SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS CURSO

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1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS CURSO Ejrcicio 1º. (,5 puntos) Sabindo qu l valor dl límit. a lim 1 1 Ln( ) s finito, calcula l valor d a y Ejrcicio º.- Considra la función f : [1, ) R dfinida por: f ( ) a) ( puntos) Dtrmina las asíntotas d f. b) (0,5 puntos) Estudia la posición rlativa d la gráfica d f rspcto a sus asíntotas. a Ejrcicio 3º.- Considra la función f ( ) dond a y b son númros rals ( b)( 1) a) (1 punto) Si s sab qu la función f tin una asíntota n =, y qu f(0) =. Halla los valors d a y d b. b) (1,5 puntos) Estudia y calcula l rsto d las asíntotas d f. Ejrcicio 4º.- Sa la función continua f : R R dfinida por: f ( ) si 0 a si 0 a) (1,5 puntos) Calcula l valor d a. b) (1,5 puntos) Halla la cuación d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa = 1. Ejrcicio 5º.- (,5 puntos) Sa f la función dfinida por 1 f ( ). para 1y 0. a) (1 punto) Calcula los límits latrals d f n = 0. b) (1,5 puntos) Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f.

2 Ejrcicio 6º.- Considra las funcions f y g dadas por: 3 3 a f ( ) g( ) 4 ( b) sindo a y b númros rals. a) (1,5 puntos) Dtrmina las asíntotas d f. b) (1 punto) Si s sab qu la rcta d cuación y = 4 s una asíntota oblicua d la función g, halla los valors d a y b. Ejrcicio 7º.- (,5 puntos) Sabindo qu l valor dl límit. 1 m lim 0 1 s finito, calcula l valor d m y Ejrcicio 8º.- S considra la función f : R R dfinida por: f ( ) 4 a) (1 punto) Halla la cuación d la rcta normal a la gráfica d la función n l punto d abscisa =. b) (1,5 puntos) Dtrmina l punto d la grafica d f n l qu la rcta tangnt s prpndicular a la rcta d cuación + y = 0. Ejrcicio 9º.- Considra la función dfinida, para 1, por: f ( ) 1 a) (1,5 puntos) Dtrmina las asíntotas d f. b) (1 punto) Calcula las cuacions d las rctas tangnt y prpndicular a la gráfica d f n l punto d abscisa = 0. Ejrcicio 10º.- (,5 puntos) Halla a y b sabindo qu s continua la función f : R R dfinida por: cos( ) a si 0 f ( ) b si 0

3 Ejrcicio 11º. (,5 puntos) Sabindo qu d a y l valor dl límit. cos(3 ) a. lim. sn( ) 0 s finito, calcula l valor Ejrcicio 1º.- Considra la función f : R R dfinida por: f ( ) ( 3 1). a) (1 puntos) Dtrmina las asíntotas d la gráfica d f. b) (0,5 puntos) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = 0. c) (1 punto) Halla los puntos d la gráfica d f cuya tangnt s horizontal. Ejrcicio 13º.- (,5 puntos) dada la función f : R f ( ) 4 R si si a) ( puntos) Estudia la continuidad d la función f. b) (0,5 puntos) Si tin alguna discontinuidad indica razonadamnt d qué tipo s. Ejrcicio 14º.- Sa f :( 0, ) R la función dfinida por:. Ln( ) si 1 f ( ) ( 1) a si 1 a) (1,5 puntos) Sabindo qu f s continua, calcula l valor d a. b) (1,5 puntos) Estudia la istncia d asíntota horizontal para la gráfica d sta función y, n caso d qu ista, halla su cuación. Ejrcicio 15º.- Sa f la función dfinida como a b f ( ) para a a a) (1,5 puntos) Sabindo qu la gráfica d f pasa por l punto (,3) y qu tin una asíntota oblicua d pndint 4, calcula los valors d a y b. b) (1 punto) Para l caso d a = y b = 3, obtén la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = 1.

4 Ejrcicio 16º.- Considra la función dfinida, para 0, por: f ( ) 1 1 a) ( puntos) Dtrmina las asíntotas d f. b) (0,5 puntos) Estudia la posición rlativa d la gráfica d f rspcto a sus asíntotas. Ejrcicio 17º. Sa f : R R la función dfinida por f ( ) ( ) a) (0,75 puntos) Dtrmina las asíntotas d f. b) (0,75 puntos) Dtrmina la monotonía y los trmos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). c) (0,5 puntos) Dtrmina los intrvalos d concavidad y convidad d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). d) (0,5 puntos) Esboza la gráfica d f. Ejrcicio 18º.- Sa f :( 0, ) R la función dfinida por: f ( ) Ln( 3) a) (1,5 puntos) Dtrmina n qué punto o puntos d la gráfica d f la rcta tangnt a dicha gráfica s paralla a la rcta d cuación y + 1 = 0. b) (1 punto) Haya la cuación d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa = 3. Ejrcicio 19º.- (,5 puntos) D ntr todos los rctángulos qu tinn 8 cm d prímtro, calcula las dimnsions dl qu tin la diagonal d mnor longitud. Halla l valor d dicha diagonal. Ejrcicio 0º.- (,5 puntos) Sa la función f : R R dfinida por: ( a) si 0 f ( ) b c si 0 1 Calcula l valor d las constants a, b y c sabindo qu f s drivabl y qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = 1 tin d pndint 3.

5 1 Ejrcicio 1º.- (,5 puntos) Considra la función f : R R dfinida por f ( ). Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n su punto d inflión. Ejrcicio º.- (,5 puntos) Considra la función f : R 3 R dfinida por: f ( ) a b c d Dtrmina los valors d los parámtros a, b, c y d, sabindo qu l punto (0,1) s un punto d inflión d f, qu f tin un mínimo local n l punto d abscisa = 1; y qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = tin pndint 1. Ejrcicio 3º.- Considra la función f : R R dfinida por: 1 si 0 f ( ) si a) (1 punto) Estudia su continuidad y drivabilidad. b) (0,5 puntos) Halla su función drivada. c) (1 punto) Esboza su gráfica. 0 Ejrcicio 4º.- (,5 puntos) S dsa construir una lata d consrva n forma d cilindro circular rcto qu tnga un ára total d 00 cm. Dtrmina l radio d la bas y la altura d la lata para qu l volumn sa máimo. 3 Ejrcicio 5º.- Considra la función dfinida, para ±1, por: f ( ) 1 a) (1 punto) Dtrmina las asíntotas d f. b) (1 punto) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f, así como sus trmos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). c) (0,5 puntos) Esboza la gráfica d f.

6 Ejrcicio 6º.- (,5 puntos) Sa f : R R la función dfinida por: f ( ) ( 1). 3 3 Halla las cuacions d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d f n los puntos d abscisa = -5 y =. Ejrcicio 7º. (,5 puntos) Dtrmina una función f :( 0, ) R sabindo qu su sgunda drivada vin dada por f ''( ) Ln( ) y qu su gráfica tin tangnt horizontal n l punto P = (1, ). 1 Ejrcicio 8º.- S considra la función f ( ) Ln( ) para > 0. a) (1,75 puntos) Dtrmina l punto d la gráfica d f n l qu la pndint d la rcta tangnt s máima. b) (0,75 puntos) Halla la cuación d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa = 1. Ejrcicio 9º.- a) ( puntos) Calcula la intgral indfinida b) (0,5 puntos) Calcula la intgral dfinida Cambio d variabl propusto t d 1 1 d 1 Ejrcicio 30º.- Considra la función f : R R dfinida por f ( ) a) (0,5 puntos) Estudia la drivabilidad d f. b) (1 punto) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f. c) (1 punto) Calcula los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan).

7 Ejrcicio 31º.- Sa f : R R la función dfinida por: f ( ) ( 3 1) a) (1 punto) Estudia y calcula las asíntotas d f. b) (1 punto) Halla los puntos d la gráfica d f cuya rcta tangnt s horizontal. c) (0,5 puntos) Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = 0., Ejrcicio 3º.- S considra la función f dfinida por f ( ) d f qu pasa por l punto P = (1,). a) (0,5 puntos) Calcula F (). Ln( ) para > 0, y sa F() la primitiva b) ( puntos) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d F n l punto d abscisa =. Ejrcicio 33º.- S considra la función f :( 0, ) R dfinida por f ( ). Ln( ) a) (1,5 puntos) Halla los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f y sus trmos (abscisas dond s localizan y valors qu s obtinn). b) (1 punto) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa. Ejrcicio 34º.- (,5 puntos) Calcula la intgral indfinida Cambio d variabl propusto t d ( 1)( 1) Ejrcicio 35º.- (,5 puntos) Dtrmina a y b sabindo qu b > 0 y qu la función f :( 0, ) R dfinida como s drivabl. f ) a ( a cos( ) b Ln( 1) 1 si 0 si 0 Ejrcicio 36º.- (,5 puntos) S quir construir un dpósito abirto d bas cuadrada y pards vrticals con capacidad para 13,5 mtros cúbicos (m 3 ). Para llo s dispon d una chapa d acro d grosor uniform. Calcula las dimnsions dl dpósito para qu l gasto n chapa sa l mínimo posibl.

8 1 Ejrcicio 37º. Sa la función f dfinida por f ( ) 3 cuya gráfica pasa por l punto P = (, Ln). a) (0,5 puntos) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d F n l punto P. b) ( puntos) Dtrmina la función F. para 0 y 1, y sa F la primitiva d f Ejrcicio 38º.- a) (1 punto) Calcula la intgral indfinida b) (1,5 puntos) Calcula la intgral dfinida d 1. cos( ) d Ejrcicio 39º.- (,5 puntos) Qurmos fabricar una caja crrada d bas cuadrada con una capacidad d 80 cm 3. Para la tapa y la suprfici latral s mpla un matrial qu custa 1 / cm y para la bas s mpla un matrial un 50% más caro. Halla las dimnsions d la caja para qu su cost sa mínimo. Ejrcicio 40º.- (,5 puntos) S sab qu la función f :( 11, ) R dfinida como: f ( ) 1 c 1 si si s drivabl n l intrvalo (-1, 1). a) (1 punto) Dtrmina l valor d la constant c. b) (0,5 puntos) Calcula la función drivada f. c) (1 punto) Halla las cuacions d las rctas tangnts a la gráfica d d f qu son parallas a la rcta d cuación y = -. Ejrcicio 41º.- S considra la función f dfinida por f ( ) para 1 1 a) (1 punto) Halla las cuacions d las asíntotas d f. b) (1 punto) Halla los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f y sus trmos (abscisas dond s localizan y valors qu s obtinn). c) (0,5 puntos) Esboza la gráfica d f.

9 a Ejrcicio 4º. (,5 puntos) Sa f : R R la función dfinida por f ( ) b dond a, br y a 0. Calcula a y b sabindo qu f tin un trmo rlativo n = 0, y su gráfica tin un punto d inflión n l punto cuya abscisa s = 1. Ejrcicio 43º.- (,5 puntos) S quir construir un bot d consrvas cilíndrico, con tapa, d un litro d capacidad. Calcula las dimnsions dl bot para qu n su construcción s utilic la mnor cantidad posibl d hojalata. Ejrcicio 44º.- (,5 puntos) Calcula 1 d 1 1 (Sugrncia t 1) Ejrcicio 45º.- Considra la función f :( 0, ) R dfinida por f ( ) Ln( ). a) (0,5 puntos) Esboza l rcinto limitado por la gráfica d f y la rcta y = 1. b) (0,5 puntos) Calcula los puntos d cort d la gráfica d f con la rcta y = 1. c) (1,5 puntos) Calcula l ára dl rcinto citado. Ejrcicio 46º.- Sa f : R R la función dfinida por: f ( ) a) (0,75 puntos) Estudia y calcula las asíntotas d f. b) (1,5 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f, así como sus trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). c) (0,5 puntos) Esboza la gráfica d f. Ejrcicio 47º.- Sa f : R R la función dfinida por: f ( ) 1 a) (0,75 puntos) Estudia y calcula las asíntotas d la gráfica d f. Calcula los puntos d cort d dichas asíntotas con la gráfica d f. b) (1,5 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f, así como sus trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). c) (0,5 puntos) Esboza la gráfica d f.

10 Ejrcicio 48º.- (,5 puntos) D la función f : R R dfinida por f ) a b a, br, s sab qu su gráfica tin tangnt horizontal n = 0 y qu ( ) Halla los valors d a y b. (, dond f d. Ejrcicio 49º.- Sa f :( 0, ) R la función dfinida por f ( ) Ln( ) a) (0,5 puntos) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa = 1. b) ( puntos) Esboza l rcinto comprndido ntr la gráfica d f, la rcta y = 1 y la rcta = 3. Calcula l ára d dicho rcinto. Ejrcicio 50º.- (,5 puntos) Sabindo qu valor d a y l valor dl límit. Ln( 1) a sn( ) cos(3) lim 0 s finito, calcula l Ejrcicio 51º.- (,5 puntos) S dispon d un cartón cuadrado d 50 cm d lado para construir una caja sin tapadra a partir dl cartón. Para llo, s corta un cuadrado d cm d lado n cada una d las squinas. Halla l valor d para qu l volumn d la caja sa máimo y calcula dicho volumn. Ejrcicio 5º. (,5 puntos) Sa la función f :( 0, ) R dfinida por f ( ) 1 Ln ( ). Dtrmina la primitiva d f cuya gráfica pasa por l punto (1, 1). Ejrcicio 53º.- Considra la función f : R R dfinida por: f ( ) 1 a) (0,5 puntos) Esboza la gráficas d f. b) (0,75 puntos) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa =0 c) (1,5 puntos) Calcula l ára dl rcinto limitado por la gráfica d f y la rcta d cuación y =.

11 Ejrcicio 54º.- (,5 puntos) D ntr todas las vntanas normandas d 10 m d prímtro, halla las dimnsions dl marco d la vntana d ára máima Una vntana normanda consist n un rctángulo coronado por un smicírculo). Ejrcicio 55º.- Considra la función f : R R dfinida por f ( ) a) (0,75 puntos) Estudia y dtrmina las asíntotas d f. b) (0,75 puntos) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y halla los trmos rlativos d f (abscisas dónd s obtinn y valors qu s alcanzan). c) (0,5 puntos) Dtrmina los intrvalos d concavidad y convidad d f. d) (0,5 puntos) Esboza la gráfica d f. 3 Ejrcicio 56º. Sa la función f : R R dfinida por f ( ) a b c. a) (1,5 puntos) Halla a, b y c para qu la gráfica d f tnga un punto d inflión n = ½ y qu la rcta tangnt n punto d abscisa = 0 tnga por cuación y = 5 6. b) (1 punto) Para a = 3, b = -9 y c = 8, calcula los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). SOLUC: a) a = -3 b = -6 c = 5 b) Dos trmos: Un máimo rlativo n (-3, 35) y un mínimo rlativo n (1, 3) Ejrcicio 57º.- Considra las funcions f : R R y g : R R dfinidas por: f( ) y 1 g ( ) 1 a) (1 punto) Esboza las gráficas d f y g sobr los mismos js y calcula los puntos d cort ntr ambas gráficas. b) (1,5 puntos) Calcula l ára dl rcinto limitado por las gráficas d f y g. SOLUC: a) Dos puntos d cort: -1, ½) y (1, ½) b) A = (π 1)/ u Ejrcicio 58º.- (,5 puntos) S dsa construir un dpósito n forma d cilindro rcto, con bas circular y sin tapadra, qu tnga una capacidad d 15 m 3. Halla l radio d la bas y la altura qu db tnr l dpósito para qu su suprfici sa mínima. SOLUC: Rlación ntr variabls: rh 15 Función a optimizar: Suprfici o ára d las caras dl dpósito 50 S( ) r y = r 5 r h 3, 41 m (Obsrva qu l dpósito s l dobl d ancho qu d alto) 3

12 Ejrcicio 59º.- (,5 puntos) Considra la función f dfinida por f ( ) Ln( 1) para > -1. Dtrmina la primitiva d f cuya gráfica pasa por l punto (1,0). 1 1 SOLUC: F( ). Ln ( 1) d Ln ( 1) Ln ( 1) 4 4