INTEGRAL INDEFINIDA. Derivación. Integración
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- María Luisa Crespo Rojas
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1 TEMA 8 Itgral Idfiida INTEGRAL INDEFINIDA. FUNCIÓN PRIMITIVA F() s ua primitiva d f() si F ()= f(). Esto s prsa así: La itgració s la opració ivrsa a la drivació, d modo qu: f() F'() F() FUNCIONES PRIMITIVAS Drivació Itgració FUNCIONES DERIVADAS Si F() s ua primitiva d f() (F ()= f()), tocs F() +K, sido K ua costat, tambié srá ua primitiva d f(), pus: (F()+K) = f(). Por tato, podmos afirmar qu ua fució ti ifiitas primitivas, lo qu podmos prsar: f ( ) F( ) K A la prsió f () s l llama itgral idfiida o simplmt itgral d f(), por so al cálculo d primitivas s l sul llamar cálculo d itgrals o itgració. EJEMPLOS: FUNCIONES DERIVADAS PRIMITIVAS y = y = y = y = +K y = l y = l +K. PROPIEDADES f ( ) f ( ).- f ) g( ).- f ( ) C EJEMPLOS: ( g( ) C, sido C.- l K pág. 08 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07
2 TEMA 8 Itgral Idfiida.- K l. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN La omclatura qu hmos utilizado para calcular itgrals s útil para fucios cuya drivada sa coocida, tipo potcial, logarítmica o alguas trigoométricas. Para otras fucios s csario utilizar algua técica d itgració (cambio d variabl, método d parts ), lo qu os coduc a modificar la omclatura y utilizar la otació difrcial. Dfiimos la difrcial d ua fució 0 d la siguit mara: df( 0 )=f '( 0 ) A D C dy B Sa y=f() drivabl 0 Tracmos la rcta tagt a sa curva A( 0,f( 0 )). Sabmos qu f '( 0 ) s la pdit d la rcta tagt a y=f() l puto 0 s dcir: 0 BC BC f '( 0) ta BC f '( 0). d(f( 0) AB Por tato: El sgmto BC rprsta la difrcial l puto 0 El sgmto BD rprsta l icrmto d la fució corrspodit al El sgmto CD rprsta l rror comtido al sustituir f( 0 ) por df( 0 ) Obsérvs qu cuado sa pquño BC BD s dcir qu df( 0 ) srá ua bua aproimació d f( 0 ). Para la fució g() =, s ti d g() = g '(). =. =. Como, d g() = d s ti d = sustituydo df() =f '(). s obti: df()=f '()d dy f '() (Eprsió d la drivada como cocit d difrcials) d Si F() s ua primitiva d f(), tocs F () = f() y, por tato d F() = f() d y la itgral s prsa así: f ( ) d F( ) K pág. 0 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07
3 TEMA 8 Itgral Idfiida EJEMPLOS: FUNCIONES DERIVADAS DIFERENCIALES PRIMITIVAS y = y = d d y = y = d d +K y = l y = d d l +K. INTEGRALES INMEDIATAS PARA LA FUNCIÓN COMPUESTA f ( ).- f ( ) f '( ) d K si f '( ).- d l f ( ) K f ( ) f '( ).- f ( ) d arctagf ( ) K f '( ).- f ( ) d arcsf ( ) K f ( ) f ( ).- a f '( ) d a K l a.- sf ( ) f '( ) d f ( ) K 7.- f ( ) f '( ) d sf ( ) K f ( ) f ( ) '() d f () ' 8.- d sc f ( ) f '( ) d tag f ( ) f '( ) d tagf ( ) K f.- c f () f '()d cot a f () f '()d cot af () K EJERCICIOS:.- Calcula las siguits itgrals: d d d d d d pág. 0 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07
4 g) j) TEMA 8 Itgral Idfiida d h) 7 d i) d k) d l) d d m) 8 d ) d o) d.- Halla ua fució g() qu sa primitiva d f() = s, cuya gráfica pas por l puto (π, 0).- Halla f() sabido qu: f(0) =, f (0) =, f ()= Ejrcicios d la hoja º:,,, º: 8 al trigoométricas: 80 a 88 ; d 00 a 0 ; 7 ; s d d s NOTA: Lo qu rsta dl tma s plicará clas, aquí figura solamt u guió.. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES E todos los casos Si l umrador s d grado suprior al domiador, s fctúa la divisió y Rsto s prsa l itgrado d la forma: Cocit + Divisor Tipo logarítmicas (domiador d primr grado) Ejrcicios d la hoja º: dl 7 al 8,,,. Slctividad El domiador solo ti raícs rals simpls. El domiador solo ti raícs rals múltipls. El domiador ti raícs rals simpls y múltipls. Ejrcicios d la hoja º: dl al 7 El domiador ti raícs compljas simpls (arc tag y arc s compltado cuadrados). Covi hacr más jrcicios d arc tag y l, jmplo: d ( ) Ejrcicios d la hoja º:, 0, dl al,, 70, 7. METODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES.- Halla la familia d curvas las qu la pdit d las rctas tagts a dichas curvas cualquir puto vi dada por la fució: f() =. pág. Ejrcicios d la hoja º: 0 al 7; al ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07
5 7. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE TEMA 8 Itgral Idfiida m.c.m. (ídics d las raícs) Caso d raícs co l mismo radicado: Radicado = t Ejrcicios d la hoja º: 8,,, = t (º hoja º ), a = t (º 7 hoja º ), Ejrcicios d la hoja º: 0,, 7, 8,, a b d, cambio = a/b s t d d d 7 d EJERCICIOS FINALES Hoja todos los qu falta Hoja so itrsats,, 8, 0, 7,, (ittar hacrlos todos) pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07
6 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES (COCIENTES) TEMA 8 Itgral Idfiida º Simpr qu s puda s fctúa la divisió y/o s simplifica º El domiador s pud prsar como potcia d pot gativo Cuál s l valor d st pot? Numrador K Arc ta R.Compljas Ep = - Logarítmica Domiador = 0 Numrador a b L Arc ta R.R als Dscomposicio fraccios simpls Cambio Variabl (Avcs s csario compltar cuadrados) Ep - Potcial Arc s (A vcs s csario compltar cuadrados) Cambio d variabl INTEGRACIÓN DE PRODUCTOS º Vr si s ua itgral imdiata (potcial, pocial o trigoométrica). A vcs covi oprar l itgrado º Itgració por parts U () dv() U() V() V() Cosjos para lgir las parts. du(). dv() s aqulla d las parts cuya itgració s imdiata. Si las dos lo so, tocs. U() s aqulla part qu al drivar dsaparc o rbaja su grado. Si sto tampoco s posibl. La itgral pud sr cíclica. º Cambio d variabl ATENCIÓN!: Slctividad tma atrior º b); 7b); 0b); b) b) pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07
7 TEMA 8 Itgral Idfiida INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÈTRICAS Rcordamos alguas imdiatas: d k d k d k d k m Cambios más frcuts para itgrals dl tipo: d.- Uo d los pots s cro y l otro par: k k Cambio (Fórmula dl águlo mitad) : k Ejmplo: d d + k.- Uo d los pots s cro y l otro impar: k k ( ) Cambio (Fórmula Fudamtal) k k ( ) Ejmplo: d ( ) d d d.- U pot, al mos,s Impar: k d d k d ( d k k ) ( k p k p k p Ejmplos : d d d.- Los dos pots so pars: d d ( ) k ) d d ( ) d d d 7 k d pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07
8 p q d TEMA 8 Itgral Idfiida A Valor dl Míimo pot (p,q) Ejmplo: Cambios para itgrals tipo: d A A ( ( ) ) pa pa ( )d 8 8 ( ) K 8 A B d A B A B d d d d d d d 8 Trasformarmos los productos sumas, sgú las fórmulas: A + B = A B A B A - B = A B A B A + B = A B A B A - B = - A B A B Ejmplo: 7 d A B A B hacmos 7 i 7 0 Por tato: d d k 0 8 Cambios para itgrals tipo: a b d Hacido l cambio: = a t d= b a t dt b Ejmplo: d t t dt tdt Cambios para itgralsracioals so y o. Podmos utilizar l cambio ta t y tocs sustituydo: t t dt = d las trasformamos racioals t t t pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07
9 EJERCICIOS TEMA 8 Itgral Idfiida pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07 d. d. d. d. d -. d. d 0. d. d 8. d 7. d. d. d. d.- d. d -. d 0.- d.- d 8.- d d.- d.- d.- d.- d -.- d. d. l d. d 0. d. d a 8. d arctag 7. tag d. arcs d. d. d. d. d. d 0. d. d 8. d 7. d. d. d. d. d. d. d 0. d. d 8. d 7. X arctag d 7. d 7. d l 7. d 7. d d 70. d. d 8. a a d 7. d. d. d. d. d. d. d 0. d. d 8. 7d 7. d. d l. arc s d. l d.
10 d 7 7 d d d d tag d tag d d d tag d d d d 7 d d d d d d d d d d d d EJERCICIOS TEMA 8 Itgral Idfiida. d. d. (l )d.- s d.. s d d s 7.- d s d s. d d 7 pág. 7 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-07
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