TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

Transcripción

1 TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposicions d Scundaria) TEMA 3 FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS Y SUS RECÍPROCAS. SITUACIONES REALES EN LAS QUE APARECEN.. Introducción.. Funcions circulars... Funcions d Sno y Cosno.... Sn y Cos para [0, π].... Etnsión d Sn y Cos a todo... Función Tangnt..3. Funcions Circulars Invrsas..4. Funcions Circulars Rcíprocas..4.. La Rcíproca d la función Sn..4.. La Rcíproca d la función Cos La Rcíproca d la función tg. 3. Funcions Hiprbólicas. 3.. Función Sh y Ch 3... Estudio d la Función Sh Estudio d la Función Ch. 3.. Función Th Estudio d la función Th Funcions Hiprbólicas Invrsas Estudio d la función Cth Funcions Hiprbólicas Rcíprocas La rcíproca d la función Sh La rcíproca d la función Ch La rcíproca d la función th. 4. Situacions Rals n las qu aparcn. Bibliografía Rcomndada. /8

2 TEMA 3 FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS Y SUS RECÍPROCAS. SITUACIONES REALES EN LAS QUE APARECEN. Funcions Circulars Hiprbólicas y sus Rcíprocas. Situacions rals n las qu Aparcn.. INTRODUCCIÓN. La trigonomtría studia la rlación ntr ángulos y lados n un triángulo. A partir d st problma aparntmnt tan simpl, surgn las funcions circulars. Ants d procdr a su dfinición, vrmos algunos concptos prvios. DEF Dos smirctas r y s con orign común dtrminan un ángulo. Las dos smirrctas son los lados y l orign s l vértic dl ángulo. DEF Un par d smirrctas (r, s) con orign común dtrminan un ángulo dirigido, dtrminado por l giro d cntro dl orign, qu llva coincidir la primra con la sgunda, sgún l sntido contrario al d las agujas dl rloj. Partindo d la dfinición antrior y suponindo qu tnmos dos js d coordnadas prpndiculars OX y OY, podmos situar todos los ángulos d manra qu la primra d las smirrctas coincida con l smij OX positivo. A dicho smij s l llama orign d ángulos. El ángulo quda dtrminado dando sólo una smirrcta. fig. DEF Llamarmos Circunfrncia trigonométrica a la qu tin su cntro n l orign d coordnadas y radio unidad. La única smirrcta qu dtrmina un ángulo n un sistma d js coordnados (la otra s l orign d ángulos) corta a la circunfrncia trigonométrica n un solo punto. Por tanto, podmos simplificar la dtrminación d un ángulo dando simplmnt un punto d la circunfrncia. Los puntos (, y) prtncints a la circunfrncia vrifican la condición: + y DEF Sa α l ángulo dirigido dfinido por l punto ( o, y o ) prtncint a la circunfrncia trigonométrica. Llamarmos sno dl ángulo dirigido al valor y o y cosno dl ángulo dirigido a o. /8

3 Sn α y o Cos α o fig. A partir d la dfinición antrior podmos obtnr l snos y l cosno d un ángulo cualquira qu podamos rprsntar n la circunfrncia trigonométrica. Pro cómo s midn los ángulos?. La forma más antigua d mdir los ángulos s n grados. En un sistma d bas 60 qu fu hrdado por los grigos d los babilonios. Una circunfrncia complta tin 360º. Un grado s subdivid n 60 minutos y cada uno d stos n 60 sgundos. La dfinición qu hmos dado para l snos y l cosno nos prmit conocr stos valors d cualquir ángulo comprndido n una circunfrncia. α [0º, 360º] Si mdimos los ángulos n grados, minutos y sgundos, cuánto mdiría un ángulo d º?. Como n época d los babilonios o grigos no conocían los númros irracionals, no s ncontraron con la dificultad antrior. Para podr rsolvrla, surgió otra forma d mdir los ángulos: n radians. DEF Un radian s l ángulo qu tin l arco d la misma longitud qu l radio, dond arco y radio corrspondn a la misma circunfrncia. Sabindo qu la longitud d la circunfrncia s πr, sindo r l radio d la misma, tnmos qu l ángulo qu abarca toda la circunfrncia, 360º, quival a π radians. Podmos pasar d un ángulo α mdido n radians, R, a mdido n grados, G, mdiant la prsión π R 80 G Con sta nuva fórmula d mdir ángulos, y tnindo n cunta qu s radian, concluimos qu, al sr l radio d la circunfrncia trigonométrica, mdir ángulos s lo mismo qu mdir la longitud dl arco qu abarca. 3/8

4 Ahora vamos a tndr la dfinición dl sno y cosno a un ángulo α cualquira cuyo valor s un númro ral y stá mdido n radians. Pro n lugar d ralizar la dfinición n términos d longitud, rsulta más fácil n términos d áras, las cuals podmos prsarlas mdiant intgrals. Supongamos qu α s l ángulo dtrminado por un punto P d la circunfrncia trigonométrica fig. 3 Si P (, y) s vrifica qu + y. Si l ángulo α stá mdido n radians, su valor coincid con la longitud dl ára qu dtrmina. Llamarmos l a la longitud dl l arco dtrminado por α (l α). Est arco contin d la longitud total d la π circunfrncia, qu s π. Si llamamos S al sctor dtrminado por las smirrctas OX positiva, OP y l arco d la circunfrncia d longitud l, l ára d S s: ( S ) A qu s obtin fácilmnt tnindo n cunta qu l ára dl círculo s π. l Podmos, pus, dfinir sn α y cos α como las coordnadas d un punto P d la circunfrncia trigonométrica tal qu l sctor qu dtrmina tin ára α (con α mdido n radians).. FUNCIONES CIRCULARES... Funcions Sno y Cosno.... Sn y Cos para [0, p]. Vamos a iniciar l studio d las funcions circulars con las funcions Sno y Cosno. En principio vamos a dfinirlas cuando l ángulo α prtnc a la smicircunfrncia positiva (α [0, π]), para lugo ir tndindo la dfinición. Como acabamos d vr qu un punto P(, y) d la circunfrncia dtrmina un α ángulo, sindo cos y sn y qu l ára dl sctor qu dtrmina α s, 4/8

5 vamos a tratar d obtnr una prsión analítica para l ára d un sctor situando n la smicircunfrncia positiva. Sa f ( ) con [-, ] la smicircunfrncia positiva. Un punto cualquira d dicha smicircunfrncia srá Si [0, ] (, ) P con [-, ] fig. 4 El ára dl sctor pud dscomponrs como suma dl ára dl triángulo XOP más l ára ncrrada bajo la smicircunfrncia. Si [-, 0] A ( ) + t dt fig. 5 En st caso l ára dl sctor s al ára ncrrada por al smicircunfrncia mnos l ára dl triángulo XOP. A ( ) ( ) t dt rcordmos qu scribimos - ya qu [-, 0] s + t dt El ára dl sctor d la circunfrncia dtrminado por (, ) P con [-, ] 5/8

6 6/8 ( ) + dt t A PROP La función A: [-, ] dfinida por ( ) + dt t A vrifica: ) Es continua n todo su dominio. ) Es drivabl n (-, ) y A () 0. 3) ( ) ( ) 0 A y A π Dm. ) Trivial ) Si [-,] A() s drivabl y s tin qu: ( ) + + ) ( ' A ( ) 0 ) ( ' A 3) 0 ) ( π + dt t A A()0 Trivialmnt D la proposición antrior dducimos qu A() s una función strictamnt dcrcint y, por tanto, inyctiva. Podmos dcir aun más; la función A: [-, ] [0, π ] Es biyctiva. Rtomando nustro problma inicial, para α [0, π] qurmos dfinir Sn α y Cos α como las coordnadas d un punto P(cos α, sn α) d la circunfrncia trigonométrica qu dtrmina un sctor cuya ára s α.

7 α α ( ). Como α [ 0, π] [ 0, π ] Rang A( ) Al sr la función A() biyctiva, podmos garantizar la istncia d un único α o [-, ] tal qu A( o ) para un α concrto. DEF A ( ) o Si α [0, π], dfinimos cos α como l único númro o [-, ] tal qu α. S dfin sn α como o. Lugo dado α [0, π] s vrifica ( cos ) snα cosα α A α y por l torma d Pitágoras Si construimos una nuva función D() como D: [-, ] [0, π] X D() A() Podmos afirmar qu D() s una función biyctiva. Y s vrifica qu D(cos α) α α [0, π] Por tanto, la función cosno s la rcíproca d la función D Cos D - () Y dducimos qu sn ( D ( ) ) vrificándos n ambas dfinicions qu [0, π]. Tnmos pus qu Cos: [0, π] [-, ] X cos D - () Y tnindo n cunta qu sn cos Sn: [0, π] [0, ] sn cos 7/8

8 Podmos obsrvar qu la función sn, dond la tnmos dfinida, s positiva. Vamos algunas propidads d ambas funcions. PROP Si [0, π] s vrifica ) La drivada d Cos s - Sn : (Cos ) - Sn ) La drivada d Sn s Cos : (Sn ) Cos Dm. La drivada d la función A() s A ( ) sindo ntoncs D ( ) y como Cos D - () ( ) ( Cos) D ( ) ( D ( ) ) Cos Cos ( ) ( ) ( Cos) Cos Sn Cos Sn Sn Cos Cos Sn OBS La función Cos, dond la tnmos dfinida, s una función dcrcint strictamnt, ya qu su drivada s positiva. Calculmos algunos valors d la función cos : 0 A ya qu A() 0. 0 ( Cos0 ) 0 A( Cos0) 0 Cos0 π π A ( Cosπ) Cosπ ya qu A( ) π π π π π Cos Cos 0 4 A ya qu A( 0) π 4 Justifiqumos st último rsultado: 8/8

9 0 0 A( 0) + t dt A( 0) t dt t 0 0 t dt t dt dt t dt y como t dt π (ára dl smicírculo) quda qu A( o) π 4 Sabindo qu la función Cos s dcrcint y los trs valors calculados ants podmos rprsntarla, sindo fig. 6 Para rprsntar la función sn tngamos n cunta qu: ( Sn) > 0 Cos < Entoncs Sn ( 0, π ) si π si, π Estrictamnt Crcint Estrictamnt Dcrcint ( 0, π ) ( π, π) Y prsnta un máimo n π Sn0 Cos 0 0 Snπ Cos π ( ) 0 π π Sn Cos 0 9/8

10 lugo su rprsntación gráfica s fig Etnsión d Sn y Cos a todo. Los valors d las funcions sn y cos con [π, π] los podmos calcular d la siguint forma: Sn Sn π ( ) ( ) Cos Cos π Estas dfinicions provinn d obsrvar la circunfrncia trigonométrica y rcordar las dfinicions para sn y cos con [0, π] P(cos, sn ) ra un punto d la circunfrncia. Es fácil tndr las gráficas d sn y cos al intrvalo [0, π], ya qu los valors para [π, π] s basan n los qu obtin l cos y sn n [0, π] rspctivamnt, los cuals nos son conocidos. Por tanto tnmos qu Sn con [0, π] Cos con [0, π] fig. 8 fig. 9 0/8

11 Al tnr n [0, π] Rang (sn ) [0, ] Rang (cos ) [-, ] Entoncs n [π, π] Rang (sn ) [-, 0] Rang (cos ) [-, ] Y dducimos qu ambas funcions tinn d rango [-, ] cuando [0, π]. Ants d tndr la dfinición a todo númro ral hmos d tnr n cunta qu los ángulos son mdidos modulo 360º o módulo π. Eso s dbido a qu si rprsntamos un ángulo d 400º n la circunfrncia, l punto d la misma qu lo dtrmina al ángulo d 40º, y a cualquir otro ángulo qu provnga d sumar 40º a un númro ntro d vultas d circunfrncia. Por tanto, tnmos qu Si Kπ + o con K y o [0, π] Sn Sn o Cos Cos o Las construimos d forma qu son priódicas d priodo π. Y por tanto, l rango d ambas funcions sigu sindo [-, ]. Sn: [-, ] Sn o sindo πk + o con o [0, π] Cos: [-, ] Cos o sindo πk + o con o [0, π] Y sn cos y Cos D ( ) o o PROP Las funcions sn y cos con vrifican ) Sn + Cos ) (Sn ) Cos Kπ 3) (Cos ) - Sn Kπ o /8

12 Sn Dm. ) K / πk + o con o [0, π] ( + πk ) + Cos ( + πk ) Sn + Cos + Cos Sn o o o o Val porqu P(Cos o, Sn o ) s un punto d la circunfrncia trigonométrica. ) Si (0, π) sabmos qu s cirto. Si (π, π) sn - sn(π - ) (sn ) (- sn(π - ) y como π - (0, π) (- sn(π - ) (- cos(π - ) (- ) (sn ) cos (π - ) cos Si toma cualquir otro valor (no múltiplo d π) s rduc 3) Análogo al ). OBS Las drivadas d las funcions Sn y Cos no stán dfinidas n los valors múltiplo ntro d π. Ello s dbido a qu la función A() no tnía drivada para ±. Aún así vamos a tndr la dfinición para qu ambas drivadas san continuas. Nos basarmos n l siguint torma. TEOREMA Sa f() una función continua n a, ist f () E*(a, ε) y ist lim f ( a ). Entoncs ist f (a) y s f (a) lim f (). a COROLARIO ) (Sn ) Cos ) (Cos ) - Sn PROP S vrifican las siguints prsions: Sn( + π) Sn Cos( + π) Cos ) Sn( ) Sn Cos( ) Cos ) Sn π cos /8

13 3) Cos π sn Dm. Inmdiatas.. Función Tangnt. DEF Dfinimos la función tangnt como simpr qu cos 0. tg: tg sn cos Vamos ahora dond la función tg no stá dfinida, qu srá cuando cos 0. sn cos 0 cos 0 cos 0 + cos sn sn ± S corrspond con los puntos (0, ) y (0, -) d la circunfrncia, y sos puntos π 3π dfinn los ángulos d y radians. Al sr la función cos priódica d priodo π, rsulta qu s anula n π πk + y 3π + πk K, sindo sos puntos π también prsabls como + πk K. Dom tg - π / + Kπ K Z Por tanto, ( ) Para sabr l priodo d la función tangnt tnmos qu ( + π ) ( + π ) Sn Sn tg ( + π ) tg Cos Cos pro π no s l priodo, ya qu también s vrifica ( + π) ( + π) Sn Sn tg ( + π) tg Cos Cos y como π s l númro más pquño, strictamnt positivo, tal qu ( + P) tg tg 3/8

14 podmos afirmar qu P π s l priodo d la función tangnt. PROP S vrifica Dm. + tg cos Sabindo qu Sn + Cos y qu Sn + tg + Cos Cos Cos sn tg tnmos qu cos PROP La función tg s drivabl n todo su dominio sindo Dm. ( ) tg cos ( ) ( Sn) Cos Sn( Cos) Sn Cos + Sn tg Cos Cos Cos Cos PROP La función tg vrifica ) tg(- ) - tg ) tg π tg Dm. sn( ) sn ) Tg( ) tg cos( ) cos π sn π cos ) Tg π sn tg cos La rprsntación d la función tg s 4/8

15 fig Funcions Circulars Invrsas. DEF Las funcions circulars invrsas son: π ) Scant Sc + K π Cos K ) Coscant Cosc Kπ K Sn Cos 3) Cotangnt Cotg Kπ Sn K PROP Las drivadas d las funcions circulars invrsas son ) ( Sc ) Sc tg ) ( Cosc ) Cosc Cotg Co Sn 3) ( tg ) Dm. Inmdiata. La rprsntación gráfica d las funcions circulars s ) Sc 5/8

16 fig. ) Cosc fig. 3) Cotg fig Funcions Circulars Rcíprocas. Las funcions circulars las tnmos dfinidas d n y no son biyctivas. Para podr obtnr sus rcíprocas, primro hay qu rstringirlas a un intrvalo adcuado. Hablando con propidad, las funcions circulars no tinn rcíproca, pro si unas rstriccions suyas adcuadas..4.. La Rcíproca d al función Sn. Dfiníamos f() como 6/8

17 π π f :, Sn La función f() dfinida como la función sn rstringida al intrvalo s biyctiva. π π, fig. 4 La rcíproca d la función f() rcib l nombr d arco sno y s dnota como: π π arcs : [, ], arcsn y su rprsntación gráfica s PROP Si (-, ) s vrifica fig. 5 ( ar cos n) Dm. 7/8

18 ( ) ( ar cos n) f ( ) f (( f ( ) )) sn f ( ) ( ( )) cos( arcsn ) ya qu sn ( arcsn ) + Cos ( arcsn ) + Cos ( arcsn ) Cos ( arcsn ) Tomamos la raíz cuadrada positiva porqu cosno s positivo. π π arcsn, y por tanto su.4.. La Rcíproca d la función Cos. Dfinimos f() como f: [0, π] [-, ] Cos Así dfinida, f() s una función biyctiva y por tanto ist su rcíproca. Su rprsntación gráfica s: fig. 6 La rcíproca d la función f() rcib l nombr d arcosno y s dnota como: arccos: [-, ] [0, π] arccos y su gráfica s 8/8

19 fig 7 PROP Si (-, ) s vrifica ( arccos ) Dm. ( ) ( arcsn ) f ( ) arccos ( Cos( ) ) Sn( arccos ) ya qu Sn ( arccos ) + Cos ( arccos ) Sn( arccos ) igualmnt tomamos la raíz positiva porqu arccos (0, π) y por tanto su sno s positivo La Rcíproca d la función tg. Dfinimos f() como π π f :, tg Así dfinida, f() s una función biyctiva y por tanto ist su rcíproca. La rcíproca d la función f() rcib l nombr d arcotangnt y s dnota como sindo su gráfica arctg : π π, arctg 9/8

20 fig. 8 PROP s vrifica Dm. ( arctg ) + ( arctg ) tg ( tg( arctg ) ) ( y) + tg y + sindo y arctg tg y tg y OBS D forma análoga obtndríamos, n l mayor intrvalo posibl, las rcíprocas d las funcions invrsas. ) La rcíproca d la sc s arcosc. ) La rcíproca d la cos s arcosc. 3) La rcíproca d la cotg s arccotg. 3. FUNCIONES HIPERBÓLICAS. La circunfrncia trigonométrica tin como cuación + y y sus cuacions paramétricas son cost y sn t Por so las funcions Sn y Cos rcibn l nombr d funcions circulars. D forma análoga, dada la cuación d una hipérbola a b y 0/8

21 vmos qu sus cuacions paramétricas son a Cht y b Sht sindo Sht l sno hiprbólico d t y Cht l cosno hiprbólico d t. Estas funcions, qu ahora dfinirmos, son las llamadas funcions hiprbólicas. Aunqu no lo vamos a hacr, podriamos dfinir stas funcions gométricamnt d forma muy similar a como lo hmos hcho para l sn y cos. 3.. Funcions Sh y Ch. DEF Dfinimos la función Sno hiprbólico como Sh y la función Cosno hiprbólico como Ch + PROP Las funcions Sh y Ch vrifican ) Ch Sh ) Ch ( + y) Ch Chy + Sh Shy 3) Ch ( y ) ch chy sh shy 4) Sh ( + y) Sh Chy + Ch Shy 5) Sh ( y ) Sh Chy Ch Shy 6) Sh ShCh 7) Ch Ch + Sh 8) + Ch Ch 9) Ch Sh Dm. ) Ch Sh ( Ch + Sh)( Ch Sh) /8

22 y + y + y ) Ch( + y) Sabmos qu ( Ch + Sh) y ( Ch Sh) ( Ch + Sh)( Chy + Shy) + ( Ch Sh)( Chy Shy) y ChChy+ ChShy + ShChy + ShShy + Ch Chy ChShy ShChy+ ShShy ChChy+ ShShy Ch Chy + ShShy 3) 4) 5) Análogas a la antrior. 6) Sh Sh( + ) ShCh + Ch Sh ShCh 7) 8) 9) Análogas a la antrior Estudio d la función Sh. Ahora hmos d tnr n cunta las propidads d la función ponncial,, la cual studiamos n l tma antrior. Como Sh, podmos dcir: ) Dom(Sh ) ) Corta a los js n l orign (0, 0), pus Sh0 0 3) Tin simtría Impar. Sh ( ) Sh 4) Es strictamnt Crcint ya qu + ( Sh) Ch > 0 /8

23 su drivada s positiva. Por tanto no prsnta máimos ni mínimos. 5) ( Sh) Convan Sh Concava n ( 0, + ) (,0) Prsnta un punto d inflión n (0, 0) 6) No tin asíntotas horizontals, ni vrticals, ni oblicuas Estudio d la función Ch. Ralizarmos un studio análogo al antrior par la función Ch. ) Dom( Ch) ) Corta a los js n (0, ) pus Ch0. 3) Tin simtría par Ch 4) ( ) Sh + + ( ) Ch Ch Dcrcint n (-, 0), ya qu Sh < 0 - Crcint n (0, + ), ya qu Sh > 0 + 5) (Ch) Ch > 0 Es simpr conva. 6) No tin asíntotas d ningún tipo. 3.. Función Th. DEF La función Tangnt hiprbólica, qu s rprsnta por Th s Th Sh Ch ó Th + PROP La función Th vrifica Th ) Th + Th Ch ) th + Ch 3/8

24 3) 4) + Th Ch Th Th Sh Th 3... Estudio d la función Th. ) Dom(Th) ya qu su dnominador, Ch, no s anula nunca. ) Corta a los js n (0, 0) ya qu th0 0. 3) Es simétrica impar: th ( ) Sh Ch ( ) ( ) Sh Ch th 4) Es strictamnt crcint: Ch Ch Sh Sh. Ch Ch ( th) > 0 Sh th Cóncava n - 3 Ch 5) ( ) Conva n + 6) Tin asíntotas horizontals n y ± ya qu lim th y lim th Funcions Hiprbólicas Invrsas. + DEF La función invrsa dl Sh s la coscant hiprbólica, cosch, y s dfin como Cosc h Sh DEF La función invrsa dl Ch s la Scant hiprbólica, Sch, y s dfin como Sch Ch DEF La función invrsa d la th s la cotangnt hiprbólica. Cth th 4/8

25 Ahora vamos a ralizar l studio d sta última función. Para no ritrarnos, omitirmos l studio d las otras dos Estudio d la función Cth. ) Dom(Cth) - {0}. ) No corta a los js. 3) Simétrica impar Cth ( ) Cth Cth Sh Es strictamnt dcrcint. 4) ( ) < 0 0 5) ( Cth) Sh Ch Concava Sh Conva (,0) ( 0, + ) No hay punto d inflión n 0 ya qu 0 Dom(Cth) 6) lim Cth Asíntota Horizontal positiva n y. + lim Cth Asíntota Horizontal ngativa n y -. lim Cth o lim Cth Asíntota Vrtical por la izquirda n 0. Asíntota Vrtical por la drcha n Funcions Hiprbólicas Rcíprocas La rcíproca d la función Sh. La función Sh sabmos qu s una biyctiva d n, lugo admit función rcíproca, qu también srá una biycción d n. S rprsnta por Argsh. La gráfica d Argsh s simétrica d Sh con rspcto d la rcta y. Como podmos comprobar, s trata d una función strictamnt crcint, qu pasa por l orign, s simétrica impar, no prsnta trmos rlativos y tin un punto d inflión n (0, 0), sindo conva n - y cóncava n +. Vamos como podmos prsar sta función: y arg sh Shy y y y y 5/8

26 y y 0 y s solución d la cuación z z 0 y z ± z ± + y tomamos la raíz cuadrada positiva ya qu y > y lu ( + + ) y arg sh lu( + ) La rcíproca d la función Ch. La función Ch no s biyctiva. Si nos qudamos con la rama corrspondint a valors d positivos, tnmos qu la función Ch dfin una biycción ntr + y [, + ). Podmos hablar ntoncs d su función invrsa, qu rcib l nombr d y argch. Su gráfica s simétrica d la rama corrspondint a 0 d Ch rspcto d al bisctriz y. Para ncontrar otra prsión qu nos d argch ralizamos un procso análogo al dscrito para argsh, dando ( + ) arg ch lu La rcíproca d la función th. La función y th s una biycción d n (-, ). Su función rcíproca rcib l nombr d argth y sta dfinida d (-, ) n. Como th Sh Ch, vamos a ncontrar otra prsión para y argth. Y y y argth thy y y + y y + y y y ( ) ( ) + ( )( ) + y ± + Nos qudamos con la raíz cuadrada positiva ya qu y > 0. + y lu (, ) 6/8

27 4. SITUACIONES REALES EN LAS QUE APARECEN. Las funcions circulars son básicas para l studio d las funcions priódicas, ya qu cualquira d éstas s pud prsar n función d Sn m y Cos m. Vamos un conjunto d fnómnos naturals priódicos qu los podmos prsar mdiant funcions circulars. a) Moviminto Pndular. b) La posición d las agujas d un rloj con rlación a un punto orign. c) El Moviminto d subida y bajada dl émbolo n un motor d plosión. d) Moviminto d una noria d fria, dond la altura d una prsona montada varía a lo largo d una vulta, y s rpit n todas las dmás. ) Cálculos d navgación o astronomía. f) Las lys qu rign l moviminto armónico simpl. g) La actividad léctrica dl crbro. h) La Intnsidad d Corrint altrna d un circuito. Las funcions hiprbólicas tinn aplicación n situacions d tipo técnico. a) La Catnaria s la curva qu forma un cabl suspndido n l air y solo sujto por sus trmos (s Ch). b) Al calcular la longitud d un arco d Catnaria aparc Sh. c) Las rcíprocas d las funcions hiprbólicas también nos las ncontramos al ralizar la intgración d funcions dond aparcn prsions d la forma. 7/8

28 Bibliografía rcomndada. Análisis Matmático I. Aut. J.A. Frnándz Viña. Ed. Tcnos Lccions d Cálculo Infinitsimal I. Aut. R. Molina Lgaz, M. Franco. Ed. Univrsidad d Murcia. Principios d Análisis Matmático. Aut. W. Rudin. Ed. McGraw-Hill Curso d Análisis Matmático I. Aut. E.L. Luna. Ed. Edunsa, 99. Calculus. Aut. M. Spivak. Ed. Rvrté. Análisis Matmático. Aut. M. d Guzmán, B. Rubio. Ed. Pirámid. Calculus. Aut. Apostol. Ed. Rvrté Introducción al Análisis Matmático. Aut. J.M. Ortga. Ed. Labor 8/8