INTEGRALES 5.1 Primitiva de una función. Integral indefinida. Propiedades.

Transcripción

1 INTEGRALES 5. Primitiva d una unción. Intgral indinida. Propidads. 5. Intgración d uncions racionals. 5. Intgración por parts. 5. Intgración por cambio d variabls. 5. Primitiva d una unción. Intgral indinida. Propidads. San y F dos uncions rals dinidas n un mismo dominio. La unción F s una unción primitiva d, si F tin por drivada a. F s primitiva d F' Si la unción admit una primitiva F, l conjunto d todas las primitivas d stá ormado por las uncions F+C, sindo C una constant ral cualquira. A st conjunto s l llama intgral indinida d y s simboliza con la notación: ()d F()+ c Si F y G son dos primitivas d una misma unción n l intrvalo I, las dos uncions tinn la misma drivada y su dirncia srá una unción constant, s dcir, ist un númro C ral tal qu : F()-G()C I La opración qu prmit obtnr una primitiva F a partir d una unción rcib l nombr d intgración. Si ist la unción F s dic qu la unción s intgrabl. * PROPIEDADES LINEALES DE LA INTEGRACIÓN. -Intgral d la suma o dirncia. La intgral d la suma d dos uncions s igual a la suma d las intgrals d dichas uncions. ( ± g)()d ()d ± g()d -Intgral dl producto d un númro ral por una unción. La intgral dl producto d un númro ral por una unción s igual al númro por la intgral d la unción. k()d k ()d - INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES. º-Tipo potncial a+ a d a - a+ º-Tipo logarítmico d ln º-Tipo ponncial a d a d lna

2 º-Tipo sno cosd sn 5º-Tipo cosno 6º-Tipo tangnt 7º-Tipo cotangnt snd cos sc d tag (+ tag )d tag d tag cos cosc d cotag (+ cotag )d cotag d cotag sn 8º-Tipo arco sno a d arcsn /a-arccos /a 9º-Tipo arco tangnt d /a arctan /a a + 0º-Tipo arco scant d /a arcsc /a a 5. Intgración d uncions racionals. Las uncions racionals son d la orma () p() q(), dond p() y q() son uncions polinómicas y stán dinidas n todos los puntos d R mnos n los qu s anula l dnominador. Las uncions racionals s transorman n una suma d raccions, qu tinn por dnominador polinomios d primr grado o sgundo grado irrducibls. Supondrmos qu l grado dl numrador s mnor qu l grado dl dnominador, pus n caso contrario, hacindo la división ntra, s tin: p() r() c()+ q() q() Y l problma s rduc a intgrar la unción polinómica c(), qu s inmdiata, y la unción r()/q(), cuyo numrador s d grado inrior al dnominador.

3 El procso consta d trs pasos:. Dscomposición dl dnominador n actors. Rcordamos st rsultado dl álgbra: "Todo polinomio con coicints rals s pud dscomponr n un producto d actors linals y cuadráticos irrducibls". Dscomposición d la unción n raccions simpls. El squma d dscomposición s indica a continuación: p() q() A - a B C b - c P ( - Q M+ N p ) - p a +b+c dond habrá qu dtrminar las constants A,B,C...P,Q,.... Intgración d los sumandos. Ejmplo d Calcula sta intgral: + + Comprobamos qu l dnominador no tin raícs rals. ± 8 ± No tin raícs rals. Dscomponmos la racción: d d ( + ) d ( + ) d d d ln ( + + ) ln ( + + ) arctg ( + ) + k ( + ) + 5. Intgración por parts. El método d intgración por parts s basa n la drivada d un producto d uncions. A partir d él s halla una rgla qu prmit calcular la intgración d un producto d dos uncions. u dv u v - v du Qu s la órmula corrspondint al método d la intgración por parts. Ejmplo Rsulv las siguints intgrals: a) ( + ) a) u + + du d dv d v ( + ) + d b) ln d ( + + ) d ( + + ) ( + ) u + du d I ( + ) d ( ) d + dv d v Así: ( + + ) d ( + + ) ( + ) + + k b) u ln du d dv d v ( ) + k ( + ) + k d I

4 k 9 ln d ln d ln d ln + 5. Intgración por cambio d variabls. Ejmplo Calcula la siguint intgral, utilizando la sustitución t : d Hacmosl cambio tdt (+ t ) t t t + t d tdt dt + t arctg () t + k arctg + d Intgración d uncions trigonométricas. * Intgración d uncions racionals d sn y cos : R( sn,cos) d Si R(sn,-cos )-R(sn,cos ) s hac t sn " R(-sn,cos )-R(sn,cos ) " " t cos " R(-sn,-cos )R(sn,cos ) " " t tang En st último caso l sno o l cosno han d star n l dnominador y lvados al cuadrado. t dt cos sn d t + t + t + Cuando sno o cosno stén n l dnominador s pud hacr l cambio t tag llamado cambio univrsal, sindo n st caso: t - t t d dt sn cos tag +t + t + t - t m n * Intgrals dl tipo sn cos d s transorman mplando las órmulas: - cos + cos sn cos * Intgrals dl tipo tag n d s obtinn mplando la órmula: tag - cos * Intgrals tipo producto d sno y cosno s calculan transormando los productos n sumas por las siguints órmulas: snm cosn [sn(m+ n) + sn(m- n) ] snm snn [cos(m+ n) - cos(m- n) ] k

5 cosm cosn [cos(m+ n) + cos(m- n) ] Intgración d uncions ponncials. m m * Intgrals dl tipo: R( a )d s calculan hacindo l cambio t a por l qu s transorman n una unción racional n t. Intgración d uncions irracionals. * Intgrals dl tipo: R(,,,...)d dond R s una unción racional, s intgran hacindo cambio también s válido si n vz d s l cocint m n p q r s d t sindo d l m.c.m. d n,q,s... Est a+b. c+d * Intgrals dl tipo: R(, a +b+c )d s intgran hacindo los cambios: a +b + c a +t a +b + c t + c si, si, a > 0 c > 0 a +b+c t( -α ) sindo α una raíz ral d a +b+c 0 En los casos antriors s busca un cuadrado prcto dntro d la raíz y s transorma n uno d los casos siguints. * Intgrals dl tipo R(, a - ) s raliza asnt * Intgrals dl tipo R(, a + )d s raliza a tagt * Intgrals dl tipo R(, - a )d s raliza asct Los trs cambios antriors s utilizan cuando la raíz stá n l dnominador. * Intgrals dl tipo ( α) d a n + b + c s raliza -α t INTEGRALES. PROBLEMAS. º- d º- - d º sn cos d 5

6 d º º- d sn t + sn 6º- (a+ ) d a+ t 7º- d 8ºsn cos d cos 9º- d 0º- d + sn tg t º- sn d º- ( +) d º- d sn cos t º- + cos d + t 5º- sn d 6º- d 7º- + ( + ) ( + ) d 5 8º- d d 9º º- ln( +)d º- arctag -d º- d d º- + º- arctag d 5º- lnd 6º- d ( )( 9) d 7º- ( + + ) d 0º- + sn d 8º- -7d -7t 9º- ( + ) º- d º- sn + cos d º- d 6 tg + º- cos d 5º- tg d + tg tgt d 6º- ( + ln ) d 9º- ( + ) + 7º- d d 0º- + sn + cos + 8º- d º- d 6

7 sn º- d + sn º- sn d º- a d a sn t 5º- cosd 6º- + + d + 7º- 9 d 9º- + 8º- d 5 d ln 50º- d 7 + tg 5º- d cos + ln 5º- d 5º(ln ln ) (sn + ln( + )) d 5º- Calcular la primitiva d la unción ()arctan qu pas por l punto (,0). + 55º- Encontrar una unción () tal qu la drivada sa: ( ) y cumpla + π ( ). PROBLEMAS RESUELTOS º- Encontrar una primitiva d la unción () Sol: I -arctan + ln. + º- Rsolvr la intgral d 8 5 Sol: I - + ln - ln - + ln + +k ( cos ) º-Calcular: sn d Sol: I - cos + º-Calcular la intgral + d Sol: arctan + ln(+ )+ K I 5º-Calcular d + Sol: I [ ln - - ln arctg ] - 6º- Calcular d Sol: I C 7º- Calcular: + 9 d Sol: I artg 6 7

8 8º-Calcular: a) + 9 d b) - d Sol: I ln ( + 9) I - - ( +) 9º-Calcular: + a) - cosd b) d Sol: - a) I (sn - cos ) b) I ln +ln - 0º-Calcular d 5 + Sol: I +5ln - º-Hallar un polinomio cuya drivada sa +-6 y tal qu l valor d su máimo sa trs vcs mayor qu l d su mínimo. º-Hallar la cuación d una curva y() sabindo qu pasa por l punto (,) y qu la pndint d la rcta tangnt n l punto d abscisa s + º- Ralizar las siguints intgrals:. ( ) d. d ( - + ) d d +. d d ( + ) 5 + ( + / ) ( + ) d d ( + ) 5 d cos ( + tag ) d. sn d. tag d +. ( + tag ) d. d 5. + d 5 cos + + d 6. d 7. d 8. + sn 9 - d 5 ln d. d d. sn cos d d +. + d d (-5) d + + tg 8. d 9. tg d cos 0. ( cos5 - sn) d 8

9 9 d ln.. d. ( - cos) d + ( + ) d. 5. sn cos d 6. sn cos d - sn d cos( + ) d d ( + ) d 0. d. d sn tg d tg.. d 5. d + cos cos sn 6. d 7. d 8. d sn cos cos d 9. d 50. d sn - Solucions d las antriors intgrals c ( ) - + c c c 6. ln c 9 (+ ) c 8. tg + ln cos + c ( + ) arctg + c 0. tg + c sn. - + c. tg - + c +. + tg + c. arcsn c (+ ) 5. + c c sn + c 8. arcsn + c ( +) + c c ln (5/). - ln - + c. - cotg ( ) + tg () + c c

10 c. arctg + c 5. ln + + c 6. arctg ( ) + c tg + c 8. + c sn 5 cos 9. - ln cos + c c 5 ln. arctg( +) + c. + c cos + sn. - + c. + c - tg(/) 6 sn sn sn 5. + c c 6 7. sn( + ) + c 8. ln + + c 9. ln - - ln + + c 0. 5 ln + + c c. tg() + c 7 tg. - ln + + c. + c 5. tg + c 6. ln c c ln 8. ln sn - ln cos + c c 50. arcsn ( ) + c sn 0