APLICACIONES DE LA DERIVADA

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1 APLICACIONES DE LA DEIVADA Ecucación d la rcta tangnt Ejrcicio nº.- Halla las rctas tangnts a la circunrncia: y y 6 n Ejrcicio nº.- Dada la unción abscisa., scrib la cuación d su rcta tangnt n l punto d Ejrcicio nº.- ( ) Halla la cuación d la rcta tangnt a la curva y n. Ejrcicio nº.- Obtén la cuación d la rcta tangnt a la curva: y n ( ) Ejrcicio nº 5.- Escrib la cuación d la rcta tangnt a la curva y y n l punto (, ). Monotonía y curvatura Ejrcicio nº 6.- Estudia l crciminto y la curvatura d la guint unción. Halla sus máimos, mínimos y puntos d inlión: 9 ( ) Ejrcicio nº 7.- Estudia los intrvalos d crciminto y los máimos y mínimos d la unción: ( )

2 Ejrcicio nº 8.- Dada la unción: () 8 6 a) Estudia su crciminto y halla sus máimos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos d inlión. Ejrcicio nº 9.- Halla los intrvalos d crciminto y los máimos y mínimos d la unción: ( ) Ejrcicio nº.- Halla los máimos, mínimos y puntos d inlión d la unción: () ( ) ( ) Di dónd s crcint, dcrcint, cóncava y conva. Optimización d uncions Ejrcicio nº.- El lado d un cuadrado tin una longitud d mtros. Entr todos los cuadrados inscritos n l cuadrado dado, halla l d ára mínima: Ejrcicio nº.- Un dpóto abirto d latón con bas cuadrada y capacidad para litros, qué dimnons db tnr para qu su abricación sa lo más conómica pobl? Ejrcicio nº.- Una hurta tin actualmnt árbols, qu producn 6 rutos cada uno. S calcula qu, por cada árbol adicional plantado, la producción d cada árbol disminuy n 5 rutos. Cuál db sr l númro total d árbols qu db tnr la hurta para qu la producción sa máima? Cuál srá sa producción? Ejrcicio nº.- Un transportista va d una ciudad A a otra B a una vlocidad constant d km/h por una carrtra n la qu db cumplirs qu El prcio dl carburant s d,6 uros l litro y l consumo s d / litros por hora. El conductor cobra 8 uros por hora y la distancia ntr A y B s d km. Halla la vlocidad a la qu db ir para qu l viaj rsult lo más conómico pobl.

3 Ejrcicio nº 5.- La hipotnusa d un triángulo rctángulo mid dm. Hacmos girar l triángulo alrddor d uno d sus cattos. Dtrmina la longitud d los cattos d orma qu l cono ngndrado d sta orma tnga volumn máimo. gla d L Hôpital Ejrcicio nº 6.- Calcula, utilizando la rgla d L'Hôpital: sn a) b) ( ) Ejrcicio nº 7.- Halla los guints its: cos a) b) ( cos ) Ejrcicio nº 8.- Calcula los guints its: a) cos sn b) Ejrcicio nº 9.- Calcula los its: a) sn sn b) ln Ejrcicio nº.- Obtén l valor d los guints its: a) cos tg b)

4 Torma d oll y dl valor mdio Ejrcicio nº.- Calcula m y n para qu la unción: ( ) m n > cumpla las hipóts dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. Dónd cumpl la ts? Ejrcicio nº.- Dada la unción: ( ) > Compruba qu satisac las hipóts dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. Dónd cumpl la ts? Ejrcicio nº.- Compruba qu y cumpl las hipóts dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. Dónd cumpl la ts? Ejrcicio nº.- Calcula a, b y c para qu la unción: ( ) a < b c cumpla las hipóts dl torma d oll n l intrvalo [, ]. Qué asgura l torma n st caso? Ejrcicio nº 5.- n Compruba la unción cumpl las hipóts dl torma d oll l intrvalo [, ]. En caso airmativo, avrigua dónd cumpl la ts.

5 Problmas d uncions drivabls y continuas Ejrcicio nº 6.- Justiica los pasos d la guint dmostración: Vamos a probar qu " s continua n [a, b] y drivabl n (a, b); y ' () n todos los puntos d (a, b), ntoncs s constant n [a, b]". ) Tomamos dos puntos cualsquira < d [a, b]; ntoncs s cumpl qu: ( ) ( ( c) ) Por tanto, ( ) ( ). ) ' ) Y así dducimos qu s constant. Ejrcicio nº 7.- Dmustra qu la unción: ( ) > no cumpl la hipóts dl torma d oll n l intrvalo [, b], cualquira qu sa l valor d b >. Ejrcicio nº 8.- Dmustra qu la cuación: solo tin la aíz. Para llo, supón qu tuvira otra raíz (digamos a), aplica l torma d oll a la unción () n [, a] (o n [a, ] a < ) y llgarás a una contradicción. Ejrcicio nº 9.- Dmustra qu, ntr todos los rctángulos d ára dada, l cuadrado s l d prímtro mínimo. (Llama k al ára dl rctángulo y tn n cunta qu s constant). Ejrcicio nº.- Dmustra qu, ntr todos los rctángulos qu pudn inscribirs n un círculo d radio, l cuadrado tin l ára máima. 5

6 SOLUCIONES APLICACIONES DE LA DEIVADA Ecucación d la rcta tangnt Ejrcicio nº.- Halla las rctas tangnts a la circunrncia: y y 6 n Ordnadas n : y y 6 y y ± y ± 6 ± y Punto y Punto (, ) (, ) Pndint d las rctas tangnts: Drivamos: y y' y' Dspjamos y': y' ( y ) y' y y y' (, ) y' (, ) Ecuacions d las rctas tangnts: En l punto (, ) y ( ) y En l punto (, ) y ( ) y Ejrcicio nº.- Dada la unción abscisa., scrib la cuación d su rcta tangnt n l punto d Ordnada n l punto: () Pndint d la rcta: 6

7 7 ' () Ecuación d la rcta tangnt: y ( ) y Ejrcicio nº.- Ordnada n l punto: y () 5 Pndint d la rcta: Drivamos: Ecuación d la rcta tangnt: Ejrcicio nº.- Obtén la cuación d la rcta tangnt a la curva: Ordnada n l punto: y () Pndint d la rcta: '. n la cuación d la rcta tangnt a la curva Halla y y 8 ' y y' y y n y ) (

8 y Drivamos: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 y' ( ) ( ) 8 ( 6 ) y' () Ecuación d la rcta tangnt: y Ejrcicio nº 5.- Escrib la cuación d la rcta tangnt a la curva y y n l punto (, ). Comprobamos qu la curva pasa por (, ): 6 6 Drivamos para obtnr la pndint d la rcta: y y' y' Dspjamos y': y' ( y ) Por tanto: y' y y' (, ) 8 Ecuación d la tangnt: y Monotonía y curvatura Ejrcicio nº 6.- Estudia l crciminto y la curvatura d la guint unción. Halla sus máimos, mínimos y puntos d inlión: 9 ( ) 8

9 9 Drivada: Signo d ' (): () s dcrcint n (, ) (, ); s crcint n (, ) (, ). Tin un Sgunda drivada: Signo d '' (): () s dcrcint n ( ;,) (,79; ); s conva n (,;,79). Tin dos puntos d inlión: (,;,) y (,79,,99) Ejrcicio nº 7.- Estudia los intrvalos d crciminto y los máimos y mínimos d la unción: Dominio ; pus > para todo. Drivada: ' ± ' 7 7 mínimo n, y otro n,. Tin un máimo n,. 9 '' ± ±,79, '' ) ( ) ( '

10 ' ( ) Signo d ' (): () s dcrcint n (, ) (, ); s crcint n (, ). Tin un mínimo n (, ) y un máimo n,. Ejrcicio nº 8.- Dada la unción: () 8 6 a) Estudia su crciminto y halla sus máimos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos d inlión. a) ' () ' () ( ) ( ) ( ) ( ) Signo d ' (): () s dcrcint n (, ) (, ); s crcint n (, ) (, ). Tin un mínimo n (, 8), otro n (, 9) y un máimo n (, ). b) '' () 6 8 '' () ( ) ± 6 6 ± 6 8,,55 Signo d '' (): () s cóncava n ( ;,55) (,; ); s conva n (,55;,). Tin dos puntos d inlión, (,55;,) y (,; 5,8).

11 Ejrcicio nº 9.- Halla los intrvalos d crciminto y los máimos y mínimos d la unción: Dominio {} Drivada: Signo d ' (). () s crcint n (, ) (, ); s dcrcint n (, ) (, ). Tin un máimo n (, ) y un mínimo n (, ). Ejrcicio nº.- Halla los máimos, mínimos y puntos d inlión d la unción: () ( ) ( ) Di dónd s crcint, dcrcint, cóncava y conva. Drivada: ' () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Signo d ' (). ' ' ' n Tin un mínimo., y s crcint n, dcrcint n s inlión. hay un punto d, En. 8,5 ;

12 Sgunda drivada: '' () ( ) ( ) ( ) ( ) (8 8) ( ) ( 6) '' 6( ) ( ) Signo d '' (). s cóncava n, (, ); s conva n,. Tin dos puntos d inlión: 8, y 6 (, ). Optimización d uncions Ejrcicio nº.- El lado d un cuadrado tin una longitud d mtros. Entr todos los cuadrados inscritos n l cuadrado dado, halla l d ára mínima: Si llamamos a la distancia d uno d los vértics dl cuadrado inscrito, al vértic más próimo dl cuadrado original (como indica la igura), tnmos qu l ára dl cuadrado inscrito srá: Ára l ( ) ; Buscamos para qu l ára sa mínima: A () ( ) A' () ( ) () 8 8 A' () 8 Comprobamos qu s l mínimo:

13 A'' (), A'' () > n hay mínimo A () A () 6 Por tanto, l mínimo s alcanza n, qu corrspond al cuadrado d lado: l 8,8 mtros, cuya ára s d 8 m Ejrcicio nº.- Un dpóto abirto d latón con bas cuadrada y capacidad para litros, qué dimnons db tnr para qu su abricación sa lo más conómica pobl? Llamamos al lado d la bas y a la altura dl dpóto. Así, l volumn s: y dm y V La suprici total dl dpóto (rcordmos qu stá abirto) srá: 6 A y ; > Buscamos para qu A sa mínima: 6 6 A' A' dm Vamos qu s un mínimo: A' ', A'' > n hay mínimo Por tanto, l lado d la bas db mdir dm y la altura, y dm.

14 Ejrcicio nº.- Una hurta tin actualmnt árbols, qu producn 6 rutos cada uno. S calcula qu, por cada árbol adicional plantado, la producción d cada árbol disminuy n 5 rutos. Cuál db sr l númro total d árbols qu db tnr la hurta para qu la producción sa máima? Cuál srá sa producción? Llamamos al númro d árbols qu s plantan. Tnmos qu l númro d rutos sría: () ( ) (6 5) 5 Buscamos para qu () sa máima: ' () ' 8 8 Vamos qu s un máimo: '' () ; '' (8) < 8 stá l máimo absoluto). n 8 hay máimo. (Como () corrspond a una parabola invrtida, n Por tanto, s dbn plantar 8 árbols. Así, habrá un total d 8 árbols, qu producirán 5 6 rutos. Ejrcicio nº.- Un transportista va d una ciudad A a otra B a una vlocidad constant d km/h por una carrtra n la qu db cumplirs qu El prcio dl carburant s d,6 uros l litro y l consumo s d / litros por hora. El conductor cobra 8 uros por hora y la distancia ntr A y B s d km. Halla la vlocidad a la qu db ir para qu l viaj rsult lo más conómico pobl. La vlocidad s km/h y la distancia s d km; por tanto, como s constant, tardará horas n llgar. Así, l cost srá: C 8,6 8 6 Admás, ha d sr Buscamos para qu C () sa mínimo: C' C' Vamos qu s un mínimo:, > 8 8 (la raíz ngativa no val) 8 8 5,9

15 8 C '' C''(5,9) > n 5,9 hay un mínimo C (5) 7,5 uros; C (5,9) 58,75 uros; C (55) 58,86 Por tanto, dbrá ir a 5,9 km/h (l cost n st caso srá d 58,75 uros). Ejrcicio nº 5.- La hipotnusa d un triángulo rctángulo mid dm. Hacmos girar l triángulo alrddor d uno d sus cattos. Dtrmina la longitud d los cattos d orma qu l cono ngndrado d sta orma tnga volumn máimo. Si llamamos y a las longituds d cada uno d los cattos, sabmos qu: y y El volumn dl cono s: V π ( ) ( ) ; π π y Buscamos para qu l volumn sa máimo: π V ' ( ) V ' Vamos qu s un máimo: (la raíz ngativa no val) π V '' V ( 6), V '' < n hay un máimo ( V ) Por tanto, l máimo s alcanza cuando los cattos midn:,58 dm (l qu srá la altura dl cono) y 6,8 dm 5

16 gla d L Hôpital Ejrcicio nº 6.- Calcula, utilizando la rgla d L'Hôpital: sn a) b) ( ) a) sn sn cos sn cos sn 8cos 8 b) ( ) ( ). Tomamos logaritmos: ln Por tanto: ( ) ln ( ) Ejrcicio nº 7.- Halla los guints its: cos a) b) ( cos ) a) cos cos sn sn cos b) ( ). Tomamos logaritmos: cos ln ( cos ) sn cos tg ln ( cos ) ( tg ) 6 6

17 Por tanto: 6 ( cos ) 6 Ejrcicio nº 8.- Calcula los guints its: a) cos sn b) a) cos sn cos sn cos sn cos b) ( ). Tomamos logaritmos: ln Por tanto: ln Ejrcicio nº 9.- Calcula los its: a) sn sn b) ln a) sn sn cos cos b) ln 7

18 Ejrcicio nº.- Obtén l valor d los guints its: a) cos tg b) cos sn a) tg tg b) ( ). Tomamos logaritmos: ln ln Por tanto: Torma d oll y dl valor mdio Ejrcicio nº.- Calcula m y n para qu la unción: ( ) m n > cumpla las hipóts dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. Dónd cumpl la ts? Continuidad n [, ]: Si, la unción s continua, pus stá ormada por uncions continuas. m m En, ( n) n m Para qu sa continua, ha d sr m n m n Drivabilidad n (, ): Si, s drivabl, y su drivada s: 8

19 ' m < > Para qu sa drivabl n, han d sr iguals: ' ' ( ) ( ) m m Por tanto, () cumpl las hipóts dl torma dl valor mdio n [, ] m n. En st caso, qudaría: > Vamos dónd cumpl la ts: ' ( c) ' ' ( c) ( c) c > 5 c c Ejrcicio nº.- Dada la unción: (, ) ( ) > Compruba qu satisac las hipóts dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. Dónd cumpl la ts? Continuidad n [, ]: Si, la unción s contínua, pus stá ormada por uncions continuas n los intrvalos n los qu stán dinidas. Por tanto, () s continua n [, ]. Drivabilidad n (, ): En, s continua n 9

20 Si, s drivabl, y su drivada s: ' < > En, como ' ( ) ' ( ), también s drivabl, y ' (). Por tanto, () s drivabl n (, ). S cumpln las hipóts dl torma dl valor mdio; s dcir, ist c (, ) tal qu: ' ( c) Vamos dónd s cumpl la ts: ( > ) ( > ) Por tanto, hay dos valors: c y c Ejrcicio nº.- Compruba qu y cumpl las hipóts dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. Dónd cumpl la ts? La unción y s continua y drivabl n ; por tanto, srá continua n [, ] y drivabl n (, ). Lugo, cumpl las hipóts dl torma dl valor mdio. Entoncs, ist c (, ) tal qu: ' ( c) ( ) ( ) 6 6 Vamos cual s l valor d c n l qu s cumpl la ts: ' () ' (c) c c c c ± La ts s cumpl n c (pus (, ), pro (, )).

21 Ejrcicio nº.- Calcula a, b y c para qu la unción: ( ) a < b c cumpla las hipóts dl torma d oll n l intrvalo [, ]. Qué asgura l torma n st caso? Continuidad n [, ]: Si, la unción s continua, pus stá ormada por polinomios, qu son uncions continuas. a 8a En : ( b c) b c b c Para qu sa continua n, ha d sr: 8 a b c Drivabilidad n (, ): Si, la unción s drivabl, y su drivada s: ' a b < > Admás, db sr () () ; s dcir: b c ' 8 a En, ha d sr 8 a b ' b Unindo las condicions antriors, tnmos qu: 8 a b c a 6 8 a b b b c c 8 En st caso, l torma d oll asgura qu ist c (, ) tal qu ' (c). Ejrcicio nº 5.- n Compruba la unción cumpl las hipóts dl torma d oll l intrvalo [, ]. En caso airmativo, avrigua dónd cumpl la ts.

22 [, ]. ( ) La unción s continua n ; por tanto, también lo s n l intrvalo Admás,. Pro vamos qu no s drivabl n (, ) (pus no lo s n (, )). La drivada s: ' No ist la drivada n ( ) Por tanto, no s cumpln las hipóts dl torma d oll. Problmas d uncions drivabls y continuas Ejrcicio nº 6.- Justiica los pasos d la guint dmostración: Vamos a probar qu " s continua n [a, b] y drivabl n (a, b); y ' () n todos los puntos d (a, b), ntoncs s constant n [a, b]". ) Tomamos dos puntos cualsquira < d [a, b]; ntoncs s cumpl qu: ( ) ( ( c) ) Por tanto, ( ) ( ). ) ' ) Y así dducimos qu s constant. ) Tomamos dos puntos cualsquira < d [a, b]; como s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), aplicando l torma dl valor mdio, ist c (a, b) tal qu ( ) '( c). Como ' () n todos los puntos d (a, b), n particular ' (c) ; s dcir: ( ) ) Por tanto, ( ) ( ). ) Así, hmos llgado a qu ( ) ( ) cualsquira qu san < d [a, b]. Esto gniica qu () s constant n [a, b].

23 Ejrcicio nº 7.- Dmustra qu la unción: ( ) > no cumpl la hipóts dl torma d oll n l intrvalo [, b], cualquira qu sa l valor d b >. Continuidad n [, b], con b > : Si, la unción s continua, pus stá ormada por uncions continuas. En, ( ) s continua n. Por tanto, () s continua n [, b]. Drivabilidad n (, b), con b > : Si, la unción s drivabl, y su drivada s: ' < > Como ' ( ) ' ( ), () no s drivabl n. Por tanto, () no s drivabl n (, b), con b >. Así, no cumpl las hipóts dl torma d oll n st intrvalo. Ejrcicio nº 8.- Dmustra qu la cuación: solo tin la aíz. Para llo, supón qu tuvira otra raíz (digamos a), aplica l torma d oll a la unción () n [, a] (o n [a, ] a < ) y llgarás a una contradicción. Supongamos qu tuvira otra raíz potiva, a. Como () s continua y drivabl n, también srá continua n [, a] y drivabl n (, a). Admás, sría () (a). Por l torma d oll, istiría c (, a) tal qu ' (c). Pro: ' () (, a) Llgamos a una contradicción, lugo no ist ninguna otra raíz potiva.

24 Análogamnt, suponmos qu ist otra raíz ngativa, a, aplicando l torma d oll con [a, ], llgaríamos a una contradicción. Por tanto, solo tin la raíz, como quríamos dmostrar. Ejrcicio nº 9.- Dmustra qu, ntr todos los rctángulos d ára dada, l cuadrado s l d prímtro mínimo. (Llama k al ára dl rctángulo y tn n cunta qu s constant). Condramos los rctángulos d ára k, con k constant. Llamamos a su bas y a su altura. El ára srá: A y k y El prímtro dl rctángulo s: k k P y, > Buscamos para qu l prímtro sa mínimo: k k P' k P ' k k Vamos qu s mínimo: k (la raíz ngativa no val) Ejrcicio nº.- ( k ) > (pus k > ) n hay un mínimo. k P '', P'' k Por tanto, l rctángulo buscado s l qu tin d lados k, y k, s dcir, l cuadrado d lado k, como quríamos dmostrar. Dmustra qu, ntr todos los rctángulos qu pudn inscribirs n un círculo d radio, l cuadrado tin l ára máima.

25 5 Llamamos a la bas dl rctángulo y a su altura. Tnmos qu: y () y El ára dl rctángulo s: Buscamos para qu l ára s máima: (la raíz ngativa no val, pus > ). máimo). A () A () como quríamos dmostrar. y, < < y A, < < 8 ' A ' A ( ' a la izquirda d y ' a su drcha; por tanto, n hay un A A > < Por tanto, l máimo s alcanza para ; s dcir, para l cuadrado d lado, y