Matemáticas II TEMA 7 Límites y continuidad de funciones

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1 Matmáticas II TEMA 7 Límits y continuidad d funcions Límit d una función n un punto Ida inicial Si una función f stá dfinida para todos los valors d próimos a a, aunqu no ncsariamnt n l mismo a, ntoncs, s dic qu l it d f val l, cuando tind a a, si l valor d f s aproima a l cuando s aproima a a S scrib así: f l También f l, cuando a a Si una función f no tind a ningún númro concrto, cuando tind a a, s dic qu no tin it cuando tind a a Usando la calculadora pud studiars l it, cuando tind a, d las funcions a f b g ENT[ ] c h d i Para llo, n todos los casos, s darán a valors próimos a y s calcularán los valors qu toma la rspctiva función a Para f : :,9,99,999,00,0, f 0, 0,90 0,9900,0000,00, Tanto para valors mnors qu como para mayors qu n ambos casos próimos a, la función toma valors muy próimos a En st caso s scrib, Obsrva qu la función stá dfinida n y qu l it coincid con f b Para g ENT[ ] La part ntra d s dfin como l númro ntro inmdiatamnt mnor o igual a :,9,99,999,00,0, g? Para valors crcanos y mnors qu, la función toma simpr l valor ; para valors crcanos y mayors qu, simpr val En st caso, ENT[ ] no ist Obsrva qu la función stá dfinida n y sin mbargo no tin it n s punto c Para h : :,9,99,999,00,0, h ? wwwmatmaticasjmmmcom

2 Para valors crcanos y mnors qu, la función toma valors grands y ngativos; para valors crcanos y mayors qu, la función toma valors cada vz más grands En st caso, no ist Obsrva qu la función no stá dfinida n y qu tampoco tin it n s punto d Para i : :,9,99,999,00,0, i 0,5 0,50 0,500 0,5 0,99 0,9 0,9 Para valors próimos y mnors qu, la función s acrca cada vz más a 0,5; y lo mismo hac para valors próimos y mayors qu En st caso, 0, 5 Obsrva qu la función no stá dfinida n y sin mbargo tin it n s punto Dfinición d it d una función n un punto A la vista d los jmplos antriors, s concluy: Para la istncia dl it d una función n un punto a no importa qu la función sté o no dfinida n s punto Lo qu importa son los valors qu toma la función n un ntorno d s punto a Eistirá l it, y su valor srá l, cuando todos los puntos próimos a a s transformn, mdiant la función, n puntos próimos a l Esto s, si stá crca d a, ntoncs f stá crca d l Véas la figura adjunta Con más prcisión: Eistirá l it d f, cuando a, y su valor srá l, si para cualquir ntorno d l, E ε l, pud ncontrars otro ntorno d a, E δ a, d manra qu todos los valors d Eδ a s transformn, mdiant f, n puntos d E ε l O con símbolos: f l ε > 0, δ > 0, 0 < a < δ f l a < ε Esta prsión s l así: it d f cuando tind a a s igual a l, quival a dcir qu para todo númro épsilon mayor qu cro, ist un númro dlta, también mayor qu 0, tal qu para todo qu cumpla qu su difrncia con a, n valor absoluto, sa mayor qu 0 y mnor qu dlta, s cumpl qu la difrncia ntr f y l, también n valor absoluto, s mnor qu l númro épsilon lgido La condición, 0 < a, indica qu no toma l valor a, pus n tal caso a 0 La condición, La conclusión, a < δ, indica qu E a f l < ε, significa qu f E l δ Obsrvación: El concpto d it s l más important dl cálculo infinitsimal, y uno d los más difícils Para ayudar a comprndrlo s planta y rsulv l siguint jrcicio ε wwwmatmaticasjmmmcom

3 Ejrcicio: Dmustra, aplicando la dfinición, qu Solución: Hay qu vr qu para cualquir ε > 0, ist δ > 0 tal qu si < ε Como dsigualdad < δ, ntoncs < ε < ε ε < < ε transformando la ε < < ε ε < < ε Por tanto, tomando δ < mínimo d { ε, ε } s cumpl qu < ε Lugo, fctivamnt, l it val Por jmplo, si s toma ε 0,, l valor d δ pud sr 0,0, pus δ < mínimo d 0,00, 0,00 mín{0,05, 0,085 Así, para todo tal qu { } < 0,0,98 < <,0, s cumpl qu < 0, Límits latrals En la dfinición d it no s distingu ntr las posibilidads < a o > a, pus al scribir 0 < a < δ rsulta indifrnt: lo único qu s pid s qu st próimo a a No obstant, algunas vcs convin distinguir si a por la izquirda sindo < a, qu s scrib a ; o si a por la drcha sindo > a, dnotado por a Esta distinción da lugar al studio d los its latrals A f s l llama it latral por la izquirda a A f s l llama it latral por la drcha a Obsrvación: Est studio tin intrés cuando: La función stá dfinida a trozos y s quir calcular l it n alguno d los puntos d unión d los difrnts trozos La función tin asíntotas vrticals y s quir calcular la posición d la curva rspcto a llas Pus bin, para qu ista l it d una función n un punto s ncsario qu istan los limits latrals y qu san iguals Esto s, para qu ista f l s ncsario qu a f f l a a Ejmplo:, si < Para studiar l it d la función f n, si l punto s ncsario considrar los its latrals Por la izquirda: f Por la drcha: f Como ambos its coincidn, ist l it y val wwwmatmaticasjmmmcom

4 Cálculo práctico d its Casos inmdiatos Si f s una función usual polinómicas, racionals, logarítmicas, tc y stá dfinida n l punto a, sul cumplirs qu: f f a Esto s, l it s rsulv sustituyndo a Obsrvacions: Qu la función puda valuars n a no s dtrminant para qu ista l it no s ni ncsario ni suficint, como s vio con la función g ENT[ ], pro st s un caso d función dfinida a trozos, qu db sr studiado mdiant its latrals No obstant, lo primro qu db hacrs para calcular un it s sustituir por a: hallar f a Si ist f a y la función no stá dfinida a trozos, s acptará qu f f a Como l lctor sabrá, las funcions qu cumpln qu f f a, s llaman continuas S studiarán más adlant a Lo dicho pud comprobars n los siguints casos: a b 0 c d 5 0 ln ln ln 7 f 0 g Esto no s así n l caso, pus f no stá dfinida n Algunas propidads d las opracions con its En rlación con las opracions algbraicas pudn aplicars las siguints propidads Si 0 f A y g B, con A y B finitos, ntoncs: a a f ± g f ± g A ± B a ; a a f g f g A B a a f f a A, B 0 a g g B a Si > 0 a g B f, a 5 Si > 0 f a f a ; g f, log f log f log A a b b a A b a El it d una suma s igual a la suma d los its El it d un producto s igual al producto d los its El it d un cocint s igual al cocint d los its El it d una potncia s igual a la potncia d los its 5 El it d un logaritmo s igual al logaritmo dl it Estas propidads s aplican n ambos sntidos d izquirda a drcha o d drcha a izquirda, sgún convnga wwwmatmaticasjmmmcom

5 5 Indtrminacions Hay sit casos n los qu al sustituir l valor a n la función dada s llga a situacions trañas, no dfinidas, qu rcibn l nombr d indtrminacions: formas indtrminadas Escritas squmáticamnt, stas 7 indtrminacions son: 0 0 [0 ] [ ] [ ] [0 0 ] [ 0 ] Obsrvacions: Cuando n stas prsions s scrib 0 s quir significar qu s stá ant un valor tan pquño como s quira infinitsimal El concpto matmático qu lo dfin s l d infinitésimo Así, s dic qu f s un infinitésimo n l punto a si f 0 0 Por tanto, la indtrminación 0 s l cocint d dos infinitésimos Surg si s planta un f f a 0 it como l siguint: g g 0 ; sto s, cuando f y g son a a infinitésimos n l punto a Est concpto s compltará más adlant, al studiar la rgla d L Hôpital Igualmnt, n las dmás indtrminacions, cada vz qu s scrib 0 s stá dicindo qu la función s un infinitésimo n l punto n custión Análogamnt, cuando s scrib s quir indicar una prsión qu tind a, qu toma los valors 0,999 o,000, sin qu ncsariamnt tom nunca l valor Por último, cuando s scrib s quir significar qu la prsión toma valors tan grands como s quira: mayors n valor absoluto qu cualquir númro dado En los its siguints, al sustituir, aparcn las formas qu s indican 0 5 a 0 b 5 c [ 0 ] d 9 [ ] [ 0 ] f [ 0 ] g / ln 0 [ ] 0 a Algunas vcs stas formas indtrminadas pudn rsolvrs Los métodos d rsolución stán muy studiados y s concrtan n los siguints procdimintos: Algbraicos Consistn n aplicar las propidads d las opracions con its y, cuando stas san insuficints, rcurrir a transformacions algbraicas n la función dada: simplificar, trar factor común, sumar o rstar, oprar con potncias y raícs, con logaritmos 0 Aquí s aplicará st método n formas d los tipos:, 0, [ ], [0 ] y [ ] Rgla d L Hôpital, dando así ntrada al cálculo infinitsimal S vrá n otro tma Allí s rsolvrán las 7 formas indtrminadas wwwmatmaticasjmmmcom

6 0 Límits d funcions racionals cuando a Indtrminación 0 P Las funcions racionals son d la forma f, sindo P y Q polinomios El Q 0 único caso d it no inmdiato s cuando da lugar a la indtrminación 0 Esto s, P 0 cuando Pa 0 y Qa 0, pus Q 0 a Est caso pud rsolvrs simplificando la prsión inicial, pus si Pa 0 y Qa 0, s vrifica qu P a P y Q a Q, d dond l cocint P a P P Q a Q Q P 0 a P P Lugo: a Q 0 a a Q a Q Si l último it no rsulta inmdiato s aplica nuvamnt la rgla antrior Obsrvación: El torma dl factor dic: Para un polinomio P, si P a 0 a s un factor d P P a P El polinomio P s obtin dividindo Ejmplo: El, qu no rsulta inmdiato, pud rsolvrs así: 0 0 El caso 0 k k k Cuando al hacr cualquir it aparzca la prsión sto s, f, s pondrá 0 a 0 qu l valor d s it s infinito Esto significa qu, aunqu l it no ist, l valor d la función s hac tan grand como s quira, infinitamnt grand En stos casos s convnint studiar los its latrals n l punto, pus con frcuncia s obtinn signos distintos para l infinito Obsrvación: Cuando f a, la función f tin una asíntota vrtical n a: la rcta a 5 7 a También pud ponrs ± Igualmnt ± 0 0 b, pus cuando 0 l numrador s ngativo y l dnominador 0 0 positivo, tanto a la izquirda como a la drcha dl 0 wwwmatmaticasjmmmcom

7 7 c Para h, qu no stá dfinida n, s tin qu 0 Si n st caso s studian los its latrals s cumpl: por la izquirda: por la drcha: El signo o s dcid por los signos dl numrador y dnominador Gométricamnt, stos rsultados indican qu la curva asociada a la función s va hacia por la izquirda d ; y hacia por la drcha d Esto quival a dcir qu la rcta s una asíntota vrtical Obsrvación: Es frcunt confundir los casos k 0 y 0 k El primro val 0: k 0 0 ntr algo 0 0 La indtrminación 0 n funcions con raícs 0 En las funcions con radicals, la indtrminación 0 pud rsolvrs d dos formas: Dscomponindo n factors y simplificando, como para las funcions racionals Multiplicando y dividindo la función dada por la prsión conjugada d alguno d sus términos A continuación s opra y simplifica Obsrvacions: Como las funcions con radicals d índic par no stán dfinidas para valors ngativos dl radicando habrá qu tnrlo n cunta al plantar y rsolvr los its Así, por jmplo l sólo pud plantars por la drcha d, pus f no stá dfinida cuando Por tanto, st it habría qu plantarlo así: y su valor sría a 0 0 b Para la misma función, l it sólo pud calculars por la drcha, cuando, pus la función no stá dfinida para valors d < Su valor s 0 c 0 wwwmatmaticasjmmmcom

8 8 Límit d una función cuando Ants d studiar stos its convin rcordar algunos rsultados d las opracions rlacionadas con l infinito ; ; [ ] s indtrminado ± k ; ± k ; k ; k ; ; ; / ± k ±; ±k / ± 0; k ; k 0; [ / ] s indtrminado En todos los casos k indica un númro positivo fijo k, ngativo; y cuando s scrib sin signo, s supon positivo Límit finito d una función cuando La función f tind a cuando 8 Efctivamnt, si 000, f000,98; si 0000, f0000,9995 S scrib, 8 La dfinición prcisa s la siguint: f l ε > 0, k grand > k f l < ε Para valors d > k la función no s sal d la franja marcada Si la dfinición s análoga: f l ε > 0, k grand y ngativo > k f l < ε Esta dfinición s l así: it d f cuando tind a s igual a l, quival a dcir qu para todo númro épsilon mayor qu cro, ist un k grand, tal qu para todo mayor qu k, s cumpl qu la difrncia ntr f y l, s mnor qu l númro épsilon lgido Obsrvación: Si f l s concluy qu la rcta y l s una asíntota horizontal d la curva y f Ejmplo: Como s ha visto antriormnt, 8 horizontal d f 8 Por tanto, la rcta y s una asíntota Límit infinito d una función cuando La función f toma valors cada vz más grands cuando Efctivamnt, si 00, f00 0,0; si 000, f000 00,00 S scrib: wwwmatmaticasjmmmcom

9 9 La dfinición prcisa s la siguint: f p grand, q grand > q f > p Esta dfinición s l así: it d f cuando tind a s igual a, quival a dcir qu para todo númro p grand, ist otro númro q también grand, tal qu para todo mayor qu q, s cumpl qu la difrncia ntr f s mayor qu p lgido El rsultado d stos its muchas vcs rsulta inmdiato, pus para calcularlos basta con sustituir y aplicar las opracions con l infinito 7 b 5 c ln 8 d a 5 5 Límits d funcions racionals cuando Indtrminación P Si P y Q son dos polinomios, al calcular s obtndría la prsión ± Q indtrminada ; no obstant s rsulv muy fácilmnt, pus su valor dpnd d los grados d P y Q: P Si grado d P > grado d Q, ± ± Q P an Si grado d P grado d Q,, sindo a n y b n los coficints ± Q bn principals d P y Q, rspctivamnt P Si grado d P < grado d Q, 0 ± Q Un procdiminto para justificar stos rsultados consist n dividir l numrador y l dnominador d la función dada por la mayor potncia d prsnt n la prsión, como s hac l jmplo b siguint Admás, n todos los casos s tndrán n cunta los signos a c 5 9 b d 0 f wwwmatmaticasjmmmcom

10 wwwmatmaticasjmmmcom 0 La indtrminación n funcions con raícs En las funcions con radicals, la indtrminación pud rsolvrs aplicando la comparación d grados, tnindo n cunta qu al aparcr raícs los ponnts pudn sr fraccionarios a b La indtrminación [ ] El númro El númro s dfin como l it, cuando, d la función f Esto s: Aplicando sta dfinición y las propidads algbraicas d los its, pudn dars otros rsultados rlacions con l númro Por jmplo: p p p p p p En gnral, A A A Como conscuncia d lo antrior, también pud dfinirs: 0 Otra forma d rsolvr stos its s aplicar la transformación: [ ] g f g f a b c / / d

11 Comportaminto d otras funcions n l infinito El it cuando d las funcions ponncials, logarítmicas y trigonométricas s calcula como sigu Funcions ponncials Admás d d las propidads usuals d la potnciación s mpla las dos siguints: Si g f a, con a > 0, ntoncs: Si > 0 a g g g f, a f f a a g a En st contto vin bin rcordar la rprsntación gráfica d las funcions ponncials lmntals a c 0 0 b 0 d 0 ± f Funcions logarítmicas La propidad particular qu pud aplicars aquí s: log a f log a f 0 0 a log log log0 5 5 b ln ln ln0 Funcions trigonométricas En ningún caso istn los its n l infinito Esto s: ± ± sin, cos y no istn, ya qu dichas funcions son priódicas rpitn indfinidamnt su comportaminto Para funcions compustas hay qu dtrminarlo n cada caso tan ± sin a 0, pus sin, mintras qu l dnominador tind a ± b cos no ist Como 0 cos, f cos tomará valors ntr 0 y ± c Como s dijo n su momnto, la función f tan tin un comportaminto asintótico π cuando kπ, k Z, cumpliéndos qu tan Por tanto, las rctas π π kπ son asíntotas vrticals d la función kπ wwwmatmaticasjmmmcom

12 wwwmatmaticasjmmmcom 7 La indtrminación d la forma [ ] Cuando s planta la indtrminación [ ], tanto cuando a como cuando, l procdiminto gnral consist n oprar la prsión inicial hasta transformarla n otra prsión no indtrminada o n otra forma indtrminada dl tipo 0 0 o Estas otras formas s rsolvrían por cualquira d los métodos vistos antriormnt a 9 s una forma indtrminada dl tipo [ ] Para transformarla s opra la prsión dada: s hac la rsta Así: b 5 [ ] Para transformarla s opra como n l jmplo antrior Así: 5 5 c [ ] dividindo por 8 La indtrminación d la forma [0 ] Para trminar st apartado d its s planta la indtrminación [0 ] Para rsolvrla sul dar rsultado oprar la prsión inicial hasta transformarla n otra prsión no indtrminada o n otra forma indtrminada dl tipo 0 0 o Ejmplo: 5 [ 0] Para transformarla basta con oprar Así: [ ]

13 5 Aplicación dl cálculo d its a la dtrminación d las asíntotas d una función Las asíntotas d una curva son rctas hacia las cuals tind a pgars la gráfica d la función Pudn sr vrticals, horizontals u oblicuas f f b f f a a Asíntotas vrticals Asíntota horizontal Asíntota oblicua Los critrios para dtrminar las asíntotas d una curva son: La rcta a s una asíntota vrtical d la curva y f si f La rcta y b s una asíntota horizontal d la curva y f si f b a La rcta y m n s una asíntota oblicua d la curva y f si: f m, m 0 y m ; f m n, n 5 Asíntotas n funcions racionals P Un caso particularmnt frcunt s da con las funcions racionals: f Q Estas funcions: pudn tnr asíntotas vrticals n las raícs dl dnominador: n las solucions d Q 0 ; y simpr qu l it n s punto s haga infinito tinn asíntotas horizontals si l grado d P s mnor o igual qu l grado d Q tinn una asíntota oblicua simpr qu l grado d P grado Q a La función f, qu no stá dfinida n los puntos y, tin una asíntota vrtical n, pro no n En fcto: s AV En no haya asíntota vrtical También tin una asíntota horizontal, la rcta y, pus wwwmatmaticasjmmmcom

14 b La función f tin dos asíntotas, una vrtical la rcta y otra oblicua, la rcta y m n, sindo: f m n f m La asíntota s la rcta y ; 5 Asíntotas n funcions ponncials y logarítmicas Las funcions ponncials suln tnr asíntotas horizontals En concrto, f tin una asíntota horizontal hacia, pus 0 La asíntota s l j OX Igualmnt, f tin una asíntota horizontal hacia, pus 0 Sus gráficas son las adjuntas Otros casos no son tan inmdiatos, pro para dtrminar sus asíntotas sul dar rsultado studiar l comportaminto dl ponnt Ejmplo: La función f, qu no stá dfinida n 0 tin una asíntota vrtical n s punto, pus 0 0 También tin una asíntota horizontal hacia ambos lados dl, 0 pus ± La asíntota s la rcta y Las funcions logarítmicas suln tnr asíntotas vrticals En concrto, f ln, qu sólo stá dfinida para valors d > 0, tin a la rcta 0, como asíntota vrtical, pus ln Su gráfica s hizo antriormnt 0 Otros casos no son tan inmdiatos, pro para dtrminar sus asíntotas sul dar rsultado studiar los puntos n los qu la función dada s anula La función f ln, qu stá dfinida sólo para valors d >, tin a la rcta como asíntota vrtical, pus ln wwwmatmaticasjmmmcom

15 5 Continuidad d una función n un punto Una función s continua n un punto cuando l it d la función n dicho punto s igual al valor d la función n él La dfinición s la siguint: f s continua n l punto a f f a Esto implica qu: La función f stá dfinida n l punto a Esto s, s sab cuánto val f a Eist l it n a: ist f l a El valor dl it coincid con f a Esto s, f l f a a a D las cuatro funcions siguints, sólo la primra s continua n l punto a Discontinuidad vitabl Cuando una función no s continua d dic qu s discontinua La causa más común d la discontinuidad stá n qu la función no sté dfinida n un punto Así, por jmplo, la función f s discontinua n y n Hay casos n los qu la discontinuidad s vitabl Así sucd para las funcions dadas n las gráficas y d más arriba Una función f tin una discontinuidad vitabl n l punto a cuando tin it n s punto En l caso la discontinuidad s vita dfinindo f a l En l caso la discontinuidad d vita imponindo rdfinindo f a f a En l caso la discontinuidad no pud vitars, pus la gráfica da un salto n l punto a S llama discontinuidad d salto finito Ejmplo: La función f s discontinua n y n, pus n sos dos puntos no stá dfinida Si s hac l it n sos puntos, s tin: ; En l primr caso, n, no ist it; por tanto, la discontinuidad no pud vitars Esta discontinuidad s llama d salto infinito En cambio, n sí pud vitars S vita dfinindo apart f wwwmatmaticasjmmmcom

16 Continuidad latral La función rprsntada n la grafica pud considrars continua por la drcha dl punto a En cambio, no s continua a su izquirda Una función f s continua por la drcha n l punto a n a si stá dfinida s sab l valor d f a y l it coincid con s valor Esto s, cuando f f a Una función f s continua por la izquirda n l punto a n a si stá dfinida s sab l valor d f a y l it coincid con s valor Esto s, cuando f f a a La función f no s continua n, pus n s punto no stá dfinida En conscuncia, tampoco s continua por ninguno d los lados dl punto b La función f ENT[ ] s discontinua para todo Z, pus la función no tin it para ningún valor ntro d No obstant, la función s continua por la drcha d todo Por jmplo, por la drcha d, s cumpl qu ENT[ ] ENT[] En cambio, no s continua por la izquirda d cualquir ntro Por jmplo, para l mismo, por su izquirda s cumpl qu ENT[ ] ENT[] Propidads d las funcions continuas Aunqu sa d manra scuta convin indicar algunas propidads rlacionadas con las opracions d las funcions Estas propidads son: Si f y g con continuas n a, ntoncs: f ± g s continua n a f g s continua n a f s continua n a si f a 0 f g s continua n a cuando g a 0 Las propidads antriors prmitn concluir qu la mayoría d las funcions usuals son continuas n todos los puntos d su dominio Así, sin sr haustivo pud afirmars qu: n Las funcions polinómicas, f a0 a a n, son continuas simpr, para todo númro ral Son funcions continuas: a f Las funcions constants s rprsntan mdiant una rcta horizontal b f La función polinómica d primr grado s una rcta c f La función polinómica d sgundo grado s una parábola d f 5 Todos los polinomios, d cualquir grado son funcions continuas a a wwwmatmaticasjmmmcom

17 7 n a0 a an Las funcions racionals, f, son continuas n todos los puntos m b b b m d su dominio; sto s, simpr qu b b b m a La función f s continua simpr, para todo númro ral, pus su dnominador simpr s distinto d 0 b La función f s continua para todo númro ral distinto d,, y Para sos trs valors s anula l dnominador Las funcions con radicals, trigonométricas, logarítmicas y ponncials son continuas n todos los puntos d su dominio a La función f s continua para todo ; y para todo En l primr caso por la drcha; n l sgundo, por la izquirda No stá dfinida n l intrvalo, El lctor intrsado podrá comprobar qu sta función dtrmina la hipérbola y b La función f s continua sólo n l intrvalo [, ], qu s su dominio d dfinición Esta función dtrmina la circunfrncia y c Las funcions sno y cosno son continua simpr La función f, por jmplo, no s continua n los puntos n los qu no stá dfinida, qu cos π son kπ d La función f log, qu stá dfinida simpr qu [, ], s continua para todo,, La función f s continua n todo R En cambio, f no s continua n, ya qu no stá dfinida n s punto Las funcions dfinidas a trozos srán continuas si cada función lo s n su intrvalo d dfinición, y si lo son n los puntos d unión d los intrvalos; para sto último s ncsario qu coincidan los its latrals m Ejmplo: a La función b La función, si 0 f s continua n todo R 0 si > 0, si 0 f s discontinua n 0 si > 0 wwwmatmaticasjmmmcom

18 8 7 Continuidad d una función n un intrvalo y tormas rlacionados El concpto d continuidad n un punto pud tndrs a un intrvalo finito o infinito, abirto o crrado Esto prmitirá aplicar algunos tormas importants propios d las funcions continuas Dfinición: Una función f s continua n un intrvalo abirto a, b cuando s continua para todo punto c a, b Ejmplo: La función f cosc s continua n l intrvalo 0, π sn Obsrvación: La función cosc s discontinua n todos los puntos qu anulan a sn ; sto s, n kπ, k Z Dfinición: Una función f s continua n un intrvalo crrado [a, b] cuando s continua para todo punto c a, b y admás s continua n a por la drcha y n b por la izquirda Ejmplo: La función f sn s continua n l intrvalo [0, π] Obsrvación: La función sn s continua n todo R 7 Proposición inicial Si f s continua n a y f a 0, ntoncs ist un ntorno dl punto a, E ε a, n l qu la función consrva l signo Esto s, si f a > 0, la función s positiva para todos los puntos d s ntorno; y si f a < 0, la función s ngativa n s ntorno La dmostración d sta proposición s muy sncilla, pus, si f s continua n a, s cumpl qu f f a ε > 0, δ > 0, 0 < a < δ f f a < ε a Pro f f a < ε f a ε < f < f a ε Por tanto, si f a > 0 bastaría con tomar ε < f a para asgurar qu f > 0 simpr qu E a Y los mismo cuando f a < 0 ε 7 Torma d Bolzano Chco, 78/88 Asgura qu si una función continua n un intrvalo crrado toma signos distintos n sus trmos, ntoncs corta al j n algún punto d s intrvalo Torma: Si f s una función continua n l intrvalo crrado [a, b] y toma valors d distinto signo n sus trmos f a < 0 < f b o f a > 0 > f b, ntoncs ist algún punto c a, b tal qu f c 0 Esto s, si la función s ngativa n a f a < 0 y positiva n b f b > 0, ntoncs s anula n algún punto c ntr a y b f c 0 Gométricamnt, sto significa qu si f a < 0 y f b > 0, ntoncs la gráfica d f corta al j OX n un punto, al mnos wwwmatmaticasjmmmcom

19 9 Dsd l punto d vista algbraico, st torma asgura qu si f a < 0 y f b > 0, ntoncs la cuación f 0 tin una solución ntr a y b Esa solución srá l punto c cuya istncia afirma l torma a La función f s continua n todo R, y n particular n l intrvalo [, ] Como f < 0 y f 8 > 0, pud asguras qu ésa función toma l valor 0 para algún númro comprndido ntr y Esto s, ist un númro c, mayor qu y mnor qu, tal qu f c 0 Es númro c srá una solución d la cuación 0, pus cumpl qu c c 0 Otra cosa s ncontrar l valor acto d sa solución, ya qu salvo n casos concrtos no podrá obtnrs; aunqu, como s vrá n las aplicacions d stos tormas simpr s pud hallar una buna aproimación b La función f cos corta al j OX n l intrvalo [0, ] pus: s continua n todo R, y n particular n l intrvalo dado; f 0 0 cos0 < 0 y f cos > 0, pus cos < Lugo, la función vrifica las hipótsis dl torma d Bolzano y, por tanto, ist un punto c 0, tal qu f c 0 En s punto la función f cos corta al j OX 7 Torma d Wirstrass Almán, 85/897 Asgura qu toda función continua n un crrado tin un máimo y un mínimo absolutos n s intrvalo Torma: Si f s una función continua n l intrvalo crrado [a, b], ntoncs ist un punto c [a, b] tal qu f c M f, para todo prtncint a [a, b] El significado gométrico d st torma s qu la gráfica d f alcanza l máimo n c y s máimo val M Análogamnt, ist un punto d [a, b] tal qu f d m f para todo [a, b]; qu quival a dcir n d la función toma l valor mínimo a La función f s continua n l intrvalo [0, ] y n todo R Por tanto, ist un punto d s intrvalo n l cual f alcanza su valor máimo; y otro punto n l qu toma l valor mínimo En st caso, al tratars d una parábola s fácil ncontrar sos puntos El máimo lo toma n, y val ; l mínimo, n y val b La función f cos s continua n l intrvalo [, ] Por tanto, ist un punto d s intrvalo n l cual sa función alcanza su valor máimo En st caso rsulta más difícil ncontrar dicho valor No obstant, s sab qu si kπ, con k Z, la función val : l máimo para l cosno; y cuando k π, la función val, l mínimo para l cosno En l primr caso, para k s tin: π,8 máimo En l sgundo caso, para k 0: π, mínimo wwwmatmaticasjmmmcom

20 0 7 Algunas conscuncias d stos tormas S considrarán solamnt dos d llas: l torma d los valors intrmdios y l cálculo d la raíz aproimada d un polinomio Torma d los valors intrmdios Darbou Francés, 8/97 Si f s una función continua n [a, b] y f a f b, ntoncs la función toma cada valor comprndido ntr f a y f b Esto s, para cualquir númro k comprndido ntr f a y f b, f a < k < f b, ist un c [a, b], tal qu f c k La dmostración d sta conscuncia s fácil Basta con dfinir otra función g f k y aplicarl l torma d Bolzano En fcto: La función g f k s continua n [a, b], por sr difrncia d dos funcions continuas n [a, b] Admás, g a > 0 y g b < 0, pus g a k f a > 0 y g b k f b < 0 Lugo, g cumpl las hipótsis dl torma d Bolzano En conscuncia, ist algún punto c a, b tal qu g c 0 Pro sto significa qu g c k f c 0 f c k Ejmplo: a La función f, s continua n l intrvalo [0, ] En sus trmos toma los valors f 0 y f Por tanto, la función toma todos los valors ntr y ; por jmplo, l valor, 8 Es valor lo toma n la solución d la cuación,8, qu s,8,89 Es vidnt qu,89 [0, ] b Dada la función f 5 5 Pud afirmars qu sa función toma l valor n algún punto dl intrvalo [0, ]? Y l valor? Como la función s continua y n los trmos dl intrvalo toma los valors f 0 5 y f, s dduc qu toma todos los valors ntr y 5; n particular l valor Esto s, istirá algún punto c 0, tal qu f Véas la figura adjunta Como no stá ntr y 5, no pud afirmars qu la función tom s valor para algún punto dl intrvalo 0, ; pro tampoco pud afirmars qu no lo tom D hcho hay dos valors qu toman l valor Obsrvación Est rsultado pud ampliars un poco más, afirmando qu Si f s una función continua n [a, b], ntoncs la función toma cada valor comprndido ntr l mínimo y l máimo d f n s intrvalo Esto s, para cualquir númro k comprndido ntr m y M, m < k < M, ist un c [a, b], tal qu f c k Dfinición Si f s continua, la imagn d [a, b] mdiant f srá l intrvalo [m, M], sindo m y M l mínimo y l máimo d f n [a, b] wwwmatmaticasjmmmcom

21 Cálculo aproimado d solucions d una cuación polinómica La cuación 0 no tin solucions ntras Por tanto, al sr d trcr grado no hay procdimintos sncillos qu prmitan ncontrar sas solucions No obstant, aplicando l torma d Bolzano s pud hallar un valor tan próimo a la solución como s ds Téngas n cunta qu lo qu s prtnd s ncontrar un valor c tal qu c c 0 El método s l siguint: Asociada a la cuación 0 pud considrars la función f, qu s continua n todo R Probando, pudn ncontrars dos valors d n los qu la función tom distinto signo En st caso valn, y, pus f y f En conscuncia, por Bolzano, ist un valor c ntr y tal qu f c 0 Es valor s una solución d la cuación 0 Para hallarlo hay qu hacrlo por tanto, sindo normal qu no s ncuntr l valor c acto, pro simpr pud ncontrars un valor 0 tan próimo a c como s ds Un bun procdiminto para hallar s valor 0 consist n strchar l intrvalo inicial Para llo s valúa la función n cualquir punto intrmdio, por jmplo n,5, y s ritrara l procdiminto n l intrvalo,,5 o n l,5,, sgún convnga Como f,5,5,5,5 < 0, la solución stará ntr,5 y S pruba con,75: f,75,75,75 0,8905 < 0 Como f,75 < 0 y f > 0, la solución stá ntr sos dos valors Qué sucdrá n,90? f,90,90,90 0,59 > 0 La solución stá ntr,75 y,90 S pruba con,85: f,85,85,85 0, 875 < 0 La solución stá ntr,85 y,90 Qué sucd n,88? f,88,88,88 0,007 > 0 La solución stá ntr,85 y,88, y muy crca d,88, pus n s punto la función toma un valor muy crcano a 0 S pruba con,87: f,87,87,87 0, < 0 La solución stá ntr,87 y,88 Con sto ya s tin acotada la solución con una aproimación d milésimas: s un valor ntr,870 y,880 Si sta aproimación s suficint, s asigna a c un valor intrmdio y dcir: c, 878 También pud optars por c,88, pus la aproimación s bastant buna wwwmatmaticasjmmmcom

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