5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. 5. Convgncia d intgals impopias. Las funcions Γ y Β d Eul. La foma haitual d calcula una intgal impopia, po jmplo dl intgando, aplica la gla d Baow y dtmina si ist l límit d, s halla una pimitiva lim d. Sin ma- go, hay una clas amplia d funcions continuas (como po jmplo la función f ( ) = ) cuyas pimitivas no son calculals po métodos lmntals. En stos casos pud qu nos ints sa, al mnos, si la intgal convg, aunqu no spamos calcula su valo. Los citios d convgncia son condicions qu nos pmitn gaantiza la convgncia d algunas intgals impopias. EJEMPLO. Vamos qu la intgal lim d. Sa- mos qu d s convgnt, s dci, qu ist d s una función ccint d, con lo cual, cuando, su límit tind a infinito (si no stá acotada) o in, su límit s finito (si stá acotada). Vamos qu ocu sto sgundo. Paa llo, osva l siguint gáfico. Entoncs, paa cada tnmos qu, paa. Esto nos dic qu la cuva d cuación y = stá situada nt l j OX y la cuva d cuación y =, como podmos osva n la figua. Ahoa in, paa >, tnmos qu valos d stán acotados po d d=. Po tanto, los y, n conscuncia, ist l siguint límit NOTA. Sa g : a,) g(), sindo a un númo cualquia, una función ccint. Si la función g stá acotada (s dci, ist una constant M tal qu g( ) M paa todo [ a, ), ntoncs ist lim g( ) y s finito. Si la función g no stá acotada, ntoncs lim g ( ) =.

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. y la intgal d s convgnt. lim d lim + = + La técnica mplada n st jmplo sugi l siguint citio. PROPOSICIÓN (CRITERIO DE COMPARACIÓN). San f,g :[a,) dos funcions continuas y positi- vas tals qu f ( ) g( ) paa todo [ a, ). Entoncs, paa las intgals impopias f ( d ) a gd ( ), s vifica qu: a () Si la intgal gd ( ) convg, ntoncs la intgal f ( d ) tamién convg. a a () Si la intgal f ( d ) divg, ntoncs la intgal gd ( ) tamién divg. a a Es más, si la función f no s positiva, po f ( ) g( ) paa todo [ a, ). Entoncs, la intgal f ( d ) convg si la intgal gd ( ) convg. a a LA FUNCIÓN Γ DE EULER. Sa n un númo natual. Entoncs la intgal impopia convg y n d = ( )!. En lo qu sigu, dnotamos po Γ () = d =, fcto, paa n = otnmos qu como hmos visto n los jmplos d la scción antio. En gnal, tnmos qu n d n Γ ( n): = d. En u =, du = d n n Γ ( n) = d= lim d= n n dv = d, v = n n n n n = lim lim d lim d ( n ). n = + = Γ + n n n Entoncs Γ ( n+ ) = nγ ( n) paa todo n =,,... Pusto qu Γ () = otnmos qu Γ ( n) = ( n )! paa todo n =,,... D sta foma, tnmos dfinida la función Γ paa númos natuals. Usando l citio d compaación s pud tnd la dfinición d la función Γ a númos als. Dado un númo al p considamos la intgal p d. S tata d una intgal impopia d pi-

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. ma y d sgunda spci. Paa studia su convgncia (dido a qu l intgando pud qu no sté acotado n = ) dividimos sta intgal n dos p d = p d + p d. Comnzamos studiando la intgal I. Supongamos qu p y considmos un natual n tal qu p n. Entoncs p n paa todo. convgnt, l citio d compaación nos dic qu la intgal gnt. Si p <, ntoncs p d tamién s conv- p paa todo. Como la intgal d s con- p d tamién s convgnt. vgnt, l citio d compaación nos dic qu la intgal I Como la intgal I n d s En dfinitiva, la intgal I convg paa cualqui valo d p. Ahoa studiamos la convgncia d la intgal I. Si, como la función ponncial s dccint, ntoncs p p p d y. Como la intgal convg si p p p <, s dci, si p >, l citio d compaación asgua qu la intgal d convg si p >. Po ota pat, como la intgal divg si p, s dci si p, l citio d p p d compaación asgua tamién qu la intgal d divg si p. En dfinitiva, la intgal I convg si, y sólo, si p >. En sumn, la intgal p > la función p d convg si, y sólo, si. p Γ ( p): = dqu s llama función gamma d Eul. p > Esto nos pmit dfini, paa EJEMPLO. Vamos a usa l citio d compaación paa stalc qu la intgal d s divgnt. Dmos nconta una función f( ) d foma qu f( ) paa (o in + + paa suficintmnt gand, digamos a ) y d mana qu f ( d ) sa divgnt. Paa a nconta sta función osvmos qu cuando la función vin a s pacida a la +

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. función, n l sntido d qu lim + =. Entoncs, d ocui qu +, o quivalntmnt,, paa suficintmnt gand. D hcho s vifica qu paa + +. Como la intgal d s divgnt, ntoncs la intgal d tamién s divgnt. En conscuncia, la intgal d s divgnt. La técnica mplada n st jmplo + + sugi l siguint citio. PROPOSICIÓN (CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO AL LÍMITE). San f,g :[a,) dos funcions continuas y positivas tals qu ist L = lim. f ( ) g ( ) Entoncs, paa las intgals impopias f ( d ) gd ( ), s vifica qu: a a () Si < L <, las dos intgals gd ( ) y f ( ) dtinn l mismo caáct, s dci, la a a intgal f ( d ) convg si, y sólo, si la intgal gd ( ) convg. a a () Si L = y la intgal gd ( ) convg, ntoncs la intgal f ( d ) tamién convg. a a () Si L = y la intgal gd ( ) divg, ntoncs la intgal f ( d ) tamién divg. a a LA FUNCIÓN B DE EULER. Una compaña inspaal d la función gamma s la función ta d p q Eul, dfinida paa p > y q > po la igualdad B( pq, ): = ( ) d. Osvmos qu l intgando no stá acotado n los puntos = y =. Vamos a compoa, usando l citio d p q compaación po paso al límit, qu la intgal ( ) d s convgnt si, y sólo si, p > y q >. Paa sto vamos a dscompon la intgal n dos, d la siguint foma p ( ) q d = p ( ) q d + p ( ) q d. I La intgal I s impopia poqu l intgando no stá acotado n = y la intgal I s impopia poqu l intgando no stá acotado n =. Comnzamos studiando la convgncia d la p q intgal I. Osvmos qu ( ) lim =. El citio antio nos dic qu I p tin l mis- I

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. p d = d y ya samos qu sta última intgal convg si, y sólo, p+ mo caáct qu si p + <, s dci, p >. Paa studia la convgncia d la intgal I osvmos qu p q ( ) lim =. q ( ) caáct qu la siguint intgal El citio d compaación po paso al límit nos dic qu I tin l mismo q ( ) d = d y ya samos qu sta última in- q+ ( ) tgal convg si, y sólo, si q + <, s dci, q >. En dfinitiva, tnmos qu s convgnt si, y sólo si, p > y q >. La funcions p p d Γ ( ) = y (, ) p q B pq = ( ) d p q s llaman intgals ulianas y B( pq, ) = ( ) d apacn n vaias áas d la matmática aplicada. Eistn muchas popidads intsants qu vifican las funcions ulianas, así como lacions nt llas. Quizá la más lvant sa qu Γ( p) Γ( q) B( p, q) = paa todos p > y q >. A vcs sta igualdad pmit calcula intgals Γ ( p + q) p q tigonométicas. Po jmplo, si hacmos l camio = sn θ n la intgal ( ) d otnmos = sn θ, d = snθ cosθ π p ( ) q d = =,θ = ; =,θ = π = sn p θ cos q θsnθ cosθ dθ π π = sn p θ cos q θ dθ. Entoncs sn p θ cos q θ dθ = Γ( p) Γ(q) B( p,q) =. Pusto qu la función gamma stá taulada, muchas d stas intgals s pudn calcula o apoima d sta mana. Osva qu la Γ( p + q) π p q intgal sn θ cos θdθ pud s una intgal impopia d sgunda spci, pusto qu la función sno s anula n θ = y la función cosno s anula n θ = π. d EJEMPLO. En la scción antio calculamos l valo d sta intgal impopia. Ahoa ( + ) vamos a stalc la convgncia d dicha intgal sin calculala. Usamos l citio d compaación po paso al límit. Samos qu sta intgal s impopia poqu l intvalo d intgación 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. s infinito y tamién poqu l intgando f( ) = (qu s positivo n l intvalo d intgación) no stá acotado n =. Spaamos la intgal n dos, po jmplo, ( + ) ponmos d d d = +. (+ ) (+ ) (+ ) I ( + ) La intgal I s d sgunda spci. Admás s vifica qu lim = lim =. El citio d compaación po paso al límit nos dic qu I ( + ) tin l mismo caáct qu d. Como, < sta intgal s convgnt, lugo I tamién lo s. La intgal I s d pima spci. ( + ) Admás s vifica qu lim = lim =. El citio d compaación po paso al ( + ) d límit nos dic qu I tin l mismo caáct qu. Como >, sta intgal s convgnt, lugo I d tamién lo s. Entoncs la intgal ( + ) s convgnt. EJEMPLO. Vamos a usa ahoa l citio d compaación po paso al límit paa stalc qu la intgal d s divgnt. Osvmos qu sta intgal s d pima spci. Admás, l + intgando s compota como + cuando. Esto significa actamnt qu lim + = lim =. + El citio d compaación po paso al límit nos dic, po jmplo, qu las intgals d + d d tinn l mismo caáct. Como s divgnt, ntoncs d divg, lugo + d tamién s divgnt. + I 6

7 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. d, sindo EJEMPLO. En st último jmplo analizamos la convgncia d la intgal log p log p >. Comnzamos con l caso p =. Osvmos qu lim = lim =. El citio d log d d compaación po paso al límit nos dic qu, pusto qu s divgnt, ntoncs log tamién s divgnt. En l caso gnal ocu algo simila pusto qu samos qu paa todo p >. La conclusión d qu p log lim = lim = p log d s divgnt s hac igual qu n l caso p =. log p EJERCICIO. Dtmina si las siguints intgals impopias convgn y, n su caso, calcula su valo. log () ( asn + cos ) d. () d. () log d. () + d. EJERCICIO. Considmos la función dfinida po f( ) =, con [, ). Diuja la + + gáfica d la cuva d cuación y = f( ) y calcula l volumn gnado al gia dicha cuva alddo dl j OX. EJERCICIO. Estudia la convgncia d las siguints intgals impopias y, n su caso, calcula su valo: + () d, () / ( ) ( + ) d, () d, () d. + EJERCICIO. Usando l citio d compaación po paso al límit, compua qu la intgal impopia log d s convgnt. EJERCICIO 5. Compua qu la intgal impopia n función d la función Γ d Eul. π d s convgnt y psa su valo cos( ) 7

8 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. EJERCICIO 6. Estalc la convgncia d la intgal impopia postiomnt, calcula l valo d dicha intgal. log d, sin calculala y, ( + ) EJERCICIO 7. Compua qu la intgal impopia d convgnt la intgal impopia? snh d s convgnt y calcula su valo. Es snh EJERCICIO 8. Consida la función f : (,) f () = log. () Diuja (d foma squmática) la gáfica d la función y = f( ). () Calcula los siguints límits lim y lim f( ). log + () Justifica qu la intgal impopia f ( d ) s convgnt. sn d paa stu- EJERCICIO 9. Es posil aplica algún citio d convgncia a la intgal dia su convgncia? Razona la spusta. A continuación, intga po pats paa otn la igualdad d = cos d paa todo. A pati d aquí, dtmina si la intgal sn cos cos sn impopia d s convgnt o divgnt. Razona la spusta. 8