DERIVADAS. Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. = 0 utilizando la definición.

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1 DERIVADAS Dinición d drivada Ejrcicio nº.- Las gráicas A, B y C son las uncions drivadas d las gráicas, y, pro n otro ordn. Cuál s la drivada d cual? Justiica tus rspustas. Ejrcicio nº.- Calcula la drivada d () n 0 0 utilizando la dinición. Ejrcicio nº.- Las gráicas A, B y C son las uncions drivadas d las gráicas, y, pro n otro ordn. Cuál s la drivada d cual? Justiica tus rspustas.

2 Ejrcicio nº 4.- Halla la drivada d 0 ( ) n 0 utilizando la dinición. Ejrcicio nº 5.- Las gráicas A, B y C son las uncions drivadas d las gráicas, y, pro n otro ordn. Cuál s la drivada d cual? Justiica tus rspustas. Ejrcicio nº 6.- ( ), sabindo qu ( ). Utilizando la dinición, calcula ' Ejrcicio nº 7.- Las gráicas A, B y C son las uncions drivadas d las gráicas, y, pro n otro ordn. Cuál s la drivada d cual? Justiica tus rspustas.

3 . Ejrcicio nº 8.- Si () alla su drivada n 0 utilizando la dinición. Ejrcicio nº 9.- Las gráicas A, B y C son las uncions drivadas d las gráicas, y, pro n otro ordn. Cuál s la drivada d cual? Justiica tus rspustas.

4 Ejrcicio nº 0.- Si (), alla su drivada n 0 utilizando la dinición. Continuidad y drivabilidad Ejrcicio nº.- Hallar a y b para qu la unción () sa continua: ( ) a a b 4 < 0 0 < Para los valors d a y b obtnidos, studia la drivabilidad d. Ejrcicio nº.- Estudiar la continuidad y drivabilidad d la unción dinida dl guint modo: ( ) < 0 0 < Ejrcicio nº.- Dada la unción < 0 ( ) 0 < 4, studiar la continuidad y drivabilidad. 4 > 4 Ejrcicio nº 4.- Calcular m y n para qu la guint unción sa drivabl n todo : ( ) m n > Ejrcicio nº 5.- Hallar a y b para qu la unción () sa continua: ( ) a a b < < Para los valors d a y b obtnidos, studia la drivabilidad. 4

5 Cálculo d drivadas Ejrcicio nº 6.- Calcula la drivada d las guints uncions: ( ) a) y ln b) y cos Ejrcicio nº 7.- Aplica la drivación logarítmica para drivar: y cos Ejrcicio nº 8.- Calcula la drivada d la guint unción implícita: 4 9y 6. Ejrcicio nº 9.- Sabindo qu la drivada d () cos s ' () sn, calcula la drivada d () arc cos. Ejrcicio nº 0.- Calcula la drivada d las guints uncions: a) 5 y b) y cos ( ) Ejrcicio nº.- Aplica la drivación logarítmica para drivar: y ( ) Ejrcicio nº.- Halla y ' sabindo qu: y y. Ejrcicio nº.- Dada la unción () y conocida su drivada ' (). Halla la drivada d la unción () ln. Ejrcicio nº 4.- Calcula la drivada d las guints uncions: a) y 4 arccos b) y log ( 4) 5

6 Ejrcicio nº 5.- Aplica la drivación logarítmica para drivar: y Ejrcicio nº 6.- Dada la unción implícita y y 4, calcula su drivada. Ejrcicio nº 7.- Conocida la unción ( ) ln y su drivada '( ), calcula la drivada d ( ). Ejrcicio nº 8.- Calcula la drivada d las guints uncions: a) 4 5 sn y ln b) y Ejrcicio nº 9.- Mdiant la drivación logarítmica, calcula la drivada d y (ln ). Ejrcicio nº 0.- Halla la drivada d la guint unción implícita: 6y y 8. Ejrcicio nº.- Tnindo n cunta qu la drivada d la unción () tg s ' () tg, alla la drivada d () arc tg. Ejrcicio nº.- Calcula la drivada d las guints uncions: 5 ( ) b) y a) y 5 arctg Ejrcicio nº - Driva logarítmicamnt la guint unción: y (cos ) Ejrcicio nº 4.- Calcula la drivada d la guint unción implícita: y y 4. 6

7 Ejrcicio nº 5.- Conocida la unción () 5 y su drivada ' () 5 4. Calcula la drivada d 5 ( ). Custions sobr drivadas Ejrcicio nº 6.- Dmustra qu la unción () no s drivabl ni n ni n. Ejrcicio nº 7.- Dmustra, utilizando la dinición d drivada, qu la unción () ( ) no s drivabl n 0.. Ejrcicio nº 8.- Pruba qu la unción () ln cos, vriica la guint igualdad: '' ( ) ( ) Ejrcicio nº 9.- Dmustra qu todas las drivadas d ordn par d la unción para l valor π. ( ) cos s anulan Ejrcicio nº 40.- Pruba qu la unción () cos vriica la guint cuación: '' () ' () () 0 7

8 SOLUCIONES EJERCICIOS DE DERIVADAS Dinición d drivada Ejrcicio nº.- Las gráicas A, B y C son las uncions drivadas d las gráicas, y, pro n otro ordn. Cuál s la drivada d cual? Justiica tus rspustas. A, C, B. La drivada s anula n los puntos d tangnt orizontal, s potiva dond la unción s crcint y s ngativa dond la unción dcrc. Ejrcicio nº.- Calcula la drivada d () n 0 0 utilizando la dinición. ' ( 0 ) ( 0) ( 0) lím 0 ( 0 ) ( 0) lím 0 ( ) 8

9 Ejrcicio nº.- Las gráicas A, B y C son las uncions drivadas d las gráicas, y, pro n otro ordn. Cuál s la drivada d cual? Justiica tus rspustas. B, C, A. La drivada s anula n los puntos d tangnt orizontal, s potiva dond la unción s crcint y s ngativa dond la unción dcrc. Ejrcicio nº 4.- Halla la drivada d 0 ( ) n 0 utilizando la dinición. ( ) ( 0) 0 ' ( 0) lím ( 0 ) ( 0) Indtrminación. Multiplicamos numrador y dnominador por para podr mpliicar la racción. ' ( 0) ( ) ( lím 0 ( ) ) lím 0 ( lím 0 ) 9

10 Ejrcicio nº 5.- Las gráicas A, B y C son las uncions drivadas d las gráicas, y, pro n otro ordn. Cuál s la drivada d cual? Justiica tus rspustas. C, A, B. La drivada s anula n los puntos d tangnt orizontal, s potiva dond la unción s crcint y s ngativa dond la unción dcrc. Ejrcicio nº 6.- ( ), sabindo qu ( ). Utilizando la dinición, calcula ' ( ) ( ) ' ( ) lím ( ) ( ) Indtrminación. Multiplicamos numrador y dnominador por para podr mpliicar la racción. ' ( ) ( ) ( lím 0 ( ) ) lím 0 ( lím 0 ) 0

11 Ejrcicio nº 7.- Las gráicas A, B y C son las uncions drivadas d las gráicas, y, pro n otro ordn. Cuál s la drivada d cual? Justiica tus rspustas. B, C, A. La drivada s anula n los puntos d tangnt orizontal, s potiva dond la unción s crcint y s ngativa dond la unción dcrc. Ejrcicio nº 8.- Si () alla su drivada n 0 utilizando la dinición. ' ( ) ( ) ( ) ( ) lím 0 ( ) ( ) / / 4 lím 0 ( 4 ) 4 4 Ejrcicio nº 9.- Las gráicas A, B y C son las uncions drivadas d las gráicas, y, pro n otro ordn. Cuál s la drivada d cual? Justiica tus rspustas.

12 B, C, A. La drivada s anula n los puntos d tangnt orizontal, s potiva dond la unción s crcint y s ngativa dond la unción dcrc. Ejrcicio nº 0.- Si (), alla su drivada n 0 utilizando la dinición. ' ( ) ( ) ( ) ( ) lím 0 ( ) ( ) lím 0 4 ( 4 ) 4 4 Continuidad y drivabilidad Ejrcicio nº.- Hallar a y b para qu la unción () sa continua: ( ) a a b 4 < 0 0 < Para los valors d a y b obtnidos, studia la drivabilidad d.

13 CONTINUIDAD Si 0 y : La unción s continua pus stá ormada por polinomios. Para 0. lím 0 lím 0 ( 0) ( ) ( ) lím ( a b) b lím a a 0 0 b Para qu sa continua, a d sr a b Para. lím lím ( ) ( ) lím ( a b) ( ) 4 lím 4 4 a b Para qu sa continua, a d sr a b 4 Por tanto, a y b. Para stos valors, quda: ( ) DERIVABILIDAD 4 < 0 0 < Si 0 y, () s drivabl, admás: ( ) 0 4 Para 0. < 0 0 < < < ' (0 ) 0 ' (0 ) Para. ' ( ) ' ( ) 4 La unción no s drivabl n 0 y. Por tanto: () s drivabl n {0, }.

14 Ejrcicio nº.- Estudiar la continuidad y drivabilidad d la unción dinida dl guint modo: ( ) < 0 0 < CONTINUIDAD Si 0 y. La unción s continua pus () s una unción polinómica n cada uno d stos trs intrvalos. Para lím lím ( 0) ( ) lím ( ) ( ) lím ( ) 0 0 ( ) s continua n 0 Para. lím lím ( ) lím ( ) ( ) lím ( ) 4 Discontinua n () s continua n {} DERIVABILIDAD Si 0 y, () s drivabl y: ' ( ) Para 0. < 0 0 < < < ' (0 ) 0 ' (0 ) 0 La unción s drivabl n 0. Para. La unción no s drivabl pus no s continua. Por tanto: () s drivabl n {}. 4

15 Ejrcicio nº.- Dada la unción < 0 ( ) 0 < 4, studiar la continuidad y drivabilidad. 4 > 4 CONTINUIDAD Si 0 y 4: La unción s continua pus () s una unción polinómica. Para 0. lím 0 lím 0 ( ) lím 0 0 ( ) lím ( ) Discontinua n 0 Para 4. lím 4 lím 4 ( ) lím ( ) 4 ( ) lím ( 4) 4 Discontinua n 4 Por tanto: () s continua n {0, 4}. DERIVABILIDAD () s drivabl n {0, 4}, pus s una unción polinómica n cada uno d stos trs intrvalos. La unción no s drivabl n 0 y 4, pus s discontinua n stos puntos. Ejrcicio nº 4.- Calcular m y n para qu la guint unción sa drivabl n todo : ( ) m n > Para qu sa drivabl, primro a d sr continua. Si, la unción s continua, pus stá ormada por dos polinomios. Para. lím lím ( ) lím ( m) ( ) lím ( n) m n ( ) m 5

16 Para qu sa continua n, a d sr: m n m n DERIVABILIDAD Si, la unción s drivabl, admás: ' ( ) n < > En. ' ' ( ) Para qu sa drivabl n, ( ) n n n m 0 a d sr: Ejrcicio nº 5.- Hallar a y b para qu la unción () sa continua: ( ) a a b < < Para los valors d a y b obtnidos, studia la drivabilidad. Si y, la unción s continua, pus stá ormada por polinomios. Para. lím lím ( ) ( ) lím ( a) ( ) lím ( a b) a b a a b Para qu sa continua, a d sr: a b Para. lím lím ( ) ( ) lím ( a b) ( ) lím a b Para qu sa continua, a d sr: a b 4 Por tanto, a, b Para stos valors, quda: 6

17 ( ) DERIVABILIDAD 4 < < Si y, () s drivabl, admás: ' ( ) Para. < < < < ( ) '( ) ' Para. ( ) '( ) ' La unción no s drivabl n y. Por tanto: () s drivabl n {, }. Cálculo d drivadas Ejrcicio nº 6.- Calcula la drivada d las guints uncions: ( ) a) y ln b) y cos a) y ln ( ) ln ( ) ( ) y' ( ) ( ) ( ) sn( b) y' cos ) ( ) sn( ) cos ( ) 7

18 Ejrcicio nº 7.- Aplica la drivación logarítmica para drivar: y cos () cos ln () cos ln '( ) sn ln cos ( ) ' cos ( ) ( ) sn ln sn ln cos cos Ejrcicio nº 8.- Calcula la drivada d la guint unción implícita: 4 9y yy ' 0 8 y' 8y Ejrcicio nº 9.- Sabindo qu la drivada d () cos s ' () sn, calcula la drivada d () arc cos. ' () sn ( ) '( ) '( ( )) sn( arc cos ) Ejrcicio nº 0.- Calcula la drivada d las guints uncions: a) 5 y b) y cos ( ) a) y' 5 5 ln ( ) ( ) 5 5 [ 5( ) ln ] ( ) 8

19 b) y ' ln cos ( ) sn ( ) [ln cos ( ) sn ( )] Ejrcicio nº.- Aplica la drivación logarítmica para drivar: y ( ) () ( ) ln () ln ( ) ' ( ) ( ) ' ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ( ) Ejrcicio nº.- Halla y ' sabindo qu: y y. yy ' y yy ' yy ' ( ) (y ) ( y ) y' y ( ) Ejrcicio nº.- Dada la unción () y conocida su drivada ' (). Halla la drivada d la unción () ln. ( ) ( ) ln '( ( )) ' Ejrcicio nº 4.- Calcula la drivada d las guints uncions: a) y 4 arccos b) y log ( 4) 9

20 a) 4 y' b) y' ln ( 4) Ejrcicio nº 5.- Aplica la drivación logarítmica para drivar: y ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) ln ' ln ' ( ) ( ) ln ln Ejrcicio nº 6.- Dada la unción implícita y y 4, calcula su drivada. y y ' 4yy ' 0 y y ' ( 4y) y y' 4y Ejrcicio nº 7.- Conocida la unción ( ) ln y su drivada '( ), calcula la drivada d ( ). ( ) ( ) ' '( ( )) 0

21 Ejrcicio nº 8.- Calcula la drivada d las guints uncions: a) 4 5 sn y ln b) y 4 5 a) y ln ln 5 5 y' 4 5 ( 4 5) ln( ) ( ) ( 4 5) ( 4 5) ( ) ( 4 5) ( ) b) cos sn y' 4 cos sn Ejrcicio nº 9.- Mdiant la drivación logarítmica, calcula la drivada d y (ln ). () (ln ) ln () ln (ln ) ( ) ln ln ln ( ln ) ln ln ' '( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ln ) ( ln ) ln ( ln ) ln ln Ejrcicio nº 0.- Halla la drivada d la guint unción implícita: 6y y 8. 6y 6y ' y y ' 0 y ' ( y ) ( y) ( y ) y' y Ejrcicio nº.- Tnindo n cunta qu la drivada d la unción () tg s ' () tg, alla la drivada d () arc tg.

22 ( ) '( ) '( ( )) ( tg ( arc tg )) Ejrcicio nº.- Calcula la drivada d las guints uncions: 5 ( ) b) y a) y 5 arctg a) b) y' y' 5 0 ( ) ( ) ( ) Ejrcicio nº - Driva logarítmicamnt la guint unción: y (cos ) () (cos ) ln () ln cos '( ) ( ) sn ln cos cos ln cos tg ' () () (ln cos tg ) (cos ) (ln cos tg ) Ejrcicio nº 4.- Calcula la drivada d la guint unción implícita: y y 4. y y ' y ' 0 y' ( ) y y y' Ejrcicio nº 5.- Conocida la unción () 5 y su drivada ' () 5 4. Calcula la drivada d 5 ( ).

23 Custions sobr drivadas Ejrcicio nº 6.- Dmustra qu la unción () no s drivabl ni n ni n. ' ( ) ' ( ) 0 no s drivabl n ' ( ) 0 ' ( ) s drivabl n Ejrcicio nº 7.- Dmustra, utilizando la dinición d drivada, qu la unción () ( ) no s drivabl n 0. Si 0, ntoncs: ( ) ( ) )) ( '( ' < < ( ) < < ( ) > < < < 0 ' < 0 0 ( ) ( ) < 0 0

24 ' En 0. ( ) < 0 > 0 '(0 ) ' (0 ) Por tanto, no s drivabl n 0. Ejrcicio nº 8.- Pruba qu la unción () ln cos, vriica la guint igualdad: '' ( ) ( ) ' sn cos ( ) tg '' ( ) cos () ln cos () cos Por tanto, '' ( ) Ejrcicio nº 9.- ( ). Dmustra qu todas las drivadas d ordn par d la unción para l valor π. ( ) cos s anulan ( ) sn I II 4 ( ) cos III IV 8 ( ) sn 6 ( ) cos... En gnral, las drivadas d ordn par son d la orma: 4

25 n Ejrcicio nº 40.- ( ) k cos, dond k s una constant. π Por tanto, s anulan todas n π, pus cos 0. Pruba qu la unción () cos vriica la guint cuación: '' () ' () () 0 ' () cos sn '' () cos sn sn cos sn Así, sn ( cos sn ) cos 0 5

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