SOLUCIONES DE LIMITES
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- Alberto Sáez Cuenca
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1 SOLUCIONES DE LIMITES.. Ln Sustituyndo por obtnmos: INDETERMINADO Ln Como s trt d un indtrminción d tipo L Hopitl, plicmos dich rgl: Ln Ln Rsolvmos prt l it Ln INDETERMINACIÓN d tipo L Hopitl otr vz: 6Ln Ln 6Ln (L Hopitl) Así, l it originl rsult: Ln Ln tg sn sn Sustituyndo por su vlor obtnmos: tg sn FÓRMULA: Así, sn f 6 INDETERMINACIÓN QUE SE RESUELVE APLICANDO LA g ( ) g ( ) f f sn tg sn g tg sn Hcmos prt l it dl ponnt: tg tg sn (oprndo) sn sn sn sn sn tg sn cos sn sn sn sn cos sn Por tnto, l it originl, tg sn sn tg sn sn sn sn
2 . Sustituyndo s trt d un it d l form: Por un ldo, l bs tind, y qu INDETERMINACIÓN Pro Al trtrs d dos polinomios dl mismo grdo, l it s l cocint d sus coficints principls, s dcir, l cocint d los coficints socidos l los términos d myor grdo, qu n st cso srín: Por otro ldo, como l ponnt tind infinito tnmos: INDETERMINACIÓN qu rsolvrmos como nts: Rsolvmos l it dl ponnt prt: y qu s trt d un it d l form: cocint d polinomios, pr l qu plicmos l rgl d l máim potnci dl dnomindor, qu n st cso coincid con l potnci dl numrdor, lugo l vlor dl it s l cocint d los coficints principls. Así, l it ddo s:. [ ( )] Sustituyndo obtnmos: [ ( )] ( ) qu s indtrmindo. Rsolvmos l indtrminción multiplicmos numrdor y dnomindor por l conjugdo d l rst d rícs: [ ] ( )( ) ( ) 5. sn Sustituyndo, s tin: Indtrmindo. Pr rsolvr dich indtrminción podmos procdr d dos sn mnrs:. Oprndo l rst d frccions: sin Indtrminción dl tipo L Hopitl, qu rsolvmos: sn sin
3 sin cos sin L Hopitl Lugo sin sin cos cos cos sin sn. Utilizndo infinitésimos quivlnts: L función sno d s pud sustituir por n un ntorno dl punto, s dcir, sn, Así, sn 6. cotg Sustituyndo s obtin: cotg Indtrmindo. Pr rsolvr l indtrminción, scribimos l cotngnt como un cocint y oprmos l rst d frccions: cos cos sn cotg Indtrminción d tipo L Hopitl: sn sn cos sn cos sn cos sn (oprndo) (L Hopitl) sn sn cos sn cos sn cos cos cos sn Lugo cotg sn 7. sn Indtrminción d tipo L Hopitl: sn sn cos L Hopitl sn 8. sn ln L ln sn ( sn ln ) sn cos 6 Indtrmindo. Llmmos sn sn sn L, ntoncs ç, y qu, por ls propidds d l función logritmo nprino, tnmos: ln b bln Utilicmos hor l quivlnci qu usmos nts: sn,. Así: ln ln L ( sn ln ) ln L Hopitl / / ( ) / Lugo l logritmo nprino dl it pdido, ln L, por tnto,
4 L sn 9. sn sn Indtrminción dl tipo L Hopitl: cos sn. Indtrmindo. Pr rsolvr l indtrminción oprmos ls frccions lgbricmnt: L Hopitl. sn rcsn sn rcsn Indtrminción d tipo L Hopitl: 6 cos cos, sn, sn cos sn sn sn cos L Hopitl cos sn sn rcsn. b b Indtrminción d tipo L Hopitl: ln b ln ln b b ln b
5 sn. sn sn sn quivlnci sn(n) n, : sn sn. cotg cocint: cotg cotg cos sn 5. sn cos cos Indtrminción. Utilizrmos un vz más l Indtrmindo. Escribimos l función cotngnt como un cos sn (oprndo) sn sn cos sn cos sn sn cos L Hopitl Indtrmindo. Oprmos, utilizndo l sn cos rlción trigonométric fundmntl: sn cos cos sn cos cos cos cos cos cos cos 6. sn Aplicndo l torm d L hopitl: sn sn cos { sn cos sn } sn sn L H sn sn cos sn cos sn sn L H sn sn cos sn cos cos cos sn sn sn cos sn sn cos L H
6 sn sn cos sn cos cos cos 8cos 8 sn 6 sn 8 cos cos sn L H cos ( sn ) ( sn ) cos ( sn ) 8 sn cos 8 7. n n Indtrmindo. S pud rsolvr d dos mnrs distints:. Utilizndo L Hopitl: n n n n. Sin utilizr L Hopitl, fctorizndo l numrdor y l dnomindor: n n n n n Ln n Ln Ln Indtrmindo. Como l función logritmo s continu n su dominio, pud slir fur dl it, sí: Ln Ln y sí, podmos rsolvr prt l it: pr lo qu utilizrmos L Hopitl: 9. Ln Ln Ln INDETERMINADO Ahor bin, por sr l función logritmo continu n su dominio, l podmos scr dl it:
7 ( ) ( ) Ln Ln Ln ( )( ) Ln (L Hopitl) Ln ( )( ) Ln (L Hopitl) Ln Ln Ln R Lugo no ist l it. 5. Clculr pr qu s cumpl: π Clculmos los dos its por sprdo: 5 5 ( INDETERMINADO) p / p ( INDETERMINADO) p π π ( π) ( ) p π π Pr qu mbos its sn iguls s h d cumplir: ( π) ( π) π. Ln tg Ln Ln tg tg s un it d l form / Indtrminción dl tipo L Hopitl: tg ( ) Lugo l it ddo s: tg ( ) tg ( ) Ln tg Ln ( ). L Hopitl
8 rcsn. rcsn L Hopitl. ( rcsn ctg ) 6 ( ) 6 ( ctg ) ( INDETERMINADO) rcsn L Hopitl 6 cos rcsn sn snrcsn cos sn sn 5. ( tg ) tg Rlizndo oprcions trigonométrics lmntls, podmos rlcionr l tngnt dl ángulo dobl con l sno y l cosno d : sn sn / ( tg ) ( tn ) tg sn cos cos sn p ( tn ) / ( tn ) ( / INDETERM) / p ( tn ) tn ( tn ) 8 cos sn cos (L Hopitl) p / 6. Oprndo obtnmos: INDETERMINADO [ ] / / ( / ) ( / ) / Lugo hor tnmos qu clculr l vlor dl it ( ) Indtrmindo qu s d l form
9 S L ln / Lugo l it pdido s: / / / / ( ) ln L ln ( ) ln( ) ln( ) / / / ( ) / L Hopitl L / / sn ( sn ) 7. Lím π cos ² Rlizndo lguns oprcions trigonométrics lmntls tnmos: sn ( sn ) sn( sn) sn( sn) sn Lím Lím Lím Lím π cos ² π sn π ( sn)( sn) π sn / cos 8. Lím cos Lím st vz, n lugr d L Hopitl: sn,. Así: 9. Lím cos Lím Lím 8 Lím 5 tg. Indtrminción. Podmos plicr infinitésimos quivlnts ( cos ) / ( sn) sn ( cos ) sn cos 8 Lím 5 tg 8 Lím 5 tg ( 8 / ) ( 8 / ) sn cos Lím sn (simplificndo) Lím cos cos L Hopitl sn / cos Indtrmindo. Rsolvmos plicndo l fórmul: 8 8 p Lím 5tg p Lím 5 tn ( 8 / ) ( 8 / ) / sn sn p Lím 5 p Lím 5 (inf initésimos cos cos 8 / 8 p Lím 5 p Lím 5 cos( 8 / ) / cos( 8 / ) ( cos ) ( π ) ( ) ( π ) ( ) cos sn sn lim lim lim π L'H π π π L'H cos π cos cos π lim. π quivlnts)
10 . lim ( ) ln ln lim Ln Ln Ln L'H. Clculr l / n ( ) / m ( ) n los siguints csos: Si m > n Si m n Si m < n Ants d hcr l it hy qu oprr l prsión, y qu s un cocint d ponncils con igul bs. / n ( ) mn ( ) n m ( ) / m n m Si m > n mn n m K ( ) { m n K > } Si m n ( ) ( ) / m / m Si m < n mn n m K tg² tg. π tg² 5tg tg² tg π tg² 5tg K ( ) { m n K < } Indtrmindo tg² tg 6tg (L Hopitl) π tg² 5tg π tg 6tg tg 6tg 6 6 π tg 5tg tg ( tg ) ( tg ) ( tg ) 5 ( tg 5. ( ² ) Estudindo ls potncis máims dl numrdor y dl dnomindor s obsrv qu l numrdor s dl ordn d / mintrs qu l dnomindor s d l form /, lugo l dnomindor tind infinito más dpris qu l numrdor y por tnto: ( ² )
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