( y la cuerda a la misma que une los puntos de abscisas x = 1 y x = 1. (2,5 punto)

Transcripción

1 ARAGÓN / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / CUESTIÓN A s un srvicio gratuito d Edicions SM CUESTIÓN A Calcular l ára ncrrada ntr la gráfica d la función ponncial f ) ( y la curda a la misma qu un los puntos d abscisas y. (, punto) Los puntos d la gráfica son: P (, ) y Q (, ). La curda, la rcta qu pasa por P y Q, s: y y En la figura dibujamos la curva y la curda. c) El ára ncrrada ntr la curva y la curda s la d la part sombrada n la figura antrior. Su valor vin dado por: A d

2 ARAGÓN / SEPTIEMBRE. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / CUESTIÓN A s un srvicio gratuito d Edicions SM CUESTIÓN A Calcular l ára ncrrada ntr las gráficas d la rcta y y la parábola y (, puntos) El ára ncrrada ntr ambas curvas s la sombrada n la siguint figura. La parábola y la rcta s cortan n los puntos las solucions dl sistma y y, qu son (, ) y (, ); puntos d abscisas y. Por tanto, l ára pdida vin dada por la intgral A ( ) 9 8 d

3 MADRID / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / EJERCICIO EJERCICIO S considra la función ( ) f ( ) a) ( punto) Calcular las asíntotas, l máimo y l mínimo absolutos d la función f(). b) ( puntos) Calcular f ( ) d a) El dnominador d la función no s anula para ningún valor d ; por tanto no hay asíntotas vrticals. Como ( ) lím lím ± ± (aplicando L Hôpital) lím ( ) 8 L H lím ± ± 8 la función tin por asíntota horizontal la rcta y. Máimo y mínimo. Hacmos la drivada y la igualamos a : ( ) f ( ) 6 f ( ) 6 ± ( ) Como: para < /, f () > f() crc para / < < /, f () < f() dcrc En / hay un máimo para > /, f () > f() crc En / hay un mínimo Los valors máimos y mínimos son, rspctivamnt, f ( / ) y f ( / ). NOTA. La istncia d la asíntota horizontal s suficint para sabr qu tanto l máimo como l mínimo son absolutos. b) f ( ) d ln( ) ln d d s un srvicio gratuito d Edicions SM

4 ARAGÓN / SEPTIEMBRE. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN B / ACTIVIDAD OPCIÓN B. Dtrminar l ára ncrrada por la gráfica d la función f ( ) sn y l j d abscisas ntr l orign y l primr punto positivo dond f s anul. (, puntos) RESPUESTA: Los puntos d cort d f con l j d abscisas son kπ. El primr punto d abscisa positiva s π. Como n l intrvalo [, π] la función no toma valors ngativos, l ára pdida vin dada por la intgral π snd Una primitiva d snd s obtin por l método d parts. Hacindo u, sn d dv s tin d du, cos v Lugo, snd cos cos d Para hacr la sgunda intgral aplicamos nuvamnt l método d parts. cos d : tomamos: u, cos d dv, s tin d du, v sn lugo, cos d sn sn d sn cos Por tanto: snd cos ( sn cos ) En conscuncia, π snd [ cos ( sn cos ) ] π ( ) π π s un srvicio gratuito d Edicions SM

5 OPCIÓN A MADRID / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / EJERCICIO. Calcular un polinomio d trcr grado p ( ) a b c d sabindo qu vrifica: i) tin un máimo rlativo n. ii) tin un punto d inflión n l punto d coordnadas (, ). iii) s vrifica: p ( ) d. RESPUESTA: p ( ) a b c d p ( ) a b c p ( ) 6a b Por tnr un máimo n, p () a b c Por pasar por (, ), p() d Por PI n (, ), p () b S obtin qu: a a, b, c a, d El polinomio srá: f ( ) a a Como a p ( ) d ( a a ) d a a a a ; a c El polinomio s: p ( ) s un srvicio gratuito d Edicions SM

6 OPCIÓN A EJERCICIO Sa I d a) [, puntos] Eprsa I aplicando l cambio d variabl b) [, puntos] Calcula l valor d I. a) Si t dt d t. Admás, d t t. Por tanto: para s tndrá: t t para s tndrá: t t Sustituyndo: I d d ( t ) dt t t dt t b) Oprando: / / / / / / / / t t ( t t ) dt / / / / / /

7 MADRID / SEPTIEMBRE 6 LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / EJERCICIO OPCIÓN A EJERCICIO Calcular d SOLUCIÓN Una primitiva d la función pud hallars por l método d dscomposición n fraccions simpls. Como las raícs dl dnominador d la prsión son,, s tndrá: ( ) A B A( ) B Por tanto: A ( ) B Si damos los valors, s tin: Para A A / Para B B / Lugo d / / ln ln( d ) En conscuncia, d ln ln( ) ln ln ln ln ln ln s un srvicio gratuito d Edicions SM

8 Opción A. Ejrcicio S sab qu la función f: R fi R dfinida por f ( ) a b c tin un trmo rlativo n l punto d abscisa y qu su gráfica tin un punto d inflión n l punto d abscisa -. Conocindo admás qu f ( ) d 6, halla a, b y c. f ( ) a b c f ( ) a b f ( ) 6 a Por tnr un trmo rlativo n f () b Por tnr un punto d inflión n f () 6 a a Lugo, d momnto, f ( ) c Por f ( ) d 6 ( c) d 6 c c 9 c En conscuncia, f ( ) 9

9 a) Dibuja l rcinto limitado por las curvas y, y y. b) Halla l ára dl rcinto considrado n l apartado antrior. a) El rcinto pdido s l sombrado n la siguint figura. b) Cort d las curvas: El ára vin dada por: A d d La primra intgral s impropia: c ( ) lím ( d d lím c lím ) c c c c La sgunda intgral val: ( ) d Por tanto: A

10 . Considra la función f : R R dfinida n la forma f ( ). a) Halla la drivada d f. b) Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f. (, puntos) c) Calcula. f()d a) f ( ) < > la función s continua n pus: si, f () y si, f (). Su valor s f (). Drivada. f () < > si, f () y si, f (), lugo f (). En los dmás puntos, la drivada s la dada más arriba. b) f () para todo. Lugo s crcint simpr. Su gráfica s:

11 c) f()d ( ) d ( )d ( )d ( ) d

12 OPCIÓN A EJERCICIO Sa I d a) [, puntos] Eprsa I aplicando l cambio d variabl b) [, puntos] Calcula l valor d I. a) Si t dt d t. Admás, d t t. Por tanto: para s tndrá: t t para s tndrá: t t Sustituyndo: I d d ( t ) dt t t dt t b) Oprando: / / / / / / / / t t ( t t ) dt / / / / / /

13 Opción A. Ejrcicio S sab qu la función f: R fi R dfinida por f ( ) a b c tin un trmo rlativo n l punto d abscisa y qu su gráfica tin un punto d inflión n l punto d abscisa -. Conocindo admás qu f ( ) d 6, halla a, b y c. f ( ) a b c f ( ) a b f ( ) 6 a Por tnr un trmo rlativo n f () b Por tnr un punto d inflión n f () 6 a a Lugo, d momnto, f ( ) c Por f ( ) d 6 ( c) d 6 c c 9 c En conscuncia, f ( ) 9

14 a) Dibuja l rcinto limitado por las curvas y, y y. b) Halla l ára dl rcinto considrado n l apartado antrior. a) El rcinto pdido s l sombrado n la siguint figura. b) Cort d las curvas: El ára vin dada por: A d d La primra intgral s impropia: c ( ) lím ( d d lím c lím ) c c c c La sgunda intgral val: ( ) d Por tanto: A

15 . Considra la función f : R R dfinida n la forma f ( ). a) Halla la drivada d f. b) Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f. (, puntos) c) Calcula. f()d a) f ( ) < > la función s continua n pus: si, f () y si, f (). Su valor s f (). Drivada. f () < > si, f () y si, f (), lugo f (). En los dmás puntos, la drivada s la dada más arriba. b) f () para todo. Lugo s crcint simpr. Su gráfica s:

16 c) f()d ( ) d ( )d ( )d ( ) d

17 OPCIÓN A ARAGÓN / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / CUESTIÓN A CUESTIÓN A San las parábolas y y 8 6. a) Rprsntar sus gráficas. b) Calcular los puntos dond s cortan ntr sí ambas parábolas. c) Hallar la suprfici ncrrada ntr las dos parábolas. a) Para rprsntarlas damos algunos pars d valors: y 9 y S obtin las gráficas d la siguint figura. b) Al dibujarlas s obsrva qu s cortan n los puntos (, ) y (, ). Si no s hubisn obtnido dirctamnt sos puntos, para dtrminarlos s rsulv l y sistma: 8 6 y 8 6 Puntos (, ) y (, ). ; s un srvicio gratuito d Edicions SM

18 ARAGÓN / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / CUESTIÓN A s un srvicio gratuito d Edicions SM c) La suprfici ncrrada ntr ambas parábolas s la sombrada n la figura antrior. Su valor vin dado por: A ) ( 6)) 8 ( ( d d 9 8 9

19 ZARAGOZA / JUNIO 99. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / CUESTIÓN. Dibuja l rcinto limitado por las gráficas d las funcions y, y y 8. Halla l ára d s rcinto. El rcinto s l sombrado n la siguint figura. Los puntos d cort d las gráficas son. 8 El ára s: / A ( 8 ) d d 7 / / / s un srvicio gratuito d Edicions SM

20 ZARAGOZA / SEPTIEMBRE. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / CUESTIÓN A.. Tnmos la función f dfinida para todo númro ral no ngativo y dada por f ( ) si si > S pid su rprsntación gráfica [, puntos], hallar f ( ) d intrprtar gométricamnt l rsultado. La gráfica d f s da n la figura adjunta. f ( ) d d d El númro dsigna l ára d la rgión rayada n la figura. s un srvicio gratuito d Edicions SM

21 OPCIÓN A MADRID / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / EJERCICIO. Calcular un polinomio d trcr grado p ( ) a b c d sabindo qu vrifica: i) tin un máimo rlativo n. ii) tin un punto d inflión n l punto d coordnadas (, ). iii) s vrifica: p ( ) d. RESPUESTA: p ( ) a b c d p ( ) a b c p ( ) 6a b Por tnr un máimo n, p () a b c Por pasar por (, ), p() d Por PI n (, ), p () b S obtin qu: a a, b, c a, d El polinomio srá: f ( ) a a Como a p ( ) d ( a a ) d a a a a ; a c El polinomio s: p ( )

22 ARAGÓN / SEPTIEMBRE. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN B / ACTIVIDAD OPCIÓN B. Dtrminar l ára ncrrada por la gráfica d la función f ( ) sn y l j d abscisas ntr l orign y l primr punto positivo dond f s anul. (, puntos) RESPUESTA: Los puntos d cort d f con l j d abscisas son kπ. El primr punto d abscisa positiva s π. Como n l intrvalo [, π] la función no toma valors ngativos, l ára pdida vin dada por la intgral π snd Una primitiva d snd s obtin por l método d parts. Hacindo u, sn d dv s tin d du, cos v Lugo, snd cos cos d Para hacr la sgunda intgral aplicamos nuvamnt l método d parts. cos d : tomamos: u, cos d dv, s tin d du, v sn lugo, cos d sn sn d sn cos Por tanto: snd cos ( sn cos ) En conscuncia, π snd [ cos ( sn cos ) ] π ( ) π π

23 ZARAGOZA / JUNIO 99. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / CUESTIÓN. Dibuja l rcinto limitado por las gráficas d las funcions y, y y 8. Halla l ára d s rcinto. El rcinto s l sombrado n la siguint figura. Los puntos d cort d las gráficas son. 8 El ára s: / A ( 8 ) d d 7 / / /

24 ARAGÓN / SEPTIEMBRE. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / CUESTIÓN A CUESTIÓN A Calcular l ára ncrrada ntr las gráficas d la rcta y y la parábola y (, puntos) El ára ncrrada ntr ambas curvas s la sombrada n la siguint figura. La parábola y la rcta s cortan n los puntos las solucions dl sistma y y, qu son (, ) y (, ); puntos d abscisas y. Por tanto, l ára pdida vin dada por la intgral A ( ) 9 8 d

25 MADRID / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / EJERCICIO S considra la función ral d variabl ral dfinida por: f ( ) a) ( punto) Hallar la cuación cartsiana d la rcta tangnt n l punto d inflión d abscisa positiva d la gráfica d f. b) ( puntos) Calcular l ára dl rcinto plano limitado por la gráfica d f, la rcta antrior y l j. a) S hac la drivada sgunda: 6 6 f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) f () o. Puntos d inflión: (, /), (, /). Est último s l punto d inflión d abscisa positiva. Tangnt n (, /): y f ( a) f ( a)( a) y ( ) 8 y 8 8 b) En l intrvalo [, ], qu s l d intgración, la rcta tangnt va por ncima d la curva; n conscuncia, l ára pdida val: A 8 arctag π d arctag La situación gráfica s la indicada a continuación. A s un srvicio gratuito d Edicions SM

26 OPCIÓN A CUESTIÓN A San las parábolas y y 8 6. a) Rprsntar sus gráficas. b) Calcular los puntos dond s cortan ntr sí ambas parábolas. c) Hallar la suprfici ncrrada ntr las dos parábolas. a) Para rprsntarlas damos algunos pars d valors: y 9 y S obtin las gráficas d la siguint figura. b) Al dibujarlas s obsrva qu s cortan n los puntos (, ) y (, ). Si no s hubisn obtnido dirctamnt sos puntos, para dtrminarlos s rsulv l y sistma: 8 6 y 8 6 Puntos (, ) y (, ). ;

27 c) La suprfici ncrrada ntr ambas parábolas s la sombrada n la figura antrior. Su valor vin dado por: A ) ( 6)) 8 ( ( d d 9 8 9

28 a) Dibuja l rcinto limitado por las curvas y, y y. b) Halla l ára dl rcinto considrado n l apartado antrior. a) El rcinto pdido s l sombrado n la siguint figura. b) Cort d las curvas: El ára vin dada por: A d d La primra intgral s impropia: c ( ) lím ( d d lím c lím ) c c c c La sgunda intgral val: ( ) d Por tanto: A

29 OPCIÓN A EJERCICIO Sa I d a) [, puntos] Eprsa I aplicando l cambio d variabl b) [, puntos] Calcula l valor d I. a) Si t dt d t. Admás, d t t. Por tanto: para s tndrá: t t para s tndrá: t t Sustituyndo: I d d ( t ) dt t t dt t b) Oprando: / / / / / / / / t t ( t t ) dt / / / / / /

30 MADRID / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / EJERCICIO EJERCICIO S considra la función ( ) f ( ) a) ( punto) Calcular las asíntotas, l máimo y l mínimo absolutos d la función f(). b) ( puntos) Calcular f ( ) d a) El dnominador d la función no s anula para ningún valor d ; por tanto no hay asíntotas vrticals. Como ( ) lím lím ± ± (aplicando L Hôpital) lím ( ) 8 L H lím ± ± 8 la función tin por asíntota horizontal la rcta y. Máimo y mínimo. Hacmos la drivada y la igualamos a : ( ) f ( ) 6 f ( ) 6 ± ( ) Como: para < /, f () > f() crc para / < < /, f () < f() dcrc En / hay un máimo para > /, f () > f() crc En / hay un mínimo Los valors máimos y mínimos son, rspctivamnt, f ( / ) y f ( / ). NOTA. La istncia d la asíntota horizontal s suficint para sabr qu tanto l máimo como l mínimo son absolutos. b) f ( ) d ln( ) ln d d

31 ARAGÓN / JUNIO. LOGSE / MATEMÁTICAS II / ANÁLISIS / OPCIÓN A / CUESTIÓN A CUESTIÓN A Calcular l ára ncrrada ntr la gráfica d la función ponncial f ) ( y la curda a la misma qu un los puntos d abscisas y. (, punto) Los puntos d la gráfica son: P (, ) y Q (, ). La curda, la rcta qu pasa por P y Q, s: y y En la figura dibujamos la curva y la curda. c) El ára ncrrada ntr la curva y la curda s la d la part sombrada n la figura antrior. Su valor vin dado por: A d