Curso: 2º Bachillerato Examen VIII. donde m representa un número real.

Transcripción

1 Nombr: Nota Curso: º Bachillrato Eamn VIII Fcha: d Fbrro d 06 La mala o nula plicación d cada jrcicio implica una pnalización d hasta l % d la nota..- Dada la matriz m dond m rprsnta un númro ral. m a) Halla los valors d m para los qu la matriz tin invrsa. ( punto) b) Para m= calcul la matriz invrsa. ( punto) c) Para m=, calcul l vctor X qu vrifiqu X.- Sa f : B sindo B la matriz 4 B 4 la función dfinida por f( ) 4, a) (0,7 puntos) Halla la rcta tangnt a la gráfica n l punto d abscisa =. b) (0,7 puntos) Esboza l rcinto limitado por la gráfica d f y la rcta y, dtrminando los puntos d cort d ambas gráficas. c) ( punto) Calcula l ára dl rcinto antrior. lgir uno: (, puntos) a.- S sab qu l dtrminant d la matriz propidads qu utilics, los siguints dtrminants: a) ( punto) dt(-) y dt( - ) a a a a a a a a a s -. Calcula, indicando las b) (, puntos) a a a a a a a 7a 7a 7a y a a a a a a a a a a a b.- Calcula, sin utilizar la rgla d Sarrus, l dtrminant d la matriz lgir uno: (, puntos) 4a.- D ntr todos los númros rals positivos, dtrmina l qu sumado con su invrso da suma mínima. 4b.- Enunciar l torma d Roll. Dmostrar qu la función f( ) a cumpl la hipótsis d st torma n l intrvalo [0, ] cualquira qu sa l valor d a. Encontrar l punto n l cual s cumpl la tsis. 4c.- Calcula la intgral: d

2 .- Dada la matriz m dond m rprsnta un númro ral. m a) Halla los valors d m para los qu la matriz tin invrsa. ( punto) b) Para m= calcul la matriz invrsa. ( punto) c) Para m=, calcul l vctor X qu vrifiqu X a) La matriz invrsa s calcula mdiant la prsión: B sindo B la matriz 4 B 4 dj( t ), por tanto la matriz srá invrsibl, simpr y cuando sa una matriz rgular, o sa qu su dtrminant no sa nulo. Calculamos l dtrminant d : 0 m m m m m m m m m m m 0 ( ) ( ) ( ) m m m 0 0 Por tanto la matriz tin invrsa simpr y cuando su dtrminant sa distinto d. m b) Si m=, ntoncs s d la forma: y su dtrminant: Calculamos la traspusta d, y lugo su adjunta: m m 0 t t dj 0 Por tanto la invrsa d para m=, s: 0 0 t dj( ) c) Si X B X B I X B X B, por tanto l vctor srá: X B 0 X Sa f : la función dfinida por f( ) 4, a) Halla la rcta tangnt a la gráfica n l punto d abscisa =. b) Esboza l rcinto limitado por la gráfica d f y la rcta y, dtrminando los puntos d cort d ambas gráficas. c) Calcula l ára dl rcinto antrior.

3 a) La rcta tangnt a una gráfica n un punto =a, vin dada por la prsión: y f( a) f '( a) ( a), por tanto, ncsitamos calcula f() y f (). ( ) 4 () () 4() f f f f '( ) 4 '() () 4 sí qu la rcta tangnt n = s: y f() f '() ( ) y ( ) y y 0 b) El rcinto s: Rcta tangnt: y 0 c) El ára dl rcinto vin dada por l ára ntr dos gráficas, y para llo dfinimos una nuva función h() = f()-g(), dond f() s la función f( ) 4 y g() s la rcta tangnt n =, y, por tanto: ( ) ( ) ( ) 4 h f g Calculamos ahora los puntos dond s anula la nuva función y para llo la igualamos a cro: h ( ) 0 0 Utilizamos Ruffini para factorizar l polinomio h( ) : ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 Por tanto la función s anula para =- y para =. Calculamos l ára, intgrando la función h() ntr los dos valors - y : 4 7 d u. a

4 a a a.- S sab qu l dtrminant d la matriz a a a a a a indicando las propidads qu utilics, los siguints dtrminants: s -. Calcula, a) ( punto) dt(-) y dt( - ) b) (, puntos) a a a a a a a 7a 7a 7a y a a a a a a a a a a a a) Dt(-)=(-) dt()=-8 (-)=4 Utilizamos la propidad qu dic qu al multiplicar una lína por un númro, l dtrminant aparc multiplicado por dicho númro. Como la matriz s d ordn, al multiplicar la matriz por un númro, l dtrminant aparc multiplicado por l númro al cubo. Dt( - )=(dt()) - = dt( ) Utilizamos la propidad qu dic qu si qurmos calcular l dtrmínat d la potncia d una matriz, podmos calcular l dtrminant d la matriz, y lvarlo a dicha potncia. Podmos tratar la matriz invrsa - como () - b) n a a a a a a a a a () () 7a 7a 7a 7 a a a 4 a a a 4 4 ( ) 4 a a a a a a a a a n En l qu hmos utilizado la propidad qu dic qu al multiplicar una fila o columna por un númro, l dtrminant aparc multiplicado por dicho númro (n la igualdad (), vcs, una para l 7 y otra para l ) y la propidad qu dic qu si prmutamos una fila o columna por otra l dtrminant cambia d signo (n la igualdad (), prmutamos la fila y la ). a a a a a a a a a a a a a () () () a a a a a a a a a a a a a ( ) a a a a a a a a a a a a a En () utilizamos la propidad qu dic qu si a una fila o columna s l suma otra por un númro, l dtrminant no cambia, n l () hmos utilizado la propidad qu dic qu al multiplicar una columna por un númro, l dtrminant aparc multiplicado por dicho númro, y n () hmos utilizado la propidad qu dic qu l dtrminant d una matriz y l d su transpusta coincidn. B.- Calcula, sin utilizar Sarrus, l dtrminant d la matriz

5 () () () (4) () (6) En () a las columnas,,4, ls hmos rstado la columna, n () utilizamos l método d los adjuntos para rducir un dtrminant d ordn a uno d ordn 4, n () volvmos a rstarl a las columnas, y 4 la primra columna, n (4) volvmos a utilizar l método d los adjuntos para rducirlo ahora a un dtrminant d ordn, n () a las columnas y ls rstamos la primra, y n (6) utilizamos d nuvo l método d los adjuntos para rducirlo a un dtrminant d ordn y por último calculamos l dtrminant d ordn dos rstando a la columna principal la columna scundaria. 4.- D ntr todos los númros rals positivos, dtrmina l qu sumado con su invrso da suma mínima. Sa un númro distinto d cro y positivo, su invrso vin dado por: Por tanto la función a minimizar srá: La drivamos: Y la igualamos a cro: f( ) f '( ) '( ) f Por tanto l númro qu minimiza la suma s l númro. Vamos qu s ralmnt un mínimo, y para llo utilizarmos la sgunda drivada: f "( ) f "() 0 Por tanto quda dmostrado qu s un mínimo. 4B.- Enunciar l torma d Roll. Dmostrar qu la función f( ) a cumpl la hipótsis d st torma n l intrvalo [0, ] cualquira qu sa l valor d a. Encontrar l punto n l cual s cumpl la tsis. El torma d Roll dic qu sa f() una función continua n l intrvalo [a,b] y drivabl n l intrvalo (a,b) qu vrifica qu f(a)=f(b). Entoncs ist un c (a,b) tal qu f (c)=0, s dcir qu ist un punto n qu la rcta tangnt s paralla al j. Por tratars d un polinomio, la función f( ) a s continua para todo númro ral; n particular n l intrvalo [0,]. Como admás s vrifica qu f(0)=a y qu f()=a, también s vrifica la sgunda hipótsis, n conscuncia, podmos afirmar qu ist un númro c qu prtnc al intrvalo (0,) cuya drivada s nula:

6 Drivando la función f: f '( ) igualando a cro, obtnmos los valors El valor 0,77... prtnc al intrvalo (0,) Por tanto n s cumpl la tsis dl torma d Roll. 4C.- Calcula la intgral: d Si hacmos l cambio t tdt d d dt t t t tdt tdt Por tanto la intgral qudará d la forma: Hrmit 0dt 0 0 d dt dt dt 0 ln t 0 ln t t t tt t t Dond hmos utilizado l método d Hrmit. Si dshacmos l cambio: Por tanto: d 0ln 0ln 0ln K d 0 ln K 6