Tema 8 Límites Matemáticas II 2º Bachillerato 1. EJERCICIO 1 : Da una definición para estas expresiones y represéntalas gráficamente: c) 2.

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1 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto TEMA LIMITES CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO : D un dinición pr sts prons y rprséntls gráicmnt: ) ) 9 6 c) ) ) Cundo s proim, l unción s hc muy grnd ) Cundo s proim, l unción s proim 6 c) Cundo tom vlors muy grnds ngtivos l unción s proim. Cundo s proim, con vlors mnors qu, l unción tom vlors muy grnds ngtivos. ) Cundo tom vlors muy grnds potivos, l unción s proim.

2 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto EJERCICIO : Clcul: ) ) log ) ) log i) log j) ) c) 9 g) ln h) Porqu un ponncil d s myor qu s un ininito d ordn suprior un potnci. ) log log Porqu un potnci s un ininito d ordn suprior un logritmo. 9 c) 9 ) log Porqu ls potncis son ininitos d ordn suprior los logrtimos. ) g) Porqu un ponncil d s myor qu s un ininito d ordn suprior un potnci. ln ln h) Porqu ls potncis son ininitos d ordn suprior los logritmos. i) log Porqu ls potncis son ininitos d ordn suprior los logritmos. j)

3 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto EJERCICIO : Hll los its: ) ) 6 c) ) ) g) h) i) j) ) 9 ) 6 6 c) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) g) h) ) ( ) ( ) ( ) ( i) j)

4 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto EJERCICIO : Clcul: ) ) ) 9 ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) () Hllmos los its ltrls: ; No ist () 9 Hllmos los its ltrls: ; No ist ) 9 () Hllmos los its ltrls: ; No ist EJERCICIO : Clcul los its: ) ) 6 ) c) 6 ( ) () 6 6 ( 6) ( ) 6 () () () ( 6) () 6 6 ( 6) ( ) ( ) () () () ( ) () ( ) ) )

5 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto c) 6 ) EJERCICIO 6 : Clcul stos its: ) ) c) ) ) g) 9 h) i) j) ) ) c) ) ) 6 g) h)

6 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto 6 i) j) EJERCICIO : Hll los its: ) g) j) m) ) 9 6 ) h) k) n) c) sn ) i) l) sn sn sn cos ñ) cos sn ) ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) () Hllmos los its ltrls: ; Como son distintos No ist l it ( ) ( ) ( ) ( ) c) (Fctorizr y mpliicr (no podmos), plicr quivlncis (no podmos porqu no s pudn plicr n sums) Lo vrmos n l tm (Rgl d L Hôpitl) ( ) () Hllmos los its ltrls: ; Como son distintos No ist l it ) ) sn Aplicndo _ quivlncis ( ) 66 ( )

7 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto g) h) Hllmos los its ltrls: ; 6 () No ist l it i) No podmos ctorizr ni plicr quivlncis.( Lo vrmos n l tm ) j) k) l) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( cos ).. m) n) ( )( ) ñ) (No podmos ctorizr, ni plicr quivlncis No vrmos n l tm ) CONTINUIDAD discontinuidd qu hy n los puntos n los qu no s continu. EJERCICIO : Dd l unción, studi su continuid d. Indic l tipo d Dominio R {, } () s continu n R {, }. Vmos qu tipo d discontinuidd qu prsnt n y n : 6 6. Hllmos los its ltrls: () Discontinuidd vitl n. ; Discontinuidd d slto ininito n.

8 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto EJERCICIO 9 : Estudi l continuidd d l unción: ln Dominio R Si y () s continu, pus stá ormd por uncions continus. En : En : ln Por tnto, () s continu n R. s continu n. s continu n. EJERCICIO : Estudi l continuidd d l guint unción. En los puntos n los qu no s continu, indic l tipo d discontinuidd qu prsnt: Dominio R {, } () s continu n R {, }. Vmos l tipo d discontinuidd qu prsnt n y n : (). Hllmos los its ltrls: ; Discontinuidd d slto ininito n. Discontinuidd vitl n. EJERCICIO : Estudi l continuidd d l guint unción: Dominio R Si y () s continu, pus stá ormd por uncions qu son continus n los intrvlos corrspondints.

9 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto 9 En : En : s discontinu n slto inito. s continu n.. Hy un discontinuidd d EJERCICIO : Estudi l continuidd d l guint unción. Si n lgún punto no s continu, indic l tipo d discontinuidd qu hy: Dominio R {, }. () s continu n R {, }. Vmos l tipo d discontinuidd qu prsnt n y n : Discontinuidd vitl n.. Hllmos los its ltrls: ; () Discontinuidd d slto ininito n. EJERCICIO : Clcul los vlors d y pr qu l guint unción s contínu: - Si y () s continu, pus stá ormd por polinomios, qu son uncions continus. - En : Pr qu s continu n, h d sr. - En : Pr qu s continu n, h d sr.

10 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto Unindo ls dos condicions ntriors, () srá continu : EJERCICIO : Estudi l continuidd d l unción: ln - Si y () s continu, pus stá ormd por uncions continus. - En : n s continu - En : ln Hy un discontinuidd d slto inito n. EJERCICIO : Hll los vlors d y pr qu l guint unción s continu: log - Si y () s continu, pus stá ormd por uncions continus. - En : Pr qu s continu n, h d sr. - En : log 6 Pr qu s continu n, h d sr 6, s dcir. Unindo ls dos condicions ntriors, tnmos qu, pr qu () s continu, h d sr:

11 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto EJERCICIO 6 : Estudi l continuidd d l guint unción. Si n lgún punto no s continu, indic l tipo d discontinuidd qu prsnt: ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 Dominio R {, } () s continu n R {, }. Vmos l tipo d discontinuidd qu hy n y n : - En : ; Hy un discontinuidd ininit n. - En : Hy un discontinuidd vitl n. EJERCICIO : Estudi l continuidd d l guint unción: - Si y () s continu, pus stá ormd por uncions continus n los intrvlos n los qu stán dinids. Hy un discontinu idd - En : d slto inito n. s continu - En : n. EJERCICIO : Hll los vlors d y pr qu l guint unción s continu: Dominio R

12 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto Si y () s continu, pus stá ormd por uncions continus. En : Pr qu () s continu n, h d sr: En : Pr qu () s continu n, h d sr: Unindo ls dos condicions ntriors, tnmos qu: ; EJERCICIO 9 : Clcul l vlor d pr qu l guint unción s continu: ln Dominio R Si () s continu, pus stá ormd por uncions continus. En : ln Pr qu () s continu n, h d sr: EJERCICIO : Hll l vlor d k pr qu l guint unción s continu n : k Pr qu () s continu n, h d tnrs qu: () k h d sr: tnto, Por k

13 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto EJERCICIO : Clcul los vlors d y pr qu l guint unción s continu: Si y () s continu, pus stá ormd por uncions continus. En : En : Pr qu () s continu, h d sr: Pr qu () s continu n, h d sr: Por tnto, () srá continu y 6. EJERCICIO : Hll l vlor d pr qu l guint unción s continu: Si l unción s continu, pus stá ormd por uncions continus. En : TEOREMAS 6 Pr qu () s continu n, h d sr: 6 EJERCICIO : Dd l unción (), ncuntr un intrvlo d mplitud mnor qu n l qu () cort l j OX. () s continu n R, pus s un unción polinómic. Tntndo, ncontrmos qu (), (). Es dcir: s continu n, gno d gno d

14 Tm Límits Mtmátics II º Bchillrto Por l torm d Bolzno, podmos sgurr qu ist, l mnos, un c (, ) tl qu (c). () cortrá l j OX n c. EJERCICIO : Hll un intrvlo d mplitud mnor qu n l qu l guint cución tng, l mnos, un ríz rl: Condrmos l unción (), continu por sr polinómic. Tntndo, ncontrmos qu () ; (). Es dcir: s continu n, gno d gno d Por l torm d Bolzno, smos qu ist, l mnos, un c (, ) tl qu (c). L ríz d l cución s c. EJERCICIO : Pru qu l unción () cos cort l j OX n l intrvlo [, ]. () s un unción continu n R, pus s sum d uncions continus. En prticulr, srá continu n [, ]. Por otr prt: gno d gno d Por l torm d Bolzno, podmos sgurr qu ist, l mnos, un c (, ) tl qu (c). () cortrá l j OX n c. EJERCICIO 6 : Dmustr qu l cución: tin, l mnos, un solución rl. Dtrmin un intrvlo d mplitud mnor qu n l qu s ncuntr l ríz. Condrmos l unción (), qu s continu por sr polinómic. Tntndo, ncontrmos qu () ; (). Es dcir: s continu n, gno d gno d Por l torm d Bolzno, smos qu ist, l mnos, un c (, ) tl qu (c). L ríz d l cución s c. EJERCICIO : Dmustr qu l cución tin, l mnos, un solución rl n l intrvlo [, ]. Condrmos l unción (), continu n R, pus s sum d uncions continus. En prticulr, srá continu n [, ]. Por otr prt, tnmos qu: gno d gno d Por l torm d Bolzno, podmos sgurr qu ist, l mnos, un c(, ) tl qu (c). L ríz d l cución s c.

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