TEMA 1 INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

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1 Cód TEMA INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. INTEGRAL INDEFINIDA Dfinición: S dic qu una función F() s una primiiva d la función f() si y sólo si F () = f() Ejmplo: F () = y F ()= son primiivas d la función f ( ) puso qu F () =F ()=f(). Obsrvación: Si F s una primiiva d f, ambién son primiivas d f odas las funcions d la forma F + k, sindo k Dfinición: El conjuno formado por odas las primiivas d una función f() s llama ingral indfinida d f y s rprsna por: f ( ) d Ya qu odas las primiivas d f() difirn n una consan, scribirmos: f ( ) d F( ) k Dond F s una primiiva d f, y k s una consan llamada consan d ingración. Obsrvación: En la prsión f ( ) d : El símbolo s llama símbolo ingral f() s llama ingrando d s llama difrncial d, indica qu la variabl rspco a la cual samos ingrando s. Eso oma snido cuando las funcions qu s considran son funcions d varias variabls. Así, n la siguin ingral: d dbmos considrar como una consan, minras qu l la ingral d dbmos considrar como una consan. Ejmplo: d k Propidads d la ingral indfinida. k f ( ) d k f ( ) d. f ( ) d k f ( ) d k f ( ) d k k. ( ) g( ) d f ( ) d f g( ) d Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s d 6

2 Cód Ejmplos: a) cos( ) d b) cos( ) d c) cos( ) d d) sn( ) d. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Para ingrar corrcamn s imprscindibl drivar bin, aplicar adcuadamn las propidads d las ingrals indfinidas y conocr las propidads d las funcions. Eisn varios méodos para calcular ingrals y no simpr s fácil lgir l méodo adcuado para ingrar. Los méodos d ingración qu vrmos srán:.. Ingrals inmdiaas: para calcular las ingrals indfinidas inmdiaas is una abla con unas formulias qu facilia l cálculo d sas ingrals. Esa abla s la invrsa d la abla qu is para drivadas... Ingración por pars: Es méodo s uiliza para l produco d dos funcions cuando una no s la drivada d la ora. f ( ) g( ) d.. Ingración d funcions racionals: Es méodo s uiliza para l cocin d dos ) funcions d y podmos nconrarnos con difrns casos: )... El numrador s la drivada dl dnominador noncs la ingral s inmdiaa... El grado dl numrador s mayor o igual al grado dl dnominador noncs s raliza la división nr los dos polinomios.... El grado dl numrador s mnor qu l grado dl dnominador noncs facorizamos l dnominador:... El dnominador sólo in raícs rals simpls... El dnominador in raícs rals con muliplicidad mayor qu uno.... El dnominador in raícs compljas... Ingración por cambio d variabl: Es méodo consis n cambia d variabl para obnr una qu s puda ingrar más fácilmn (inmdiaa, por pars, racional). Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s d 6

3 Cód MÉTODOS DE INTEGRACIÓN: INTEGRALES INMEDIATAS Las ingrals indfinidas inmdiaas son aqullas qu s pudn rsolvr uilizando sa abla. S dic qu una ingral inmdiaa s dl ipo sno por jmplo, porqu l rsulado d la ingral va a sr l sno d una función, sn (f()). TIPO Poncial Logarímica Eponncial Sno Cosno Tangn Coangn Arco sno/ Arco cosno Arco angn f a () f ()d f () d ln f () f () a f () f ( ) f ( ) COMPUESTA f () d a f () a k f ( ) a d ln a f ( ) k k k, a f () cos( f ()) d sn( f ()) k f () sn( f ()) d cos( f ()) k f () sc f () f () f () cos c f () d cos () d f () g f () d gf () k f () d co g f () d cogf () k f () d ar cos( f () ar cos n( f ()) k f f () d sn f () f ()) f () d ar co g( f ()) k f () k OBSERVACIONES Es más difícil clasificar las ingrals qu las drivadas. Por j. y = ln ( +) s vía claro qu ra logarímica (ó rgla d la composición) minras qu n las ingrals si sn f ngo d no s obsrva ningún logarimo y la ingral s logarímica d. cos f Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s d 6

4 Cód Hay qu innar buscar funcions y sus drivadas n las ingrals inmdiaas porqu al aplicar la rgla d la cadna n la drivación la s cambia por f() y s muliplica por f (). f ( ) cos d d f arcoag(sn()) k ( ) sn f ( ) d f ( ) f ( )cos( f ( )) d ln k cos( ) d sn( ) k Admás f() y f () dbn sar simpr n su siio. Por jmplo f () simpr sará muliplicando. Por jmplo si ncunro sa siuación la ingral no s inmdiaa: f ( ) cos f ( ) d sn d La ingración s l procso conrario a la drivación y cuando drivábamos una composición g(f()) aparcía la f () muliplicando por lo ano al ingrar db sar la f () muliplicando y dsaparc al ingrar. sn sn cos d k; (El cos dsaparc porqu aparc al drivar sn ) Las ingrals inmdiaas más difícils suln sr las compusas poncials. Por sn jmplo: sn cos d C; Es f () f ( ) con f() = sn, pro si l ponn s no s pon y uno in más dificulads para clasificarla como poncial. A la hora d clasificar la ingrals s buno ir dscarando los ipos qu no pudn sr. Eisn ingrals inmdiaas qu no s pudn clasificar dircamn y s ncsario prsarla d ora forma para hacrla inmdiaa. Para prsarla d ora forma s pudn aplicar las propidads d las funcions, sacar facor común, muliplicar y dividir por una misma función, sumar y rsar una función, c co g d No s pud clasificar dircamn, pro si aplico las propidads d las cos funcions rigonoméricas ngo d ln sn k sn Esas manipulacions s ralizan cuando no s pud clasificar la ingral. Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s d 6

5 Cód POTENCIALES. La función f() sá simpr n la bas d una poncia. 0 d k; a d a k, f a ( ) f ( ) d a f a k, a Si a = -, soy n l caso d la drivación logarímica. Idas úils n las poncials: Algunas poncials son difícils d clasificar porqu no vin l ponn. Por jmplo si l ponn s ngaivo o fraccionario la ingral pud vnir n l ingrando sin l ponn y srá difícil vr qu s una ingral inmdiaa. Una d las ponncials más difícils d clasificar son aqullas n las qu l ponn s uno porqu no aparc n l ingrando. También s imporan uilizar las propidads d las poncias d d d 6 9 sn cos d sn cos d k d d ln (sn) 0. co g ln(sn) d k; d d d k k g g 6. d g d k; cos cos 6 7 g 7. g g d g g d k; 6 d d d d sn sn cos d k; 6 sn sn cos d k; d k; d No s una ingral inmdiaa. 6 k; d d 6 k k; d k; d d Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s d 6

6 Cód LOGARÍTMICAS La función f() sá n l dnominador con su drivada n l numrador. f ( ) d ln f ( ) k f ( ) Idas úils n las logarímicas: Si la drivada d f() s una fracción, lo más probabl s qu n la ingral nos vnga l casillo hcho. Por d Ej. Si f() = ln, f () = / y n la ingral ndrmos: y no vndrá d la forma d ln ln Ejmplos 0. d d ln k ln k; ln d No s una ingral logarímica. sn sn. g d d d lncos k; cos cos. d d ln k; d. d ln ln k; ln ln g 6. g d d lng k; g g d d 0. d ln d No s logarímica. k; - - sn cos d ln sn k; sn d ln ln k ln k; Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s 6 d 6

7 Cód EXPONENCIALES La función f() sá n l ponn. f ( ) f ( ) a f () a d ln a f () f ( ) d Idas úils n las ponncials: Hay qu uilizar las propidads d las poncias. Ejmplos.. d k; ln ar co g ar co g ar co g. d d k;... d d d d d d 6 d 6 k; ln ln6 ln9 g g 6. d d sn cos d d 6 d 6 d d 6 d d No s ponncial. g d d k; k; f ( ) d k k d 6 d k ln ln6 ln cos d ln k; d d g k; k; k; 6 d Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s 7 d 6

8 Cód TRIGONOMÉTRICAS TIPO SENO Y COSENO La función f() aparc dnro d un sno o cosno f () cos( f ()) d sn( f ()) k f () sn( f ()) d cos( f ()) k Idas úils n las rigonoméricas: En algunas ocasions hay qu aplicar las fórmulas d rigonomría. Ejmplos cos d ln ln sn d ln sn d ln cos d. cos k; ln ln. cos d cos 6 ; d sn k. sn8 d sn8 d cos8 k; cos cos. d d cos d sn k; sn sn d sn d cos k cos sn 7. d cos g sn cos d cos cos d sn k; lncos d g snlncos d coslncos k coslncos k; Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s 8 d 6 k; 9. sn k; TRIGONOMÉTRICAS TIPO TANGENTE Y COTANGENTE. f () f () sc f () d d f () g f () d gf () k; cos f () f () f () cos c f () d d f () co g f () d cogf () k sn f () cos sn cos sn d cos sn d cos d cos ; k; d Idas úils n ipo angn y coangn: Al igual qu n odas las rigonoméricas s imporan conocr las propidads d las funcions rigonoméricas porqu s pudn uilizar n cualquir momno. Admás hay dos idas qu ambién s suln uilizar: d f g f d; f f f g f d f d f f g f d; - La primra s sacar facor común f f g f - Si aparc solamn f g f d f g f d s ncsario sumar y rsar la drivada d f().

9 Cód g g k; g d g d d g. d cos c d co g ; sn sn sn cos sn d g k g sc k; cos c d No s pud hacr porqu fala la ; g d g d g d co g k; sn sn g 0. d cos sc d sn d cos d cos c d sn sc sc ln cos ln d 8 cos g cos c d co g k co g k; cos 8 sc d d g ln g d k; sn cos d cos sn sn d sn sc d d g k; sn d cos sc g d d cos d sn g d k; co g sn d cos k; Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s 9 d 6

10 Cód TRIGONOMÉTRICAS TIPO ARCO SENO Y ARCO TANGENTE. f ( ) d arco cos( f ( )) k arco sn( f ( )) k f ( ) f ( ) d arco g( f ( )) k f ( ) Idas úils n ipo arco sno y arco angn: - Al igual qu n las logarímicas si la drivada d f() s una fracción l casillo vndrá rsulo. No vndrá así d, vndrá d; Admás a vcs hay qu sacar facor común la drivada d f() dl dnominador. - Si nmos f () ó - f y s posibl ralizar la poncia, ésa vndrá hcha. Tnmos qu pnsar qu f() srá la raíz cuadrada d la función qu suma ó rsa al uno sgún l caso. d d; d; 6 - En algunas ingrals arco sno y arco cosno s ncsario sacar númros o f d la raíz cuadrada. d d d ar cos n k; Las ingrals arco angn, logarímicas y poncials sirvn para rsolvr las ingrals d funcions racionals. Las ingrals ipo arco angn s uilizan spcialmn para ingrar aqullas n las qu l dnominador s un polinomio d sgundo grado irrducibl (no in sol la cuación dnominador = 0) y para rsolvrlas hay qu innar complar cuadrados. Es méodo lo sudiarmos n las dos úlimas ingrals d ln d d k; d sn d arcog(cos ) k; cos d d d no s inmdiaa. d d ln ar cos n d ln d d k; arcg k; ar co g(ln ) k; k Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s 0 d 6

11 Cód MÉTODOS DE INTEGRACIÓN: INTEGRACIÓN POR PARTES Al igual qu la rgla d la suma d la drivada s aplicaba n las ingrals, la rgla dl produco d una drivada ambién s pud aplicar a las ingrals indfinidas y l procso qu sirv para rsolvr la ingración s dnomina ingración por pars. La fórmula d ingración por pars s aplica cuando nmos un produco d funcions y prsa nusra ingral n función d ora qu pud sr más fácil d rsolvr. u dv u v v du; (Fórmula d ingración por pars) Dmosración: Nusro objivo s buscar la fórmula qu nos prmi rsolvr la ingral : Parimos d la fórmula d la rgla dl produco n drivadas : Ingramos a ambos lados d la igualdad así obnmos : Aplicamos las propidds d las ingrals indfinidas : u v Dspjando la ingral qu qurmos rsolvr obnmos : d u v d u v v du u dv u v u dv v du u dv v du u dv u dv Obsrvación: Hay una fras qu sirv para rcordar la fórmula d la ingración por un día vi un valin soldadio vsido d uniform v du cqd El procso para rsolvr la ingral por pars s l siguin: Dbmos nr un produco d funcions, una la idnificarmos como u y la ora como dv. Dspués s driva u para hallar du, y s ingra dv para calcular v. Posriormn s aplica la fórmula d ingración por pars y s calcula la ingral v du. (Ojo sá fórmula s pud aplicar varias vcs n l cálculo d una ingral). Para aplicar s méodo s sul uilizar funcions n las qu la ingral d una y la drivada d la ora san sncillas. Para lgir quién s u y quién s dv hay qu pnsar qu dv db sr la más fácil d ingrar, para llo s ndrá n cuna l siguin ruco: A LPE S A (funcions arco), L (funcions logarímicas), P (funcions poncials), E (funcions ponncials), S (funcions snos y connos). u dv Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s d 6

12 Cód Ejmplos:. ln d u ln D du ; dv d v ;. cos d sn d ln ln d ln u D du d; dv cos d v sn ; d 8sn d u 8 D du 8 d; dv sn d v cos ; sn cos cos d sn cos 8 sn k; Hay dos ruquillos qu s pudn aplicar para rsolvr ingrals indfinidas con l méodo d ingración por pars: 9. El primr ruco s aplica cuando n l ingrando ngo una función n la qu f k; ingrar. (S aplica por jmplo n la ingral dl logarimo, arco sno y arco angn) ar co g d ar co g d ar co g d d u arcog D du El ruco s qu una función s.(la qu ingrarmos) dv d; v ; ar co g ln k ar co g ln k; s fácil d. El sgundo ruco s aplica cuando dspués d aplicar varias vcs la ingración por pars obnmos la misma función. En s caso lo qu s hac s dspjar la ingral como si fus una cuación. (Por jmplo s aplica para rsolvr cos ó sn) sn d sn cos d u sn D du cos d u cos D du sn d dv d; v ; dv d; v ; Volvmos a la ingral qu nos pdían al principio y lo qu hago s dspjarla sn d sn d sn cos sn cos k; sn sn d; cos sn d sn d sn cos ; Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s d 6

13 Cód MÉTODOS DE INTEGRACIÓN: INTEGRALES RACIONALES ) Es méodo s uiliza para l cocin d dos funcions d ) difrns casos: y podmos nconrarnos con... La ingral s inmdiaa - Poncials: Ejmplo f '( ) n f n n f ( ) d k n N d f '( ) n f ( ) d d d - Logarímica: d ln k; ar co g() - Arco cog y arco g: d d k 6... El grado dl numrador s mayor o igual al grado dl dnominador noncs s raliza la división nr los dos polinomios. ) Tnmos qu rsolvr la ingral d ) con grado ()) grado() ). Ralizamos la división uclída ) ) r() c() aplicamos la pruba d la división uclída: ) = ) c() + r() ) cómo nusro ingrando s, dividimos n ambas pars d la igualdad por ) ) ) ) c( ) r( ) r( ) c( ) ) ) ) ). Así quda la ingral d inicio rducida n la suma d dos ingrals más fácils d rsolvr: ) r( ) d c d d Q ( ) ( ) ) Ejmplo: 7 d d d k 7 ln k Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s d 6

14 Cód El grado dl numrador s mnor qu l grado dl dnominador noncs facorizamos l dnominador: ) Tnmos qu rsolvr la ingral d con grado ()) grado() ) ). Facorizamos l dnominador ()) ). Escribimos l ingrando como suma d fraccions simpls, s dcir, como suma d ) fraccions cuyo dnominador s un polinomio irrducibl o una poncia d és.. Ingramos cada una d las fraccions simpls. El puno clav d s procdimino s l puno, conocido como dscomposición n suma d fraccions simpls. Esa dscomposición s hac d manra difrn sgún l ipo d raícs ). Esas pudn sr raícs rals simpls, raícs rals múlipls o raícs compljas simpls.... El dnominador sólo in raícs rals simpls Si Q ) a a... ( a n, la fracción dl ingrando s dscompon d la siguin ) A A An forma:... ) a a an En s caso, la ingral s ransforma n una suma d ingrals inmdiaas: A d Aln a k a Ejmplo: d... El dnominador in raícs rals con muliplicidad mayor qu uno. ) a, so s, la raíz a s rpi n l polinomio n vcs. Enoncs la fracción dl ingrando s dscompon d la siguin forma: ) A A An Q a a..., s dcir, s scribn anas fraccions simpls como vcs ( ) a n s rpia la raíz, y para disinguir cada una d las fraccions qu componn la suma s lva l dnominador a los disinos ponn dsd hasa n. Considramos l caso más sncillo n qu n D s modo la ingral s ransforma n una suma d ingrals inmdiaas, d modo qu cuando l ponn dl numrador s uno s logarímica y cuando s suprior son ingrals poncials. Ejmplo: d d Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s d 6

15 Cód El dnominador in raícs simpls compljas. En s caso ), s un polinomio irrducibl n R d grado, noncs l ingrando s ) M N dscompon d la forma: Q ( ) b c En s caso, l rsulado s una suma d dos ingrals inmdiaas, una dl ipo logarimo (qu vndrá dada érmino con dl numrador) y una ipo arco angn (qu vndrá dada por l érmino indpndin dl numrador). 6 Ejmplo: a) d b) d 7 d) d c) d.. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN: INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE Es un méodo difícil qu ofrc muchas posibilidads para hacr l cambio d variabl. El méodo consis n cambiar d variabl para obnr una qu s puda ingrar (inmdiaa, por pars, racional ó rigonomérica). Si no s raliza l cambio d variabl adcuado, la ingral pud complicars. El cambio d variabl s pud ralizar d dos formas: S susiuy la variabl por la función g() ( = g()) y d s susiuy por g ()d (d = g ()d) y s obin una nuva ingral qu db sr más sncilla d ingrar. Para qu s puda ralizar s dbn cumplir dos cosas: qu g() sa drivabl y su drivada no db sr nula y qu g() db nr invrsa para dshacr lugo l cambio d variabl una vz qu s halla hcho la ingral. X = g - (). Ejmplos:. sn; d f ( ) d Ralizamos l cambio : g( ); d g( ) d; Dshacmos l cambio : cos f ( g( )) g( ) d ( db sr sn d fácil d ingrar) f ( g( )) g'( ) d F( ) k F cos d d cos d; ar cosn (para dshacr l cambio d variabl) d g k; sn( ) cos( ) sn(arco cos()) cos(arco cos()) arco cos() (dshacmos l cambio) sn( arco cos()) arco cos() k cos cos ingramos por pars Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s d 6

16 Cód d 0 0 d ; d; d d 0 d 0 k 6 d 6 6 k 6 9 k 0 (para dshacr l cambio d variabl) 0 d k 6 k OBSERVACIÓN: Hay un cambio d variabl muy uilizado n rigonomría qu s g o = arco g(); d d; Es cambio d variabl s muy úil porqu ransforma l sn() y l cos() n cocins d dos polinomios. D sa forma, como cualquir prsión rigonomérica la pudo prsar n función d snos y cosnos, pudo scribir cualquir ingral d snos y cosnos como una ingral racional (cocin d polinomios). Es cambio d variabl convir: sn( ) ; cos() ; Ejmplo: sc d d g ; cos ; ar co g; d d; cos d d d d Esa ingral s racional. d g ln g A B 0; ; ; A si ; B ; B ; si d k; d ln ln k ln B ; ; A ; A ; k Avda. d San Digo, 6 80 Madrid Tl: Fa: rldirccion@planalfa.s 6 d 6