1.-PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES. Límites cuando

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1 -PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES El cálculo d límits cuando Límits cuando a R a R s raliza sustituyndo por a Si st valor s un númro ral ntoncs ya stá calculado y st límit s único, pro n algunos casos surgn indtrminadas dl tipo:,, /, /,,, Qu rquirn procdimintos spcíficos para su dtrminación, qu plicarmos salvo n l caso d, qu s trataran n º d Bachillrato Ejmplos: a) ( ) 79 b) ( ) ( ( ) ) ( 8) c) k d) Caso d ambigüdad ± Ejmplo: ± k Caso d ambigüdad qu ± salida lugo calculando los no límits ist va hacia o latrals, a la qu pud dars Obsrvamos gráficamnt qu al acrcarnos a: * por la izquirda, la gráfica (n azul) d y tind a - * por la drcha, la gráfica (n azul) d y tind a

2 Esta función y s discontinua d límits latrals infinitos, n En stos casos s dic qu y tin una asíntota vrtical la rcta (n rojo) ) Ejmplo: 5 5 ± ( ) ( ) Obsrvamos gráficamnt qu al acrcarnos a: * por la izquirda, la gráfica (n 5 azul) d y tind a - ( ) * por la drcha, la gráfica (n 5 azul) d y tind a - ( ) En stos casos s dic qu 5 y ( ) tin una asíntota vrtical la rcta (n vrd) 5 Esta función y s discontinua ( ) d límits latrals infinitos, n f) Caso d indtrminada Ejmplo: Indtrminación Cuando tnmos n l numrador y n l dnominador dos prsions polinómicas qu s anulan para a : P( ) P( a) ( ) a Q Q( a) Entoncs podmos dscomponr dichos polinomios n: P( ) ( a)() sindo Q( ) ( a)() a l factor qu los anula Simplificado la fracción y inando l factor consguirmos inar la indtrminada, n nustro jmplo:

3 Si lugo s anulan para, podran dscomponrs n factors : ( )() factor qu anula l numrador 78 ( ) ( ) factor qu anula l dno min ador 78 ( ) simplificamos Est tipo d indtrminadas cuando ist límit, suln dar lugar a discontinuidads dl tipo vitabls, sta función y s discontinua vitabl n g) Caso d indtrminada Ejmplo: Indtrminación Como no tnmos n l numrador y n l dnominador dos prsions polinómicas sino qu ist una prsión irracional, prviamnt tndrmos qu racionalizar para podr tnr n l numrador y n l dnominador dos prsions polinómicas, qu podamos dscomponr n factors: P( ) ( a)() sindo a l factor qu los anula Q( ) ( a)() Lugo procdrmos: ( ) racionalizamos ( )( ) ( )( ) factorizamos ( )( ) simplificamos

4 Est tipo d indtrminadas cuando ist límit, suln dar lugar a discontinuidads dl tipo vitabls, sta función y s discontinua vitabl n h) Caso d indtrminada Est tipo d indtrminadas s suln vitar ralizando l producto d las dos prsions Ejmplo: ( ) ) ( ± Indtrminación 9 Ralizamos l producto y n st caso llgamos a otra indtrminada dl tipo : 9 ( )( ) simplificamos i) Caso d indtrminada 5 ( ± Ejmplo: ( ) ) Indtrminación Ralizamos l producto y n st caso llgamos a otra indtrminada dl tipo : 5 ( )( ) simplificamosl ( ) j) Caso d indtrminada Est tipo d indtrminada s rsulv simpr qu s puda ralizando la difrncia d las prsions Ejmplo: Ralizamos la difrncia: Indtrminación

5 5 ( ) latrals límits hacr qu hay ± ist No k) Caso d indtrminada Est tipo d indtrminada s rsulv simpr qu s puda ralizando la difrncia d las prsions Ejmplo: 9 Indtrminación Ralizamos la difrncia: ( ) ( ) ( ) 9 opramos 9 l) Caso d indtrminada Est tipo d indtrminada s rsulv simpr qu s puda ralizando la difrncia d las prsions Ejmplo: Indtrminación Ralizamos la difrncia: ( ) ( ) ( )( ) ( ) simplificamos opramos m) Caso d indtrminada Límits d tipo dl númro : sindo Su rsultado son potncias d : k Ejmplo: Indtrminada dl tipo dl númro º Sumamos y rstamos a la bas d la potncia

6 difrncia la rlizamos º Para consguir la structura n la bas d la potncia, dividimos por - l numrador y l dnominador dl cocint qu stá sumando a dl siguint modo, sin qu vari l valor d la prsión: para mantnr la structura dl númro dbríamos d tnr n l ponnt, qu lo consguimos dl siguint modo: º Multiplicamos l ponnt por y por su invrso sin modificar su valor: númro n) Caso d indtrminada Límits d tipo dl númro : sindo Su rsultado son potncias d : k Ejmplo: ( ) Indtrminada dl tipo dl númro º Sumamos y rstamos a la bas d la potncia ( ) º Para consguir la structura n la bas d la potncia, dividimos por - l numrador y l dnominador d la prsión qu stá sumando a, dl siguint modo:

7 7 p) Caso d indtrminada Límits d tipo dl númro : sindo Su rsultado son potncias d : k Ejmplo: Indtrminada dl tipo dl númro º Sumamos y rstamos a la bas d la potncia º Para consguir la structura n la bas d la potncia, dividimos por l numrador y l dnominador dl cocint qu stá sumando a, dl siguint modo: para mantnr la structura dl númro dbríamos d tnr n l ponnt, qu lo consguimos dl siguint modo: º Multiplicamos l ponnt por y por su invrso sin modificar su valor: im l númro

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