. La tasa de variación media es la pendiente del segmento AB, siendo A(a, f(a) ) y B(b, f(b) ) dos puntos de la gráfica de la función:

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1 º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN.- CONCEPTO DE DERIVADA Tasa d variación mdia S llama tasa d variación mdia d una función f n l intrvalo [a, b] al cocint. La tasa d variación mdia s la pndint dl sgmnto AB, sindo A(a, f(a) ) y B(b, f(b) ) dos puntos d la gráfica d la función: La tvm indica la rapidz con qu ha aumntado o disminuido la función al pasar d A a B Si la tvm s positiva s porqu la función ha aumntado, si s ngativa ha disminuido y si s 0 ni ha aumntado ni disminuido Tasa d variación instantána. S llama tasa d variación instantána d una función f n l punto a al valor dl f() f(a) lim a a La tvi indica la rapidz con qu va aumntando o disminuyndo la función n l punto A Si la tvi s positiva s porqu la función va aumntando, si s ngativa va disminuyndo y si s 0 ni aumnta ni disminuy Concpto d drivada d una función n un punto Rcordmos qu la pndint d una rcta nos indica la mayor o mnor inclinación d ésta. Cuando la gráfica d una función no s una rcta y qurmos mdir la pndint d la gráfica s utiliza la drivada. S llama drivada n l punto a d una función f a la tvi n dicho punto. S rprsnta por f (a) f() f(a) f (a) lim a a f (a) rprsnta la pndint d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto A(a, f(a)). Pud qu no ista f (a) porqu no s puda calcular l límit o porqu los límits latrals no coincidan. La rcta tangnt s la rcta qu pasa por A y la qu más s aproima a la gráfica d la función n las proimidads dl punto A(a, f(a)). Y f(a) A a rtg f (a) pndint d la rcta tangnt X - Página -

2 º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN Usando la dfinición d drivada podmos dducir: Si f tin un trmo rlativo n a, ntoncs f a 0, pus la rcta tangnt s horizontal Si f ( a ) > 0, ntoncs f s crcint n a, pus la rcta tangnt tin pndint positiva Si f ( a ) < 0, ntoncs f s dcrcint n a, pus la rcta tangnt tin pndint ngativa Cuanto mayor s f (a), n valor absoluto, mayor s la rapidz con qu crc o dcrc la función n l punto A Ejrcicio Avrigua cuál d las siguints funcions dcrc más rápidamnt n l intrvalo [, 4] f() g() Ejrcicio Calcula f (4), f () y f ( 4) sindo f la función dada por la siguint gráfica Y ( ) (6,4) -4 (4,) X (La lína discontinua s la rcta tangnt) Ejrcicio La rcta tangnt d una función f n l punto d su gráfica P(, ) pasa también por l punto Q(4, 9). Cuánto val f ()? Ejrcicio 4 Halla la drivada d las siguints funcions n los puntos qu s indican: a) f(), n b) f(), n 4 Ejrcicio 5 La fórmula h(t) 5 0t + 5t da la altura n mtros qu alcanza un objto a los t sgundos d habrlo lanzado. Halla h (6) indica su significado Practica tú: Para la función f dibujada, calcula f (4), f ( ) y f (6) (La lína discontinua s la rcta tangnt) Y (4,) 6-4 (6,-) X - Página -

3 º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN Indica cuánto val f ( 0 ): a) b) Halla la drivada d las siguints funcions n los puntos qu s indican y di si la función va crcindo o dcrcindo n dicho punto: a) f(), n b) f() 0 5 n 0 6 c) f(), n 0 d) f() +, n 0 4 Un vhículo s muv sgún la cuación f() +, n horas y f() n km. Halla f () indica sus unidads.- CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DERIVADA La función drivada d una función f s calcula usando la fórmula + Como l cálculo d límits s bastant laborioso, los matmáticos ddujron, usando límits, unas rglas para obtnr la drivada d forma más sncilla y rápida: La función drivada d las funcions básicas con las qu vamos a trabajar s rcog n sta tabla: Tabla d drivadas Función constant: (c) 0. Ejmplo: (6) 0 Función potncia: ( k ) k. k, sindo k R () ( ) Ejmplo: ( ) Casos particulars ( ) ( ) Función ponncial: (a ) a. ln a, sindo a > 0, a Ejmplo: ( ). ln Caso particular ( ) Función logaritmo: [log a ()] sindo a >0, a Ejmplo: [log ()]! " # $% & Caso particular [ ln() ] - Página -

4 º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN Rglas d drivación Si f y g son dos funcions drivabls, s cumpl: Drivada d la suma y rsta (a.f ± b.g) a. f ± b. g Ejmplo: ( + 5 4).( ) + 5. (4) Drivada dl producto (f. g) f. g + f. g Ejmplo: (. ln ) ( ). ln +.(ln ) ln +. ' ( ln + Drivada dl cocint * * + * +, ) + + Ejmplo: / :; 9 7 CD ; 8 B > Drivada d una función compusta Si u s una función, ntoncs [f(u)] f (u). u (Esta rgla s llama Rgla d la cadna ). Ejmplos + [( +) 7 u ] u u ln [(ln ) ] u + u ( JK ) u ( + ) u + u u + u E [u 7 ] 7u6. u 7( +) 6. 4( +) 6 E (u ) u. u.ln. E ( ' F ) H G E ( L) M N [log ( + )] u + u + M I. u ( + ) O O OP Q RS. ( + ) E ( u ) u. ln.u +. ln. T E [log (u)] Z[ \] T U VW X ^[ Y \ [_` ab c 7 Ejrcicio 6 Calcula la drivada d las siguints funcions: a) y + b) y c) y log 5 d) y ( + 4 ln( ) + ) ) y f) g( ) Ejrcicio 7 Halla la drivada d las siguints funcions compustas: a) y d f g b) y ij klm h c) y ( ) 0 + d) y n o+ p ) f() ln f) y + ( ) g) y h) f( ) i) h() ( + ). ln( + 4) ( + ) j) h( ).ln( ) Ejrcicio 8 Calcula g (), sindo g(). - Página 4 -

5 º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN Ejrcicio 9 Un dpósito llno d agua s vacía por un sumidro qu tin n la part baja. El volumn d agua, n m, qu hay n cada momnto n l dpósito, dsd qu mpiza a vaciars, t vin dado por la función V( t) 8 t+, dond t s l timpo n minutos. a) Cuál s la capacidad dl dpósito? b) Cuánto timpo tarda n vaciars? c) Rprsnta gráficamnt la función V. d) Calcula la drivada d sa función n t 8 intrprta su significado. Practica tú: 5 Halla la drivada d las siguints funcions: a) y b) y + 4 c) y 5 d) y 5 + ) y 5 9 f) y 8 + g) y ln h) f() log() i) h( ) 4 5+ j) g() ( ). L k) g(). L() l) h() ( ) ( ) m) f( ) n) y ñ) y o) h() + p) h( ) L q) f( ) r) ( + ) i( ) 5 s) h( ) 6 Calcula la drivada d las siguints funcions compustas: a) g() ( + ) b) f() ( ) c) f() h) f( ) l) g() L d) y ln( + ) ) f() 5 ln f) h() 5 i) h() 5 + j) h { g) f( ) ln(5 ) 6 + k) h( ) ( + 5 ) + ln ( ) ln( ) } m) g( ) ln (+ ) n) f() ( + ). L( + ) ñ) y 4 ln( + ) o) h() ( + ).( 5 6) 6 p) i() ( 6) ( + ) q) f() ( + ). 7 r) f( ) t) s) g() ( ) L( ) f( ).ln( 5) u) g + + ( ) ( ).ln( ) v) g() 7. ( 5 ) ( 5) w) f( ) ) y 5 y) f() z) f( ) + aa) y (5 ) 5 ab) f( ) + ac) y + L( ) ( 5) 7 Para cada función calcula las drivadas qu s pidn: a) f() + 6, f () b) g() ( + 9), g (4) c) h() L( + ), h (0) d) i() + L( + ), i () + ) f() ( ) ln( 4 ), f () f) g(), g (/) g) f( ) +, f (0) 8 Sa la función f() 4 +. Rprsnta gráficamnt su función drivada - Página 5 -

6 º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Ecuación d la rcta tangnt Como la rcta tangnt a la gráfica d una función f pasa por l punto A(a, f(a)) y su pndint s m f (a), la cuación d la rcta tangnt s: r tg : y f (a). ( a) + f(a) Para podr calcular dicha cuación s ncsario qu istan tanto f(a) como f (a). Una vz calculados, sustituimos n la fórmula antrior los valors: " a ", " f(a) " y " f (a) " y dspués rducimos la prsión fctuando las opracions. Ejrcicio 0 Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función f dfinida d la forma f() + L( ) n l punto d abscisa., si 0 Ejrcicio Sa la función dfinida por f( ) 4, si 0< 4 4, si > 4 Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función n l punto d abscisa. Ejrcicio Halla los valors d a y b para qu la rcta tangnt a la gráfica d f() a b n l punto (, 5) sa la rcta y +. Ejrcicio Sa la función + 4 si f( ) a+ b si > a) Calcul a y b, sabindo qu f () 7 y qu f s continua n. b) Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa Practica tú: 9 Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d las siguints funcions n los puntos d abscisa qu s indican: a) f() +, n b) g(), n 0 si < c) h() +, n d) f( ), n 0 0 si 0 Sa la función ) + si f( ) 4, si> ( ), a) Dtrmina sus asíntotas vrticals y horizontals, n caso d qu istan. b) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa - Página 6 -

7 º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN, si Sa la función f: R R dfinida por f() + m+ 5, si > a) Halla m para qu la función sa continua n. b) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n 0. Sa la función f dfinida por f() si 0 + > si 0 a) Estudia la continuidad d f b) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función n l punto d abscisa.. Estudio d la monotonía y trmos d una función Estudiar la monotonía d una función s avriguar los intrvalos dond s crcint, dcrcint o constant. Como la drivada rprsnta la pndint d la rcta tangnt: ( ) ( ) ( ) Si f > 0, n un intrvalo, ntoncs f s crcint n dicho intrvalo Si f < 0, n un intrvalo, ntoncs f s dcrcint n dicho intrvalo Si f 0, n un intrvalo, ntoncs f s constant n dicho intrvalo Una vz dtrminada la monotonía s pudn dducir los trmos rlativos (máimos y mínimos): Si la función pasa d sr crcint a dcrcint y s continua, ntoncs hay un máimo Si la función pasa d sr dcrcint a crcint y s continua, ntoncs hay un mínimo Ojo: El hcho d qu sa f (a) 0 no asgura qu n a haya un trmo rlativo. Por jmplo, para la función f() f () f (0).0 0, pro n 0 no hay ningún trmo rlativo, pus la función y s crcint. Ejrcicio 4 Sa la función f( ) + + a) Dtrmina su monotonía y sus trmos rlativos. b) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d g() f () n l punto d abscisa c) Dibuja la gráfica d g() y d la rcta tangnt calculada n b). Ejrcicio 5 S sab qu la prsión qu rprsnta l númro mdio d clints N(t) qu acud un día a una cadna d almacns, n función dl númro d horas t qu llvan abirtos, s N(t) at + bt, 0 t 8, a, b R Calcula a y b sabindo qu l máimo d clints qu han acudido s día ha sido d 60 y qu s ha producido a las 4 horas d abrir. - Página 7 -

8 º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN Ejrcicio 6 Dada la función f() a( ) + b, calcula a y b para qu la gráfica d sta función pas por l punto d coordnadas (, ) y tnga un trmo rlativo n l punto d abscisa. Ejrcicio 7 Sa la función dfinida para todo númro ral por f() a + b. a) Halla a y b sabindo qu su gráfica pasa por l punto (, ) y qu n s punto la pndint d la rcta tangnt s. b) Si n la función antrior a /, b 4, dtrmina sus intrvalos d monotonía y sus trmos. Ejrcicio 8 El capital d una mprsa, n millons d uros, n función dl timpo vin dado por la fórmula C(t) t + t + 5 a) Cuál s l capital n l momnto inicial, t 0? b) Dtrmina los intrvalos d monotonía d la función intrprta l rsultado c) Calcula los trmos rlativos intrprta l rsultado Practica tú: Halla los intrvalos d monotonía y los trmos rlativos d las funcions: a) f() + 7 b) g() c) f() - Página d) f() 4 4 Sa la función f( ). Calcula: a) Los intrvalos d crciminto y dcrciminto. b) Las coordnadas d sus trmos rlativos. c) El punto d la gráfica n l qu la pndint d la rcta tangnt s 4. 5 Sa la función f () a + b + a) Dtrmina l valor d los parámtros a y b sabindo qu la función f tin un máimo n y qu f (). b) Para a b, halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa 0. 6 Dtrmina para qué valor d alcanza l mínimo la función f() 6 + a y calcula l valor d a para qu l valor mínimo d la función sa 5. 7 S considra la función f() a b + 4. Calcula los valors d a y b para qu la función tnga un trmo rlativo n l punto (, 0) 8 Sa la función f() + p + q a) Calcula los valors qu dbn tnr p y q para qu la gráfica d la función f pas por l punto ( 4, 5) y tnga un máimo n l punto d abscisa. b) Rprsnta las gráficas d f para p, q y d la rcta tangnt a dicha gráfica n l punto d abscisa 9 El númro d socios d una cirta ONG vin dado por la función n() dónd rprsnta l númro d años dsd su fundación. a) Indica cuantos socios había al principio b) En qué priodo d timpo disminuyó l númro d socios? c) En qué momnto fu máimo l númro d socios? d) Cuántos socios tnía ntoncs? 0 El porcntaj d prsonas qu sintonizan un programa d radio qu s mit ntr las 6 y las horas vin dado, sgún la hora t, mdiant la función f(t) 660 t + 7t t, 6 t a) Qué porcntaj d prsonas sintonizan l programa al comnzar la misión? b) Y al cirr? c) A qué hora tin máima audincia? d) Qué porcntaj d prsonas sintonizan l programa a sa hora?

9 º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN Rprsntación gráfica d funcions Como la drivada nos prmit dtrminar la monotonía y trmos d una función, sta hrraminta junto con l cálculo d límits nos va a srvir para dibujar la gráfica, d forma aproimada, d una función. Para rprsntar gráficamnt una función s convnint analizar: ) El dominio d dfinición ) La continuidad y las asíntotas vrticals (posición d la gráfica rspcto d las asíntotas) ) Los límits n l infinito y las asíntotas horizontals 4) La monotonía y los trmos rlativos. Podmos hallar los puntos d cort con los js y tndrmos más lmntos para su rprsntación. Ejrcicio 9 Rprsnta gráficamnt la función f() 6 +, studiando prviamnt su dominio, puntos d cort con los js, intrvalos d monotonía y trmos Ejrcicio 0 El númro mdio d clints qu visitan un hiprmrcado ntr las y las 0 horas stá dado por f() , n función d la hora, sindo 0. a) Halla los trmos rlativos d sta función intrprétalos. b) Rprsnta sta función y dtrmina las horas n las qu crc l númro mdio d clints. Practica tú: Rprsnta gráficamnt las funcions: a) f() b) f() + c) f() d) f() + Los bnficios sprados (n mils d uros) d una inmobiliaria n los próimos 5 años vinn dados por la función B(t) t 9t + 4t. ( t indica l timpo, n años, 0 t 5 ). a) Rprsnta gráficamnt la función bnficio. b) En qué momntos srá máimo l bnficio? SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO f (4) f ( ) 0 f (6) a) 0 b) 0 a), va crcindo b) 60, va dcrcindo c), va dcrcindo d), va crcindo 4 4 km/h a) y b) y c) y d) y 5 ) y 0 f) y l) h () 54 m) f () g) y h) f () i) h () 5 j) g () ( ) L + k) g () [ln() + ] ln ( ln ) + 4 ( ) + n) y ñ) y o) h () ( ) ( ) ( ) L p) h () ( ln+ + ln) q) f () r) i () s) h () + 6 ( ) ( ) a) g () 6(+ ) b) f () ( ) c) f () d) y ) f () g) f () + 5 f) h (). ln h) f () 5 i) h () 5 ln j) h () ln - Página 9 -

10 º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN k) h () 6(6+ 5)( + 5 ) + l) g () m) g () n) f () L( + ) ñ) y 4 ln( ) o) h () (5 6) 5( ) p) i () ( ) (4 ) + + f () 4 ( ) s) g () L( ) t) f () ln( 5) ( 5) (4 ) u)g () ( ) + ln( ) v) g () ( 5 ) ( 5 ) w) f () + + ( ) q) f () 7(7 7) r) ( ) 5 (5 5). ln ln ( + ) ) y y) y z) f () ( ) ( ) ( + ) 4 aa) y ab) f () + ac) y ( 5) 7 a) 0 b) 600 c) 0 d) ) 4 f) 4 g) 9 8 a) y 4 b) y 6 c) y 5+ 8 d) y 0 a) A.V.: 0 A.H.: y 0 b) y 4 a) m 4 b) y (ln) + a) continua b) y 9 a) crcint n (, 0) (, ) dcrcint n (0, ) ; Má.:P(0,7) Mín.: Q(, ) b) dcrcint n (, ) (, ) crcint n (,) ; Má.:P(, ) Mín.: Q(, ) 7 c) crcint n (, ) (, ) dcrcint n (, ) ; Má.:P(, ) Mín.: Q(, 5) 6 6 d) crcint n (, ) (, ) dcrcint n (, ) ; Má.:P(, ) Mín.: Q(, ) 6 4 a)dcrcint n (, 0) (4, ) crcint n (0, 4) b) Má.:P(4, ) Mín.: Q(0, 0) c) A(, ) a) a b 4 b) y, a 8 a 6 b a) p q b) - Página 0 -

11 º BACHILLERATO D MATEMÁTICAS CC SS TEMA 4.- FUNCIONES. DERIVACIÓN 9 a) 6 socios b) Entr los años y 4 c) En l año d) 48 socios 0 a) 0% b) 48% c) A las h d) 55% b) A los años y a los 5 años - Página -

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