APLICACIONES DE LA DERIVADA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "APLICACIONES DE LA DERIVADA"

Transcripción

1 APLICACIONES DE LA DEIVADA Ecucación d la rcta tangnt Ejrcicio nº.- Halla las rctas tangnts a la circunrncia: y y 6 n Ejrcicio nº.- Dada la unción abscisa., scrib la cuación d su rcta tangnt n l punto d Ejrcicio nº.- ( ) Halla la cuación d la rcta tangnt a la curva y n. Ejrcicio nº.- Obtén la cuación d la rcta tangnt a la curva: y n ( ) Ejrcicio nº 5.- Escrib la cuación d la rcta tangnt a la curva y y n l punto (, ). Monotonía y curvatura Ejrcicio nº 6.- Estudia l crciminto y la curvatura d la guint unción. Halla sus máimos, mínimos y puntos d inlión: 9 ( ) Ejrcicio nº 7.- Estudia los intrvalos d crciminto y los máimos y mínimos d la unción: ( )

2 Ejrcicio nº 8.- Dada la unción: () 8 6 a) Estudia su crciminto y halla sus máimos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos d inlión. Ejrcicio nº 9.- Halla los intrvalos d crciminto y los máimos y mínimos d la unción: ( ) Ejrcicio nº.- Halla los máimos, mínimos y puntos d inlión d la unción: () ( ) ( ) Di dónd s crcint, dcrcint, cóncava y conva. Optimización d uncions Ejrcicio nº.- El lado d un cuadrado tin una longitud d mtros. Entr todos los cuadrados inscritos n l cuadrado dado, halla l d ára mínima: Ejrcicio nº.- Un dpóto abirto d latón con bas cuadrada y capacidad para litros, qué dimnons db tnr para qu su abricación sa lo más conómica pobl? Ejrcicio nº.- Una hurta tin actualmnt árbols, qu producn 6 rutos cada uno. S calcula qu, por cada árbol adicional plantado, la producción d cada árbol disminuy n 5 rutos. Cuál db sr l númro total d árbols qu db tnr la hurta para qu la producción sa máima? Cuál srá sa producción? Ejrcicio nº.- Un transportista va d una ciudad A a otra B a una vlocidad constant d km/h por una carrtra n la qu db cumplirs qu El prcio dl carburant s d,6 uros l litro y l consumo s d / litros por hora. El conductor cobra 8 uros por hora y la distancia ntr A y B s d km. Halla la vlocidad a la qu db ir para qu l viaj rsult lo más conómico pobl.

3 Ejrcicio nº 5.- La hipotnusa d un triángulo rctángulo mid dm. Hacmos girar l triángulo alrddor d uno d sus cattos. Dtrmina la longitud d los cattos d orma qu l cono ngndrado d sta orma tnga volumn máimo. gla d L Hôpital Ejrcicio nº 6.- Calcula, utilizando la rgla d L'Hôpital: sn a) b) ( ) Ejrcicio nº 7.- Halla los guints its: cos a) b) ( cos ) Ejrcicio nº 8.- Calcula los guints its: a) cos sn b) Ejrcicio nº 9.- Calcula los its: a) sn sn b) ln Ejrcicio nº.- Obtén l valor d los guints its: a) cos tg b)

4 Torma d oll y dl valor mdio Ejrcicio nº.- Calcula m y n para qu la unción: ( ) m n > cumpla las hipóts dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. Dónd cumpl la ts? Ejrcicio nº.- Dada la unción: ( ) > Compruba qu satisac las hipóts dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. Dónd cumpl la ts? Ejrcicio nº.- Compruba qu y cumpl las hipóts dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. Dónd cumpl la ts? Ejrcicio nº.- Calcula a, b y c para qu la unción: ( ) a < b c cumpla las hipóts dl torma d oll n l intrvalo [, ]. Qué asgura l torma n st caso? Ejrcicio nº 5.- n Compruba la unción cumpl las hipóts dl torma d oll l intrvalo [, ]. En caso airmativo, avrigua dónd cumpl la ts.

5 Problmas d uncions drivabls y continuas Ejrcicio nº 6.- Justiica los pasos d la guint dmostración: Vamos a probar qu " s continua n [a, b] y drivabl n (a, b); y ' () n todos los puntos d (a, b), ntoncs s constant n [a, b]". ) Tomamos dos puntos cualsquira < d [a, b]; ntoncs s cumpl qu: ( ) ( ( c) ) Por tanto, ( ) ( ). ) ' ) Y así dducimos qu s constant. Ejrcicio nº 7.- Dmustra qu la unción: ( ) > no cumpl la hipóts dl torma d oll n l intrvalo [, b], cualquira qu sa l valor d b >. Ejrcicio nº 8.- Dmustra qu la cuación: solo tin la aíz. Para llo, supón qu tuvira otra raíz (digamos a), aplica l torma d oll a la unción () n [, a] (o n [a, ] a < ) y llgarás a una contradicción. Ejrcicio nº 9.- Dmustra qu, ntr todos los rctángulos d ára dada, l cuadrado s l d prímtro mínimo. (Llama k al ára dl rctángulo y tn n cunta qu s constant). Ejrcicio nº.- Dmustra qu, ntr todos los rctángulos qu pudn inscribirs n un círculo d radio, l cuadrado tin l ára máima. 5

6 SOLUCIONES APLICACIONES DE LA DEIVADA Ecucación d la rcta tangnt Ejrcicio nº.- Halla las rctas tangnts a la circunrncia: y y 6 n Ordnadas n : y y 6 y y ± y ± 6 ± y Punto y Punto (, ) (, ) Pndint d las rctas tangnts: Drivamos: y y' y' Dspjamos y': y' ( y ) y' y y y' (, ) y' (, ) Ecuacions d las rctas tangnts: En l punto (, ) y ( ) y En l punto (, ) y ( ) y Ejrcicio nº.- Dada la unción abscisa., scrib la cuación d su rcta tangnt n l punto d Ordnada n l punto: () Pndint d la rcta: 6

7 7 ' () Ecuación d la rcta tangnt: y ( ) y Ejrcicio nº.- Ordnada n l punto: y () 5 Pndint d la rcta: Drivamos: Ecuación d la rcta tangnt: Ejrcicio nº.- Obtén la cuación d la rcta tangnt a la curva: Ordnada n l punto: y () Pndint d la rcta: '. n la cuación d la rcta tangnt a la curva Halla y y 8 ' y y' y y n y ) (

8 y Drivamos: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 y' ( ) ( ) 8 ( 6 ) y' () Ecuación d la rcta tangnt: y Ejrcicio nº 5.- Escrib la cuación d la rcta tangnt a la curva y y n l punto (, ). Comprobamos qu la curva pasa por (, ): 6 6 Drivamos para obtnr la pndint d la rcta: y y' y' Dspjamos y': y' ( y ) Por tanto: y' y y' (, ) 8 Ecuación d la tangnt: y Monotonía y curvatura Ejrcicio nº 6.- Estudia l crciminto y la curvatura d la guint unción. Halla sus máimos, mínimos y puntos d inlión: 9 ( ) 8

9 9 Drivada: Signo d ' (): () s dcrcint n (, ) (, ); s crcint n (, ) (, ). Tin un Sgunda drivada: Signo d '' (): () s dcrcint n ( ;,) (,79; ); s conva n (,;,79). Tin dos puntos d inlión: (,;,) y (,79,,99) Ejrcicio nº 7.- Estudia los intrvalos d crciminto y los máimos y mínimos d la unción: Dominio ; pus > para todo. Drivada: ' ± ' 7 7 mínimo n, y otro n,. Tin un máimo n,. 9 '' ± ±,79, '' ) ( ) ( '

10 ' ( ) Signo d ' (): () s dcrcint n (, ) (, ); s crcint n (, ). Tin un mínimo n (, ) y un máimo n,. Ejrcicio nº 8.- Dada la unción: () 8 6 a) Estudia su crciminto y halla sus máimos y mínimos. b) Estudia su curvatura y obtén sus puntos d inlión. a) ' () ' () ( ) ( ) ( ) ( ) Signo d ' (): () s dcrcint n (, ) (, ); s crcint n (, ) (, ). Tin un mínimo n (, 8), otro n (, 9) y un máimo n (, ). b) '' () 6 8 '' () ( ) ± 6 6 ± 6 8,,55 Signo d '' (): () s cóncava n ( ;,55) (,; ); s conva n (,55;,). Tin dos puntos d inlión, (,55;,) y (,; 5,8).

11 Ejrcicio nº 9.- Halla los intrvalos d crciminto y los máimos y mínimos d la unción: Dominio {} Drivada: Signo d ' (). () s crcint n (, ) (, ); s dcrcint n (, ) (, ). Tin un máimo n (, ) y un mínimo n (, ). Ejrcicio nº.- Halla los máimos, mínimos y puntos d inlión d la unción: () ( ) ( ) Di dónd s crcint, dcrcint, cóncava y conva. Drivada: ' () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Signo d ' (). ' ' ' n Tin un mínimo., y s crcint n, dcrcint n s inlión. hay un punto d, En. 8,5 ;

12 Sgunda drivada: '' () ( ) ( ) ( ) ( ) (8 8) ( ) ( 6) '' 6( ) ( ) Signo d '' (). s cóncava n, (, ); s conva n,. Tin dos puntos d inlión: 8, y 6 (, ). Optimización d uncions Ejrcicio nº.- El lado d un cuadrado tin una longitud d mtros. Entr todos los cuadrados inscritos n l cuadrado dado, halla l d ára mínima: Si llamamos a la distancia d uno d los vértics dl cuadrado inscrito, al vértic más próimo dl cuadrado original (como indica la igura), tnmos qu l ára dl cuadrado inscrito srá: Ára l ( ) ; Buscamos para qu l ára sa mínima: A () ( ) A' () ( ) () 8 8 A' () 8 Comprobamos qu s l mínimo:

13 A'' (), A'' () > n hay mínimo A () A () 6 Por tanto, l mínimo s alcanza n, qu corrspond al cuadrado d lado: l 8,8 mtros, cuya ára s d 8 m Ejrcicio nº.- Un dpóto abirto d latón con bas cuadrada y capacidad para litros, qué dimnons db tnr para qu su abricación sa lo más conómica pobl? Llamamos al lado d la bas y a la altura dl dpóto. Así, l volumn s: y dm y V La suprici total dl dpóto (rcordmos qu stá abirto) srá: 6 A y ; > Buscamos para qu A sa mínima: 6 6 A' A' dm Vamos qu s un mínimo: A' ', A'' > n hay mínimo Por tanto, l lado d la bas db mdir dm y la altura, y dm.

14 Ejrcicio nº.- Una hurta tin actualmnt árbols, qu producn 6 rutos cada uno. S calcula qu, por cada árbol adicional plantado, la producción d cada árbol disminuy n 5 rutos. Cuál db sr l númro total d árbols qu db tnr la hurta para qu la producción sa máima? Cuál srá sa producción? Llamamos al númro d árbols qu s plantan. Tnmos qu l númro d rutos sría: () ( ) (6 5) 5 Buscamos para qu () sa máima: ' () ' 8 8 Vamos qu s un máimo: '' () ; '' (8) < 8 stá l máimo absoluto). n 8 hay máimo. (Como () corrspond a una parabola invrtida, n Por tanto, s dbn plantar 8 árbols. Así, habrá un total d 8 árbols, qu producirán 5 6 rutos. Ejrcicio nº.- Un transportista va d una ciudad A a otra B a una vlocidad constant d km/h por una carrtra n la qu db cumplirs qu El prcio dl carburant s d,6 uros l litro y l consumo s d / litros por hora. El conductor cobra 8 uros por hora y la distancia ntr A y B s d km. Halla la vlocidad a la qu db ir para qu l viaj rsult lo más conómico pobl. La vlocidad s km/h y la distancia s d km; por tanto, como s constant, tardará horas n llgar. Así, l cost srá: C 8,6 8 6 Admás, ha d sr Buscamos para qu C () sa mínimo: C' C' Vamos qu s un mínimo:, > 8 8 (la raíz ngativa no val) 8 8 5,9

15 8 C '' C''(5,9) > n 5,9 hay un mínimo C (5) 7,5 uros; C (5,9) 58,75 uros; C (55) 58,86 Por tanto, dbrá ir a 5,9 km/h (l cost n st caso srá d 58,75 uros). Ejrcicio nº 5.- La hipotnusa d un triángulo rctángulo mid dm. Hacmos girar l triángulo alrddor d uno d sus cattos. Dtrmina la longitud d los cattos d orma qu l cono ngndrado d sta orma tnga volumn máimo. Si llamamos y a las longituds d cada uno d los cattos, sabmos qu: y y El volumn dl cono s: V π ( ) ( ) ; π π y Buscamos para qu l volumn sa máimo: π V ' ( ) V ' Vamos qu s un máimo: (la raíz ngativa no val) π V '' V ( 6), V '' < n hay un máimo ( V ) Por tanto, l máimo s alcanza cuando los cattos midn:,58 dm (l qu srá la altura dl cono) y 6,8 dm 5

16 gla d L Hôpital Ejrcicio nº 6.- Calcula, utilizando la rgla d L'Hôpital: sn a) b) ( ) a) sn sn cos sn cos sn 8cos 8 b) ( ) ( ). Tomamos logaritmos: ln Por tanto: ( ) ln ( ) Ejrcicio nº 7.- Halla los guints its: cos a) b) ( cos ) a) cos cos sn sn cos b) ( ). Tomamos logaritmos: cos ln ( cos ) sn cos tg ln ( cos ) ( tg ) 6 6

17 Por tanto: 6 ( cos ) 6 Ejrcicio nº 8.- Calcula los guints its: a) cos sn b) a) cos sn cos sn cos sn cos b) ( ). Tomamos logaritmos: ln Por tanto: ln Ejrcicio nº 9.- Calcula los its: a) sn sn b) ln a) sn sn cos cos b) ln 7

18 Ejrcicio nº.- Obtén l valor d los guints its: a) cos tg b) cos sn a) tg tg b) ( ). Tomamos logaritmos: ln ln Por tanto: Torma d oll y dl valor mdio Ejrcicio nº.- Calcula m y n para qu la unción: ( ) m n > cumpla las hipóts dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. Dónd cumpl la ts? Continuidad n [, ]: Si, la unción s continua, pus stá ormada por uncions continuas. m m En, ( n) n m Para qu sa continua, ha d sr m n m n Drivabilidad n (, ): Si, s drivabl, y su drivada s: 8

19 ' m < > Para qu sa drivabl n, han d sr iguals: ' ' ( ) ( ) m m Por tanto, () cumpl las hipóts dl torma dl valor mdio n [, ] m n. En st caso, qudaría: > Vamos dónd cumpl la ts: ' ( c) ' ' ( c) ( c) c > 5 c c Ejrcicio nº.- Dada la unción: (, ) ( ) > Compruba qu satisac las hipóts dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. Dónd cumpl la ts? Continuidad n [, ]: Si, la unción s contínua, pus stá ormada por uncions continuas n los intrvalos n los qu stán dinidas. Por tanto, () s continua n [, ]. Drivabilidad n (, ): En, s continua n 9

20 Si, s drivabl, y su drivada s: ' < > En, como ' ( ) ' ( ), también s drivabl, y ' (). Por tanto, () s drivabl n (, ). S cumpln las hipóts dl torma dl valor mdio; s dcir, ist c (, ) tal qu: ' ( c) Vamos dónd s cumpl la ts: ( > ) ( > ) Por tanto, hay dos valors: c y c Ejrcicio nº.- Compruba qu y cumpl las hipóts dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ]. Dónd cumpl la ts? La unción y s continua y drivabl n ; por tanto, srá continua n [, ] y drivabl n (, ). Lugo, cumpl las hipóts dl torma dl valor mdio. Entoncs, ist c (, ) tal qu: ' ( c) ( ) ( ) 6 6 Vamos cual s l valor d c n l qu s cumpl la ts: ' () ' (c) c c c c ± La ts s cumpl n c (pus (, ), pro (, )).

21 Ejrcicio nº.- Calcula a, b y c para qu la unción: ( ) a < b c cumpla las hipóts dl torma d oll n l intrvalo [, ]. Qué asgura l torma n st caso? Continuidad n [, ]: Si, la unción s continua, pus stá ormada por polinomios, qu son uncions continuas. a 8a En : ( b c) b c b c Para qu sa continua n, ha d sr: 8 a b c Drivabilidad n (, ): Si, la unción s drivabl, y su drivada s: ' a b < > Admás, db sr () () ; s dcir: b c ' 8 a En, ha d sr 8 a b ' b Unindo las condicions antriors, tnmos qu: 8 a b c a 6 8 a b b b c c 8 En st caso, l torma d oll asgura qu ist c (, ) tal qu ' (c). Ejrcicio nº 5.- n Compruba la unción cumpl las hipóts dl torma d oll l intrvalo [, ]. En caso airmativo, avrigua dónd cumpl la ts.

22 [, ]. ( ) La unción s continua n ; por tanto, también lo s n l intrvalo Admás,. Pro vamos qu no s drivabl n (, ) (pus no lo s n (, )). La drivada s: ' No ist la drivada n ( ) Por tanto, no s cumpln las hipóts dl torma d oll. Problmas d uncions drivabls y continuas Ejrcicio nº 6.- Justiica los pasos d la guint dmostración: Vamos a probar qu " s continua n [a, b] y drivabl n (a, b); y ' () n todos los puntos d (a, b), ntoncs s constant n [a, b]". ) Tomamos dos puntos cualsquira < d [a, b]; ntoncs s cumpl qu: ( ) ( ( c) ) Por tanto, ( ) ( ). ) ' ) Y así dducimos qu s constant. ) Tomamos dos puntos cualsquira < d [a, b]; como s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), aplicando l torma dl valor mdio, ist c (a, b) tal qu ( ) '( c). Como ' () n todos los puntos d (a, b), n particular ' (c) ; s dcir: ( ) ) Por tanto, ( ) ( ). ) Así, hmos llgado a qu ( ) ( ) cualsquira qu san < d [a, b]. Esto gniica qu () s constant n [a, b].

23 Ejrcicio nº 7.- Dmustra qu la unción: ( ) > no cumpl la hipóts dl torma d oll n l intrvalo [, b], cualquira qu sa l valor d b >. Continuidad n [, b], con b > : Si, la unción s continua, pus stá ormada por uncions continuas. En, ( ) s continua n. Por tanto, () s continua n [, b]. Drivabilidad n (, b), con b > : Si, la unción s drivabl, y su drivada s: ' < > Como ' ( ) ' ( ), () no s drivabl n. Por tanto, () no s drivabl n (, b), con b >. Así, no cumpl las hipóts dl torma d oll n st intrvalo. Ejrcicio nº 8.- Dmustra qu la cuación: solo tin la aíz. Para llo, supón qu tuvira otra raíz (digamos a), aplica l torma d oll a la unción () n [, a] (o n [a, ] a < ) y llgarás a una contradicción. Supongamos qu tuvira otra raíz potiva, a. Como () s continua y drivabl n, también srá continua n [, a] y drivabl n (, a). Admás, sría () (a). Por l torma d oll, istiría c (, a) tal qu ' (c). Pro: ' () (, a) Llgamos a una contradicción, lugo no ist ninguna otra raíz potiva.

24 Análogamnt, suponmos qu ist otra raíz ngativa, a, aplicando l torma d oll con [a, ], llgaríamos a una contradicción. Por tanto, solo tin la raíz, como quríamos dmostrar. Ejrcicio nº 9.- Dmustra qu, ntr todos los rctángulos d ára dada, l cuadrado s l d prímtro mínimo. (Llama k al ára dl rctángulo y tn n cunta qu s constant). Condramos los rctángulos d ára k, con k constant. Llamamos a su bas y a su altura. El ára srá: A y k y El prímtro dl rctángulo s: k k P y, > Buscamos para qu l prímtro sa mínimo: k k P' k P ' k k Vamos qu s mínimo: k (la raíz ngativa no val) Ejrcicio nº.- ( k ) > (pus k > ) n hay un mínimo. k P '', P'' k Por tanto, l rctángulo buscado s l qu tin d lados k, y k, s dcir, l cuadrado d lado k, como quríamos dmostrar. Dmustra qu, ntr todos los rctángulos qu pudn inscribirs n un círculo d radio, l cuadrado tin l ára máima.

25 5 Llamamos a la bas dl rctángulo y a su altura. Tnmos qu: y () y El ára dl rctángulo s: Buscamos para qu l ára s máima: (la raíz ngativa no val, pus > ). máimo). A () A () como quríamos dmostrar. y, < < y A, < < 8 ' A ' A ( ' a la izquirda d y ' a su drcha; por tanto, n hay un A A > < Por tanto, l máimo s alcanza para ; s dcir, para l cuadrado d lado, y

TEMA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA

TEMA 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA Tma Aplicacions d la drivada Matmáticas CCSSII º Bachillrato 1 TEMA APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE 1 Escrib 0 EJERCICIO 1 : la cuación d la rcta tangnt a la curva f n 0. Ordnada dl punto: f

Más detalles

Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b

Solución: Para que sea continua deben coincidir los límites laterales con su valor de definición en dicho punto x = 2. b 1 + b Matmáticas Emprsarials I PREGUNTAS DE TIPO TEST DERIVADAS Y APLICACIONES Drivabilidad ( ) b si S09. La función f ( ) s continua y drivabl n = : a( ) si a) Si a = y b = b) Si a = y b = 5 c) Nunca pud sr

Más detalles

EJERCICIOS UNIDAD 2: DERIVACIÓN (II)

EJERCICIOS UNIDAD 2: DERIVACIÓN (II) IES Padr Povda (Guadi) EJERCICIOS UNIDAD : DERIVACIÓN (II) 3 (03-M4-B-) (5 puntos) Condra la función f : R R dada por f ( ) = + a + b+ c Dtrmina a, b y c sabindo qu la rcta normal a la gráfica d f n l

Más detalles

DERIVADAS. Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. = 0 utilizando la definición.

DERIVADAS. Las gráficas A, B y C son las funciones derivadas de las gráficas 1, 2 y 3, pero en otro orden. = 0 utilizando la definición. DERIVADAS Dinición d drivada Ejrcicio nº.- Las gráicas A, B y C son las uncions drivadas d las gráicas, y, pro n otro ordn. Cuál s la drivada d cual? Justiica tus rspustas. Ejrcicio nº.- Calcula la drivada

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 1: PARTE 3

EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 1: PARTE 3 Ejrcicios rsultos Tma part III): Límits d uncions º BCN EJERCICIOS RESUELTOS TEMA : PARTE 3 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Ejrcicios rsultos Tma part III): Límits d uncions º BCN ) Dada la guint unción:

Más detalles

FUNCIONES DE DOS VARIABLES DOMINIOS, DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES. Preguntas de dominios y curvas de nivel

FUNCIONES DE DOS VARIABLES DOMINIOS, DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES. Preguntas de dominios y curvas de nivel FUNCIONES DE DOS VARIABLES DOMINIOS, DERIVADAS PARCIALES Y DIRECCIONALES Prguntas d dominios curvas d nivl Dtrmina l dominio d las uncions: a) (, ) b) (, sin + + En cada caso indica dos puntos qu no san

Más detalles

OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo contrario de vivir es no arriesgarse. Fito y los Fitipaldis

OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo contrario de vivir es no arriesgarse. Fito y los Fitipaldis MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B --5 Lo contrario d vivir s no arrisgars Análisis Fito y los Fitipaldis OPCIÓN A.- a) S dsa construir un parallpípdo rctangular d 9 dm d volumn y tal qu un lado d la bas sa

Más detalles

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS

I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Eamn Parcial. Análisis. Matmáticas II. Curso 010-011 I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN PARCIAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS Curso 010-011 19-XI-010 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES

Más detalles

f (x)dx = f (x) dx. Si la respuesta es afirmativa justifíquese, si es negativa,

f (x)dx = f (x) dx. Si la respuesta es afirmativa justifíquese, si es negativa, CALCULO INTEGRAL.(97).- Sa f() una función tal qu, para cualquira qu sa > s cumpl qu = Pruébs qu, ntoncs, s vrifica qu f( ) = f(), para todo >. f f..(97).- Sa la función f() = -. S pid: a) Hacr un dibujo

Más detalles

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13

2º Bachillerato: ejercicios modelo para el examen de las lecciones 11, 12 y 13 º Bachillrato: jrcicios modlo para l amn d las lccions, y 3 Sa la unción F ( ) t dt a) Calcular F (), studiar l crciminto d F() y hallar sus máimos y mínimos. b) Calcular F () y studiar la concavidad y

Más detalles

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. 1. a) Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. 1. a) Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA CMS05. a) Halla los valors d los coficints b, c y d para qu la gráfica d la función y b c d cort al j OY n l punto (0, ), pas por l punto (, ) y, n s punto,

Más detalles

Hoja 1. Trigonometría.doc Hoja 2. Resolución de triángulos.doc Hoja 3. Geometría analítica.doc Hoja 4. Cónicas.doc Hoja 5. Funciones, límites y

Hoja 1. Trigonometría.doc Hoja 2. Resolución de triángulos.doc Hoja 3. Geometría analítica.doc Hoja 4. Cónicas.doc Hoja 5. Funciones, límites y Hoja Trigonomtríadoc Hoja Rsolución d triángulosdoc Hoja Gomtría analíticadoc Hoja Cónicasdoc Hoja Funcions, límits continuidaddoc Hoja 6 Drivadasdoc Hoja 7 Aplicacions d la drivadadoc Hoja 8 Optimizacióndoc

Más detalles

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos

Matemáticas II TEMA 8 Derivadas. Teorema. Regla de L Hôpital Problemas Propuestos Matmáticas II TEMA 8 Drivadas Torma Rgla d L Hôpital Problmas Propustos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula la drivada d f ( ) n l punto = Utilizando la dfinición, halla la

Más detalles

si x 0 ( 1) es discontinua en x=2. Calcula b. tiene una solución comprendida entre 1 y 2. Por qué?. x 1 x si x (

si x 0 ( 1) es discontinua en x=2. Calcula b. tiene una solución comprendida entre 1 y 2. Por qué?. x 1 x si x ( ANÁLISIS MATEMÁTICO Continuidad y drivabilidad d funcions si = 0 - Estudia la continuidad d la función f ( ) = si o sn si (, π / ) si π / < 0 - Dtrmina los valors d a y d b para qu sa continua la función:

Más detalles

Definición de derivada

Definición de derivada Dfinición d drivada. Halla, utilizando la dfinición, la drivada d la función f ( ) n l punto =. Compruba aplicando las rglas d drivación qu tu rsultado s corrcto. f ( ) f () La drivada pdida val: f ()

Más detalles

Idea La derivada de una función, f(x), en un punto P se interpreta geométricamente con la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Idea La derivada de una función, f(x), en un punto P se interpreta geométricamente con la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. http://matmaticas-tic.wikispacs.com Lambrto Cortázar Vinusa 06 DERIVADAS EJERCICIOS WIKI Ida La drivada d una unción, (), n un punto P s intrprta gométricamnt con la pndint d la rcta tangnt a la curva

Más detalles

98 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH.

98 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH. 98 EJERCICIOS d DERIVABILIDAD º BACH. Drivabilidad y continuidad: 1. Dada si 0 f() si < 0 (Soluc: / f'(0)), s pid: a) Estudiar su drivabilidad n 0 b) Rprsntarla.. Ídm con 4 5 si f() 4 si < n (Soluc: f'()).

Más detalles

2. En el punto x = 0, f ( x) a) Un mínimo local. b) Un máximo local. c) Ninguna de las anteriores. Solución:

2. En el punto x = 0, f ( x) a) Un mínimo local. b) Un máximo local. c) Ninguna de las anteriores. Solución: Análisis Matmático (Matmáticas Emprsarials II) PROBLEMAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. Pguntas d tipo tst. (J). La función f ( ) ln: a) Tin puntos stacionarios (o críticos, s dcir, puntos cuya primra drivada

Más detalles

11 Funciones derivables ACTIVIDADES INICIALES

11 Funciones derivables ACTIVIDADES INICIALES Solucionario Funcions drivabls ACTIVIDADES INICIALES I Cunta la tradición qu sobr la tumba d Arquímds había sculpido un cilindro con una sfra inscrita Arquímds halló la rlación ntr sus volúmns y l volumn

Más detalles

91 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH.

91 EJERCICIOS de DERIVABILIDAD 2º BACH. 9 EJERCICIOS d DERIVABILIDAD º BACH. Drivabilidad y continuidad:. Dada si 0 f() si < 0 (Soluc: / f'(0)), s pid: a) Estudiar su drivabilidad n 0 b) Rprsntarla.. Ídm con 4 5 si f() 4 si < n (Soluc: f'()).

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES ) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 007) Sa f: R R la función dfinida por f() =. Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica

Más detalles

1. (RMJ15) a) (1,5 puntos) Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

1. (RMJ15) a) (1,5 puntos) Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: EXAMEN DE MATEMÁTICAS II (Eamn Final, Rcupración d Análisis Intgrals) BACHILLERATO EXAMEN FINAL (RMJ5) a) (,5 puntos) Discut l siguint sistma d cuacions n función dl parámtro a: + y + az + ay + z a a +

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD Signiicado dl it Ejrcicio nº.- Rprsnta gráicamnt y plica l gniicado d la prón: Ejrcicio nº.- Eplica l gniicado d la guint prón y rprséntalo gráicamnt: 9 Ejrcicio nº.- Escrib

Más detalles

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una unción ral d variabl ral s una aplicación d un subconjunto D d los númros rals n un subconjunto I d los númros

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada POPIEDADES DE LAS FUNCIONES DEIVABLES. Una sri d aspctos d la gráfica d una función vistos antriormnt monotonía, máimos mínimos otros qu vrmos postriormnt, pudn studiars fácilmnt mdiant drivadas. La maor

Más detalles

PROBLEMAS DE LÍMITES DE FUNCIONES (Por métodos algebraicos) Observación: Algunos de estos problemas provienen de las pruebas de Selectividad.

PROBLEMAS DE LÍMITES DE FUNCIONES (Por métodos algebraicos) Observación: Algunos de estos problemas provienen de las pruebas de Selectividad. Funcions Límits y continuidad PROBLEMAS DE LÍMITES DE FUNCIONES Por métodos algbraicos Obsrvación: Algunos d stos problmas provinn d las prubas d Slctividad Si ist l it d una función f cuando a, y si f

Más detalles

. La tasa de variación media es la pendiente del segmento AB, siendo A(a, f(a) ) y B(b, f(b) ) dos puntos de la gráfica de la función:

. La tasa de variación media es la pendiente del segmento AB, siendo A(a, f(a) ) y B(b, f(b) ) dos puntos de la gráfica de la función: º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN.- CONCEPTO DE DERIVADA Tasa d variación mdia S llama tasa d variación mdia d una función f n l intrvalo [a, b] al cocint. La tasa d variación

Más detalles

PROBLEMAS DE REPASO. Solución: Si llamamos x e y a las longitudes de cada uno de los catetos, sabemos que: x 2 y 2 1 y 2 1 x 2 El volumen del cono es:

PROBLEMAS DE REPASO. Solución: Si llamamos x e y a las longitudes de cada uno de los catetos, sabemos que: x 2 y 2 1 y 2 1 x 2 El volumen del cono es: PROBLEMAS DE REPASO 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1 dm. Hacemos girar el triángulo alrededor de uno de sus catetos. Determina la longitud de los catetos de forma que el cono engendrado

Más detalles

Idea Calcular la pendiente de una recta es relativamente sencillo, basta con aumenta la y entre lo que

Idea Calcular la pendiente de una recta es relativamente sencillo, basta con aumenta la y entre lo que http://matmaticas-tic.wikispacs.com m Lambrto Cortázar Vinusa 07 DERIVADAS. CCSS EJERCICIOS WIKI Ida Calcular la pndint d una rcta s rlativamnt sncillo, basta con dividir lo qu aumnta la ntr lo qu aumnta

Más detalles

REGLA DE L HÔPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES

REGLA DE L HÔPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Matmáticas II Rgla d L Hôpital REGLA DE L HÔPITAL PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Obsrvación: La mayoría d los problmas rsultos a continuación s han propusto n los ámns d Slctividad.. Dada la función: 8 f (

Más detalles

TEMA 11. La integral definida Problemas Resueltos

TEMA 11. La integral definida Problemas Resueltos Matmáticas II (Bachillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 9 Intgrals dfinidas TEMA La intgral dfinida Problmas Rsultos Halla l valor d: 7 a) ( + ) d b) 5 + d c) + d d) Para hallar una

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Calcular los dominios d dfinición d las siguints funcions: a) f( ) 6 b) f( ) c) f( ) ln d) f( ) arctg 3 4 ) f( ) f) f( ) 5 g) f( ) sn 9 h) 4 4

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 3 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejrcicio, Opción A Junio, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción A Rsrva, Ejrcicio, Opción B Rsrva, Ejrcicio, Opción

Más detalles

MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO. 1.- ANÁLISIS (1ª PARTE).- Límites, Continuidad, Derivadas y aplicaciones.

MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO. 1.- ANÁLISIS (1ª PARTE).- Límites, Continuidad, Derivadas y aplicaciones. MATEMÁTICAS II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO.- ANÁLISIS ª PARTE.- Límits, Continuidad, Drivadas y aplicacions..- MODELO DE PRUEBA a Concptos d unción continua n un punto y drivada d una

Más detalles

Matemáticas II TEMA 11 La integral definida Problemas Propuestos y Resueltos

Matemáticas II TEMA 11 La integral definida Problemas Propuestos y Resueltos Análisis Intgral dfinida Matmáticas II TEMA La intgral dfinida Problmas Propustos y Rsultos Intgrals dfinidas Halla l valor d: 7 a) ( + ) d b) 5 + d c) + d d) Para hallar una primitiva d cada función hay

Más detalles

REPRESENTACION GRAFICA.

REPRESENTACION GRAFICA. REPRESENTACION GRAFICA. Calcular puntos notabls así como intrvalos d monotonía y curvatura d: ² - = 0 ; ² = ; = son los valors d qu anulan l dnominador D = R- y () = 0 ; - 4 = 0 ; = 0 posibl ma, min Monotonia:

Más detalles

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN. Aplicaciones de la derivada: condiciones de máximo, mínimo, inflexión

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN. Aplicaciones de la derivada: condiciones de máximo, mínimo, inflexión ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN CON AYUDA DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN Obsrvación: La mayoría d los problmas rsultos a continuación s han propusto n los ámns d Slctividad. Aplicacions d la drivada: condicions d

Más detalles

ANÁLISIS (Selectividad 2014) 1

ANÁLISIS (Selectividad 2014) 1 ANÁLISIS (Slctividad 4) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD EN 4 ( Obsrvación: La slcción s ha hcho dando prioridad a las custions más tóricas) Andalucía, junio 4 San

Más detalles

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c)

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c) TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Torma d Roll Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), y si f (, ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu Intrprtación gométrica: ist un punto al mnos d s intrvalo, n l qu

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES.

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bach. TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. Tasa d variación mdia. Cálculo y signiicado EJERCICIO : Considramos la unción:. Halla la tasa

Más detalles

CALCULO INTEGRAL. Ejercicios. 1 a Parte: Diferenciales. Rumbo al examen de recuperación. Faus2016. x 1

CALCULO INTEGRAL. Ejercicios. 1 a Parte: Diferenciales. Rumbo al examen de recuperación. Faus2016. x 1 En los problmas complt la tabla siguint para cada función. d d DIVISION DE INGENIERIA ELECTRONICA.. Rumbo al amn d rcupración a Part: CALCULO INTEGRAL Ejrcicios Difrncials Dfinición. Faus6 Supóngas qu

Más detalles

LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Límite de una función en un punto

LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Límite de una función en un punto LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f ) = l S l: El it cuando tind a c d f) s l c Significa: l s l valor al qu s aproima

Más detalles

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA.

TEMA 4. APLICACIONES DE LA DERIVADA. 7 Unidad 4. Funcions. Aplicacions d la drivada TEMA 4. APICACIONES DE A DERIVADA.. Monotonía. Crciminto y dcrciminto d una función. Etrmos rlativos 3. Optimización 4. Curvatura 5. Punto d Inflión 6. Propidads

Más detalles

1.- Qué funciones son primitivas de la función cosx: Tachar lo que no proceda

1.- Qué funciones son primitivas de la función cosx: Tachar lo que no proceda .- Qué funcions son primitivas d la función cos: Tachar lo qu no procda.- Hallar + sn() si < cos si si > continua d: f() g() f()+g() f() g() -cos si

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Para l studio y rprsntación d una unción s sigun los siguints pasos:. Dominio d dinición y d continuidad.. Corts con

Más detalles

I, al tener una ecuación. diferencial de segundo orden de la forma (1)

I, al tener una ecuación. diferencial de segundo orden de la forma (1) .6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 9.6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn

Más detalles

EJERCICIOS DERIVADAS

EJERCICIOS DERIVADAS Matemáticas CCSS º Bacillerato EJERCICIOS DERIVADAS Ejercicio nº.- Calcula '(), utilizando la deinición de derivada, siendo: () = + 5 ' ( ) () ( ) 8 8 5 8 5( ) 8 ( ) 5 8 ( ) ( ) Ejercicio nº.- Halla la

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x . Drivar las siguints funcions simplificar l rsultado n la mdida d lo posibl. ) 4) 7) ) 4 5 5 5 7 5) 8) ) 5 6) 5 9) 4 5 0) ) 7 ) ) 4) 4 5) 6) 7) 8) 9) ) 5) 0) 4 ln ) ln log 6) ln 8) ln ) 9) ) 5) 4) 7)

Más detalles

ANÁLISIS. Junio 94. cosx si x Dada la función. f(x) a 2x si 0 x 1. b si x 1 x

ANÁLISIS. Junio 94. cosx si x Dada la función. f(x) a 2x si 0 x 1. b si x 1 x ANÁLISIS Junio 9.. Dada la función cos si 0 b si f() a si 0 a) [ punto] Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa continua n b) [ punto] Es drivabl la función obtnida n = 0?. En =?. Razona

Más detalles

ANÁLISIS. a) Derivabilidad de la función en los puntos x = -1, x = 1, x = 2. Calcular la derivada en cada uno de los puntos

ANÁLISIS. a) Derivabilidad de la función en los puntos x = -1, x = 1, x = 2. Calcular la derivada en cada uno de los puntos Matmáticas II Prubas d Accso a la Univrsidad ANÁLISIS Junio 9.. Dada la función cos f () a b si si si a) Calcular los valors d a y b para qu la función f() sa continua n [ punto] b) Es drivabl la función

Más detalles

RESUMEN DE CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES REALES. CONTINUIDAD

RESUMEN DE CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES REALES. CONTINUIDAD RESUMEN DE CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES REALES. CONTINUIDAD. ACOTACIÓN DE FUNCIONES COTA SUPERIOR KR s cota suprior d f( ) D s f( ) K Cualquir nº mayor qu una cota suprior también s una cota suprior.

Más detalles

Ejercicios de integrales 2008: 1.2A Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Dadas las funciones f : [0;+ ) R y g : [0;+ ) R definidas por

Ejercicios de integrales 2008: 1.2A Ejercicio 2.- [2'5 puntos] Dadas las funciones f : [0;+ ) R y g : [0;+ ) R definidas por INTEGRALES MATEMATICAS II 0-0 Ejrcicios d intgrals 00:.A Ejrcicio.- ['5 pntos] Dadas las fncions f : [0;+ ) R g : [0;+ ) R dfinidas por f ( ) g() Calcla l ára dl rcinto limitado por las gráficas d f g..b

Más detalles

Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 1. El conjunto de los números reales Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I Solucions a los jrcicios propustos Unidad. El conjunto d los númros rals Matmáticas aplicadas a las Cincias Socials I NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES. Dtrmina si los siguints númros son o no

Más detalles

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8 Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 7 TEMA 8 Drivadas Tormas Rgla d L Hôpital Problmas Rsultos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula

Más detalles

LÍMITE DE FUNCIONES. lim. lim. lim. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO x + LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN

LÍMITE DE FUNCIONES. lim. lim. lim. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO x + LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN LÍMITE DE FUNCIONES LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO LÍMITE FINITO. DEFINICIÓN Cuando la función pud comportars d divrsas manras: f l Al aumntar los valors d, los valors d f s aproiman a un cirto númro l.

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo 1 Específico 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Modelo 1 Específico 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala d Granada Junio d 03 (Modlo Espcífico ) Grmán-Jsús Rubio Luna Opción A Ejrcicio opción A, modlo Junio 03, spcífico [ 5 puntos] Halla las dimnsions dl rctángulo d ára máima inscrito n un triangulo

Más detalles

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden APITULO 5. EUAIONES DIFERENIALES DE ORDEN N 5.. Introducción Una cuación difrncial d sgundo ordn s una prsión matmática n la qu s rlaciona una función con sus drivadas primra sgunda. Es dcir, una prsión

Más detalles

Modelo 3 Opción A. , + ) Decreciente: (0, )) = ( , f(

Modelo 3 Opción A. , + ) Decreciente: (0, )) = ( , f( Modlo Opción A Ejrcicio º Sa f : (, ) R la función dfinida por f() Ln() (Ln dnota la función logarito npriano). (a) [ 5 puntos] Dtrina los intrvalos d crciinto d dcrciinto los tros rlativos d f (puntos

Más detalles

3. [2014] [JUN-A] Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función f(x) = cos x, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2.

3. [2014] [JUN-A] Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función f(x) = cos x, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2. MasMats.com Colccions d jrcicios Intgrals Slctividad CCNN Extrmadura. [04] [ET-A] Calcul la siguint intgral dfinida d una función racional: + x- x -x+. [04] [ET-B] a) Dibuj l rcinto plano limitado por

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA TRANSFORMACIONES ABACOS Prof : Sergio Weinberger. 2 3x. El número e

FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA TRANSFORMACIONES ABACOS Prof : Sergio Weinberger. 2 3x. El número e NOMBRE P 6º I 8 FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA TRANSFORMACIONES ABACOS Pro : Srgio Winbrgr MATEMÁTICA A Lico: Nº NOCT. Rsolvr : a 44 b d 8. 4. 5 5 c 6. 6 Rsolvr : a 5 5 4 b 5 > 4 El númro n "El númro

Más detalles

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7 VERSIÓN:.0 FECHA: 19-06-01 I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO PÁGINA: 1 d 9 Nombrs y Apllidos dl Estudiant: Docnt: ALEXANDRA URIBE Ára: Matmáticas Grado: UNDÉCIMO Priodo: TERCERO GUIA 7 Duración: 0 horas Asignatura:

Más detalles

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos:

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos: Univrsidad d Vigo Dpartamnto d Matmática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria d Fbrro 6 d Enro d 007 Nombr y Apllidos: DNI: (4.5 p.) ) S considra la función f(x) = x ln(x). (0.5 p.) (a) Calcular

Más detalles

CINEMÁTICA (TRAYECTORIA CONOCIDA)

CINEMÁTICA (TRAYECTORIA CONOCIDA) 1º Bachillrato: Cinmática (trayctoria conocida CINEMÁTICA (TRAYECTORIA CONOCIDA (Todos los datos y cuacions, n unidads dl S.I. 1. Un objto tin un moviminto uniform d rapidz 4 m/s. En l instant t=0 s ncuntra

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES.

LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Sa y una unción ral d variabl ral. D una manra intuitiva y oco rcisa, dirmos qu l it d s L, cuando s aroima a, si ocurr qu cuanto más róimo sté

Más detalles

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL 74 Cuando un problma gométrico stá nunciado n términos d la rcta

Más detalles

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x)

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x) IES Padr Povda (Guadi) UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA.. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funcions f y F dfinidas n un dominio D, dcimos qu:

Más detalles

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x)

1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x) IES Padr Povda (Guadi) UNIDAD INTEGRAL INDEFINIDA.. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funcions f y F dfinidas n un dominio D, dcimos qu: Ejmplos:

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011 IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 0-0 MATEMÁTICAS II Opción A Ejrcicio opción A, modlo Sptimbr 0 k si

Más detalles

Variables aleatorias continuas

Variables aleatorias continuas Probabilidads y Estadística Comutación Facultad d Cincias Eactas y Naturals. Univrsidad d Bunos Airs Ana M. Bianco y Elna J. Martín 4 Variabls alatorias continuas Distribución Uniorm: Rcordmos qu tin distribución

Más detalles

INTEGRACIÓN POR PARTES

INTEGRACIÓN POR PARTES UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTICA INTEGRACION INTEGRACIÓN Algunas intgrals qu s nos prsntan nos rsultan un poco compljas, ya por lo

Más detalles

Ejercicios 17/18 Lección 6. Funciones Calcula el dominio de definición y el recorrido de las funciones siguientes a) p(x) = x(x + 1)(x + 2)

Ejercicios 17/18 Lección 6. Funciones Calcula el dominio de definición y el recorrido de las funciones siguientes a) p(x) = x(x + 1)(x + 2) Ejrcicios 7/8 Lcción 6 Funcions Dtrmina los intrvalos d gno constant d la función f() + 6 + Calcula l dominio d dfinición y l rcorrido d las funcions guints p() ( + )( + ) 7 f ( ) 0 + 0 7 d) ) h( ) 9 9+

Más detalles

Ejercicios 16/17 Lección 6. Funciones Calcula el dominio de definición y el recorrido de las funciones siguientes a) p(x) = x(x + 1)(x + 2)

Ejercicios 16/17 Lección 6. Funciones Calcula el dominio de definición y el recorrido de las funciones siguientes a) p(x) = x(x + 1)(x + 2) Ejrcicios 6/7 Lcción 6. Funcions.. Dtrmina los intrvalos d gno constant d la función f() + 6 +. Calcula l dominio d dfinición y l rcorrido d las funcions guints p() ( + )( + ) 7 f ( ) 0 + 0 7 d) ) h( )

Más detalles

Algoritmo para Aproximar el Área Bajo la Curva de la Función Normal Estándar

Algoritmo para Aproximar el Área Bajo la Curva de la Función Normal Estándar Algoritmo para Aproimar l Ára Bajo la Curva d la Función Normal Estándar Algoritmo para Aproimar l Ára Bajo la Curva d la Función Normal Estándar M. n C. Víctor Manul Silva García, M. n C. Eduardo Vga

Más detalles

al siguiente límite si existe: . Se suele representar por ( x )

al siguiente límite si existe: . Se suele representar por ( x ) UNIDAD : DERIVADAS. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. DERIVADAS LATERALES Dfiici.- S llama drivada d ua fuci f u puto d abscisa al siguit it si ist: f f ' sigifica lo mismo. f. S sul rprstar por f D

Más detalles

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx.

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx. Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas Calcula las siguints intgrals Solucions A d A d + + + ln( + + ) A d arctan + A sn sn d A d ln ( ) 6A d cos tan + arctan + ln(

Más detalles

Contenido: Integral definida: (3º) Aplicación: Longitud del arco de una curva. Matemática II Sección F Semestre 2 Lcdo Eliezer Montoya

Contenido: Integral definida: (3º) Aplicación: Longitud del arco de una curva. Matemática II Sección F Semestre 2 Lcdo Eliezer Montoya REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO BARINAS Contnido: Intgral dfinida: (º) Aplicación:

Más detalles

UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA GRÁFICA EN EL AULA COMO APOYO PARA LA COMPRENSIÓN DE LA PRIMITIVA, LAS INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS DE UNA FUNCIÓN

UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA GRÁFICA EN EL AULA COMO APOYO PARA LA COMPRENSIÓN DE LA PRIMITIVA, LAS INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS DE UNA FUNCIÓN UTILIZACIÓN DE LA CALCULADORA GRÁFICA EN EL AULA COMO APOYO PARA LA COMPRENSIÓN DE LA PRIMITIVA, LAS INTEGRALES DEFINIDAS E INDEFINIDAS DE UNA FUNCIÓN. Abl Martín. Dpto. Matmáticas IES La Ería d Ovido.

Más detalles

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. FUNCIÓN EXPONENCIAL n Hmos stado manjando n st trabajo prsions dl tipo n dond s una variabl llamada bas n una constant llamada ponnt, si intrcambiamos d lugar

Más detalles

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA PROBLEMARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ELABORO: PROF. MARIO CERVANTES CONTRERAS DICIEMBRE DE 7 EJERCICIOS DE

Más detalles

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Funciones reales extendidas al Plano Complejo, problemas resueltos

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Funciones reales extendidas al Plano Complejo, problemas resueltos . Considr los siguints númros compljos: ) z = 3 i 2) z 2 = 2 3 i 3) z 3 = + 3 i ) z = i π Matmáticas Avanzadas para Ingniría Funcions rals xtndidas al Plano Compljo, problmas rsultos Dtrmin la part ral

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE LA RIOJA JUNIO 2011 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE LA RIOJA JUNIO 2011 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos IES CASTEAR BADAJOZ PRUEBA DE ACCESO (OGSE) UNIVERSIDAD DE A RIOJA JUNIO (GENERA) (RESUETOS po Antonio Mnguiano) MATEMÁTICAS II Timpo máimo: hoas y minutos El alumno contstaá a los jcicios d una d las

Más detalles

Tema 2 La oferta, la demanda y el mercado

Tema 2 La oferta, la demanda y el mercado Ejrcicios rsultos d ntroducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 2 La ofrta, la

Más detalles

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 11 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tma Límits, continuidad y asíntotas Matmáticas I º Bachillrato TEMA LÍMITES, CONTINUIDAD ASÍNTOTAS CÁLCULO GRÁFICO DE LÍMITES EJERCICIO : Sobr la gráfica d f), halla : 8 8 8 f f c) f f ) f f f c) f f )

Más detalles

1 sen. f Solución: 3 ; 1. sen. 2 sen. f Solución: ; Solución: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

1 sen. f Solución: 3 ; 1. sen. 2 sen. f Solución: ; Solución: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Frnndo Frnádz-Rmos Mrín º.- Clcul l continuidd d ls guints uncions. ) 8 7 ) 8 6 c) d) sn ) º.- Dtrminr l vlor d los prámtros d ls uncions pr qu sn continus n todo ) sn Solución: ) Solución: c) cos sn sn

Más detalles

Tema 10 Aplicaciones de la derivada

Tema 10 Aplicaciones de la derivada Tema 10 Aplicaciones de la derivada 1. Recta tangente. Dada la parábola y se traza la cuerda que une los puntos de la parábola de abscisas = 1 y = 3. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola

Más detalles

Autoevaluación. Bloque IV. Análisis. BACHILLERATO Matemáticas I. Página Observa la gráfica de la función y = f (x) y a partir de ella responde:

Autoevaluación. Bloque IV. Análisis. BACHILLERATO Matemáticas I. Página Observa la gráfica de la función y = f (x) y a partir de ella responde: Autoevaluación Página Observa la gráfica de la función y = f () y a partir de ella responde: a) Cuál es su dominio de definición? su recorrido? b) Representa gráficamente: y = f ( + ); y = f () + ; y =

Más detalles

ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2015

ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2015 ANÁLISIS (Slctividad 5) ALGUNOS PROBLEMAS DE ANÁLISIS PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 5 Andalucía, junio 5 Sa f la función dfinida por f( ) para a) [ punto] Estudia y calcula las asíntotas

Más detalles

TEMA 3: CÁLCULO INTEGRAL DE UNA VARIABLE.

TEMA 3: CÁLCULO INTEGRAL DE UNA VARIABLE. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA TITULACIONES Ingniría Indusrial (GITI/GITI+ADE) Ingniría d Tlcomunicación (GITT/GITT+ADE) CÁLCULO Curso -6 TEMA : CÁLCULO INTEGRAL

Más detalles

Tabla de contenido. Página

Tabla de contenido. Página Tabla d contnido Página Ecuacions d ordn suprior Ecuacions homogénas d sgundo ordn con coficints constants Caso. Raícs rals distintas 6 Caso. Raícs compljas conjugadas 6 Caso. Raícs rals iguals 7 Rsumn

Más detalles

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS 14-1 Los tipos d intrés nominals y rals Slid 14.2 Los tipos d intrés xprsados n unidads d la monda nacional s dnominan tipos d intrés nominals. Los

Más detalles

9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN

9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN 9- DERIVADAS - DERIVADA EN UN PUNTO Calcula la derivada de y = + en o = utilizando la definición Solución: y'() = 8 Calcula la derivada de - en o = utilizando la definición Solución: y '() = -6 Calcula

Más detalles

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA AIAIÓN DE IMPEDANIAS ON A FEUENIA EN IUITOS DE OIENTE ATENA Fundamnto as impdancias d condnsadors bobinas varían con la frcuncia n los circuitos d corrint altrna. onsidrarmos por sparado circuitos simpls.

Más detalles

12 Representación de funciones

12 Representación de funciones Rprsntación d funcions ACTIVIDADES INICIALES.I. Factorizando prviamnt las prsions, rsulv las siguints cuacions: a) 6 7 5 0 6 c) 0 7 b) 6 d) 0 a) 6 7 5 0 ( )(6 5) 0 5 6 5 0, b) 7 6 ( )( ) 6 6 ( ) 7 ( )

Más detalles

Límites finitos cuando x: ˆ

Límites finitos cuando x: ˆ . Límits latrals its al infinito 7 FIGURA.3 3 3 La gráfica d = >. (b) La cuación () no s aplica a la fracción original. Ncsitamos un n l dnominador, no un 5. Para obtnrlo multiplicamos por >5 l numrador

Más detalles

Integrales indefinidas. 2Bach.

Integrales indefinidas. 2Bach. Intgrals indfinidas. Bach..- FUNCIÓN PRIMITIVA. INTEGRAL INDEFINIDA. La intgración s la opración invrsa d la drivación. Dada una función f(), dirmos qu F() s una primitiva suya si F ()f(). Nota: La primitiva

Más detalles

Apuntes de A. Cabañó. Matemáticas II REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.

Apuntes de A. Cabañó. Matemáticas II REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES. TEORÍA - ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. Para dibujar la curva (C) de la unción :->y() se estudiará sucesivamente los siguientes puntos: * Dominio

Más detalles

Tabla de contenido. Página

Tabla de contenido. Página Tabla d contnido Página Ecuacions actas linals Ecuacions difrncials actas Torma 4 Solución d una cuación difrncial acta Ecuacions linals 1 Solución d una cuación linal 1 Rsumn 19 Bibliografía rcomndada

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA º Bachillerato Trino Grau Fernández APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la rectatangente a la curva en 0. Ordenada del punto: (0) Pendiente de la recta: e

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f () = l S l: El it cuando tind a c d f() s l c Significa:

Más detalles

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2 Matmáticas Computación COMPUTACIÓN Práctica nº NÚMEROS REALES Eistn algunos númros irracionals prdfinidos n Maima como son l númro π l númro qu s corrspondn con los símbolos %pi % rspctivamnt. Otros númros

Más detalles