OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo contrario de vivir es no arriesgarse. Fito y los Fitipaldis

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1 MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B --5 Lo contrario d vivir s no arrisgars Análisis Fito y los Fitipaldis OPCIÓN A.- a) S dsa construir un parallpípdo rctangular d 9 dm d volumn y tal qu un lado d la bas sa dobl qu l otro. Dtrminar las longituds d sus lados para qu l ára total d sus 6 caras sa mínima. b) Calcula cos lim a) El ára d las 6 áras srá: A(,) y y y 4 6 y V, y y 9 El volumn s: 9 Dspjando: y Y sustituyndo n al ára quda: 9 7 A() Qu s la función cuyo mínimo qurmos calcular 7 Drivando: A' A' Calculamos los puntos críticos: Comprobamos qu s un mínimo: '' 8 '' A A s un mínimo Sustituyndo s obtin y = Por tanto, para qu l ára total sa mínima l parallpípdo tin qu mdir 5 dm n la bas y dm d altura b) cos sn cos cos sn cos sn lim L' H lim lim L' H lim 4

2 .- a) Dada la función f :, dfinida por f () a bln b sabindo qu tin un trmo rlativo n = y qu b) Calcula d a) Si tin un trmo rlativo n = f ', calcula los valors d a y 4 f () d 7 8 Ln 4 Como f ' a b f ' a b b a Admás: a blnd a b Lnd u Ln du d Calculamos por parts la intgral: Lnd Ln d Ln dv d v Por tanto: a a f () d a bln 4 bln 4 4 b b a 4 bln 4 b Como b a a 8aLn4 6a 7a 8aLn4 7 8Ln4 D dond claramnt a =, y por tanto b = - b) Dividindo: 4 4 d d d Y por tanto: Par hacr la sgunda intgral dscomponmos l dnominador: 4 A B Lugo: 4 A B 4 4 Sustituyndo s obtin A, B Y por tanto: d d d Ln Ln C.- a) Calcula razonadamnt la cuación d la rcta tangnt a la función n l punto d abscisa = t F() t dt b) Sa f() una función continua n l intrvalo [,] y G() una función primitiva d f tal qu G()=- y G()=. Calcular: f () d, 5() f 7 d,() G f d

3 a) Para la rcta tangnt ncsitamos F() y F () t Como la función f t t s continua n todos los númros rals (n particular d, ), por l Torma Fundamntal dl Cálculo Intgral s tin qu F() s drivabl y qu admás su F ', y por tanto F ()= drivada s Para calcular F() ncsitamos hacr la intgral: t F t dt Hacmos la intgral indfinida por parts: u t du dt t dt t dt t t t dt dv v t t t t t Y por tanto: t t t F t dt t Lugo la rcta tangnt srá: y+=(-), O lo qu s lo mismo: y=- b) Como G s una primitiva d f, por la rgla d Barrow: f () d G G Por las rglas d intgración: Como 5() f 7 d5() f 7 d d f () d (por l apartado antrior) y 7d S obtin qu f 5() 7 d5 7 8 Por último, por las rglas inmdiatas d intgración, s tin qu: G G G ()()() 8 G() f d 4.- Rprsntar gráficamnt l rcinto dlimitado por la rcta y, la rcta y = y la curva y y calcular l ára d dicho rcinto A la vista dl dibujo, l ára pdida s divid n dos trozos (s fácil calcular los puntos d cort y s dja como jrcicio); A d d

4 Calculamos cada ára: A d d A d Ln Ln Ln Lugo l ára total srá: A A A Ln u OPCIÓN B.- a) S dsa construir un parallpípdo rctangular d 9 dm d volumn y tal qu un lado d la bas sa dobl qu l otro. Dtrminar las longituds d sus lados para qu l ára total d sus 6 caras sa mínima. b) Calcula cos lim Hcho n la opción antrior a b.- Dada la función f () a) Calcula a y b para qu sa drivabl y calcula su rcta tangnt n = b) Para a = - y b =, calcula sus asíntotas y trmos y rprséntala gráficamnt. Calcula admás n st caso f () d a) Como D f. l único punto dond db sr continua y drivabl s n = Vmos primro continuidad: f()= lim f lim a b b b (para qu sa continua) lim f lim a a Calculamos su función drivada: '() f Para sr drivabl sus drivadas latrals dbr sr iguals y por tanto: f ' lim a a a f ' lim Lugo para qu la función sa continua y drivabl n todo su dominio db sr a = - y b =

5 La función srá por tanto: f () Y su función drivada s: f '() Como f()=, y f ()=-, la rcta tangnt n = srá y = -, s dcir y = -+ b) La función sólo pud tnr asíntota horizontal u oblicua por la drcha (por la izquirda s un polinomio): lim f lim L ' H lim Por lo qu tin una asíntota horizontal por la drcha y = Admás, como f, la función stá por dbajo d su asíntota. Como, la función corta a su asíntota n l punto (,) Como para stos valors d a y b la función s drivabl (apartado antrior), calculamos los puntos críticos usando su drivada igualándola a : ( no sirv pus no s ) f '() Lugo l único punto crítico s l = Estudiamos su monotonía tnindo sto n cunta y su dominio:, f ' f s dcrcint f, ' f s crcint Y por tanto la función tin un mínimo (admás srá absoluto) n l punto, Gráficamnt srá: Para calcular la intgral tnmos n cunta los dos trozos d la función: f () d d d Calculamos por sparado cada intgral:

6 8 8 6 d 4 6 Hacmos la otra intgral indfinida: u du d d d por parts dv d v d D dond d Lugo 5 f () d 6 cos.- a) Calcula la intgral sn sn d b) Calcular l valor d para qu s cumpla d 4 a) La hacmos por sustitución con l cambio t = sn t sn cos cos dt d dt sn sn dt cos d d t t cos t t cos dt Rsolvmos la intgral racional: A B A t Bt A, B t t t t Lugo dt dt dt Ln t Ln t t t t t cos sn Y dshacindo l cambio: d Ln sn Ln sn Ln C sn sn sn b) Calculamos la intgral: d d Igualando: 4 Ln 4 4

7 4.- Dada la función f a) Rprsntarla gráficamnt calculando sus puntos d cort, simtrías, asíntotas, monotonía y trmos rlativos b) Calcular l ára dl rcinto limitado por la gráfica d f, l j OX y las abscisas = -, a) D f = Puntos d cort; Simtrías: OX f PC, OY f PC, Asíntotas: f f f s simétrica rspcto al orign (impar) No tin A. Vrticals D f lim f lim lim ' lim L H A. H. D I y lim f lim lim L ' H lim Vmos la posición: Encima f Dbajo El punto d cort s l mismo qu con l j OX Monotonía y trmos: f ' 4 4 Los intrvalos d monotonía srán por tanto:, f ' dcrcint, f ' crcint, f ' dcrcint Y admás tin un mínimo rlativo n l punto M, m, y un máimo n l punto

8 Con todo sto su rprsntación gráfica srá: b) Gráficamnt, l ára pdida srá: Y por simtría podmos calcular l ára como Calculando la intgral d manra inmdiata: A f d d d Con lo qu l ára srá: A f d u