INTEGRACIÓN POR PARTES

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1 UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA INTEGRACION INTEGRACIÓN Algunas intgrals qu s nos prsntan nos rsultan un poco compljas, ya por lo gnral l intgrando s l producto d dos funcions. Sin mbargo ist un método qu prmit ir prsando la intgral dada n otras qu son fácils d ncontrar. Dicho método s conoc como intgración por parts. La técnica d la intgración por part s bastant útil para ncontrar intgrals compljas llvándolas a intgrals más sncillas. Esta técnica s basa n la drivada d un producto. En fcto, dbmos rcordar qu d( UV ) Ralizando un dspj, la prsión nos quda: d( UV ) Ahora bin, si intgramos la igualdad antrior, nos quda D manra qu obtnmos la igualdad UV d UV dond s supon qu la intgral d la drcha d la cuación s sncilla d calcular, o su rsultado s obtin mdiant un procdiminto stablcido. CÓMO SE RESUELVE UNA INTEGRAL Est método consist n idntificar U con una part d la intgral y dv con l rsto, con la prtnsión d qu al aplicar la fórmula obtnida, la intgral dl sgundo mimbro sa más sncilla d obtnr qu la primra. No hay, y ést s l mayor problma d st procdiminto, una rgla fija para hacr las idntificacions más convnints. La rsolución d un bun númro d problmas s l mjor camino para adquirir la técnica ncsaria. No obstant, s suln idntificar con U las funcions d la forma m si m s positivo; si m s ngativo,s prfribl idntificar con dv a m.d. También

2 suln idntificars con U las funcions ln, arc sn, arc tg y con dv,.d, sn d, cos d, tc. Ants d mpzar a practicar st método s ha d tnr prsnt qu al hacr la idntificación d dv, ésta db contnr simpr a d. Vamos un jmplo. Qurmos calcular la intgral d En st caso l ponnt d s positivo ( ), la drivada d s y una primitiva para s fácil d calcular, d modo qu hacmos dv V d dond dv d U con lo qu du d y al ralizar la intgral s obtin Entoncs aplicando la fórmula d intgración por parts obtnmos UV d d C d Vamos un jmplo. Qurmos calcular la intgral Lnd C

3 En st caso aparc únicamnt la función logaritmo natural, la drivada d Ln s conocida por nosotros, lugo U Ln con lo qu du d dv d dond dv d y al ralizar la intgral s obtin V Entoncs aplicando la fórmula d intgración por parts obtnmos Lnd UV Ln Ln d Ln C d Vamos un jmplo. Qurmos calcular la intgral Ln5 d En sta intgral nos aparc un producto ntr y l logaritmo natural d 5, con l fin d simplificar la intgral dbmos slccionar adcuadamnt U y dv, para llo s rcominda slccionar como U la primra función qu aparzca n la palabra ILATE hacindo l rcorrido d la palabra d izquirda a drcha, sindo I: funcions Invrsas Trigonométricas; L: funcions Logaritmo Npriano; A: funcions Algbraicas; T: funcions Trigonométricas; E: funcions Eponncials. dv s la atrapart dl intgrando junto con l difrncial d

4 En l jmplo qu stamos analizando, l intgrando s Ln5. si hacmos l rcorrido por la palabra ILATE, vmos qu n la prsión la primra función qu aparc n l intgrando s Ln 5, lugo dbmos llamar: U Ln5 con lo qu du d dv d dond dv d y al ralizar la intgral s obtin V Entoncs aplicando la fórmula d intgración por parts obtnmos UV Ln5 d Ln5 Ln5 d Ln5 C 6 d Eistn algunas intgrals n las cuals, al aplicar la intgración por parts s obtin una prsión idéntica a la intgral inicial. Dichas intgrals s hacn d la siguint manra. Vamos un jmplo. Qurmos calcular la intgral Cosd Sa U con lo qu du d Cosd dv y al ralizar la intgral s obtin dv dond Cosd V Sn Entoncs aplicando la fórmula d intgración por parts obtnmos

5 UV Cosd Sn Snd INTEGRACION 5 Obsrvamos qu n l lado drcho d la igualdad, aparc otra intgral qu s tin qu ralizar por parts Sa U con lo qu du d Snd dv y al ralizar la intgral s obtin dv dond Snd V Cos Entoncs aplicando la fórmula d intgración por parts obtnmos Lo cual nos quda: UV Snd Al sustituirlo n la intgral inicial s llga: Cos Cos Snd Cos Sn Cos Cosd Cosd Eliminando los signos d agrupación: d Cosd Cosd Sn Cos Cosd En l lado drcho d la igualdad ncontramos una intgral idéntica a la intgral inicial. Transponindo términos y dspjando llagamos a:

6 Cosd Cosd Cosd Cosd Sn Sn Cos Cos Sn Cos Sn Cos C INTEGRACION C 6 ACTIVIDAD. ENCONTRAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES Hallar las siguints intgrals, utilizando la formula para la intgración part por Lnd d Snd d d Sc d Cosd Tan ydy a Cosbd Cosd Cos d 5 6 Cosd Sn d 5 d d ArcTand 5 Ln d d Snd d d

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