles

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13 º Bachillrato: jrcicios modlo para l amn d las lccions, y 3 Sa la unción F ( ) t dt a) Calcular F (), studiar l crciminto d F() y hallar sus máimos y mínimos. b) Calcular F () y studiar la concavidad y

Más detalles

ANÁLISIS (Selectividad 2014) 1

ANÁLISIS (Selectividad 2014) 1 ANÁLISIS (Slctividad 4) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD EN 4 ( Obsrvación: La slcción s ha hcho dando prioridad a las custions más tóricas) Andalucía, junio 4 San

Más detalles

ANÁLISIS. a) Derivabilidad de la función en los puntos x = -1, x = 1, x = 2. Calcular la derivada en cada uno de los puntos

ANÁLISIS. a) Derivabilidad de la función en los puntos x = -1, x = 1, x = 2. Calcular la derivada en cada uno de los puntos Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad ANÁLISIS Junio 9.. Dada la función cos f () a b si si si a) Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa continua n [ punto] b) Es drivabl la función

Más detalles

ANÁLISIS. Junio 94. cosx si x Dada la función. f(x) a 2x si 0 x 1. b si x 1 x

ANÁLISIS. Junio 94. cosx si x Dada la función. f(x) a 2x si 0 x 1. b si x 1 x ANÁLISIS Junio 9.. Dada la función cos si 0 b si f() a si 0 a) [ punto] Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa continua n b) [ punto] Es drivabl la función obtnida n = 0?. En =?. Razona

Más detalles

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos Matmáticas II TEMA 8 Drivadas Torma Rgla d L Hôpital Problmas Propustos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula la drivada d f ( ) n l punto = Utilizando la dfinición, halla la

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES ) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 007) Sa f: R R la función dfinida por f() =. Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica

Más detalles

REPRESENTACION GRAFICA.

REPRESENTACION GRAFICA. REPRESENTACION GRAFICA. Calcular puntos notabls así como intrvalos d monotonía y curvatura d: ² - = 0 ; ² = ; = son los valors d qu anulan l dnominador D = R- y () = 0 ; - 4 = 0 ; = 0 posibl ma, min Monotonia:

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Para l studio y rprsntación d una unción s sigun los siguints pasos:. Dominio d dinición y d continuidad.. Corts con

Más detalles

ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2015

ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2015 ANÁLISIS (Slctividad 5) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 5 Andalucía, junio 5 Sa f la función dfinida por f( ) para a) [ punto] Estudia y calcula las asíntotas

Más detalles

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8 Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 7 TEMA 8 Drivadas Tormas Rgla d L Hôpital Problmas Rsultos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula

Más detalles

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA.

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA. 7 Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada TEMA 4. APICACIONES DE A DERIVADA.. Monotonía. Crciminto y dcrciminto d una función. Etrmos rlativos 3. Optimización 4. Curvatura 5. Punto d Inflión 6. Propidads

Más detalles

12 Representación de funciones

12 Representación de funciones Rprsntación d funcions ACTIVIDADES INICIALES.I. Factorizando prviamnt las prsions, rsulv las siguints cuacions: a) 6 7 5 0 6 c) 0 7 b) 6 d) 0 a) 6 7 5 0 ( )(6 5) 0 5 6 5 0, b) 7 6 ( )( ) 6 6 ( ) 7 ( )

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Calcular los dominios d dfinición d las siguints funcions: a) f( ) 6 b) f( ) c) f( ) ln d) f( ) arctg 3 4 ) f( ) f) f( ) 5 g) f( ) sn 9 h) 4 4

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES.

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bach. TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. Tasa d variación mdia. Cálculo y signiicado EJERCICIO : Considramos la unción:. Halla la tasa

Más detalles

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos:

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos: Univrsidad d Vigo Dpartamnto d Matmática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria d Fbrro 6 d Enro d 007 Nombr y Apllidos: DNI: (4.5 p.) ) S considra la función f(x) = x ln(x). (0.5 p.) (a) Calcular

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES.

LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Sa y una unción ral d variabl ral. D una manra intuitiva y oco rcisa, dirmos qu l it d s L, cuando s aroima a, si ocurr qu cuanto más róimo sté

Más detalles

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL 74 Cuando un problma gométrico stá nunciado n términos d la rcta

Más detalles

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una unción ral d variabl ral s una aplicación d un subconjunto D d los númros rals n un subconjunto I d los númros

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Planteamiento y resolución de los problemas de optimización Se quiere construir una caja, sin tapa, partiendo de una lámina rectangular de cm de larga por de ancha. Para ello

Más detalles

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c)

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c) TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Torma d Roll Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), y si f (, ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu Intrprtación gométrica: ist un punto al mnos d s intrvalo, n l qu

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011 IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 0-0 MATEMÁTICAS II Opción A Ejrcicio opción A, modlo Sptimbr 0 k si

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f () = l S l: El it cuando tind a c d f() s l c Significa:

Más detalles

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación LÍMITES Cálculo y rprsntación...... 7. 8. - + + - - + + - + - ( + ) - + + - - + + 9. + - +. + - + - 9. + -. + + + - +. + + +. + + + -. +. + - ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y rprsntación. y = - +.

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x . Drivar las siguints funcions simplificar l rsultado n la mdida d lo posibl. ) 4) 7) ) 4 5 5 5 7 5) 8) ) 5 6) 5 9) 4 5 0) ) 7 ) ) 4) 4 5) 6) 7) 8) 9) ) 5) 0) 4 ln ) ln log 6) ln 8) ln ) 9) ) 5) 4) 7)

Más detalles

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ELABORO: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS DICIEMBRE DE 7 EJERCICIOS DE

Más detalles

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx.

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx. Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas Calcula las siguints intgrals Solucions A d A d + + + ln( + + ) A d arctan + A sn sn d A d ln ( ) 6A d cos tan + arctan + ln(

Más detalles

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. FUNCIÓN EXPONENCIAL n Hmos stado manjando n st trabajo prsions dl tipo n dond s una variabl llamada bas n una constant llamada ponnt, si intrcambiamos d lugar

Más detalles

Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Solucions a los jrcicios propustos Unidad. El conjunto d los númros rals Matmáticas aplicadas a las Cincias Socials I NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES. Dtrmina si los siguints númros son o no

Más detalles

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden APITULO 5. EUAIONES DIFERENIALES DE ORDEN N 5.. Introducción Una cuación difrncial d sgundo ordn s una prsión matmática n la qu s rlaciona una función con sus drivadas primra sgunda. Es dcir, una prsión

Más detalles

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2 Matmáticas Computación COMPUTACIÓN Práctica nº NÚMEROS REALES Eistn algunos númros irracionals prdfinidos n Maima como son l númro π l númro qu s corrspondn con los símbolos %pi % rspctivamnt. Otros númros

Más detalles

Tema 2 La oferta, la demanda y el mercado

Tema 2 La oferta, la demanda y el mercado Ejrcicios rsultos d ntroducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 2 La ofrta, la

Más detalles

MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO

MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO MTEMÁTICS II PRUEBS DE CCESO L UNIVERSIDD DE OVIEDO.- NÁLISIS ª PRTE.- Cálclo Intgral.- MODELO DE PRUEB Dada la parábola, s corta por la rcta d cación ; n los pntos d intrscción s trazan las tangnts a

Más detalles

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones Ejrcicios rsultos d Introducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 3 La lasticidad

Más detalles

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7 VERSIÓN:.0 FECHA: 19-06-01 I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO PÁGINA: 1 d 9 Nombrs y Apllidos dl Estudiant: Docnt: ALEXANDRA URIBE Ára: Matmáticas Grado: UNDÉCIMO Priodo: TERCERO GUIA 7 Duración: 0 horas Asignatura:

Más detalles

Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas

Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) Ejrcicios rsultos Distribucions discrtas y continuas ) La rsistncia a la comprsión d una mustra d cmnto s una variabl alatoria qu s

Más detalles

PRÁCTICA 8 ESTUDIO DE ENGRANAJES 3º INGENIERÍA INDUSTRIAL

PRÁCTICA 8 ESTUDIO DE ENGRANAJES 3º INGENIERÍA INDUSTRIAL PRÁCTICA 8 ESTUDIO DE ENGRANAJES 3º INGENIERÍA INDUSTRIAL 1.- INTRODUCCIÓN. La prsnt práctica tin por objto introduir al alumno n l cálculo d trns d ngranajs, tanto simpls d js parallos, compustos y trns

Más detalles

Análisis. b) Calcular razonadamente b y c para que sea derivable y calcular su función derivada.

Análisis. b) Calcular razonadamente b y c para que sea derivable y calcular su función derivada. MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B 6-3- Análisis OPCIÓN A.- Dada la función + b + c f = Ln( + ) > a) Calcular sus asínoas b) Calcular razonadamn b y c para qu sa drivabl y calcular su función drivada. a) El

Más detalles

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS 14-1 Los tipos d intrés nominals y rals Slid 14.2 Los tipos d intrés xprsados n unidads d la monda nacional s dnominan tipos d intrés nominals. Los

Más detalles

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y

Más detalles

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.

Más detalles

CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN de TRANSFORMADORES

CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN de TRANSFORMADORES CARACTERÍSTCAS EXTERNAS y REGLACÓN d TRANSFORMADORES Norbrto A. Lmozy 1 CARACTERÍSTCAS EXTERNAS S dnomina variabl ntr a una magnitud qu stá dtrminada ntr dos puntos, tal como una difrncia d potncial o

Más detalles

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN ANÁLISIS DL AMPLIFIADO N MISO OMÚN Jsús Pizarro Pláz. INTODUIÓN... 2. ANÁLISIS N ONTINUA... 2 3. TA D AGA N ALTNA... 3 4. IUITO QUIALNT D ALTNA... 4 5. FUNIONAMINTO... 7 NOTAS... 8. INTODUIÓN l amplificador

Más detalles

Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES 5. CONDICIONES DE FRONTERA: Dbido a qu muchos problmas

Más detalles

LIMITES DE FUNCIONES EN 1D

LIMITES DE FUNCIONES EN 1D LIMITES DE FUNCIONES EN D Límits d funcions n D Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.du), José Francisco Martínz Boscá (jmartinzbos@uoc.du) ESQUEMA DE CONTENIDOS Dfinición Límits latrals LÍMITE DE

Más detalles

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tma Límits, continuidad y asíntotas Matmáticas I º Bachillrato TEMA LÍMITES, CONTINUIDAD ASÍNTOTAS CÁLCULO GRÁFICO DE LÍMITES EJERCICIO : Sobr la gráfica d f), halla : 8 8 8 f f c) f f ) f f f c) f f )

Más detalles

Energía. Reactivos. Productos. Coordenada de reacción

Energía. Reactivos. Productos. Coordenada de reacción CINÉTICA QUÍMICA 1 - Razon: a) Si pud dducirs, a partir d las figuras corrspondints, si las raccions rprsntadas n (I) y (II) son d igual vlocidad y si, prvisiblmnt, srán spontánas. b) En la figura (III)

Más detalles

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD Signiicado dl it Ejrcicio nº.- Rprsnta gráicamnt y plica l gniicado d la prón: Ejrcicio nº.- Eplica l gniicado d la guint prón y rprséntalo gráicamnt: 9 Ejrcicio nº.- Escrib

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDOS)

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDOS) EUAIONES DIFERENIALES ORDINARIAS EDOS.- Introducción onsidrmos los siguints roblmas. Problma uáls srán las curvas qu vrifican qu la ndint n cada uno d sus untos s igual al dobl d la suma d las coordnadas

Más detalles

Sistemas de control: Elementos componentes, variables, función de transferencia y diagrama funcional.

Sistemas de control: Elementos componentes, variables, función de transferencia y diagrama funcional. Sistmas d control: Elmntos componnts, variabls, función d transfrncia y diagrama funcional. Introducción Los sistmas d control automático han jugado un papl vital n l avanc d la cincia y d la ingniría.

Más detalles

2º BACHILLERATO CINETICA QUÍMICA

2º BACHILLERATO CINETICA QUÍMICA VELOCIDAD DE REACCIÓN 1.- Escrib la xprsión d la vlocidad d racción n función d la concntración d cada una d las spcis qu intrvinn n l procso d obtnción d amoniaco. N + 3 H NH 3 d 1 v = [N] = 3 d 1 [H]

Más detalles

Estudio de funciones mediante límites y derivadas

Estudio de funciones mediante límites y derivadas Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un

Más detalles

Tema 4 La política económica: impuestos y subvenciones por unidad vendida y controles de precios

Tema 4 La política económica: impuestos y subvenciones por unidad vendida y controles de precios Ejrcicios rsultos d Introducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl ilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz http://bit.ly/8l8u

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA Ejercicio -Sea f: R R la función definida por f ( ) = + a + b + a) [ 5 puntos] Determina a, b R sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE GALICIA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE GALICIA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos IES CSTELR DJOZ Mnguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNIVERSIDD DE GLICI SEPTIEMRE - (RESUELTOS por ntonio Mnguino) MTEMÁTICS II Timpo máimo: hors minutos El lumno db rspondr solmnt los jrcicios d un d ls opcions

Más detalles

Tema 5 El Mercado y el Bienestar. Las externalidades

Tema 5 El Mercado y el Bienestar. Las externalidades Ejrcicios rsultos d Introducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 5 El Mrcado

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN El almán Gottfrid Libniz (66-76), quin, junto con su antagonista l inglés Isaac Nwton (6-77), fu l crador dl cálculo infinitsimal. MATEMÁTICAS II

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta

Más detalles

Funciones de Variable Compleja

Funciones de Variable Compleja Funcions d Variabl Complja Modlos d Sistmas II Smstr 2008 Ing. Gabrila Ortiz L 1 Función Concpto Matmático Considrando los conjuntos X Y una función comprnd una rlación o rgla qu asocia a cada lmnto x

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS ACTIVIDADES SELECTIVIDAD APLICACIONES DERIVADAS Ejercicio 1 De la función se sabe que tiene un máximo en, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa y tiene un punto de inflexión en el punto

Más detalles

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA AIAIÓN DE IMPEDANIAS ON A FEUENIA EN IUITOS DE OIENTE ATENA Fundamnto as impdancias d condnsadors bobinas varían con la frcuncia n los circuitos d corrint altrna. onsidrarmos por sparado circuitos simpls.

Más detalles

1.1 Introducción 1.2 Ecuaciones Lineales 1.3 Ecuaciones de Bernoulli 1.4 Ecuaciones separables 1.5 Ecuaciones Homogéneas 1.6 Ecuaciones exactas

1.1 Introducción 1.2 Ecuaciones Lineales 1.3 Ecuaciones de Bernoulli 1.4 Ecuaciones separables 1.5 Ecuaciones Homogéneas 1.6 Ecuaciones exactas ap. Ecuacions Difrncials d Primr ordn. Introducción. Ecuacions Linals. Ecuacions d Brnoulli. Ecuacions sparabls.5 Ecuacions Homogénas.6 Ecuacions actas.7 Factor Intgrant.8 Estabilidad dinámica dl quilibrio.9

Más detalles

IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II

IES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho UNIVERSIDAD DE ETREADURA ATEÁTICAS II ATEÁTICAS II Timpo máimo: hor minutos Instruccions: El lumno lgirá un d ls dos opcions propusts Cd un

Más detalles

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler.

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. 5. Convgncia d intgals impopias. Las funcions Γ y Β d Eul. La foma haitual d calcula una intgal impopia, po jmplo dl intgando, aplica

Más detalles

OPCIÓN SIMPLIFICADA OPCIÓN SIMPLIFICADA ZONA CLIMÁTICA ZONA CLIMÁTICA

OPCIÓN SIMPLIFICADA OPCIÓN SIMPLIFICADA ZONA CLIMÁTICA ZONA CLIMÁTICA CÓDIGO TÉCNICO DE LA EDIFICACIÓN ACONDICIONAMIENTO TÉRMICO E HIGROMÉTRICO: CÁLCULO SEGÚN CTE El acondicionaminto térmico higrométrico s rcog n l Documnto Básico HE Ahorro d Enrgía, cuyo índic s: HE 1 Limitación

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Tema 3 La economía de la información

Tema 3 La economía de la información jrcicios rsultos d Microconomía. quilibrio gnral y conomía d la información rnando Prra Tallo Olga María odríguz odríguz Tma La conomía d la información http://bit.ly/8l8u jrcicio : na mprsa d frtilizants

Más detalles

OPCIÓN A. Días de lectura Total de páginas Quijote Eva E D ED Marta E 5 D + 14 (E 5).( D + 14) Susana E 11 D + 44 (E 11).( D + 44)

OPCIÓN A. Días de lectura Total de páginas Quijote Eva E D ED Marta E 5 D + 14 (E 5).( D + 14) Susana E 11 D + 44 (E 11).( D + 44) IES Mditrráno d Málg Solución Junio Jun Crlos lonso Ginontti OPCIÓN..- Ev Mrt Susn son trs jóvns migs qu s compromtn lr El Quijot st vrno. Cd un por sprdo n unción dl timpo dl qu dispon dcid lr un mismo

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE MURCIA JUNIO 2012 (GENERAL) MATEMÁTICAS II SOLUCIONES Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos ----------

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE MURCIA JUNIO 2012 (GENERAL) MATEMÁTICAS II SOLUCIONES Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos ---------- IES ASTELAR BADAJOZ A nguino PRUEBA DE AESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE URIA JUNIO (GENERAL) ATEÁTIAS II SOLUIONES Timpo máimo: hors minutos Osrvcions importnts: El lumno drá rspondr tods ls custions d un d

Más detalles

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES INSTITUTO TENOLÓGIO DE OSTA RIA ESUELA DE INGENIERÍA ELETRÓNIA URSO: MODELOS DE SISTEMAS ÁLULO DE RESIDUOS Y SUS APLIAIONES ING. FAUSTINO MONTES DE OA FEBRERO DE álculo d Rsiduos y sus Aplicacions INDIE

Más detalles

Seguridad en máquinas

Seguridad en máquinas Obsrvación d la norma UNE EN ISO 11161 rlacionada con los rquisitos qu db cumplir la structura d dispositivos d protcción Los dispositivos d protcción dbrán disñars y construirs d acurdo con la norma ISO

Más detalles

TEMAS 3-6: EJERCICIOS ADICIONALES

TEMAS 3-6: EJERCICIOS ADICIONALES TEMAS 3-6: EJERCICIOS ADICIONALES Asignatura: Economía y Mdio Ambint Titulación: Grado n cincias ambintals Curso: 2º Smstr: 1º Curso 2010-2011 Profsora: Inmaculada C. Álvarz Ayuso Inmaculada.alvarz@uam.s

Más detalles

DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA

DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA OBJETIVOS Invstigación d la rgión visibl dl spctro dl átomo d Hidrógno y dtrminación d la constant d Ridbrg. Calibración d la scala dl spctrómtro d prisma. Dtrminación

Más detalles

El Verdadero Cálculo de la Devaluación

El Verdadero Cálculo de la Devaluación El vrdadro alulo d la Dvaluaión El Vrdadro Cálulo d la Dvaluaión Riardo Botro G. rbgstoks@hotmail.om Casi a diario nontramos n la prnsa onómia inormaión omo sta El día d ayr la tasa rprsntativa dl mrado

Más detalles

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

3. Ecuaciones diferenciales de orden superior. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009) . Ecuacions difrncials d ordn suprior Chma Madoz, VEGAP, Madrid 009 Ecuacions linals: toría básica Un problma d valor inicial d n-ésimo ordn consist n rsolvr la EDO linal: a n n d d d a a a0 g n n n d

Más detalles

Método de los Elementos Finitos para Análisis Estructural. Alisado de tensiones

Método de los Elementos Finitos para Análisis Estructural. Alisado de tensiones Método d los Elmntos Finitos para Análisis Estructural Alisado d tnsions Campo d tnsions Tnsions n cualquir punto dl lmnto, sgún l MEF: = Dε= DBδ Matriz B contin las drivadas d las N: no son continuas

Más detalles

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS

COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES

Más detalles

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad

Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad Ejercicios de Análisis propuestos en Selectividad.- Dada la parábola y 4, se considera el triángulo rectángulo T( r ) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa

Más detalles

Ofertas y Contratos Agiles

Ofertas y Contratos Agiles Ofrtas y Contratos Agils algunas idas xtraídas dl libro Obra bajo licncia Crativ Commons los pilar s d transp arncia, ins adaptación pc, junto con l nfoqu d ción y continua q mjora u forman part d lo Agils,

Más detalles

RADIO CRÍTICO DE AISLACIÓN

RADIO CRÍTICO DE AISLACIÓN DIO CÍTICO DE ISCIÓN En sta clas s studiará la transfrncia d calor n una tubría d radio xtrno (0,0 ft), rcubirta con un aislant d spsor (0,039 ft), qu transporta un vapor saturado a (80 F). El sistma cañría

Más detalles

Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm

Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm Problmas sultos.0 Un satélit dscrib una órbita circular n torno a la Tirra. Si s cambia d rpnt la dircción d su vlocidad, pro no su módulo, studiar l cambio n su órbita y n su príodo. Al cambiar sólo la

Más detalles

INTERCAMBIADORES TUBO Y CARCAZA: ANÁLISIS TÉRMICO

INTERCAMBIADORES TUBO Y CARCAZA: ANÁLISIS TÉRMICO OPERCIONES UNIRIS PROF PEDRO VRGS UNEFM DPO ENERGÉIC Disponibl n: wwwopracionswordprsscom INERCMBIDORES UBO Y CRCZ: NÁLISIS ÉRMICO NÁLISIS ÉRMICO, CONSIDERCIONES GENERLES nts d scribir las cuacions qu

Más detalles

RESUMEN MOTORES CORRIENTE CONTINUA

RESUMEN MOTORES CORRIENTE CONTINUA RESMEN MOTORES CORRENTE CONTNA Los motors léctricos convirtn la nrgía léctrica n nrgía mcánica. Así, la corrint léctrica tomada d la rd rcorr las bobinas o dvanados dl motor, n cuyo intrior s cran campos

Más detalles

GRUPOS Y SEMIGRUPOS. Unidad 5

GRUPOS Y SEMIGRUPOS. Unidad 5 GRUPOS Y SEMIGRUPOS En sta unidad studiarmos algunas d las structuras algbraicas qu s utilizan n Toría d Codificación y también n l studio d máquinas d stado finito, como por jmplo los autómatas qu vrmos

Más detalles

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0

b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. dx x 2 1 x 1 si x >1 x 1 x < 0 ANÁLISIS. (Junio 994) a) Encontrar las asíntotas de la curva f () = 2 3 2 4 b) Cuántas asíntotas oblicuas y cuántas asíntotas verticales puede tener una función racional cualquiera?. Razónalo. 2. (Junio

Más detalles

XVI.- COMBUSTIÓN pfernandezdiez.es

XVI.- COMBUSTIÓN pfernandezdiez.es XVI.- COMBUSTIÓN XVI.1.- INTRODUCCIÓN S ntind por combustión a toda racción química qu va acompañada d gran dsprndiminto d calor; pud sr sumamnt lnta, d tal manra qu l fnómno no vaya acompañado d una lvación

Más detalles

TAMAÑO DE LA MUESTRA

TAMAÑO DE LA MUESTRA Rv. Epidm. Md. Prv. (003), : 8-4 TAMAÑO DE LA MUESTRA Enric Matu, Jordi Casal CRSA. Cntr d Rcrca n Sanitat Animal / Dp. Sanitat i Anatomia Animals, Univrsitat Autònoma d Barclona, 0893-Bllatrra, Barclona

Más detalles

Tuberías plásticas para SANEAMIENTO

Tuberías plásticas para SANEAMIENTO Tubrías plásticas para SANEAMIENTO SANIVIL Tubos compactos d PVC con Rigidz Anular SN 2 y SN 4 kn/m 2 d color tja para sanaminto sin prsión sgún UNE-EN 1401 y con prsión marca DURONIL sgún UNE-EN ISO 1452

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES

Más detalles

EQUILIBRIO QUIMICO. aa + bb cc + Dd

EQUILIBRIO QUIMICO. aa + bb cc + Dd EQUILIBRIO QUIMICO Una racción rvrsibl s aqulla n qu los productos d la racción intractúan ntr sí y forman nuvamnt los raccionants. En la siguint rprsntación d una racción rvrsibl aa + bb cc + Dd los raccionants

Más detalles

FÍSICA CUÁNTICA 14.1. LOS ORÍGENES DE LA FÍSICA CUÁNTICA

FÍSICA CUÁNTICA 14.1. LOS ORÍGENES DE LA FÍSICA CUÁNTICA 4 FÍSICA CUÁNTICA 4.. LOS ORÍGENES DE LA FÍSICA CUÁNTICA. Calcula la longitud d onda qu corrsond a los icos dl sctro d misión d un curo ngro a las siguints tmraturas: a) 300 K (tmratura ambint). b) 500

Más detalles

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Marita d Franco A Francisco José, Shrl, Marión, Paola, Constanc, Luis Migul Migul. AGRADECIMIENTOS Al Ing. Pdro Rangl por su comprnsión,

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS.

FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS. Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática. FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS. Una función ponncial s aqulla n la qu la variabl stá n l ponnt. Algunos - - -5 jmplos funcions

Más detalles

Capítulo 6. Introducción al Método de Rigidez Generalidades

Capítulo 6. Introducción al Método de Rigidez Generalidades Capítulo 6 Introducción al Método d Rigidz 6.- Gnralidads El disño structural llva implícito dtrminar las proporcions d los lmntos y la configuración d conjunto qu prmitan rsistir conómica y ficintmnt

Más detalles

4.2. Ejemplo de aplicación.

4.2. Ejemplo de aplicación. HEB 8 Dsarrollo dl método d los dsplazamintos 45 4.. Ejmplo d aplicación. ontinuando con l pórtico dscrito n l apartado (3.8), s van a calcular las cargas y, postriormnt, sguir con l cálculo matricial,

Más detalles

Aproximación de funciones derivables mediante polinomios: Fórmulas de Taylor y Mac-Laurin

Aproximación de funciones derivables mediante polinomios: Fórmulas de Taylor y Mac-Laurin Aproimació d ucios drabls mdiat poliomios: Fórmulas d Taylor y Mac-Lauri. Eprsa l poliomio P - - potcias d - Hay qu dtrmiar los coicits a, b, c, d y qu cumpla: P - -a- b- c- d- Drado vcs la iualdad atrior,

Más detalles

1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?.

1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?. ejerciciosyeamenes.com EXAMEN DERIVADAS. Estudia la derivabilidad de la función si f ()= si > 3. )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg() tiene pendiente?. 4. Ecuación de la recta tangente

Más detalles