LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS 11.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Límite de una función en un punto

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1 LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f ) = l S l: El it cuando tind a c d f) s l c Significa: l s l valor al qu s aproima f) cuando s aproima a c Notas: - Qu s aproima a c gnifica qu toma valors muy crca d c S pud acrcar por la izquirda o por la drch. - l pud sr + ó - y ntoncs = c s una asíntota vrtical. Límits latrals d una función n un punto Límit por la drcha: f ) = l S l: El it cuando tind a c por la drcha d f) s l c + Significa: l s l valor al qu s aproima f) cuando s aproima a c por la drcha. Límit por la izquirda: f ) = l S l: El it cuando tind a c por la izquirda d f) s l c Significa: l s l valor al qu s aproima f) cuando s aproima a c por la izquirda. Eistn dl it Para qu ista l it d una función n un punto s ncsario qu istan los dos its latrals y san iguals.

2 .. LÍMITES EN EL INFINITO f ) + f ) + = + = S l: El it cuando tind a más infinito d f) s más infinito Significa: la función toma valors grands potivos cuando la toma valors grands potivos. º cuadrant) S l: El it cuando tind a más infinito d f) s mnos infinito. Significa: la función toma valors grands ngativos cuando la toma valors grands potivos. º cuadrant) f ) = l S l: El it cuando tind a más infinito d f) s l + Significa: l s l valor al qu s aproima f) cuando toma valors muy grands potivos: y = l s una asíntota vrtical. f ) f ) = + = S l: El it cuando tind a mnos infinito d f) s más infinito Significa: la función toma valors grands potivos cuando la toma valors grands ngativos. º cuadrant) S l: El it cuando tind a mnos infinito d f) s mnos infinito. Significa: la función toma valors grands ngativos cuando la toma valors grands ngativos. º cuadrant) f ) = l S l: El it cuando tind a mnos infinito d f) s l Significa: l s l valor al qu s aproima f) cuando toma valors muy grands ngativos: y = l s una asíntota vrtical.

3 .. CÁLCULO DE LÍMITES S sustituy la por l valor al qu tind b) d) sn + ) ) log π g) j) + + m) Indtrminacions:, h) + 7 c) 7 f) i) k) + l) + n) ñ) + k Hallar its latrals b) d) ) Factorizar y mplificar + + b) ) c) c) f) ) ± a b Si grado dl numrador > grado dl dnominado r El gno dpnd coficint s + + c) Si grado dl numrador d la d mayor grado dl numrador y dl dnominado r) = grado dl dnominado r a y b son los coficint s d la d mayor grado dl numrador y dl dnominado r) Si grado dl numrador < grado dl dnominado r b) + + d) - S hacn opracions. Cuando aparcn radicals, multiplicamos y dividimos por la prón conjugada. b) + d los

4 f ) : Tipo númro : Aplicar : = a + f) f ) a g) = ó g).[f ) ] a - En funcions dfinidas a trozos, n los puntos dond sté dfinida d distinta forma m aproimo por valors más pquños, qu por valors más grands, habrá qu hacr its latrals. Dada la función f) = <. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS - Asíntotas vrticals: = c y Cálculo: Puntos qu anulan l dnominador Puntos qu anulan lo qu stá dntro dl logaritmo Por abajo Aproimación: Calcular los its latrals + Por arriba Calcular su it n los puntos,, 7 - Asíntotas horizontals: y = b Grado numrador Grado dnominador) Cálculo: f ) = b Aproimación: f± ) Asíntota < > Por dbajo Por ncima - Asíntotas oblicuas: y = m + n Grado Numrador Grado dnominador = ) Cálculo: m = f ) Aproimación: f± ) Asíntota± ) ; n = f ) m) < > Por dbajo Por ncima RAMAS INFINITAS Grado Numrador Grado dnominador ) Cálculo: f ) = ± ± y = d) y = b) y = ) y = + + c) y = f) y = + +

5 . - CONTINUIDAD La ida d función continua s la d qu pud sr construida con un solo trazo. Una función f) s continua n l punto = a f) f a = Todas las funcions dfinidas por prons analíticas lmntals s dcir, todas las qu conocmos hasta ahora, cptuando las funcions a trozos), son continuas n todos los puntos d su dominio. Las funcions a trozos habrá qu studiarlas n los trmos d sus trozos qu prtnzcan al dominio. Tipos d discontinuidads - Discontinua invitabl d salto infinito: Si alguno d los its latrals s infinito o no ist. - Discontinua invitabl d salto finito: Si los dos its latrals son finitos pro distintos. El salto s la difrncia, n valor absoluto, d los its latrals. - Discontinua vitabl: Si los dos its latrals son finitos iguals, pro su valor no coincid con f o no ist f y = + b) y = c) y = d) log < ) y = + f) y = g) y = + = + h) Calcular l valor d n para qu la función f) = sa + n > continua n todo R. + k i) Calcular k para qu y = sa continua n R 7 =

6 CÁLCULO GRÁFICO DE LÍMITES EJERCICIO : Sobr la gráfica d f), halla : Y X f b) f c) f d) f ) f f b) f c) f d) f ) f EJERCICIO : A partir d la gráfica d f), calcula: 8 Y 8 8 X f b) f c) d) f f ) f f b) f c) f d) f ) f EJERCICIO : Rprsnta gráficamnt los guints rsultados: b) f b) g EJERCICIO : Rprsnta los guints its: f f EJERCICIO : Rprsnta n cada caso los guints rsultados: f b) g b) o bin

7 EJERCICIO : Rprsnta gráficamnt: f b) g b) Por jmplo: o bin Rprsnta gráficamnt stos dos its. EJERCICIO 7 : Para la función f, sabmos qu : y CÁLCULO DE LÍMITES INMEDIATOS EJERCICIO 8 : Calcula los guints its: b) 9 c) cos d) ) b) c) cos cos d) ) 7 9 EJERCICIO 9 : Calcula l it d la función f n y n. 7 EJERCICIO : Calcula los guints its y rprsnta los rsultados qu obtngas: b) c) b) c) Hallmos los its latrals: ;

8 EJERCICIO : Rsulv los guints its y rprsnta gráficamnt los rsultados obtnidos: b) c) b) 8 c) 8 Hallamos los its latrals: ; EJERCICIO : Halla los its guints y rprsnta gráficamnt la información qu obtngas: b) c) 9 b) c) Hallamos los its latrals: ; EJERCICIO : Halla los guints its y rprsnta los rsultados qu obtngas: b) c) 7 9 b) c) Hallamos los its latrals: ; EJERCICIO : Calcula los its guints y rprsnta gráficamnt los rsultados qu obtngas: b) c)

9 b) c) Hallamos los its latrals: ; CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO : Calcula los guints its y rprsnta los rsultados qu obtngas: b) c) d) ) f) g) h) i) j) k) b) c) d) Hallamos los its latrals: ) f) g) h)

10 i) j) k) EJERCICIO : Halla l it cuando d las guints funcions y rprsnta gráficamnt la información qu obtngas: f b) f b) EJERCICIO 7 : Calcula l it cuando y rprsnta la información qu obtngas: f y cuando dla guint función EJERCICIO 8 : Halla los guints its y rprsnta gráficamnt los rsultados obtnidos: b) b) EJERCICIO 9 : Calcula los guints its y rprsnta l rsultado qu obtngas: b) b)

11 CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO : Calcula: b) log ) f) log i) log j) c) 9 d) g) ln h) Porqu una ponncial d bas mayor qu s un infinito d ordn suprior a una potncia. b) log log Porqu una potncia s un infinito d ordn suprior a un logaritmo. 9 9 c) d) ) log Porqu las potncias son infinitos d ordn suprior a los logaritmos. f) g) Porqu una ponncial d bas mayor qu s un infinito d ordn suprior a una potncia. ln ln h) Porqu las potncias son infinitos d ordn suprior a los logaritmos. i) log Porqu las potncias son infinitos d ordn suprior a los logaritmos. j) EJERCICIO : Halla los its: b) c) ) f) g) i) j) d) h)

12 7 9 b) c) ) ) ) ) ) d) ) f) g) h) ) ) ) ) i) j) EJERCICIO : Calcula: 7 8 b) c) d) 9 ) 7 8 b) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

13 8 ) ) ) c) ) Hallamos los its latrals: ; No ist d) 9 ) 8 Hallamos los its latrals: ; No ist ) ) 9 Hallamos los its latrals: ; No ist EJERCICIO : Calcula los its: b) c) d) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) b) ) ) ) ) ) ) ) ) ) c) 8 d) )

14 9 EJERCICIO : Calcula stos its: b) c) d) ) f) g) 9 7 h) i) j) b) 8 c) d) ) f) g) h) i) j) EJERCICIO : Halla los its: 9 b) c) d) ) f) g) h) i) j)

15 ) ) ) ) ) 9 b) Hallamos los its latrals: ) ) ; ) ) Como son distintos No ist l it ) ) c) Hallamos los its latrals: ; Como son distintos No ist l it d) ) f) ) Hallamos los its latrals: ; No ist l it ) ) ) ) g). h) i) ) ) j)

16 CONTINUIDAD EJERCICIO : La guint gráfica corrspond a la función f : Y X Di s continua o no n y n. Si n alguno d los puntos no s continua, indica cuál s la causa d la discontinuidad. En no s continua porqu prsnta un salto n s punto. Obsrvamos qu f f En sí s continua. EJERCICIO 7 : A partir d la gráfica d f ) sñala s continua o no n y n. En l caso d no sr continua, indica la causa d la discontinuidad.. Y X En =, sí s continua. En = s discontinua porqu no stá dfinida, ni tin it finito. Tin una rama infinita n s punto una asíntota vrtical). EJERCICIO 8 : Dada la gráfica d f : Y X Es continua n? b) Y n? Si no s continua n alguno d los puntos, indica cuál s la razón d la discontinuidad. Sí s continua n. b) No, n s discontinua porqu no stá dfinida n s punto. Como sí tin it n s punto, s una discontinuidad vitabl. EJERCICIO 9 : Avrigua la guint función s continua n : f f f Es continua n porqu f f. f

17 EJERCICIO : Compruba la guint función s continua n. f f Es continua n f porqu f f. EJERCICIO : Halla l valor d k para qu f sa continua n : f f f. En : f k k = f ). f continua n = k = f k EJERCICIO : Estudia la continuidad d las guints funcions y rprséntalas gráficamnt: f b) f c) f d) f ) f f) f g) f h) f i) f j) f Continuidad: f continua n R {} f f. En : f f discontinua invitabl d salto finito) n = f ) Rprsntación: f Si, s un trozod parábola. V = ) Si, s un trozo d rcta. X Y Y X

18 b) Continuidad f continua n R {} f f. En : f f continua n = f ). f continua n todo R. Rprsntación Si, s un trozod parábola. V = ) Si, s un trozo d rcta. Y 8 X Y X c) Continuidad f continua n R {-} f f. En -: f f continua n = - f ) f continua n todo R. Rprsntación: Si, s un trozod rcta. Si, s un trozo d parábola. V = ) Y X Y X d) Continuidad f continua n R {} f f. En : f f continua n = f ) f continua n todo R Rprsntación: Si, s un trozod rcta horizontal. Si, s un trozo d parábola. V = ) Y X Y - - X

19 ) Continuidad: f continua n R {} f f. En : f f discontinua invitabl d salto finito) n = f ) Rprsntación: Y Si, s un trozod parábola. V = ) 8 Si, s un trozo d rcta. f) Continuidad: f continua n R {} f f. En : f f continua n = f ) f continua n todo R. Rprsntación: Si, s un trozo d parábola. V = ) Si >, s un trozo d rcta horizontal. X Y X g) Continuidad f continua n R {} f f. En : f f continua n = f ) f continua n todo R. Rprsntación: Si, s un trozo d parábola. V = ) Si >, s un trozo d rcta. X Y + / + h) Continuidad f continua n R {} f f. En : f f discontinua invitabl d salto finito) n = f )

20 Rprsntación: Si, s un trozo d parábola.v = ) Si >, s un trozo d rcta horizontal. X Y - - i) Continuidad f continua n R {-} f f. En -: f f discontinua invitabl d salto finito) n f ). ) =- Rprsntación Si s un trozo d rcta. Si > s un trozo d parábola. V = ) X Y j) Continuidad f continua n R {} f f. En : f f continua n = f ) f continua n todo R Rprsntación: Si, s un trozo d parábola.v = ) Si >, s un trozo d rcta. X Y ASÍNTOTAS EJERCICIO : Calcula l it d la guint función n l punto y studia su comportaminto por la izquirda y por la drcha: f Calculamos los its latrals:

21 EJERCICIO : Calcula l guint it y studia l comportaminto d la función a la izquirda y a la drcha d : 9 9 Calculamos los its latrals: 9 9 EJERCICIO : Calcula l guint it y studia l comportaminto d la función por la izquirda y por la drcha d : Calculamos los its latrals: EJERCICIO : Calcula l guint it y studia l comportaminto d la función por la izquirda y por la drcha d : EJERCICIO 7 : Dada la función f la información qu obtngas., calcula l it d f ) n. Rprsnta Calculamos los its latrals: EJERCICIO 8 : Halla las asíntotas vrticals d las guints funcions y túa las curvas rspcto a llas: f b) f ;. Las asíntotas vrticals son y. Poción d la curva rspcto a llas:

22 7 b) Solo tin una asíntota vrtical: Poción d la curva rspcto a la asíntota: EJERCICIO 9 : Halla las ramas infinitas d las guints funcions y rprsnta los rsultados obtnidos: f b) f c) f d) f b) c) d) EJERCICIO : Halla las ramas infinitas, cuando, d las guints funcions la información qu obtngas: f b) f y rprsnta b) EJERCICIO : Halla las ramas infinitas, cuando, d las guints funcions y rprsnta los rsultados qu obtngas: f b) f b)

23 8 EJERCICIO : Calcular las asíntotas horizontals d stas funcions y rprsnta los rsultados qu obtngas: f b) f f ) A.V.y f ) b) f ) A.V.y f ) EJERCICIO : Las guints funcions tinn una asíntota oblicua. Hállala y túa las curvas rspcto a llas: f b) f y = m + n f ) m y n f ) m. Asíntota oblicua : f ) A n t) y f ) A n t ) y= + b) f ) m n f ) m. y Asíntota oblicua: y f ) A n t) f ) A n t ) y=

24 EJERCICIO : Halla las asíntotas d las guints funcions y túa las curvas rspcto a llas: f b) f Asíntotas vrticals: Puntos qu anulan l dnominador: = = ; ; = = Asíntota horizontal: Rprsntación: f ) y = f ) 9 b) Asíntota vrtical: Puntos qu anulan l dnominador = f ) Asíntota horizontal: y = f ) Rprsntación:

25 LÍMITES Cálculo y rprsntación ) ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y rprsntación. y = - +. y = + +. y = + +. y = + +. y =

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