Aproximación de funciones derivables mediante polinomios: Fórmulas de Taylor y Mac-Laurin
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- Silvia Torres Díaz
- hace 7 años
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1 Aproimació d ucios drabls mdiat poliomios: Fórmulas d Taylor y Mac-Lauri. Eprsa l poliomio P - - potcias d - Hay qu dtrmiar los coicits a, b, c, d y qu cumpla: P - -a- b- c- d- Drado vcs la iualdad atrior, tmos: P' -a- b- c-d P'' -a- b-c P'''a-b P IV a D sta última s ti: a Sustituydo la trcra: b b b Y d la suda: Y la primra: d d c c c c d d Fialmt, sustituydo l poliomio iicial: c d X Y, co todo llo, la prsió pdida s: P Eprsa l poliomio Q potcias d
2 E luar d procdr como l jrcicio atrior, podmos rcurrir al poliomio d Taylor cosa qu por otra part tambié podíamos habr hcho allí. Drado vcs, tmos: Q Q' Q'' Q''' Q Q IV V Q Q Q Q' Q'' Q''' V IV Rcordado qu l poliomio d Taylor, hasta l ord, s: i Q a i Q Q a a i i Para a- y usado los rsultados atriors tmos: IV Q' Q'' Q''' Q Q Q v Q. Eprsa l poliomio R - potcias d Drmos hasta l º ord: R R' 8 R'' R''' 8 R R vi 8 8 R 8 9 v R R vi R R' 7 R v R'' 9 R''' Y aplicado l poliomio d Taylor co a quda, dspués d simpliicar: R Halla l rror comtido los jrcicios y si aproimamos los poliomios P y Q por uo d rado dos y calcula P y Q La aproimació d P y Q por u poliomio d rado s: P - -
3 Q- - Tomarmos como rror comtido l rsto d Lara qu s pud prsar como: a a T Para P co, a quda: co P p ''' Para Q co, a - quda: co Q q ''' Los valors d ambas aproimacios para y rspctamt so: 8 ' si y Q si y P q p. Dsarrolla sú Mac-Lauri las siuits ucios: b a El dsarrollo sri d ua ució, hasta l ord, por la órmula d Mac- Lauri s, ral: i i i i a a Calculmos las dradas sucsas d : ' '
4 '' '' ''' ''' y ral : ' si si s s par impar Sólo istirá, pus, l dsarrollo los térmio d pot par y tdrmos, hasta l ord: '... '' '''... b b Para la ució tmos, drado sucsamt qu: ' si s impar par y como: ' El dsarrollo sólo tdrá térmios d ord impar y srá: '... '' ''' v.... Dsarrolla por Mac-Lauri Drmos sucsamt: ' ' '' ''
5 ''' 8 8 Y l dsarrollo s: ''' 8 8 '... ' ''' Halla la drada -ésima d la ució y. Idica si s posibl dsallorrarla por la órmula d Taylor - y, si s así, da la órmula dl térmio complmtario sú Lara S ti: y' y''... y' y'' y y Y l dsarrollo d Taylor - sría: y' y'' y T T Sido l térmio complmtario d Lara: T co - 8. Calcula l valor d co rror mor qu ua ctésima Sa la ució qu vamos a dsarrollar sri d Taylor las proimidads dl puto 9 valor tro más próimo por dcto al cuya raíz os ha pdido, qu ti raíz acta.
6 Drado sucsamt hasta l sudo ord: ' '9 '' Y l dsarrollo d Taylor s: ''9 8 '9 '' T T Tomado sólo aproimació lial los dos primros sumados quda: 9 T 8 9 Dod hmos tomado como rror l térmio complmtario d Lara d ord co 9. Podmos tomar como valor aproimado d raíz d los dos primros sumados dl dsarrollo atrior, sto s: 9, Y la cota d rror srá: T 9,, Halla l valor d 7 dado ua cota dl rror comtido Dsarrollmos sri d Taylor la ució 7 las proimidads dl puto 8 valor más próimo a 7 co raíz cúbica acta. S ti: 8
7 ' '' ''' '8 9 7 ''8 9 8 Co lo qu l dsarrollo d Taylor hasta l térmio cuadrático 8 sría: Qu para 7 s: 7 7 7, Sido la cota d rror valor absoluto: la dtrmiada por l térmio complmtario d Lara d ord co 8, s dcir: T ''' 8,, Halla l valor d 7 dado ua cota dl rror comtido. Dsarrollmos sri d Taylor la ució 7 las proimidads dl puto 8 valor más próimo a 7 co raíz cúbica acta. S ti: 8 ' '' ''' '8 9 7 ''8 9 8 Co lo qu l dsarrollo d Taylor hasta l térmio cuadrático 8 sría:
8 Qu para 7 s: 7 7 7, Sido la cota d rror valor absoluto: la dtrmiada por l térmio complmtario d Lara d ord co 8, s dcir: T ''' 8,, Dmustra qu s pud sustituir por s para, rad., co u rror mor d milésimas. Ectumos l dsarrollo sri d Mac-Lauri hasta l ord y calculmos la cota dl rror comtido por l térmio complmtario d Lara: s ' cos '' s ''' cos Etocs: T ' '' Dod s v qu para valors pquños d las proimidads d cro, s pud sustituir por s. La cota dl rror comtido para, radias. Es: ''' cos, T para, T,9,. Para qué valor d la prsió tid a u límit iito cuado tid a cro? Cuál s l valor d s límit? Dsarrollmos sri d Mac-Lauri las ucios y :
9 ' ' ' ' '' ' ' Y l límit pdido s, cambiado sas dos ucios por sus dsarrollos sri:... lím lím lím lím qu s iito si s iito.. Calcular l s, co cuatro dcimals. El áulo stá dado radias Dsarrollarmos sri d Mac-Lauri la ució s buscado qu l térmio complmtario sa mor qu ua dizmilésima para qu ta dcimals actos. s ''' cos ''' '' s '' ' cos ' s Co lo qu l dsarrollo srá, hasta l térmio cúbico: s T Y para, radias:,987,, s,
10 Co ua cota d rror d:, T,. Calcular, co rror mor qu - El dsarrollo sri d Mac-Lauri d s:,,,,,,,, Y la cota d rror s: T,,,7 Problmas Propustos Problma Calcular l coicit d l dsarrollo d Taylor d la ució diida por : lo cos u toro d a. Problma Escrib la órmula d Taylor d ord alrddor dl ori d la ució t. Ecutr ua prsió para l rror comtido al aproimar la ució mdiat l poliomio atrior. Problma Escrib la órmula d Taylor d ord alrddor dl puto qu s idica, d las siuits ucios:. / a -,. a,. a. Problma Aproimar la ució l cos alrddor dl ori mdiat u poliomio d rado dos. Ecotrar tambié ua prsió para l térmio d rror Rsto d Taylor. Problma Cuátos térmios hay qu tomar la órmula d Mac-Lauri d la ució para obtr u poliomio qu la aproim [-,] co trs ciras dcimals actas? Problma Cuátos térmios hay qu tomar la órmula d Mac-Lauri d la ució s para obtr u poliomio qu la aproim [--, ] co cuatro ciras dcimals actas? Problma 7 Calcular aproimadamt l valor d. / mdiat l poliomio d Taylor d rado d alua ució. Estimar l rror comtido.
11 Problma 8. Calcula aproimadamt l valor d s. utilizado u poliomio d Mac- Lauri d rado. Cuál s l rror comtido?. Aproima 8 / a través d la sri d Taylor potcias d - 7 hasta l sudo rado. Evalúa l rror comtido. Problma 9. Aproima la ució cos mdiat u poliomio d trcr rado alrddor dl ori.. Da ua cota dl rror comtido cuado s utiliza la aplicació atrior para l itrvalo [-/, /]. Problma Sa s :. Hallar su poliomio d Taylor d ord l puto.. Dcidir si ti u máimo local, u míimo local o u puto d ilió.
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