CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE TEMA 1. ACTIVIDADES 1.11 A 1.22
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- María del Rosario Cortés Hidalgo
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1 CALCULO GRADO EN INGEN INFORM DEL SOFTWARE - TEMA ACTIVIDADES A Sa ( 0 / 0 0 a Es drivabl por la drca n 0? Es drivabl por la izquirda n 0? Es drivabl n 0? Razonar las rspustas b Obtnr la unción drivada d n los puntos dond ista a ( (0 ( (0 0 ; s drivabl por la drca y por la izquirda n 0 ya qu los límits antriors son initos Sin mbargo, no s drivabl n 0 ya qu las drivadas latrals no son iguals b Si 0, '( / / ( / Obtnr la unción drivada d las guints uncions: a b ( tg( ( c ( sn(/ 0 ; ( 0 0 d ( 0 ; ( < 0 ( ( log( a '( ( ( tg ( 8
2 b '( > 0 < 0 c '(0 ( (0 sn(/ 0 sn(/ cos(/ '( d '( > 0 < 0 '( ( log( log( S pud aplicar Bolzano a la unción ( ( 0,], ( 0 n [ 0,]? 0 ( no s continua por la drca n 0 no s continua n [ 0, ] No s pud aplicar Bolzano 4 a Encontrar una unción dinida n qu no satisaga alguna d las ipóts dl torma d Roll, y n mbargo vriiqu 0 c [,] ( c para algún (, ( n [,]? b S pud aplicar l torma d Roll a la unción c Dmostrar qu la cuación sn ( 0 tin una única raíz ral y ncontrar un intrvalo d longitud mnor qu dos qu la contnga a ( s tal qu ( ( Sin mbargo, vriica '(0 0 b No, ya qu no s drivabl n 0 c Sa ( sn( continua y drivabl n R '( cos( 0 R la cuación ( 0 tin, a lo sumo, una raíz ral 9
3 π π ( 0 ( < 0 n 0, π la cuación ( 0 tin, al mnos, una raíz Así pus, la cuación ( 0 tin una única raíz ral y un intrvalo qu la contin s 0, π 5 Calcular los guints límits por la rgla d L Hopital: tg( log( ; ; 0 0 sn( log( log( log( log( ( log( / (/ (/ log( / l ; log l log( 0 l / 0 / tg( tg ( 0 sn( 0 cos( tg( ( tg ( ( tg ( 0 sn( 0 cos( 6 Dtrminar los trmos rlativos y los puntos d inlión d la unción ( ( '( 0 0, / 4 ''( 0 0, / '(/ 4 0, ''(/ 4 > 0 (/ 4 mínimo rlativo ''(0 0, '''(0 0 ( 0 0 punto d inlión ''(/ 0, '''(/ 0 (/ punto d inlión 7 Hallar las dimnons dl rctángulo d ára máima qu tin un lado sobr l j X y stá inscrito n l triangulo dtrminado por las rctas y 0, y, y 4 Sa b la longitud dl lado sobr l j X y sa la altura 0
4 4 b 4 ( b, s dcir, 4b b 4 4b A b ; A ' 0 b b, / / 8 Sa ( 0 y ( 0 0 a Estudiar la continuidad y la drivabilidad latral (por la izda y por la dca d n 0 b Dtrminar los puntos críticos, los intrvalos d monotonía y los trmos rlativos d ist l máimo ó l mínimo absoluto d? Razonar la rspusta a s continua por la izquirda n 0 : ( 0 (0 0 ( / (0 s continua por la izquirda n 0 s continua por la drca n 0 : ( 0 (0 0 ( 0 / 0 0 indtrminación 0 ( / 0 / / 0 / ( / 0 / no s continua por la drca n 0 y por tanto no s drivabl por la drca n 0 s drivabl por la izquirda n 0 (0 (0 R ( ( 0 / 0 Por tanto s drivabl por la izquirda n 0 y ( 0 0 b 0 s un punto crítico d ya qu no s drivabl n 0 0, / / / ( ( / ( 0 0
5 Por tanto 0 y son los puntos críticos d intrvalos d monotonía: (, 0, ( 0,, (, < > 0 Si (, 0 ( > 0 > < 0 Si ( 0, ( < 0 < > 0 Si (, ( > 0 Por tanto s strictamnt crcint n (, 0 y n (, ; s strictamnt dcrcint n ( 0, Aplicando l critrio d la drivada ª s tin qu tin un mínimo rlativo n, s dcir, ( s un mínimo rlativo En 0 no podmos aplicar l critrio d la drivada ª ya qu no s continua n 0 ( 0 0 no s ni máimo ni mínimo ya qu ( < 0 < 0 y ( > 0 > 0 No ay trmos absolutos pusto qu ( y ( 9 Razonar la crtza o alsdad d las guints airmacions a Si ( tg( ntoncs ( 0 0 s un punto d inlión b Si ( 0 R ntoncs la cuación ( 0 tin una única raíz ral a '( tg ( ; ''( tg( tg ( ; '''( ( tg ( 6tg ( ( tg ( ''(0 0 y '''(0 0 la airmación s cirta b La airmación s alsa Sa, por jmplo, ( ; la cuación 0 no tin raícs rals 0 Sa ( a Es continua n? Es drivabl por la drca n? Es drivabl por la izquirda n? Es drivabl n? Razonar las rspustas a partir dl cálculo d los límits corrspondints
6 b Obtnr las uncions ( y ( n los puntos dond istan y dtrminar los puntos críticos d c Estudiar la istncia d trmos (rlativos y absolutos y d puntos d inlión a Hallar l polinomio d Taylor d ordn asociado a n l punto 0 a s continua n ( ( ( 0 ( s continua n ; ( ; ( S dic qu s drivabl por la drca n ist y s inito l límit guint: ( ( n cuyo caso, a dico valor s l llama drivada por la drca d n l punto, y s dnota por ( ( ( Análogamnt, s din la drivada por la izquirda n ( ( ( ( ( Por tanto s drivabl por la drca y por la izquirda n s drivabl n s drivabl por la drca y por la izquirda n y ambas drivadas coincidn Así pus, no s drivabl n ya qu ( ( b ( > < ; ( < 0 Por tanto, ( 0 0 para algún >
7 0 0 Así pus, 0 s un punto crítico para También s un punto crítico para ya qu ( no ist c ( 0 0, ( 0 > 0 Por tanto, (0 s un mínimo rlativo (critrio d la drivada sgunda Si (,, ( < 0 s strictamnt dcrcint n (, - > 0 < < 0 > 0 Si (, 0, ( < 0 s strictamnt dcrcint n (, 0 Si ( 0,, ( > 0 s strictamnt crcint n ( 0, Así pus, por l critrio d la drivada primra, (0 s un mínimo rlativo como ya sabmos Admás, ( no s trmo y ( 0 s l mínimo absoluto No ay puntos d inlión (la unción s mpr cóncava acia arriba d ''(0 '''(0 T ( (0 '(0 6 6 Dada la unción ( ( ( sn( cos( a Aproimar, por Taylor, la unción n un ntorno dl cro mdiant un polinomio P d grado dos y acotar l rror ( 0 P(0 b Obtnr los intrvalos d monotonía y los trmos rlativos d la unción Cuántas raícs rals tin la cuación a ( 0 ; ( 0? '( ( ( cos( P( '(0 ''( cos( ( sn( ''(0 ''(0 ( 0 '(0 '''( c ( 0 P(0 ( 0 6 '''( c ( 0, c ( 0, 0 6 4
8 '''( c sn( c ( c cos( c sn( c c cos( c c < b ( 0 P(0 < ( 0 6 '( ( cos( 0 ( 0 intrvalos d monotonía: (,, (, s strictamnt dcrcint n (, ( La cuación s un mínimo rlativo(y absoluto y strictamnt crcint n (, ( 0 tin dos raícs rals; una stá n (,π y la otra n ( π, 0 Rsolvr l apartado c dl jrcicio 5 usando l cálculo dirncial ( ; '( 0 ( Por tanto, l máimo d análogamnt l mínimo ( 5, n l intrvalo [, ] s alcanza n uno d los trmos dl intrvalo; 7 ( ; ma ( 5 [, ], min ( [, ] 7 / 5
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