RESUMEN DE CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES REALES. CONTINUIDAD

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1 RESUMEN DE CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES REALES. CONTINUIDAD. ACOTACIÓN DE FUNCIONES COTA SUPERIOR KR s cota suprior d f( ) D s f( ) K Cualquir nº mayor qu una cota suprior también s una cota suprior. A la mnor d las cotas supriors s l dnomina suprmo. Si la función alcanza, para algún valor d al suprmo, ntoncs a ést s l dnomina máimo. Ejmplo: considrmos la función f ( ), f stá acotada supriormnt por jmplo por 3 f ( ) 3 Pro, d todas las cotas supriors, l valor s la mnor d llas, pro como no s alcanza, ya qu strictamnt, s dic qu s l suprmo para f. f Ejmplo: considrmos la función f ( ) 3, f stá acotada supriormnt por 4 por jmplo, f ( ) 3 4 Pro, l valor 3 s la mnor d las cotas supriors y como si s alcanza, ya qu f () 3, s dic 3 s un máimo para f. COTA INFERIOR KR s cota infrior d f( ) D s f( ) K Cualquir nº mnor qu una cota infrior también s una cota infrior. A la mayor d las cotas infriors s l dnomina ínfimo. Si la función alcanza para algún valor d al ínfimo, ntoncs a ést s l dnomina mínimo. f

2 Ejmplo: considrmos la función f ( ), f stá acotada infriormnt por jmplo por -, f ( ) Pro, l valor s la mayor d las cotas infriors y como no s alcanza, ya qu strictamnt, s dic qu s l ínfimo para f. Ejmplo: considrmos la función f ( ), f stá acotada infriormnt por jmplo por, f ( ) Pro, l valor, s la mayor d las cotas infriors y como si s alcanza, ya qu f (), s dic s un mínimo para f. ACOTADA Si ist cota suprior s dic ntoncs qu la función f stá acotada supriormnt, si ist cota infrior s dic qu stá acotada infriormnt y si stén ambas s dic ntoncs qu f stá acotada. Ejmplo: considrmos la función f ( ) sn, obsrvamos qu alcanza f ( un ) mínimo 3 absoluto para los puntos d la forma Ejmplo: La función sno s acotada: pus sn( )

3 . MONOTONÍA DE FUNCIONES S dic qu la función f s monótona crcint n l intrvalo [a, b] si s vrifica a, b f f, / Si la dsigualdad f f s stricta s dic qu s strictamnt crcint. f( ) f( ) S dic qu la función f s monótona dcrcint n l intrvalo [a, b] si s vrifica a, b f f, / Si la dsigualdad f f s stricta s dic qu s strictamnt dcrcint. 3. EXTREMOS RELATIVOS S dic qu la función f prsnta n = un trmos local máimo si s tin próimo a " " s f f qu S dic qu la función f prsnta n = un trmos local mínimo si s tin próimo a " " s f f qu Ejmplo: En = - f prsnta un máimo local y n = f prsnta un mínimo local. - 3

4 4. CURVATURA S dic qu f prsnta curvatura cóncava n un intrvalo, si para toda parja d puntos contnidos n él A(a, f(a)) y B(b, f(b)), s vrifica qu l sgmnto qu los un quda por dbajo d la gráfica d f. S dic qu f prsnta curvatura conva n un intrvalo, si para toda parja d puntos contnidos n él A(a, f(a)) y B(b, f(b)), s vrifica qu l sgmnto qu los un quda por ncima d la gráfica d f. Cóncava Conva EJERCÍCIOS Rprsnta gráficamnt la función f 3 4 y dduc d lla los intrvalos d monotonía y curvatura. 3 4 si 3 4 f si 3 4 Estudiamos l signo d 3 4, factorizamos La función quda: - 4 f si si

5 Dibujamos y lugo f p( ) p ( ) 3 4 3/ p ( ) 3 4 b 3 3 u a 3 5 V ( u, v) V (, ) v f Puntos d cort con los js: f PC OX: f 3 4 4, 4, PC OY: 4,4 Monotonía: 3 3,,4 dcrcint, 4, crcint Mínimos locals par = - y para = 4, cuyo valor n n ambos casos f(-) = f(4) = Máimo local para = 3/ cuyo valor s f(3/) = 5/4 Curvatura:, 4, conva, 4 cóncava 5

6 5. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO = a S dic qu una función f s continua n l punto = a, cuando su gráfica s pud dibujar sin lvantar l lápiz dl papl. Con ésta ida, para qu f sa continua n l punto = a s ha d vrificar trs cosas: ) f (a) ) lim f ( ) L a 3) f ( a) L S scrib: f continua n = a: f C a f f a lim ( ) ( ) Matmáticamnt s prsa así: f C a / E a, f E f ( a), / ( ) a f C a a f f a Nota: La suma, difrncia, producto d dos funcions continuas s una función continua. El cocint d dos funcions continuas s una función continua salvo n los puntos qu anuln a la función d dnominador. La composición d dos funcions continuas s una función continua. Si f s continua, ntoncs, l valor absoluto d f también s una función continua. Las funcions potncials, polinómicas, ponncials son continuas n todo su dominio, sto n R. Las funcions racionals son continuas n todos los puntos cpto n aqullos qu anulan al dnominador. Las funcions logarítmicas son continuas simpr qu su argumnto sa >. Las funcions sno y cosno son continuas n todo R. Las funcions tangnt y cotangnt son continuas salvo n los puntos qu anulan al cosno y sno rspctivamnt. Las funcions arcosno, arcocosno, arcotangnt y arcocotangnt son continuas dfinidas n sus rspctivas rstriccions. 6. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO CERRADO [a, b] Una función s continua n un intrvalo crrado [a, b] cuando: Es continua n l abirto (a, b): f ( ) Ca, b ) En l trmo = a s continua por la drcha: f ( ) Ca, sto s lim f ( ) f ( a) a ) En l trmo = b s continua por la izquirda: f ( ) Cb sto s: lim f ( ) f ( b) b 6

7 7. TIPOS DE DISCONTINUIDAD ) DISCONTINUIDAD EVITABLE lim f ( ) L pro L f ( a ) a S dnomina vitabl porqu s pud dfinir una función qu sa continua n = a asignándol l valor L n = a: f ( ) si a g ( ) L si a ) DISCONTINUIDAD DE SALTO FINITO lim f( ) L lim f( ) L pro L L a a Salto L L 3) DISCONTINUIDAD DE SALTO INFINITO Al mnos, uno d los límits latrals s infinito. lim f ( ) o lim f ( ) a a 4) DISCONTINUIDAD ESENCIAL Dirmos qu una función f tin una discontinuidad d tipo sncial n = a, si alguno d los límits latrals no ist (no s finito ni infinito), indpndintmnt d qu la función sté dfinida o no n s punto. Ejmplo: NO EXISTE EL lim f ( ) lim sn 7

8 8. TEOREMA Qurmos obtnr l lim f ( ) g y s tal qu lim f ( ) y no ist lim g( ) pro la función g() prmanc acotada n un ntorno d a, ntoncs s vrifica qu: lim f ( ) g a a a a EJERCICIOS Ejrcicio : Estudia la continuidad d la función f dfinida por: 3 f sn f () k 3 R / s f sn continua por sr composición d funcions continuas Vamos si, n = s f continua: ) La función no stá dfinida n = ) Estudimos l límit cuando 3 3 lim sn lim lim sn m Tind a No ist l limit, pro stá acotada - m 3 lim f( ) lim sn 3 3 lim sn lim lim sn m Tind a No ist l limit, pro stá acotada - m En la función prsnta una discontinuidad d tipo vitabl dfinindo f() = k 8

9 Ejrcicio : Estudia la continuidad d la función f dfinida por: f stá bin dfinida Vamos sisanula l dnominador f C por sr composición d funcions continuas. Vamos si s continua la función n = : En = stá dfinida, pus f()= Estudiamos l limit: lim lim lim lim lim Por tanto no ist l lim f ( ), f C, prsnta n = una discontinuidad d salto finito: s 9

10 Ejrcicio 3: Estudia la continuidad d la función f dfinida por: sn f stá bin dfinida Vamos si s anula l dnominador pro no s posibl pus Lugo Por lo tanto, s tin qu f C por sr composición d funcions continuas. Vamos si s continua la función n = : En = stá dfinida: f lim f( ) sn sn lim lim lim lim sn m No ist l limit pro Tind a stá acotada - m m m m m sn lim lim lim sn m No ist l lim it Por tanto no ist l lim f ( ) sncial No ist l limit pro Tind a stá acotada - m, C f, prsnta n = una discontinuidad