SOLUCIONES A LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS

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1 SOLUCIONES A LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS CURSO 0-0 º.- (,5 puntos) Dtrmina la función f : 0, R tal qu f '' gráfica tin una tangnt horizontal n l punto P,. f ( ) ln( ) y su º.- Sa f la función dfinida por f para 0. a) (,5 puntos) Estudia las asíntotas d la gráfica d la función. b) (,5 puntos) Halla los intrvalos d crciminto y dcrciminto, y los trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu alcanzan). a) AV: = 0 AH: no tin AO: y = b) crc: (-, -) U (, ) dcrc: (-, 0) U (0, ) º.- (,5 puntos) En l primr cuadrant rprsntamos un rctángulo d tal manra qu tin un vértic n l orign d coordnadas y l vértic opusto n la parábola y Dtrmina las dimnsions dl rctángulo para qu su ára sa máima. S trata dl rctángulo d bas u y d altura u. º.- Sa f :, R la función dfinida por f Ln dond Ln dnota la función logaritmo npriano. a) (0,75 puntos) Esboza l rcinto limitado por la gráfica d f, l j OY y la rcta y. Calcula los puntos d cort d las gráficas. b) (,75 puntos) Halla l ára dl rcinto antrior. b) A = u 5º.- San las funcions f: R R y g : R R dfinidas por f ( ) a b g ( ) c ( ) S sab qu las gráficas d f y g s cortan n l punto (-,) y tinn n s punto la misma rcta tangnt. a) ( puntos) Calcula los valors d a, b y c. b) (0,5 puntos) Halla la cuación d dicha tangnt. a) a = 0 b = c = b) y = -

2 6º.- Sa g: (0,+ ) R la función dfinida por g ( ) ln( ). a) (0,75 puntos) Compruba qu la rcta d cuación y s la tangnt a la gráfica d la función g n l punto d abscisa =. b) (,75 puntos) Halla l ára comprndida ntr la función g, la tangnt dl apartado antrior y l j d abscisas. b) u Ára 7º.- Considra la función f: R R dfinida por f a ) b ( a) (,5 puntos) Halla a y b sabindo qu f s drivabl n R. b) ( punto) Halla las cuacions d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d la función f n l punto d abscisa = a) a = b = - 7 b) y 6 ( ) y 6 ( ) 8º.- (,5 puntos) Sa f la función dfinida por f ). Halla las asíntotas d f. AV: = 0 (pro sólo por la drcha ya qu lim f ( ) 0 ) AH: no tin AO: y = + si si ( para todo º.- (,5 puntos) D ntr todos los rctángulos d 8 cm d prímtro, dtrmina las dimnsions dl qu tin diagonal d mnor longitud. S trata n ralidad d un cuadrado d cm d lado. 0º.- San las funcions f: R R y g : R R dfinidas por f ( ) g ( ) a) (0,5 puntos) Esboza las gráficas d f y g. b) ( puntos) Calcula l ára dl rcinto limitado por dichas gráficas. b) Ara u º.- (,5 puntos) Calcula: La primitiva s: ln La intgral dfinida val: ln ln d ( )( K 6 )

3 º.- (,5 puntos) Sa f: R R la función dfinida por: f ( ) Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n su punto d inflión. El punto d inflión s: (, /) y la tangnt s: y ( ) º.- Considra la función f: [0,] R dfinida por: a b f ( ) c si 0 si a) ( puntos) Dtrmina a, b y c sabindo qu f s continua n l intrvalo crrado [0,], drivabl n l abirto (0,) y qu f(0) = f(). b) (0,5 puntos) En qué punto o puntos dl intrvalo s anula la drivada d la función? a) a = - b = 5 c = b) n l punto d abscisa / º.- (,5 puntos) S divid un sgmnto d 0 cm d longitud n dos trozos. Con uno d los trozos s forma un cuadrado y con l otro un rctángulo n l qu la bas s l dobl qu la altura. Dtrmina la longitud d cada uno d los trozos para qu la suma d las áras dl cuadrado y dl rctángulo sa mínima. Un trozo qu forma l cuadrado mid 60/7 cm y l qu forma l rctángulo mid 80/7 cm 5º.- Sa f : R R la función dfinida por f ( ) a) ( punto) En qué punto d la gráfica d f la rcta tangnt a sta pasa por l orign d coordnadas?. Halla la cuación d dicha rcta tangnt. b) (,5 puntos) Calcula l ára dl rcinto acotado qu stá limitado por la gráfica d f, la rcta tangnt obtnida y l j d ordnadas. a) P = (, ) y ( ) b) A u 6º.- (,5 puntos) Sa f : R R la función dfinida por: f ( ) ( ). Ln( ) sindo Ln() l logaritmo npriano d Calcula la primitiva d f cuya gráfica pasa por l punto (,-/). F ( ) ( ) ln 9

4 7º.- (,5 puntos) S sab f : R R la función dfinida por: f ( ) a b c tin un trmo rlativo n l punto d abscisa = 0 y qu su gráfica tin un punto d inflión n l punto d abscisa =. Conocindo admás qu f ( ) d 6.Halla los coficints a, b y c. 0 a = - b = 0 c = 7/ 8º.- (,5 puntos) D la función f : R R s sab qu '' f ( ) y qu su gráfica tin tangnt horizontal n l punto P,. Halla la prsión d f. f ( ) 0 7 9º.- (,5 puntos) Dtrmina la función f : R R sabindo qu su drivada sgunda s constant igual a y qu la rcta tangnt a su gráfica n l punto d abscisa = s 5-y-=0? f ( ) 0º.- Sa f : (0, ) R la función dfinida por f ( ) Ln( ) ( Ln dnota la función logaritmo npriano). a) (,5 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos d f (puntos dond s obtinn y valors qu s alcanzan). b) ( punto) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa a) dcrc: ( 0, ) crc: (, ) alcanza un mínimo n (, ) b) y ( ) ó y º.- (,5 puntos) D ntr todas las rctas qu pasan por l orign d coordnadas, dtrmina las qu son tangnts a la curva d cuación y. Calcula los puntos d tangncia corrspondints. hay dos rctas: y = 6( ) ; y + 8 = ( + ) Los puntos d tangncia son: (, ) y (-, - 8)

5 º.- (,5 puntos) Dtrmina un punto d la curva d cuación qu la pndint d la rcta tangnt sa máima. l punto (0,0) y n l º.- (,5 puntos) S sab qu la función f : R R dfinida por: s tal qu f (0) y qu su gráfica tin un punto d f ( ) a b c d inflión n (,). Conocindo admás qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa =0 s horizontal. Calcula a = b = - c = 0 d = a, b, c y d. º.- Sa la función f : R R dfinida por f ( ) ( )( )( ). a) ( punto) Halla las cuacions d la rctas tangnt y normal a la gráfica d f n l punto d abscisa b) (,5 puntos) Dtrmina los intrvalos d concavidad y convidad d f. Tin puntos d inflión la gráfica d f. a) rcta tangnt: y = - + rcta normal: y = 0,5 0,5 b) cóncava: (-, /) conva: (/, ) punto d inflión: (/, 0/7) 5º.- (,5 puntos) Estudia la drivabilidad d la función f : (0, ) R dfinida por: si 0 f ( ) Calcula la función drivada. si SOUC: La función s drivabl n todo su dominio mnos n = si 0 La función drivada s f ' ( ) si a b 6º.- D la función f : (0, ) R dfinida por f ( ) s sab qu la rcta tangnt a su gráfica n l punto d abscisa vin dada por y. d f a) (,5 puntos) Calcula a y b. b) (,5 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto SOUC: a) a = b = - b) crc: (-, -) U (, ) dcrc: (-, 0) U (0, )

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