1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funciones f ( x)

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1 IES Padr Povda (Guadi) UNIDAD : INTEGRAL INDEFINIDA.. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Dadas dos funcions f y F dfinidas n un dominio D, dcimos qu: Ejmplos: f F s una primitiva d F f f si a) cos F sn ya qu F cos f. b) f F ya qu F f. c) f cos F sn ya qu F cos f. Fíjat n l último jmplo: Si la función primitiva tin una constant, ésta s pird al drivar F. Por tanto: F s una primitiva d f F también lo s. Si Es dcir, todas las primitivas d una función s difrncian n una constant. Intgral indfinida d f: Es l conjunto formado por todas las primitivas d la función f. d F f con k R. Intgral indfinida d f rspcto a. Símbolo intgral. f Intgrando. d Indica la variabl rspcto a la qu stamos intgrando. k Constant d intgración. A psar d sr opracions invrsas, la drivación y la intgración NO tinn l mismo grado d dificultad: Drivación: D modo mcánico s calcula la drivada d cualquir función complicada. Intgración: Eistn funcions sncillas, cuya intgral no s pud prsar con funcions lmntals, como por jmplo: sn d Propidads d la intgral indfinida: f d f [. f d f k R f g d f d d k d. f g d f a) b). c) [ g d. d) Cuidado!! d g d. Drivación f f Intgración Drivación intgración son procsos invrsos. Unidad : Intgral Indfinida

2 IES Padr Povda (Guadi). INTEGRALES INMEDIATAS. 0 d k TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Funcions simpls Funcions compustas d n n d n n n [ [ f f f d n n f d ln d ln f f d f d f f a a d ln a d f f a a f d ln a sn cos sn ( f ) f d cos f d sn d sc d cos ( tg ) d tg cos cos ( f ) f d sn f f d ( ) sc f f d cos f tg f f d tg f d cos c sn d f d cosc ( f ) f sn f ( cot g ) d cot g cot f f d cot g f d arcsn k [ f d arcsn f f d arccos k [ f d arccos f d arctg k f d arctg [ f f k d ( g ) f Otras intgrals inmdiatas: tg sc d sc cot g cosc d cosc a d arcsn a a d arccos a a d arctg a a Unidad : Intgral Indfinida

3 IES Padr Povda (Guadi) Ejmplo: Halla una primitiva d la función f para. Solución: ( ) d F Como () 0 k 0 k, sabindo qu sa primitiva s anula F Por tanto: F. Ejrcicio : Dada la función f, calcula: a) La primitiva cuya gráfica pasa por l punto A (,). b) La primitiva qu s anula para. Ejrcicio : Dtrmina f () sabindo qu f, f ( 0) 0, f ( 0) y f ( 0). Ejrcicios: Calcula las siguints intgrals: a) d b) d c) d d) d ) d f ) d g) d h) ( ) d i) ( ) d j) d k) d l) d m) d n ) d ñ) d 6 o) sn d p) d q) d r) d s) d ( ) sn t) d u) d v) d w) d cos cos sn ) d y) d sn z) cos d sn cos. MÉTODOS BÁSICOS DE INTEGRACIÓN... Intgración por dscomposición. Función intgrando S prsa como combinación linal d funcions qu sabmos intgrar d modo inmdiato aplicando las propidads d la intgral indfinida. Ejrcicios: Calcula: ( ) a) d b) cos d c) d d) d 9 6 ) d f ) d g) d h) d i) d j) d k) d l) tg d m) d 0 n) d ñ cos sn ) d o) sn cos cos d p) d cos Unidad : Intgral Indfinida

4 IES Padr Povda (Guadi).. Intgración por sustitución (cambio d variabl). f d NO INMEDIATA Dada ) Ralizamos l cambio d variabl: t g o bin: dt g d g ( t) d g ()dt t ) Sustituimos n l intgrando y calculamos la nuva intgral. ) Dshacmos l cambio d variabl. Otros cambios d variabl Intgral tipo: a d Cambio: a sn t Ejmplo: 9 d snt Intgral tipo: a d Cambio: a cos t Ejmplo: cos t Intgral tipo: n m d sn cos d Cambios: a) n impar: t cos b) n par m impar: t sn c) n y m pars: S aplica: cos sn cos cos Ejmplos: t dt dt a ) d arctgt arctg d dt d dt t / t b) t t d dt d dt d dt / ( ) ( ) t t dt 8 t dt t c ) d t dt t d dt 8 8 t Ejrcicios: Calcula: 8 ( ln ) a) d sn b) cos d c) sn cos d d) ( ) d ) d f ) d g d 9 h) d i) d j ln d k cos d 9 l) d 8 tg m) d tg p sn ) d q cos ( ln ) tg t) d u) d cos sn n) d ñ) d o) cos 6 ) d r) d s) d d.. Intgración por parts. Dadas dos funcions u u, v v drivabls n un dominio D. Por la fórmula d la difrncial d un producto: d u v u dv v du u dv d( u v) v Intgrando du udv d ( u v) vdu u v vdu Es dcir: udv u v vdu S utiliza simpr qu vdu sa más fácil d calcular qu udv. Fórmula d intgración por parts Unidad : Intgral Indfinida

5 IES Padr Povda (Guadi) Ejmplos: u du d a) d d dv d v ( ) u du d b ) cos d sn snd sn dv d v sn cos cos u ln du d c ) ln d ln / d ln (ln ) dv d v / d) u arcsn du d arcsn d arcsn dv d v d arcsn d arcsn u arctg du d arctg d arctg d arctg dv d v ) arctg ln( ) arctg ln f ) A vcs hay qu rptir la intgración por parts: u du d sn d cos dv sn d v cos ( cos) d u du d cos cosd dv cos d v sn ( sn sn d) cos sn k cos cos g ) También pud ocurrir qu al intgrar una o dos vcs, s obtnga una intgral igual qu la d partida (intgración por parts n forma cíclica): u du d u du d cos d sn sn d dv cos d v sn dv sn d v cos sn cos cosd sn cos cos d ( ) Si llamo I cos d I ( sn cos ) I ( sn cos ) cos d ( sn cos ) d Ejrcicios: Calcula: a) sn d b) ln d c) ln d ) arctg d f ) cos d g) ( ) d d) sn d Unidad : Intgral Indfinida

6 IES Padr Povda (Guadi).. Intgración d funcions racionals. P Consist n intgrar: d. Q Suponmos qu grad ( P ) < grad( Q ), ya qu n caso contrario fctuamos prviamnt P R la división d polinomios: C con lo cual: Q Q P Q, R d C d Q d A continuación studiarmos las raícs dl dnominador Q : Caso º: Las raícs son rals y simpls (distintas). Si a, b,..., n son las raícs d Q y: Q a b K Entoncs s posibl la dscomposición: A d a ( n) P A B N d d Q K a b n B N d L d Aln a B ln b L N ln n b n Ejmplo: / / d d d d d * ( )( ) ln ln *Dscomponmos l intgrando n fraccions simpls: A B A( ) B( ) A B ( ) ( ) ( )( ) Obtnmos A y B : Si A A / / / Si B B / ( )( ) ( ) Caso º: Las raícs son rals y múltipls. S hac igual qu l antrior, pro tnindo n cunta qu si a s una raíz múltipl d multiplicidad k, ntoncs pondrmos: A a A K A ( a) ( a) k Ejmplos: /8 / /8 d d d a) d d d d 8 8 ( ) ( ) ln ln ln ln k 6 Unidad : Intgral Indfinida

7 IES Padr Povda (Guadi) *Dscomponmos d nuvo l intgrando n fraccions simpls: A ( ) ( ) Obtnmos A, B y C. B ( ) C A ( ) ( ) B( ) C( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B( ) C( ) A Si B B / Si 0 6C C /8 0 /8 Si A B C A ( ) ( ) /8 / /8 ( ) b d ( ) d d d ) d ( ) ( ) ln *Dscomponmos l intgrando: A B A( ) B A( ) B ( ) ( ) ( ) Obtnmos A y B : Si B Si A B A ( ) ( ) Ejrcicios: Calcula: Raícs rals simpls n l dnominador. a ) d 6 b) d c) d d) d Raícs rals múltipls n l dnominador. a) d b) 9 d Ejrcicios:. La figura mustra la gráfica d la función f. Si F s una primitiva cualquira d f, razona si son vrdadras o falsas las siguints afirmacions: a) F prsnta un máimo rlativo n b y un mínimo rlativo n a y c. b) F s strictamnt dcrcint n ( a, b). c) F s strictamnt crcint n ( c, ).. La figura mustra la gráfica d la función f. Dtrmina, a partir d la figura, la monotonía y los trmos rlativos d cualquir primitiva F d f. Unidad : Intgral Indfinida

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